2023-2024学年天津市河北区高三年级上册期中数学质量检测模拟试题（含解析）

2023-2024学年天津市河北区高三上学期期中数学质量检测

模拟试题

本试卷分和两部分，共150分，考试用时120分钟.第I卷1至3页，第II卷4至8页.

第I卷（选择题共45分）

注意事项：

1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条

形码.

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.

3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.

参考公式：

如果事件A,3互斥，那么尸（/U8）=尸（Z）+P（8）

如果事件A,8相互独立，那么P（/8）=P（Z）P（8）

球的表面积公式S=4TR2

4

球的体积公式"=］万*

其中R表示球的半径

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集2,3},集合"={0,1,2},S={-1,0,1）,则R/）C8=

A.{-1}B.{0,1}

C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3）

2.设xeH,则“一一5刀<0''是''1'-"<1''的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.函数/（x）=|x|+J的图象大致是（）

4.某班的全体学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40）,[40,60）,

[60,80）,[80』00].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是（）

5.若。=唾3。.8,6=3°*,c=0.32J,则“，b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

6.已知圆锥的高为3,底面半径长为4,若一球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的半径长为

A.5B.75C.9D.3

7.设等差数列｛q｝的前〃项和为S“，若4=4,$=72,则（）

A.20B.23C.24D.28

《-4■=1的焦距为10,点P(2,1)在C

8.已知双曲线C：的渐近线上，则C的方程为

ab

AV入B/VDx2y2-1

D.----------------1

205520c舒豪I2080

9.已知函数/（、）=然由（5+夕）+刈。>09>0）的最大值是4,最小值是0,最小正周期是不直

线、=。是其图象的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式是（）

A.y=4sinI4x+B.y=2sin^2x+y1+2

C.y=2sin(4x+£)+2D.y=2sin^4x+yj+2

第II卷

注意事项：

1.答卷前将密封线内的项目填写清楚.

2.用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸上.

3.本卷共11小题，共105分.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上.

10.i是虚数单位，则复数、=______.

3+41

11.二项式卜+：］的展开式中，x的系数为.

12.在平面直角坐标系中，直线3x+4y+3=0被圆(x-2y+(y+l)2=4截得的弦长为.

13.甲乙两人射击，每人射击一次.已知甲命中的概率是0.8,乙命中的概率是0.7,两人每次射击是

否命中互不影响.设事件A为“两人至少命中一次“，事件8为“甲命中”，则条件概率尸(川⑷的值

为.

14.已知函数〃x)="_bg'(二4)》>］则满足/(x)<2的x的取值范围是.

15.设次=(一2,4),OB=(-a,2),OC=(b,0),其中a>0,b>0,O为坐标原点，若A,B,C三

点共线，则2a+6=______,工+1的最小值为______.

ah

三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

TT

16.已知函数/Cx)=sin(2x——)-cos2x,xeR.

6

⑴求函数/(x)的最小正周期；

⑵求函数/(x)的对称轴方程;

⑶求函数/(X)在［0创上的单调区间.

R+r

17.在锐角“5C中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且csin-----=asinC.

2

(1)求角A的大小；

⑵若b=I,sinS=Y^,求边c；

7

(3)在(2)的条件下，求cos(28+N)的值.

18.如图，在四棱锥P-/88中，PA1底面ABCD,AWAB,4B//DC,AD=DC=AP=2,4B=1,

点E为棱PC的中点.

(1)求证：BE〃平面P4D；

(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

(3)求点C到平面PBD的距离.

19.已知函数/。)=2/-2》2+1.

⑴求曲线》=/(x)在点(1,./•⑴)处的切线方程;

(2)求函数y=/(x)的单调区间和极值；

(3)若函数g(x)=/(x)-b在区间［-1,1］上有一个零点，求实数/)的取值范围.

20.设椭圆E：1+*=1(。>6>0)的左顶点为4左焦点为已知椭圆的离心率为过点力的

直线/与椭圆交于另一点8,且点C与点8关于x轴对称(C与B不重合).若直线CF与直线/垂直,

1no

垂足为。，且△切力的面积5=黑.

(1)求直线/的斜率：

(2)求椭圆£■的方程.

答案和解析

I.A

本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.

【详解】Q,X={-1,3},则©/加8={-1}

故选：A

易于理解集补集的概念、交集概念有误.

2.B

分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.

【详解】化简不等式，可知0<x<5推不出卜-1|<1；

由|x-l|<l能推出0<x<5,

故-5x<0”是“Ix-11"的必要不充分条件,

故选B.

本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件.

3.B

【分析】先判断x>0时函数“X)的单调性，即可判断选项C,D；再判断当x<0时函数/(x)即可

判断A,B,即可得答案.

【详解】当0<x<l时，/(x)=x+i,此时/.(x)在(0,1)上单调递减，

当x>l时，/(x)=x+^,此时/(x)在(1,内)上单调递增，

且x>0时，/(x)rai„=/(1)=2,

由此可知C,D选项中图象错误；

当x<0时，/(x)=-x+1,此时“X)在(-8,0)上单调递减，

故选项A中图象不合题意，

又〃T)=0,故B中图象符合题意，

故选：B

4.C

【分析】由频率分布直方图可得低于60分的人的频率，结合低于60分的人数即可求得答案.

【详解】由频率分布直方图可得低于60分的人的频率为20(0.005+0.010)=0.300,

由于低于60分的人数是15,则该班的学生人数是总=50,

0.300

故选：C

5.D

【分析】分别根据对数函数以及指数函数的单调性判断出”,瓦c三数的取值范围，即可得答案.

【详解】由题意得=6=3°8>3°=1,

0<c=0.321<0.3°=1，

故”<c<6,

故选：D

6.B

【分析】由已知中圆锥的底面半径和高，求出圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式，求出圆锥侧面

积，利用球的表面积与此圆锥侧面积相等，可得答案.

【详解】•••圆锥的底面半径，・=4,高h=3,

二圆锥的母线/=5,

，圆锥侧面积S=nrl=20n,

设球的半径为八则4兀户=20兀，，厂=逐

故选艮

本题考查了圆锥侧面积公式的应用，熟练掌握各种旋转体的几何特征，是解答的关键.

7.D

【分析】由其=72得到牝=8,代入公式求解即可.

【详解】因为｛可｝是等差数列，S>=9("『)=9a5=72

所以%=8,又％=4,所以公差为d=牝=4,

al0=a4+6J=28,

故选：D.

8.A

【详解】由题意得，双曲线的焦距为10,即/+/=/=25，

又双曲线的渐近线方程为y="nbx_ay=Q,点、P(2,l)在C的渐近线上，

所以“=26,联立方程组可得小=乎：季二弓,

所以双曲线的方程为占-仁=1.

205

考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质.

9.C

(A=2571

【分析】根据最值求得根据周期求得。=4,根据对称轴可求得夕=-7叱"，从而

可求解.

f/+,一4

【详解】因为最大值是4,最小值是。，所以_/+『，解得

因为最小正周期是WJT，所以2元臼=7T:，解得3=4,

2co2

因为直线工=。是其图象的一条对称轴，所以4xW+9=5+E,%eZ,

所以9=-学+E,%eZ,又因为夕>0,所以当A=19=F，

66

所以所求解析式可能为V=2sin(4x+力+2.

故选：C

【分析】根据复数的除法运算，即可求得答案.

……1-i(l-i)(3-4i)-l-7i17

【详解】由题意得丁77=/,八/,八=X=一宝•一宝

3+41(3+41)(3-41)252525

11.10

【分析】由二项式定理求解即可.

【详解】要(/+£)中含有x的项，则需要在5项中选取2个V与3个一相乘,故含有x的项为

C；(x2>dy=10x,故x的系数为10

X

故答案为10.

本题主要考查了二项式定理的应用与其中某项的系数问题，属于基础题型.

12.2行

【分析】根据圆的垂径定理，结合点到直线距离公式、勾股定理进行求解即可;

【详解】设圆（工-2）~+（y+l）~=4的圆心为A,它的坐标为（2,T）,该圆的半径为r=2,

圆心A到直线3x+4y+3=0的距离为：4[3,2：4'（-1）+3|=],

V32+42

所以弦长为：=24^=2拒，

故2月

40

13.—

47

【分析】根据对立事件的关系和独立性可求得P（/）、P（4B）,再根据条件概率的计算公式即可求

解.

【详解】尸（4）=1-P（7）=1-0.2X0.3=0.94,

P（^fi）=0.8x0.7+0.8x0.3=0.8,

尸(Z8)0.8=40

所以尸（剂/）=

P(A)-0S4-47'

故答案为.切

3

14.[-1,1]U[|,-HX））

【分析】根据分段函数的解析式，结合指数函数以及对数函数性质，分段解不等式，即可得答案.

【详解】当X41时，/（。）42即21—242/.1—工42,，>之—1,则

当x>l时，/（X）42即l-k>g2（x-l）42,解得xz],即xz],

故满足/（x）42的x的取值范围是[7,1]呜收），

3

故[-1,1]11弓,+8）

15.242+-

2

【分析】由题意求得益=（-。+2,-2）,刀=3+2,-4）,根据三点共线可得向量共线，利用向量共线

的条件可得2a+6的值，将工+!化为[d+：）（2a+6）,展开后利用基本不等式即可求得答案.

ab2ab

【详解】由次=（-2,4）,OB=（-a,2）,云=0,0）可得冠=（—a+2,—2）,%=（6+2,T）,

由于A,B,C三点共线，故方=（一。+2,—2）,刀=（6+2,-4）共线,

所以(-〃+2)x(-4)-(-2)(6+2)=0,即2Q+6=2,

.1111L,、1bla..1_Ih2ar\2

则mi一+,=彳(z一+7)(勿+b)=q(-4—+3)>-(z2/+3)=72-H,

ab2ab2ab2\ab2

当且仅当2=半，结合2。+6=2,即°=2-&,6=2近一2时取等号,

ab

故2；-^2+—

2

16.⑴兀；

(2)x=g-^(keZ)；

(3)单调增区间是单调递减区间是［居,方.

【分析】(1)(2)(3)利用差角的正弦公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即

得.

【详解】(1)依题意，/.(x)=^sinZx-；cos2x-cos2x=^sin2x-}os2x=曲in(2x-,，

所以函数/(x)的最小正周期为r=g=〃.

(2)由(1)知，/(X)=A/3sin(2x-y),由2x-g=eZ,得x=^—^,keZ,

所以函数〃x)的对称轴方程是x=(丘Z).

(3)由(1)知，/(x)=V3sin(2x-y),当XG［O,今时,2*-9-早争,

I7T.兀兀bnzn八//57r।兀」—兀/27r&刀,口57t7T

由一§工2工一§45,解得O«xW丘,由5421一§<亍,^^—<x<-,

所以函数“X)在［0,自上的单调增区间是［0,软单调递减区间是电，自.

17.⑴/J

⑵<=T

⑶cos(2B+4)=七

A\

【分析】(1)由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可求sin怖=；,根据角的范围即可求解A

的值；

(2)由已知利用正弦定理可得。的值，由余弦定理可得4c2-4C-3=0,解方程可求。的值；

(3)利用同角三角函数基本关系式可求cos8的值，利用二倍角公式可求sin28,cos28的值，利

用两角和的余弦公式即可求解cos(28+Z)的值.

【详解】(1)因为csin'；,〔=asinC,可得csin[^y^j=ccos：=asinC,

A

所以由正弦定理可得sinCcos—=sin/sinC,

2

又C为三角形内角，sinCVO,

所以cos—=sin/=2sin—cos—,

222

因为Ne(0,?t),cosy>0,

所以sin《=1,可得==2,

2226

所以Y

(2)因为4=b=l,sinB=叵,

7

ah―/口b・sin4

所以由正弦定理,可得

sinAsinB

7

7i

由余弦定理/=b2+c2-2bccosA,可得^=1+。2-2xlxcx],

31

整理可得4c2_4c-3=0,解得0=7或-7(舍去)，

22

3

所以c==;

2

(3)由(2)可知。=立>/),所以6为锐角，则cos6=Jl-sin?B=，

27

所以sin25=2sinScos5=^H-,cos25=2cos2B-1=占,

77

litcos(2i5+A)=cos2BcosA-sinIBsinA.

18.(1)证明见解析

3

⑶至

3

【分析】(1)以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行;

(2)求出平面PBO的一个法向量，再由向量法求解；

(3)求出向量元=(1,2,0),再由向量法求解.

【详解】(1)以点A为原点，AB,AD,4P分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.

可得"（0,0,0）,5（1,0,0）,C（2,2,0）,Z＞（0,2,0）,P（0,0,2）,

由E为棱PC的中点，得

向量砺=（0,1,1）,而=（1,0,0）,

故屁.方=0，

因为P/_L底面/BCD,48u底面/BCD,所以P4_L4B,

又因为力。工/民NDfl/尸=A,AD,/尸u平面尸4。，

所以平面尸4),即加为平面PZO的一个法向量，

又BEa面P4D，所以BE”平面P4D；

(2)向量丽=(-1,2,0),方=(1,0,-2),屁=(0,1,1).

-,、n-SD=0I-x+2y=0

设〃=x,y,z为平面P8D的法向量，则_,即

n-PB=0Ix-2z=0

令_y=l,则x=2,z=l,得3=(2,1,1)为平面尸8。的一个法向量，

/--z-z；\〃•BE2,\/3

所以"呜=丽=而访=7，

所以直线8E与平面尸8。所成角的正弦值为迫；

3

(3)向量反=(1,2,0),

则点C到平面PBD的距离d=隼F2=芈.

/7763

19.(1)2%一尸1=0

(2)单调递增为(-8,0),g+8),单调递减区间为(0,|),极大值1,极小值2

【分析】(1)先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求曲线的切线斜率，进而可求切线方程;

(2)结合导数与单调性及极值关系可求；

(3)结合(2)的单调性结合图象即可求解.

【详解】(1)/V)=6x2-4x,所以/'(1)=2,=

故曲线夕=/(x)在点(1,/。))处的切线方程y-l=2(x-l),即2x-y-l=0；

(2)由(1)可知，/,(^)=6X2-4X=2X(3X-2),

所以当2或x<0时，/V)>0,当0<］<：2时・，/V)<0,

所以函数的单调递增为(-纥,0),(*+8)，单调递减区间为(O，,)，

当x=0时函数取得极大值/(0)=1,当x=§2时，函数取得极小值/匕卜1引9

(3)令函数g(x)=/(x)-b=O,即〃x)=6,

所以函数g(x)=/(x)-b在区间［-1,1］上有一个零点，

等价于图象/(x)与直线了=6在区间［7,1］上有一个交点.

由(2)可知，函数y=/(x)在卜1,0),(|」上递增，在［0,1)上递减，

且/(-1)=-3J⑴=1,

画出图象N=如下图所示，

io

由图可知，当-346〈号时，图象/（力与直线y=6在区间卜1』上有一个交点.

故实数6的取值范围为-3,冬）.

3

20.⑴攵=±—；

4

哈

【分析】（1）由离心率得a=2c,b=&,设直线/的方程为y=k（x+2c）,求出B点