2023-2024学年山东省东营市高一年级上册期末数学试题（含答案）

2023-2024学年山东省东营市高一上册期末数学试题

一、单选题

1.已知集合4=,後2-5》+620},3={况》-1<0},则AB=()

A.(-8,1)B.(-2,-1)

C.(-3,-1)D.(3,+oo)

【正确答案】A

【分析】解不等式求得集合AB，由此求得AcB.

【详解】X2-5X+6=(X-2)(X-3)>0,解得X42或X23,

所以A=(ro,2]D[3,-K»),

而8=(—,1),所以AB=(-oo,l).

故选：A

2.十名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是：15,17,14,10,15,17,17,16,

14,12,设其中位数为“，众数为6,第一四分位数为c,则小从c大小关系为()

A.a<b<cB.c<a<b

C.c<b<aD.a<c<b

【正确答案】B

【分析】根据中位数、众数、分位数的定义求解.

【详解】对生产件数由小到大排序可得：10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,

所以中位数。=与"=15,众数为6=17,

10x0.25=2.5,所以第一四分位数为第三个数，即c=14,

所以c<a<b,

故选:B.

3.3知函数f(x)的定义域为R,则""0)=0”是“是奇函数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】B

【分析】通过反例和奇函数的性质可直接得到结论.

【详解】若/(x)=Y，则/(。)=0,此时“X)为偶函数，充分性不成立；

若/(x)为奇函数，且其定义域为R，则/(。)=0恒成立，必要性成立；

丄函数f(x)的定义域为R，则“/(0)=0”是"/(X)是奇函数”的必要不充分条件.

故选：B.

4.如图是函数f(x)的图象，则下列说法不正确的是()

A./(O)=-2B.“X)的定义域为[-3,2]

C.“X)的值域为[—2,2]D.若〃x)=0,贝口=g或2

【正确答案】C

【分析】结合函数的图象和定义域，值域等性质进行判断即可.

【详解】解：由图象知f(0)=-2正确，

函数的定义域为「3,2]正确，

函数的最小值为-3,即函数的值域为13,2],故C错误，

若/(x)=0,贝隈=；或2,故。正确

故选：C.

5.17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数,

对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对

数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.己知馆2*0.3010,怆3。0.4771,设

N=47X9%则N所在的区间为()

A.(10,3,1014)B.(10|4,1015)

C.(1015,1016)D.(10'6,1017)

【正确答案】C

【分析】根据对数的运算性质，结合题中所给的数据进行判断即可.

【详解】因为

/V=47x9'2,lgN=lg47+lg912=lg214+lg324=141g2+241g3»4.214+11.4504«15.6644,所以

Af=1015-6644e(10l5,1016).

故选：C

6.方程2，+x=4的根所在的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【正确答案】B

构造函数/(x)=2'+x-4,利用零点存在定理可得出结论.

【详解】构造函数〃力=2，+*-4,则函数为R上的增函数，

/(I)-1<0,〃2)=2>0,则/⑴•〃2)<0,

因此，方程2、+x=42，+x=4的根所在的区间为(1,2).

故选：B.

7.已知偶函数/(x)在上单调递减，且2是它的一个零点，则不等式/(x-D>0的解

集为()

A.(—1,3)B.(YO,-3)_(l,+oo)

C.(-3,1)D.(-00,-1)U(3,+oo)

【正确答案】A

【分析】根据函数的单调性和奇偶性解不等式.

【详解】因为偶函数/(X)在［0,+8)上单调递减，

所以f(X)在(F,0］上单调递增，

又因为2是它的一个零点，所以为2)=0,所以/(-2)=/(2)=0,

所以当—2<x<2时f(x)>0,

所以由f(x-l)>0可得—2vx—1<2解得

故选:A.

8.设/(x)是定义在(7,0)(0,+<»)上的奇函数，对任意的士,当e(0,+8)满足

包⑷二且/⑴=2,则不等式f(x)>2x的解集为()

占一々

A.(―1,0)u(l,-)B.(-1,0)1(0,1)

C.D.(-<»,-2)(2,+oo)

【正确答案】A

【分析】设尸(x)=§,判断出尸(x)的奇偶性、单调性，由此求得不等式/(x)>2x的解

集.

【详解】设F(x)=/区,由于/(x)是定义在(7,0).(0,+«)上的奇函数，

所以?(-月=正。=唸=F("，所以尸(x)是定义在(F,0)(0,+«))上的偶函数.

一XX

任取。<用<工2，%一与<0,则：

F(x,)-F(x,)==引⑷-苞/⑸<O,F(X()<F(X2),

%x2^x2

所以尸(x)在(0,+巧上递增，则尸(X)在(y,0)上递减.

/(1)=2=/(-1),F(I)=ZIH=2=F(-1),

对于不等式/(x)>2x,

当x>0时，有丄国>2,即尸(x)>尸(l)=x>l；

X

当x<0时，由丄H<2,即尸(X)<F(-1)=—1<X<0,

X

综上所述，不等式f(x)>2x的解集为(-l,0)u(l,+»).

故选：A

二、多选题

9.有一组样本数据石,々，七，，/，由这组数据得到新样本数据占+2,々+2,占+2,,%+2,

则下列结论正确的是（）

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同

【正确答案】CD

【分析】根据一组数据的平均数、中位数、标准差和极差的定义求解.

【详解】数据8,马,七,…,x„的平均数为］="+々+$++%,

n

新数据占+2/2+2，w+2,.,3+2的平均数为

占+2+3+2+3+2++斗+2=再+七+。++/+2〃=-+2）故厶错误.

nn

若数据看,々,工，，%的中位数为七，

则新数据占+2,々+2,占+2,,爲+2的中位数为七+2,故B错误；

数据外,孙孙…的标准差为

++（当

n

新数据芯+2,々+2,%3+2，,七+2的标准差为

玉+2-x-2）+（々+2-x-2）+13+2_X_2）"++1”+2->2,故c正确;

—3

4=n

若数据为,%2，毛，…，％中的最大数为4，最小数为z，则极差为七“一七，

则数据为+2,々+2宀+2,,七,+2的极差为与+2-%-2=4-%，故D正确,

故选：CD.

10.若a>6,则下列不等式一定成立的是（）

A.Iga2>lgfe2B.2"a<ThC.D.a3>b）

【正确答案】BD

【分析】应用特殊值。=2>6=-3,判断A、C,根据y=21y=V的单调性判断B、D.

c11

【详解】当a=2>b=—3时，则22<(-3)一=9,而Ig4<lg9,又］>J，

r.A,C不正确；

'：y=2x,y=V都是R上单调递增函数，

...B,D是正确的.

故选：BD.

11.关于X的方程一\=\^的解集中只含有一个元素，则人的值可能是（）

X-IX-X

A.0B.-1C.1D.3

【正确答案】ABD

【分析】由方程有意义可得x#0且xwl,并将方程化为f+2x-左=0；根据方程解集中仅

含有一个元素可分成三种情况：方程f+2x-Z=O有且仅有一个不为0和1的解、方程

9+2x-Z=O有两个不等实根，其中一个根为。，另一根不为1、方程；1?+2》-k=（）有两个

不等实根，其中一个根为1,另一根不为0；由此可解得k所有可能的值.

[x-lxO

【详解】由已知方程得：2C，解得：XX。且户1；

由告=5^得：x2+2x_k=Q;

x-iX-x

Yk-0i*

若一・=彳卫的解集中只有一个元素，则有以下三种情况：

x-1X-X

①方程x?+2x-左=0有且仅有一个不为。和1的解，二△=4+4A=0,解得：k=-\,

此时x?+2x—k=0的解为x=—1,满足题意；

②方程f+2x-么=0有两个不等实根，其中一个根为0,另一根不为1;

由0+2x0-%=。得：%=0,.,.%2+2》=0,此时方程另一根为x=-2,满足题意；

③方程d+2x-无=0有两个不等实根，其中一个根为1,另一根不为0;

由1+2x1—4=0得：k=3,.­.X2+2X-3=0,此时方程另一根为X=—3,满足题意；

综上所述：么=一1或。或3.

故选：ABD.

12.已知函数/（外=岛，下列说法正确的是（）

A.若2/（。）>1,则0>0

B./（X）在R上单调递增

C.当X|+X2>0时，/(^)+/(%,)>1

D.函数y=/(x)的图像关于点(go)成中心对称

【正确答案】ABC

【分析】根据指数不等式、函数单调性、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

¥

【详解】A选项，2f(a)>\,即2x------->l,2x2">2"+l,2">l,a>0,A选项正确.

2"+1

r1E/•/2V2'+1-11

B选项，f(x)=-------=-----------=1----------,

T+\2r+l2、+l

由于y=*在R上递减，所以/a)在R上递增，B选项正确.

C选项，当士+*2>0时，石>一*2，

所以即二事；=—^,

2X|+125+11+2*2

9AI1，电

所以==c选项正确.

丿'"J'c2内+12々+12勺+12々+1

2,-x?

D选项，f(\-x)=-----=一-—£-/(工)，D选项错误.

八)2'-r+l2+2"、丿

故选：ABC

三、填空题

13.已知暴函数=/的图像经过点(8,2),则f_(x)=.

【正确答案】%3

【分析】根据辱函数的的知识求得。，然后根据反函数的知识求得正确答案.

【详解】依题意，幕函数/(》)=漬的图像经过点(8,2),

I1

所以8a=2,a=§,所以“x)=x§，

令y=)，解得X=V，交换X，y得y=、3,

所以尸(x)=d

故『

14.设两个相互独立事件A与从若事件A发生的概率为p,B发生的概率为1-P，则A与

B同时发生的概率的最大值为.

【正确答案】*25

【分析】求出相互独立事件同时发生的概率，利用二次函数求最值.

【详解】因为事件4与B同时发生的概率为p(l—p)=p-p2=-(p_g]+l(pe[O,l]),

所以当p=g时，最大值为：.

故：

6已知函数亠⑶4R,且"0)=3,需=2,瑞=2,，爲=2-写出函

数y=/(x)的一个解析式：

【正确答案】/U)=3x2'

【分析】利用累乘的方法可求解函数解析式.

【详解】因为〃。)=3,瑞=2,铸=2,，借■二厶女匕

所以f(0)x=3x2",

即f(n)=3x2",所以函数y=f(x)的一个解析式为f(x)=3x2，,

故答案为：f(x)=3x2\

16.已知函数f(x)=x|x-2a|+a2-4”，若函数/(x)有三个不同的零点，且

111

x<x<x,则一+—■+—的取值范围是.

l23X,y入3

【正确答案】

【分析】将/(x)表示为分段函数的形式，对。进行分类讨论，求得X1+%,X/2，X3，由此求

得丄+—+丄的取值范围.

百马X3

“、[x2-2ax+a2-4a,x>2a

【详解】"x)=,、，,c，

一厂+2ax+a~-4a,x<2a

当a>0时，方程有3个不相等的实数根，/(力在(2a,4w)上递增，

所以x22。时，f一2以+々2一4々=0有1个根，

且xv2。时，一f+2ca+/-4a=0有2个根，

>0

所以，解得2va<4.

由于看＜毛＜不，则以+々=2。屮=一/+4”=^^^1£^^^3=〃+2厶，

111X+%,12a।1

所以一+一+—=」--+—=

2

x（x2x3x}x2x3-a+4。。+2>[a

2。+a-2y[a

々（"a）（〃+2厶）（。_2&）

2aa-2\faa+2\fa1

---------------------------=--------------------------------=------------•

a（4-a）a（4-a）（a+2八-2八）a-2yja

1_1

=一（6）]厶"（6

>/2<<2,>/2—1<>[a—1<1,3—2>/2<_1j<1>

2]_1_

2-2>/2<（>/a-l）-KO,（6_]『_[<2-2近，

1120+22夜+21+夜

--------------------<-----=-----=-----------------------------=------------=----------

（5^-1）2-12竝-2（272-2）（272+2）42-

当a<0时，当x>2a时，方程/一2"+/-44=0的判别式△=4/一4,2-4〃）=16“<0,

所以此时不符合题意.

dX＞0

当八。时，〃力*’0,不符合题意.

综上所述，。的取值范围是一老，+8.

\/

故一y—，+8

\/

研究含有绝对值的函数的零点，关键点在于去绝对值，将所研究的函数表示为分段函数的形

式，由此再对参数进行分类讨论，结合零点个数来求得参数的取值范围.在分类讨论时，要

注意做到不重不漏.

四、解答题

17.求解下列问题:

2

⑴（向1）。+得『+（闻金

3

（2）1g靑一In厶+2喧-log427.log98.

【正确答案】（1）?29

16

⑵-：

4

【分析】(1)根据根式、指数运算求得正确答案.

(2)根据对数运算求得正确答案.

2

=14--1—=—.

16416

823

（2）lg-In+2'--log427.log,8

丄

233

=lgl0--lne=+3-log233-log322

133

=-2-2+3-21Og23-21Ogl2

18.甲、乙两人想参加某项竞赛，根据以往20次的测试，将样本数据分成[50,60),[60,

70),[70,80),[80,90),[90,100]五组，并整理得到如下频率分布直方图：

已知甲测试成绩的中位数为75.

(1)求x,y的值，并分别求出甲、乙两人测试成绩的平均数(假设同一组中的每个数据

可用该组区间中点值代替)；

(2)从甲、乙两人测试成绩不足60分的试卷中随机抽取3份，求恰有2份来自乙的概率.

3

【正确答案】(1)x=0.025；y=0.02；甲的平均分为74.5,乙的平均分为73.5；(2)

(1)根据甲测试成绩的中位数为75,由0.01xl()+yxl()+().()4x(75-70)=0.5,求得y,再利

用各矩形的面积的和为1,求得x,然后利用平均数公式求解.

(2)易得甲测试成绩不足60分的试卷数2,乙测试成绩不足60分的试卷数3,先得到从中

抽3份的基本事件数，再找出恰有2份来自乙的基本事件数，代入古典概型公式求解.

【详解】(1)•••甲测试成绩的中位数为75,

二0.01x10+^x10+0.04x(75-70)=0.5,

解得y=0.02.

0.01x10+yxl0+0.04xl0+xx10+0.005x10=1,

解得x=().025.

同学甲的平均分为

55x0.01x10+65x0.02x10+75x0.04x10+85x0.025x10+95x0.005x10=74.5.

同学乙的平均分为

55x().()15xl()+65xO.O25xl()+75xO.O3xl()+85x().O2xl()+95xO.()lxl()=73.5.

(2)甲测试成绩不足60分的试卷数为20x001x10=2,设为A,8.乙测试成绩不足60分

的试卷数为20x0.015x10=3,设为b,c.

从中抽3份的情况有(A,氏a),(A,B,c),(A,a,b),(A,a,c),(A,b,c),,

(8,b,c),(a,b,c),共10种情况.

满足条件的有(A“力)，(Aa,c),(AA,c),(B,a,b),(B,a,c),(B,b,c),共6种情况,

故恰有2份来自乙的概率为K=|・

19.已知关于x的不等式凉-5x+4>0的解集为｛x|x<l或x>a｝(a>l).

⑴求a,。的值；

(2)当x>0,y>0,且满足纟+"=1时，有x+y>&2-2Z-6恒成立，求女的取值范围.

xy

[a=4

【正确答案】(1),,

[0=1

⑵(-3,5)

【分析】(1)根据一元二次不等式的解法可得1和a是方程法2一5》+4=0的两个实数根且

b>0,从而利用韦达定理建立方程组即可求解；

(2)由均值不等式中“1”的灵活运用可得。+为.=9,从而解一元二次不等式

公-2左-15<0即可得答案.

【详解】(1)解：因为不等式云2_5x+4>0的解集为｛》次<1或x>。｝(«>1),

所以1和。是方程苏-5x+4=0的两个实数根且b>0,

41

(2)解：由(1)知一+—=1,且x>0,y>(),

xy

所以x+y=(x+y)，+丄]=5+曳+2..5+2/把・2=9,当且仅当"=二，即:时等

(xy丿xy\xyxy[y=3

号成立，

依题意有(x+y)mM>/-2k-6,即9>廿_2%-6,

所以〃一2k-15<0,解得一3<%<5,

所以女的取值范围为(-3,5).

20.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或

每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为g,乙每次投篮投中的概率为g,

且各次投篮互不影响.

（1）求乙获胜的概率；

（2）求投篮结束时乙只投了2个球的概率.

134

【正确答案】（1）—;（2）—.

2727

【分析】（D根据规则乙先投进，分情况讨论，求各个情况下概率和即可；

（2）根据规则第四次乙先进球或第五次甲先进球，符合题意，求概率和即可.

【详解】（1）记“乙获胜”为事件C,记甲第i次投篮投进为事件A,乙第i次投篮投进为事件

B,

由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知

尸（C）=P（44）+P因瓦•凝2）+网4.瓦其•瓦

=尸伍）尸（旦）+尸伍）p（瓦）尸価）尸但）+尸伍）孑（瓦）p区）p（瓦）出）

=衿+停）（K号

（2）记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件。，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独

立事件同时发生的概率计算公式知

p（o）=p因瓦（区瓦•工瓦4）

=尸伍）P（瓦）尸除択但）+尸伍）尸（瓦）P伍）尸（瓦）尸区）

21.提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.一般情况下，隧道内的

车流速度V（单位：千米/小时）和车流密度X（单位：辆/千米）满足关系式：

50,0<x<20,

V=kcc研究表明，当隧道内的车流密度达到120辆/千米时会造成堵

60-----------,20<x<120.

140-x

塞，此时车流速度为0千米/小时.

（1）若车流速度v不小于40千米/小时，求车流密度x的取值范围；

（2）隧道内的车流量y（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y=x”.求隧

道内车流量的最大值（精确到1辆/小时）及隧道内车流量达到最大时的车流密度（精确到1

辆/千米）.（参考数据："=2.646）

【正确答案】（1）（1）车流速度V不小于40千米/小时，车流密度X的取值范围为（0,80]；

（2）（2）隧道内车流量的最大值为3250辆/小时，车流量最大时的车流密度87辆/千米.

【分析】（1）由x=120（辆/千米）时，v=0（千米/小时）求得火,可得v关于x的关系

式，再由认.4（）求解x的范围得结论;

（2）结合（1）写出隧道内的车流量y关于x的函数，再由函数的单调性及基本不等式求出

分段函数的最值，则答案可求.

【详解】（1）解：由题意，当x=120（辆/千米）时，v=0（千米/小时）,

kk

代入』。一吋,得°=6。-的方解得1200.

’50,0<%,20

6°一黑,20%

当0<X,20时，v=50..40,符合题意;

当2。",⑵时，令60一1..4。，解得三8。,

20<%,80.

综上，0<%,80.

故车流速度v不小于40千米/小时，车流密度x的取值范围为（0,80];

'50x,0<%,20

（2）由题意得,V-|60%-I200x,20<A;,120

[140-x

当0<X,20时，y=50x为增函数,

.-.^20x50=1000,等号当且仅当x=20时成立;

当20vx,120时,

,八1200x…20x、,2(X140-x)-2800,

y=60x------------=60(x------------)=60[x+--------------------------]

140-x140-x140-x

=60(20+x=60[160-(140-x)--

140-x140-x

„60(160-2.(140-x)———)=60(160-40x/7)^3250.

V140-x

2WOO

当且仅当140-x