2021-2023年高考数学真题分类汇编：解三角形

专题10解三角形

知识点目录

知识点1:正余弦定理综合应用

知识点2：实际应用

知识点3：角平分线'中线、高问题

知识点4:解三角形范围与最值问题

知识点5:外接圆问题

知识点6：周长与面积问题

知识点7：解三角形中的几何应用

近三年高考真题

知识点1：正余弦定理综合应用

1.(2023•北京)在AABC中，(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sin3),贝Ij/C=()

A.—B.—C.—D.—

6336

2.(2023•乙卷(理))在AA3c中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acosB—bcosA=c,且0=生,

贝”=()

A.—B.-C.—D.—

105105

3.(2021•甲卷(文))在AABC中，己知3=120。，AC=M,AB=2,则8c=(

A.1B.72C.V5D.3

4.(2023•上海)已知A/WC中，角A,B,C所对的边tz=4,b=5，c=6，贝(1sinA=

5.(2023•天津)在A48C中，角A,B,C的对边分别为a,h,c.已知。=回，b=2,ZA=120°.

(I)求sinB的值；

(ID求c的值；

(III)求sin(B-C)的值.

6.(2022•天津)在AA8C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a="，b=2c,cosA=--.

4

(1)求c的值；

(2)求sinB的值；

(3)求sin(2A-B)的值.

7.(2022•乙卷)记A4BC的内角A,B,C的对边分别为a，h,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

(1)若A=2B,求C；

(2)证明：2/=从+。2.

8.(2021•天津)在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a，匕，c,且sinA:sin8:sinC=2:1:,b=正.

(1)求a的值；

(2)求cosC的值；

(3)求sin(2C-^)的值•

9.(2021•上海)已知A、B、C为AABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a=2,cosC=--.

4

(1)若sinA=2sin3,求b、c；

(2)若cos(A-2)=2,求c.

45

知识点2:实际应用

10.（2021•甲卷（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位:

m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A,B,C三

点，且A,B,C在同一水平面上的投影A,B',C'满足NA'C&=45。，440（7=60。.由C点测得3点

的仰角为15。，88'与CU的差为100；由8点测得A点的仰角为45。，则A,C两点到水平面AB77的高

度差AV-CU约为（)(方=1.732)

373C.446D.473

11.（2021•乙卷（理））魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛

的高.如图，点£,H,G在水平线AC上,上和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称

为“表高”，EG称为“表距”，GC和E”都称为“表目距”，GC与E”的差称为“表目距的差”，则海

岛的高A3=()

表高x表距

表目距的差一

表高X表距表高x表距主所

c表目距的差+表距D.表目距的差一表距

12.（2023•上海）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水

平面所成夹角为。.行人每沿着斜坡向上走1,“消耗的体力为（1.025-cos。），欲使行人走上斜坡所消耗的总

体力最小，则6=.

13.（2021•浙江）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中

间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形直角边的长分别为3,4,记大正方形的

面积为S1,小正方形的面积为&，则s?=

知识点3:角平分线、中线、高问题

14.（2023•甲卷（理））在AA8C中，ZBAC=60°.AB=2,BC=-^>,D为BC上一点、,AD为NB4c的

平分线，则AD=.

15.（2021•浙江）在AA8C中，ZB=60°,AB=2,例是3c的中点，AM=20,贝ijAC=

2x/13.

16.（2023•新高考H）记AA3c的内角A，B,C的对边分别为a,b,c,已知AA8C面积为6，D为

3C的中点，且AD=1.

（1）若ZADC=—»求tanB;

3

（2）若从+。2=8,求b,c.

17.(2023•新高考I)已知在AABC中，A+B=3C,2sin(4-C)=sin8.

(1)求sinA;

(2)设AB=5,求AB边上的高.

18.(2021•北京)在AABC中，c=2bcosB,ZC=一.

3

（I）求Nfi；

（1【）在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使A4BC存在且唯一确定，并求8C边

上的中线的长.

条件①c=42b；

条件②AAB。的周长为4+2G；

条件③AABC的面积为述.

4

注：如果选择的条件不符合要求，第（H）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

知识点4：解三角形范围与最值问题

AC

19.（2022•甲卷（理））已知AABC中，点D在边3c上，ZADB=120°.AD=2,CD=2BD.当空取得

AB

最小值时，BD=.

20.（2022•上海）如图，在同一平面上，AD=BC=6,AB=20,。为他中点，曲线8上任一点到O距

离相等，角NZMB=NABC=120。，P,Q关于对称，MOVAB-.

（1）若点P与点C重合，求NPO3的大小；

（2）P在何位置，求五边形MQA2P面积S的最大值.

21.（2022•新高考I）记A48C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知8sA=sin28

1+sinA1+cos28

(1)若C=2~,求8；

3

(2)求七夕的最小值・

c~

知识点5:外接圆问题

22.(2022•上海)已知在A4BC中，ZA=-,43=2,AC=3,则AABC的外接圆半径为

3

知识点6：周长与面积问题

23.(2021•乙卷(文))记AA3C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为G，3=60。，a2+c2=3ac,

贝ljb=.

24.(2022•浙江)在人钻。中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4〃二辰，cosC=-.

5

(1)求sinA的值；

(II)若力=11,求AA8c的面积.

25.(2022•新高考H)记A4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三

个正三角形的面积依次为R,邑，S3.已知£-$2+53=等，sinB=1.

(1)求AABC1的面积；

(2)若sinAsinC=——，求

3

26.(2022*乙卷(理))记AABC的内角A,5,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

(1)证明：2/=6+C2；

(2)若〃=5,cosA=—，求AABC的周长.

31

27.（2021•新高考II）在AA8C中，角A,B,C所对的边长为a,b,c,b=a+\,c=a+2.

（1）若2sinC=3sinA,求AABC的面积；

（2）是否存在正整数a,使得A48c为钝角三角形？若存在，求出“的值；若不存在，说明理由.

28.(2021•上海)在AABC中，已知a=3,b=2c.

(1)若4=手，求

(2)若2sin3-sinC=l,求@时・

29.(2022•北京)在AABC中,sin2C=A/3sinC.

(I)求NC；

(II)若b=6,且AABC的面积为6#,求AABC的周长.

30.（2023•乙卷（文））在A43c中，已知NBAC=120。，AB=2,AC=\.

（1）求sinZABC;

（2）若。为3c上一点.且N3A£>=90。，求的面积.

j222

31.(2023•甲卷(理))记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知“+，'一巴=2.

cosA

(1)求儿；

(2)若acosjcosJ=i,求AA8C面积.

acosB+bcosAc

知识点7：解三角形中的几何应用

32.(2021•新高考I)记AA8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.己知。?=ac,点。在边AC上,

BDsinZABC=asinC.

(1)证明：BD=b\

(2)若AD=2Z)C,求cosNABC.

专题10解三角形

知识点目录

知识点1:正余弦定理综合应用

知识点2:实际应用

知识点3：角平分线、中线'高问题

知识点4:解三角形范围与最值问题

知识点5:外接圆问题

知识点6：周长与面积问题

知识点7：解三角形中的几何应用

近三年高考真题

知识点1：正余弦定理综合应用

1.(2023•北京)在AABC中，(a+c)(sinA-sinC)=/?(sinA-sin3),则/C=()

2万54

D.

T~6

【答案】B

【解析】由正弦定理‘一="_=—J=2R（R为三角形外接圆半径）可得:

sinAsinBsinC

.4a

sinA=—,sinB=——,sinC=—

2R2R2R

所以(a+c)(sinA-sinQ="sinA-sinB)可化为(a+c)(a-c)=b(a-h),

即a2+h2-c1=ah,

...8sc=《ijab\

2ab2ab~2

又Cw（0,4）,:.C=—•

3

故选：B.

【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，属简单题.

2.（2023•乙卷（理））在AABC中，内角A,B,。的对边分别是〃，b,c,若acos6-灰2sA=c,且。=工,

5

则NB=()

A.—B.—C.—D.—

105105

【答案】C

【解析】由acosZ?—bcosA=c得sinAcosB—sin3cosA=sinC,

得sin(A-B)=sinC=sin(A+B),

即sinAcosB—sinBcosA=sinAcosB+sinBcosA,

BP2sinBcosA=0f得sin8cosA=0，

在AABC中，sinBwO,

/.cosA=0,B|M=—,

2

则8=i-A-C=万一四一二=组.

2510

故选：C.

【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理，两角和差的三角公式进行转化求解是解决本题的关

键，是中档题.

3.(2021•甲卷(文))在AA3C中，已知3=120。，AC=y/19,AB=2,则BC=()

A.IB.x/2C.V5D.3

【答案】D

【解析】设角A,B.C所对的边分别为a,b,c,

结合余弦定理，可得19=储+4-2xax2xcosl20°.

即a?+2a—15=0,解得a=3(a=—5舍去)，

所以8c=3.

故选：D.

【点评】本题考查了余弦定理，考查了方程思想，属基础题.

4.(2023♦上海)已知&WC中，角A,B,C所对的边a=4,b=5,c=6,则sinA=.

【答案】—.

4

【解析】a=4,b=5，c=6,

故答案为：互.

4

【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，考查了同角三角函数间的基本关系，属于基础题.

5.(2023•天津)在AA8C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知“=屈，b=2,ZA=120°.

(I)求sin3的值；

(II)求c的值；

(III)求sin(B-C)的值.

【解析】(I)a=回，b=2,ZA=120。,

则sin8=4=tX=巫；

«V3913

(II)〃=病，b=2,ZA=120°.

则/=//+c?—»c.cosA=4+f2+2c=39,化简整理可得，(c+7)(c—5)=0,解得c=5(负值舍去);

(111)cosB=Jl-s泞8,

13

c=5,a=回，ZA=120°>

s百

则sinC=*=：Z=£il

aV3926

故cosC=V1-sin2C=3刑

26

诉I、I，R厂、屈3屈57132739_7瓜

r)］以sin(D-C)=sinBcosC—sinCcosB-x-----------------x--------=y3.

1326261326

【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题.

6.(2022•天津)在AA5c中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=&,b=2c,cosA=--.

4

(1)求c的值；

(2)求sin8的值；

(3)求sin(2A-8)的值.

【解析】解(1)因为a=",6=2c,cosA=--,

4

,22222

由余弦定理可得cosA二"+｝一"4c+c-6_1

2bc4?~~4

解得：c=1；

(2)cos/4=-—,AG(0,^),所以sinA=J1一cos2A=5Z,

44

由6=2c,可得sin3=2sinC,

由正弦定理可得」一=一乙，即造=—工，

sinAsinCV15sine

丁

可得5访。=巫，

8

所以sinB=2sinC=2x；

84

(3)因为cos4=-1，sinA=^^-,

44

所以sin2A=2sinAcosA=2x(二)x」^=———,cos2A=2cos2A-l=2x—-1=--,

448168

sin8=^^,可得cos3=如，

44

而N.八八4・。人nOA-p而灰，7、而而

所以sin(2A-B)=sm2AcosB-cos2AsmB=-------x-------(——)x------=------,

84848

所以sin(24-8)的值为叵.

8

【点评】本题考查正余弦定理及两角差的正弦公式的应用，属于基础题.

7.(2022•乙卷)记AABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知sinCsin(A-B)=sin3sin(C-A).

(1)若A=23,求C；

(2)证明：2a2=6+/

【解析】(1)illsinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),

XA=2B,/.sinCsinB=sinBsin(C-A),

sinBwO,/.sinC=sin(C-A),即。=。一人(舍去)或C+C—A=〃，

A=2B

联立，2C-A=;r,解得。=L；

8

A+B+C=7T

证明：(2)由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),

得sinCsin/AcosB—sinCeos/AsinB=sinsinCeosA-sinBcosCsinA，

由正弦定理可得accosH—Zx:cosA=bccosA—abcosC,

।AH士说-r/日a2+C2-b2Z?2+c2-a2,c^+tr-c2

山余弦定理可得：ac----------------=2bc-------------------ab----------------,

lac2bclab

整理可得：2a2=b2^c\

【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题.

8.（2021•天津）在AABC中，内角A,B,。的对边分别为〃，b，c,且sinA:sinB:sinC=2:l:&,。=正.

（1）求。的值；

（2）求cosC的值；

（3）求sin（2C-为的值.

【解析】(1)AABC中，sinA:sinB:sinC=2:1:>/2,:.a:b:c=2tl：\[2,

b=V2,a=2h=2\/2,c=\/2Z?=2.

(2)A4BC中，由余弦定理可得cosC="一+U=8十十43.

2ab2x2V2xV24

(3)由(2)RJWsinC=>/l-cos2C=—,

4

3>/yi

/.sin2C=2sinCcosC=-----,cos2C=2cos2C-l=->

88

sin(2C--)=sin2Ccos--cos2Csin—=.

66616

【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式的

应用，考查了运算求解能力，属于中档题.

9.（2021•上海）已知A、B、。为AABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a=2,cosC---.

4

(1)若sinA=2sin3,求〃、c；

(2)若cos(A—工)=3,求c.

45

【解析】(1)因为sinA=2sin6,可得a=2Z?,

又a=2,可得。=1,

a2b2-c222+\2-C2

由于cosC二+可得c=V^.

2ab2x2x14

(2)因为cos(A-工)=^(cosA+sinA)=±,

425

r〃日AA4v5

可得cosA+sinA=------

5

又cos?A+sin2A=1,

可解得cosA=,sinA=,或sinA=,cosA=—

10101010

因为cosC=—L,可得sinC=姮，

tanC=-\/\5,可得C为钝角,

44

若sinA=^^,cosA=,可得tanA=7,可得tanB=-tan（A+C）=tanA+tanC=——Z_——<0♦

1010tanAtanC-17x（-V15）-1

可得B为钝角，这与。为钝角矛盾，舍去，

所以sinA=立，由正弦定理_2_=^,可得。=也0.

10sinAsinC2

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中

的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

知识点2:实际应用

10.（2021•甲卷（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位:

〃?），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A,B,C三

点，且A,B,C在同一水平面上的投影A,B',C满足N/VC®=45。，Z4,BV=60°.由。点测得3点

的仰角为15。，BB'与CC的差为100；由B点测得A点的仰角为45。，则A,C两点到水平面A'B'C的高

度差AV-CU约为（)(73=1.732)

A.346B.373C.446D.473

【答案】B

【解析】过C作于H，过5作于M,

则NBCH=15°,BH=1(X),ZABM=45°,CH=CB1,A^=BM=AM,BB=MA',ZCA'^=75°

tanNBCH=tan15°=tan(45°-30°)=⑶,Tan300=2_^；sin75°=sin(45°+30°)=—(-^+-)

1+tan45°tan30°222

则在RtABCH中，CH=———=100(2+6),r.C'8'=100(2+6)

tanZBCH

在△A'8(7中，由正弦定理知I,A:ff=————sinNA'CEn100(6+1)，AAM=100(^+1),

sinNC'A'9

AY-CC=AM+BH=100(后+l)+100»373,

故选：B.

M

|8

4日

B'

【点评】理解仰角的概念，各个三角形不共面，因此做好辅助线是关键.

11.(2021•乙卷(理))魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛

的高.如图，点E,H,G在水平线AC上，0E和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称

为“表高”，EG称为“表距”，GC和£77都称为“表目距”，GC与的差称为“表目距的差”，则海

岛的高AB=()

表高x表距表高X表距主立

A.+表高B.表目距的差一表

表目距的差

表高x表距表高x表距

仁表目距的差卡表距D.表目距的差一表距

【答案】A

【解析嚼嚼生=空，故里=吗,即—^―=—史—

BACAAHCAAE+EHAE+EG+GC

解得AE二""."7,AH=AE+EH,

CG-EH

35DEAHDE（AE+EH）DEAEDEEHDEEG表高x表距

故=---------------------------------1-------------------------+DE=+表高.

EHEHEHEHCG-EH表目距的差

另如图所示，连接RD并延长交4?于点

表目距的差GCEHACAHCH

表高x表距表距-罢工AB工AB-AB=BM

表目距的差表目距的差CHCHBHAB

表高AB

表高〉表距

AB=+M4=+表高.

表目距的差

故选：A.

B

【点评】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，

属于中档题.

12.(2023•上海)某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水

平面所成夹角为6.行人每沿着斜坡向上走1〃?消耗的体力为(1.025-cos。)，欲使行人走上斜坡所消耗的总

体力最小，则6=.

【答案】arccos^.

【解析】斜坡的长度为/="一，

sin。

上坡所消耗的总体力y=」一*(1.025-cos0)=山石",

sin。sin。

；LL为，—4sin-sin^-(4.1-4cos0)cos0_4-4.1cos9

''兀sitrO——sin20

4040

由y'=0，得4—4.1cos，=0，f#cos0-—，0=arccos—，

.4141

由r(x)>0时cos6<竺，即arccos”<6v生时，函数单调递增,

41412

4040

由/'(x)<0时cos6>—，BP0<<9<arccos一时，函数单调递减，

4141

BIJ0=arccos—,函数取得最小值，即此时所消耗的总体力最小.

41

【点评】本题主要考查生活的应用问题，求函数的导数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键，是中

档题.

13.（2021•浙江）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中

间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形直角边的长分别为3,4,记大正方形的

面积为加，小正方形的面积为邑，则鸟'=_________.

$2

【解析】,直角三角形直角边的长分别为3,4,

••・直角三角形斜边的长为万百=5,

即大正方形的边长为5,R.SL52=25,

则小正方形的面积S?=S-S阴影=25-4xgx3x4=l,

县=25.

Si

故答案为：25.

【点评】本题考查了三角形中的几何计算和勾股定理，考查运算能力，属于基础题.

知识点3：角平分线、中线、高问题

14.（2023•甲卷（理））在AA8C中，ZBAC=60°.AB=2,BC=屈,。为3c上一点，4）为N8AC的

平分线，则4）=.

【答案】2.

【解析】如图，在A4BC中，AB=2,NB4C=60o,8C="，

由正弦定理可得一^―AB

sinZBAC"sinZACB

9B

,八fABxsinZBAC?四,

sinZ.ACB=-------=—T=-=—,乂=60°,

BC62

/.ZAC8=45°,/.ZABC=180°-45°-60°=75°,

又AD为NBAC的平分线，且N1SAC=60。，

:.ZBAD=3(T,又ZABC=75。，:.ZADB=15°,

：.AD=AB=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，属中档题.

15.(2021•浙江)在AABC中，ZB=60°,AB=2,M是BC的中点，AM=20，则AC=

2V13.

【答案】2®2.

13

【解析】在中：AM2=BA1+BM2-2BA-BMcos60°,:.(2>/3)2=22+BM2-2x2-BM--.

2

:.BM2-2BM-8=0,解得：BM=4或一2(舍去).

,点M是8c中点，.・.MC=4,8c=8,在AA8C中：AC2=22+82-2x2x8cos60°=52,AC=2>/13：

(2回+(2何2一422x/39

在A4MC中:cosZMAC=

2x2^x271313

故答案为：2斤;名画.

13

【点评】本题考查余弦定理应用，考查数学运算能力，属于中档题.

16.(2023•新高考H)记AA3C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知AA8C面积为6，。为

8c的中点，且45=1.

(1)若ZAQC=工，求tan8;

3

(2)若匕2+02=8,求人,c.

【解析】

(1)根据已知条件，推得过A作AEJ.8C，垂足为E,依次求出AE,BE,即可求解;

(2)根据已知条件，求得AE>=g(A8+AC),两边同时平方，再结合三角形的面积公式，即可求解.

【详解】

(1))。为8C中点，S^BC=6，

过A作AEJ_3C,垂足为石，如图所示：

A

BDEC

MDE中，DE=-,AE=—,S=--—CD=—,解得CD=2,

22MCCDD222

:.BD=2,BE=~,

2

显

故tan8==—；

BE55

2

(2)AD=^AB+AC).

.21°.,

AD=—(c~+Zr+26ccosA),

4)=1,b2+c2=S,

则l=1(8+26ccos4),

4

/.bccosA=—2①，

S^BC=g尻'sin4=6,即人csinA=2百②,

由①②解得tanA=-\/3,

3

:.be=4，又〃2+c*=8,

,'.b=c=2.•

【点评】本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题.

17.(2023•新高考I)已知在AABC中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.

(1)求sinA；

(2)设AB=5,求AB边上的高.

【解析】(i)•A+3=3C,A+B+C=7T,

:.4C=7T,

c=7

2sin(A-Q=sinB,

2sin(A-C)=sin[/r-(A+C)]=sin(A+C),

/.2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC，

/.sinAcosC=3cosAsinC，

V2...V2.

/.——smA=3x——cosA，

22

/.sinA=3cosA,即cosA=-sinA,

3

又・sin2A+cos2A=1,/.sirrA+-sin2A=},

9

解得sin?A=—»

10

又一4£(0,乃)，.\sinA>0,

.43M

sinA=-------；

10

(2)由(1)可知sinA=3y,cosA=-sinA=,

10310

.A./人一-x厂人•「3710血厢加2石

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsmC=-------x——+------x——=------,

1021025

四二父=匹=工=5百，

、冗

sinCsinBsinAsin—

4

AC=572sinB=572x=2VlO,3c=50xsinA=5&x^^=3石,

510

设/W边上的高为〃，

则—AB-h=—xACxBCxsinC»

22

—h=—x2A/10x3A/5x,

222

解得〃=6,

即/IB边上的高为6.

【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.

18.(2021•北京)在A4BC中，c=2Z?cos3,ZC=—.

3

(I)求Zfi；

(II)在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使A4BC存在且唯一确定，并求3c边

上的中线的长.

条件①c=42b；

条件②AAB。的周长为4+2G；

条件③AABC的面积为述.

4

注：如果选择的条件不符合要求，第(II)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

［解析1(1)c=2bcosB，

由正弦定理可得sinC=2sin8cos8，即sinC=sin2B，

「2〃

C=—，

3

当C=2B时，8=工，即。+8=乃，不符合题意，舍去，

3

.\C+2B=7T

即8=巳.

6

(II)选①c=行，,

由正弦定理可得

也

-=—=4-=>/3,与己知条件c=J%矛盾，故AA8C不存在,

bsinB1

2

选②周长为4+2上，

|13：弦定理可得'=上-='=2投,「:二-二2R.

sinAsinBsinC1j.6

22T

：.a=R,b=R,c=£R,

a+b+c=(2+^3)/?=4+2-^3,

:.R=2,即a=2,b=2,c=2有，

/.AABC存在Fl唯一确定，

设3c的中点为。，

:.CD=l,

在A4CD中，运用余弦定理，AET=AC2+CD1-2AC-C£>-cosZC,

H[JAD2=4+l-2x2xlx(-l)=7,AD=币,

.•.8C边上的中线的长度近.

选③面积为S4AHe=苧，

A=B=

6

:.a=b，

2

SSBC=—^sinC=—ax—=,解得a=G，

2224

余弦定理可得

AD2=AC2+CD2-2xACxCDxcos—=3+-+V3x—=—,

3424

J21

AD=—.

2

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中

档题.

知识点4：解三角形范围与最值问题

AC

19.(2022•甲卷(理))已知AABC中，点£>在边8c上，ZA£)B=120°,4)=2,CD=2BD.当，■取得

AB

最小值时，BD=.

【答案】V3-1.

【解析】设8£>=x,CD=2x,

在三角形A8中，/>2=4X2+4-2-2X-2-COS60°,可得：b2^4x2-4x+4,

在三角形AB£)中，c2+4-2-x-2-cosl200,可得：。2=9+2%+4,

要使得如最小，即耳最小，

ABc2

222

b4X-4X+44(X+2X+4)-12X-12,x+1,x+\A12

c2x2+2%+4x2+2x+4X2+2x+4(x+1)2+3一，3

X十1T------------

X+1

qh1

11中x+1H----..2\/3,此时f..4—2>/3,

x+1c

当且仅当*+1)2=3时，即工二石一1或X=—G—1(舍去)，即X=6—1时取等号,

故答案为：V3—1.

【点评】本题主要考查余弦定理及均值不等式的应用，属于中档题.

20.(2022•上海)如图，在同一平面上，AD=BC=6,AB=20,O为43中点，曲线8上任一点到。距

离相等，角NZM5=NABC=120。，P,。关于0M对称，MOYAB；

(1)若点尸与点C重合，求NPO8的大小；

(2)P在何位置，求五边形MQABP面积S的最大值.

【解析】(1)点P与点C重合，由题意可得。3=10,BC=6,ZABC=120°.

22

山余弦定理可得。尸=OB+BC-2C)BBCCOSZ/1BC=36+100-2X6X10X(-1)=196，

OPBP

所以OP=14,在AOB尸中，由正弦定理得

sin