第2讲 集合间的基本关系（教师版）-高一数学同步讲义

第02讲集合间的基本关系

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课程标准课标解读

1.能利用集合间的包含关系解决两个集合间的问题。

1.理解集合之间包含与相等的含义，能识

2.在解决集合问题时，易漏集合的特殊形式，比如集

别给定集合的子集、真子集.

合是空集时参数所具备的意义。

2.理解与掌握空集的含义，在解题中把握

3.能利用Venn图表达集合间的关系

空集与非空集合、任意集合的关系。

判断集合之间的关系时，要从元素入手.

趣:知识精讲

生知识点01Venn图，子集

1.Venn图的概念

我们经常用平面上___________的内部代表集合，这种图称为Venn图.

说明：（I）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线.

（2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显.

2.子集

（1）子集的概念

一般地，对于两个集合A,B,如果集合4中都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有

包含关系，称集合A为集合B的子集，记作AqB（或,读作“4含于8”（或“B包含A”）.用

Venn图表示AN3如图所示：

（2）子集的性质

①任何一个集合是它自身的子集，即

②传递性，对于集合A，B，C,如果A=且8=那么4=C.

【答案】1.封闭曲线2.(1)任意一个元素

(3)从子集的角度看集合的相等：

如果集合A是集合3的(AcB),且集合B是集合A的(B^A),此时,

集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作4=3.用Venn图表示A=8

如图所示.

【答案】子集子集

【即学即练1】设a,beR,集合{0,血。}={1,。一反切,则a+b=.

【答案】-2

【解析】由题意若a—Z?=0,则而=1或a=l：由a。=1=>a?=1=>a=±1,,当a=l时，由

a=b，得到b=l,不合题意：当。=一1时，由a，得到6=—1,符合题意；由a=l,•.•a=b,得

到力=1,不合题意；

若6=0,则，力=(),不符合题意.

综上，a=h=-1,a+b=-2

【即学即练2】已知集合户{1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,3,4,5},B={4,5,6,7,8},则是

集合U的子集但不是集合A的子集，也不是集合B的子集的集合个数为.

【答案】196个

【分析】先找出集合U的子集个数，再减去集合力或集合8的子集个数，即可得出结果.

【详解】集合U的子集个数为28,其中是集合A或集合8的子集个数为2$+2‘-22,所以满足条件的集

合个数为28—(25+25—22)=196.

【点睛】本题主要考查子集的概念，解题的关键是会判断子集个数.

>,知识点02

真子集

1.真子集的概念

如果集合41B,但存在元素,我们称集合A是集合B的真子集，记作A母8(或6).

如果集合A是集合8的真子集，在Venn图中，就把表示A的区域画在表示8的区域的内部.如图所

示：

【答案】xeB，且xeA

2.真子集的性质

对于集合4，B，C,如果B峰C,那么

【微点拨】子集与真子集的区别：若A=8,则A与6或A=3：若A与B,则A=

【即学即练3】在平面直角坐标系中，集合C={(x,y)|y=x}表示直线卜=》，从这个角度看，集合

[2x—y=1]

o=<(x,y)l〈■「卜表示什么？集合c,。之间有什么关系？

x+4y=5J

【答案】DC

【分析】表示两条直线的交点，解得交点得到集合关系.

[2x-y=1

【详解】集合。=(x,y)H//表示直线2x-y=l与直线x+4y=5交点的集合，

x+4y=5

即。={(1,1)}.。C

【点睛】本题考查了集合表示的意义，集合的包含关系，意在考查学生对于集合的理解和掌握.

W、知识点03

空集

1.空集的概念

我们把__________任何元素的集合叫做空集，记作0,并规定：空集是任何集合的子集.

2.空集的性质

(1)空集是任何集合的，即0=A；

(2)空集是任何非空集合的,即。目A.

【微点拨】空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往

容易因忽略空集的特殊性而导致漏解.

【答案】1.不含2.(1)子集(2)真子集

【即学即练4]若集合4={司0?-2四+〃-1=0}=。，则实数。的取值范围是.

【答案】{a|a40}

【分析】根据集合4={]|以2-2⑪+。-1=0}=。，分。=0和两种情况讨论，结合一元二次方程

的性质，即可求解.

【详解】由题意，集合4={耳依2-2以+。-1=()}=0,

若a=0时，集合4={止1=0}=°,满足题意；

若aH0时，要使得集合A={x|以2一2斯+。-i=o}=0,

则满足△=(-2a)2一4a(a-1)=4。v0,解得a<0,

综上可得，实数a的取值范围是{a[a<。}.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合中元素的判定，其中解答中正确理解集合的表示方法,

结合一元二次方程的性质求解是解答的关键，属于基础题.

U能力拓展

考法01

从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪

个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使

有关的代数式有意义.

【典例1】已知集合｛l,a,耳与｛a,/,"｝相等，求实数a,匕的值.

【答案】a=-\,b=0.

【解析】因为集合｛1,可与｛a,/,"｝相等，所以有：

cr-\[a=-\

(1)5=>〃=1或〈,

ab-bh=0

当a=l时，不符合集合元素的互异性，故舍去；

a=-1

当，c时，符合集合元素的互异性.

。=0

a2=bfa=1

(2)\,,不符合集合元素的互异性，故舍去，

ab=l区=I

所以。=-1,b=0.

【名师点睛】本题考查了根据集合相等，求实数的值的问题.考查了分类思想、运算能力.本题值得注

意的是要注意到集合元素的互异性.

(1)对于列举法给出的集合，若两个集合相等，则它们所含元素完全相同，与元素的排列顺序无关，由

此可列出方程或方程组.因为集合中的元素具有无序性，所以在建立方程(组)的时候，要注意分类讨

论，同时要对最后结果进行检验，以免与集合中元素的互异性相矛盾.

(2)对于描述法给出的集合，要判断两集合是否相等，要判断两个集合的代表元素是否一致，及代表元

素所满足的条件是否一致，若都一致，则两集合相等.

考法02

判断两个集合之间的关系

(1)从集合关系的定义入手，对两个集合进行分析，

首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B,若是，则AqB,否则A不是B的子集；

其次，判断另一个集合8中的任意元素是否属于第一个集合A,若是，则否则8不是A的子集;

若既有A=又有则A=8.

(2)确定集合是用列举法还是描述法表示的，对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素；

对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统一，要先将表达式统一,

然后再进行判断.也可以利用数轴或Venn图进行快速判断.

【典例2］（1）已知集合加={1},N={1,2,3},则（）

A.M<NB.MsN

C.MjND.N

（2）设集合"={x|X=4〃+1,〃GZ},N={x|x=2〃+l,〃€Z},则（）

A.M与NB.M

C.MGND.NGM

【答案】（1）c（2）A

【解析】（1）因为lwN,2定M,所以Af=N,故选C.

（2）因为x=2-2〃+l,所以可得N,故选A.

【名师点睛】（1）本题考查集合包含关系，考查基本分析判断能力，属基础题.根据元素关系确定集合

关系.

（2）本道题考查了集合与集合的关系，难度较小.解答本题时，转化M,可得M,N的关系.

注意：包含、真包含关系是集合与集合之间的关系，属于关系是元素与集合之间的关系，注意区分.

考法03

判断两个集合之间的关系根据两集合的关系求参数的方法：

已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解.

（1）若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互

异性；

（2）若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到.

【典例3】已知集合4={1,2},B={x以2+必+1=0,xeR},若8UA,则实数机的取值范围为.

【答案】［-2,2）

【解析】①若8=0,则/=加一4<0,解得一20*2.

②若1G8,则12+机+1=0,解得〃?=一2,此时8={1},符合题意；

③若2G8,则22+2,〃+1=0,解得此时8=〔2,不合题意.

综上所述，实数m的取值范围为［-2,2）.

考法04

确定集合的子集的个数

有限集子集的确定问题，求解关键有三点:

(1)确定所求集合；

(2)注意两个特殊的子集：0和自身；

(3)依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集……写出子集.就可避免

重复和遗漏现象的发生.

【典例4](1)已知集合「={4,5,6},Q={1,2,3},定义P㊉Q={x|x=p—q,pGP,qWQ},则集合

尸㊉Q的所有真子集的个数为()

A.32B.31

C.30D.以上都不对

【答案】B

【解析】由所定义的运算可知P$Q={1,2,3,4,5},所以P㊉Q的所有真子集的个数为25—1=31.

⑵设集合。={-1，0，1，2},A==则集合4的真子集个数为()

A.2B.3

C.7D.8

【答案】C

【解析】...集合。={-1，0,1，2},.,.集合A={y|y=,x2+],xwU}={1,y/2>V5}»

真子集个数为23-1=7个，

故选C.

【名师点睛】以上两题考查了真子集的概念及性质，考查集合的表示方法：列举法，是一道基础题.解答

本题时，先求出集合A,进而求出其真子集的个数.如果有限非空集合A中有〃个元素，则：

(1)集合A的子集个数为2"；

(2)集合A的真子集个数为2"-1；

(3)集合A的非空子集个数为2"—1；

(4)集合A的非空真子集个数为2"—2.

分层提分

题组A基础过关练

1.已知集合4={2,-I},B={m2-m,-1},则A=B,则实数机=()

A.2B.-1

C.2或-1D.4

【答案】C

【解析】•.,集合4={2,-1）,B={m2-m,-1）,A-B,m2-m-2,解得〃?=-1或，"=2.故选C.

2.集合A={xeNk2a<2}的真子集的个数是（）

A.8B.7

C.4D.3

【答案】D

【解析】:集合4={xGNH2<32}={0,1},.•.集合4的真子集的个数是:22-1=3.故选D.

【名师点睛】本题考查集合的真子集的个数的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基

础题.求解时，先求出集合A={0,1}，由此能求出集合A的真子集的个数.

3.设A={x|2W烂6},B={x\2a<x<a+3},若8UA,则实数a的取值范围是（）

A.[1,3]B.[3,+oo）

C.11,+8）D.（1,3）

【答案】C

。+346

【解析】•；A={x|2W启6},B=[x\2a<x<a+?>],且BQA；当B=<P时，2a>a+3,解得a>3；当B丰①时,<2a>2

2a<a+3

解得1&W3；.♦.〃的取值范围是{叩或x>3}={a|色1},故选C.

4.设集合尸={），|），=/+1},M={x|y=/+1},则集合M与集合P的关系是（）

A.M=PB.PwM

C.PD.P%M

【答案】D

【解析】：P={y|y=x2+1}={y]）。},M={巾=「+l}=R,AM）故选D.

【名师点睛】本题主要考查了描述法表示集合的方法，解题的关键是弄清集合的元素，属于基础题.先弄

清集合的代表元素，然后化简集合，再进行判定即可.

5.满足条件{1,2,3,4}3七N{1,2,3,4,5,6}的集合同的个数是（)

A.2B.3

C.4D.5

【答案】B

【解析】由题意可知：M={l,2,3,4}uA,其中集合A为集合{5,6}的任意一个真子集，结合子集个数公

式可得，集合M的个数是22-1=3.本题选择B选项.

【名师点睛】本题主要考查子集个数公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和II•算求解能力.求

解时，由题意结合子集个数公式确定集合M的个数即可.

6.【多选题】下列叙述正确的是（）

A.集合N中的最小数是1B.{x|x>1}C{X|X>1}

C.方程6犬+9=0的解集是{3}D.{4,3,2}与{3,2,4}是相等的集合

【答案】BCD

【分析】

利用自然数集元素的大小判断A；利用集合的包含关系判断B；利用方程的解判断C；利用集合的基本性质

判断D.

【详解】对于A,集合N中的最小数是0,不是1,故A错误；

对于B,{x|x>l}={x|xNl}满足集合的包含关系，故B正确；

对于C,方程/一61+9=0的解为玉=々=3,故其解集是{3},故C正确；

对于D,{4,3,2}与{3,2,4}是相同的集合，满足集合的基本性质，故D正确.

故选：BCD

7.【多选题】已知集合加={2,3,4},集合仞{1,2,3,4,5},则集合N可以是（）

A.{2,3,4}B.{2,3,5}C.{1,2,3,4}D.{1,2,3,4,5}

【答案】ACD

【分析】

根据子集的定义判断.

【详解】

•.•MqN土{1,2,3,4,5},而〃={2,3,4},

.•.〃={2,3,4}或用={2,3,4,5}或用={1,2,3,4}或加={1,2,3,4,5},

故选：ACD.

8.【多选题】已知集合A={xeR,一3兀-18<（）},BR|x2+<xx+«2-27<0^,则下列命题中

正确的是（）

A.若A=3，则。=一3B.若A=则。=一3

C.若3=0,则aW-6或。之6D.若8t）A时，则-6<。4—3或。》6

【答案】ABC

【分析】求出集合A,根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断.

【详解】

A={xeR|-3<x<6},若A=B，则。=-3,且"-27=-18，故A正确.

。=-3时，A=B，故D不正确.

若A=则（一3y+a.（—3）+Y—27<0且62+6。+。2一2740,解得。=一3,故B正确.

当8=0时,O2-4（«2-27）<0,解得aW-6或a»6,故C正确.

故选：ABC.

题组B能力提升练

1.【多选题】己知集合4={川分<2},8={2,、历},若BqA,则实数”的值可能是（）

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】ABC

【分析】由A可得出关于实数。的不等式组，解出实数。的取值范围，进而可得出实数。的可能取值.

f/z

【详解】A={x\ax<2},8={2,发}且B=所以，<；<2，解得aKL

因此，ABC选项合乎题意.

故选：ABC.

2.【多选题】下列说法错误的是（）

A.在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{（x,y）|孙>0}

B.方程|x—2|+|y+2|=0的解集为｛-2,2｝

C.集合｛(x,y)ly=l—x｝与｛x|y=l-x｝是相等的

D.若4=｛%€7一1效k1｝,则一LlwA

【答案】BCD

【分析】

根据集合的定义依次判断选项即可得到答案.

【详解】

fx>0fx<0

对选项A,因为取>0o〈八或〈,

y>0[y<0

所以集合｛(x,y)|外>0｝表示直角坐标平面内第一、三象限的点的集合，故A正确；

对选项B,方程卜一2|+卜+2]=0的解集为｛(2,-2)｝,故B错误；

对选项C,集合｛(x,y)|y=l-x｝表示直线y=l-x上的点，

集合｛x|>=1-*｝表示函数y=1-*中x的取值范围，

故集合｛(x,y)|y=i—耳与｛%ly=l-x｝不相等，故c错误;

对选项D,A=｛xeZ|-l<%<1)=｛-1,0,1｝,所以一1.1史A,

故D错误.

故选：BCD

3.【多选题】设集合M=｛a|a=d-y2,x,y?Z],则对任意的整数〃，形如4〃,4〃+1,4〃+2,4〃+3

的数中，是集合“中的元素的有()

A.4〃B.4/7+1C.4〃+2D.4/7+3

【答案】ABD

【分析】

将4〃,4鹿+1,4n+3分别表示成两个数的平方差，故都是集合M中的元素，再用反证法证明4〃+2?M.

【详解】

•.•4〃=(〃+I)2-(〃-I)2,：.4ntM.

•••4〃+1=(2〃+I)12-*B(2〃>，4〃+1?M

V4/?+3=(2〃+2)2-(2〃+I)2,4/1+3?M.

若4“+2?则存在x,yiZ使得V-/=4/?+2,

则4〃+2=(%+y)(x-y),x+y和x-y的奇偶性相同.

若x+y和x-y都是奇数，贝|」（工+丁）。一丁）为奇数，而4〃+2是偶数，不成立.：

若x+y和x-y都是偶数，则（x+y）（x—y）能被4整除，而4"+2不能被4整除，不成立，.•.4"+2?M.

故选ABD.

【点睛】

本题考查集合描述法的特点、代表元元素特征具有的性质P,考查平方差公式及反证法的灵活运用，对逻

辑思维能力要求较高.

4.已知集合A={a,b,2},B={2,tr,2a],且A=8,则a=.

【答案】（）或工

4

a=2a优=2。

【解析•集合A={a",2},3={2,入2a},且A=B,又根据集合元素的互异性，所以有{匕=6或a"?,

a手ba手b

1

a=—

a=0411

解得《成』:,故。=0或一.故答案为：。或一.

,144

b=—

2

5.设集合4={幻«<4},8={划*一。）*一1）<0},且A=则。的取值范围是

【答案】[0,16].

【分析】

由题意得4={1|0<工<16},讨论。<1、〃=1、a>l时的集合3,再山A38即可求。的取值范围.

【详解】

A-{x\yjx<4}={x|0<x<16}，

B-{x|(x—a)(x-1)<0}中,

当a<l时，8={x[a<x<I}；

当a=l时，8为空集；

当”>1时，B={x[l<x<。}：

，综上，要使A卫B则有：时，1>。20；。=1时，A卫8成立；。>1时，l<a<16-.

二。的取值范围是[0,16].

【点睛】

本题考查了由集合的包含关系求参数范围，应用了不等式的解法、分类讨论的思想.

6.己知集合4=卜卜2«xW5},B=+m一1},若B=则实数m的取值范围为.

【答案】（—8,3]

【分析】由5=分8=0和两种情况分别讨论，进而建立不等关系，可求出答案.

【详解】

当机+1>2加一1,即加<2时，此时3=0,满足BqA；

机+12-2

当团+142加一1,即〃时，此时B/0,由可得I,解得2WmW3.

综上，实数”的取值范围为（—8,3].

故答案为：（-℃,3]

【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数的范围，其中的易漏点在于漏掉考虑子集为空集的情况，易

错点在于弄错不等关系，结合数轴依次分类讨论即可避免此类问题.

7.已知集合"={1,2,3,4,5,6,7,8,9/0},则集合M子集的个数是；集合M所有子集的元素的和是

【答案】2）55x29

【分析】

由10个元素组成的集合M的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合,其中包括空集.欲求集合M的

所有子集的元素和的和，先计算出包含元素1的集合:剩下的9个元素组成的集合含有29个子集，包括空集，同

理,在集合M的所有非空子集中，元素2、3、4、510都出现了29次,从而得出集合M的所有非空子集

元素和的和.

【详解】

由10个元素组成的集合例={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},的子集有：

0,{1},{2},{3}...{4}...{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10),共*个.

先计算出包含元素1的集合:剩下的9个元素组成的集合含有29个子集，包括空集

而以上29个子集和元素1组合(含空集),又构成了集合例的所有非空子集中含元素1的非空子，即:在集合M

的所有非空子集中，元素1出现了29次

同理,在集合M的所有非空子集中，元素2、3、4、5....10都出现了29次

故集合M的所有非空子集元素和的和为：

(1+2+3+4+...+10)x29=55x2，

故答案为2^,55x29

【点睛】本题考查集合的子集个数问题，子集与真子集、数列求和等基础知识，考查运算求解能力与转化思想.

对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有T个.

8.已知集合A={a|a=%2-y2,xeZ,yeZ}.给出如下四个结论：

①2/A,且3eA；

②如果8={>|。=2/〃-l,加eN*},那么8=A；

③如果C={c|c=2〃+2,〃eN*},那么对于VcwC,则有ciA；

④如果qeA,a2eA,那么

其中，正确结论的序号是.

【答案】①②④.

【分析】

①：举例子可证3GA,山a=(x+y)(x—y)的性质可知，其结果为奇数或能被4整除的偶数，即可判断

2史A；②由2〃?一1=〃，一(〃?一1)~eN*可得A；③当〃=2时，c=6由①可得6e4；⑷设

%-y；,%=x2~£，苞,孙必，必6Z,则由a。+>跖)2-(%为+%2>1)2eA.

【详解】

①：a=(x+y)(x-y),由的奇偶一致，若同为奇数，“此时为奇数；

若同为偶数，a此时为偶数，且能被4整除，因此2eA.当x=2,y=l时，x2-/3,

所以3eA.综上所述，①正确.

②：因为2m一l=〃/-（w—1『/“GN*,所以2加一IwA,即B=则②正确.

③：假设③iE确，则对于〃eN*,2〃+2=（x+y）（x—y）成立，当〃=2时，2〃+2=6,

由①知，。为奇数或能被4整除的数，因此6史A,故③错误；

④：设q=无；一犬,々=x；-y；,玉eZ,则—-

=（芯々）2+（M%）2一（七%）2一（々yf=（占尤2+y必）2一（内％+工2yfA,

即q/eA,所以④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断，考查了运算求解能力和化归思想

题组C培优拔尖练

2

1.设x,yeR,集合A={3,/+盯+”，B=|l,%+xy+x-31,且A=8，求实数x，y的值.

x=3x=-l

【答案】c或《

b=-2y=-6

【分析】

x+xy+y=1

根据两个集合相等，则其元素全部相同，可得〈2c-从而得出答案.

x+孙+%-3=3

【详解】

/+盯+y=1x=%=-1

由A=B得：解得《或

尤2+xy+x-3=3y=3=-6

2.设集合4=｛幻炉一8X+15=0｝，B=｛x|ax-l=O）.

（1）若a=1,试判定集合A与8的关系；

5

（2）若求实数a的取值集合.

【答案】（1）8是A的真子集；（2）

【解析】(1)由题意可得A={3,5},B={5},B是A的真子集

(2)当8=0时，满足8=此时。=0；

当时，集合5=又B=得，=3或5,解得a=1或』.

[aJa35

综上，实数a的取值集合为{o，g，g}.

【名师点睛】本题主要考查集合间的包含关系，此类问题属于基础题，注意讨论含参数的集合之间的包含

关系时要优先考虑空集(或全集)的情形.解答本题时，(1)算出A、B后可判断B是A的真子集；(2)

就8=0、分类讨论即可.

3.已知集合4={划-2VxK5}.

(1)若B=B={x\m+\<x<2m-\],求实数机的取值范围；

(2)若A=B,B={x\m-6<x<2m-\],求实数，"的取值范围.

【答案】⑴{/H|m<3}；(2){m|3</n<4}

【分析】

m+1<2m-1

(1)当B=0时，m4-l>2m-l,当时，即可求解；

2m—1<5

2m-1>m-6

(2)若ARB,则卜九一64一2,即可求解.

2m-1>5

【详解】

(1)因为A={x|-2〈％K5},B={x\m+\<x<2m-\],

若31A,当3=0时，m+l>2m-l,解得m<2,满足

m+l<2m-1

当时，〈机+1之一2,解得24m43,

2m-1<5

综上所述：实数m的取值范围是{加I加W3}.

2m-1>/n-6\m>-5

⑵若46,贝川加一6<—2,解得卜