2023届高考数学一轮复习收官卷一含解析（福建专用）

2023届高考数学一轮复习收官卷（一）（福建版）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.）

1.（2022•福建•厦门一中模拟预测）已知集合4=｛（乂丫）卜，yeN*,y..x｝,8=｛（x,y）|x+y=8｝,

则AcB的元素个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【详解】,集合A=｛（x,y）|x,yeN*,y..x｝,B=｛（x,y）|x+y=8｝,

4C8=｛（x,y）I，；；：8%旷eN==｛（1,7）,（2,6）,（3,5）,（4,4）｝,

AAr\B的元素个数为4.

故选：C.

2.（2022•福建•上杭一中模拟预测）已知复数z=l-i,则性叫=（）

A.2B.3C.2+D.3亚

【答案】D

【详解】因为z=l—i,所以］=l+i，则2z—i』=2（l-i）—i（l+i）=3—3i,所以|2z-i』=3&.

故选：I）.

3.（2022•福建省龙岩第一中学高一阶段练习）“2/一5》-3<0”的一个必要不充分条

件是（）

A.—<x<3B.­1<x<6C.-3<x<—D.—<x<0

222

【答案】B

【详解】2X2-5X-3<0=(X—3)(2X+1)<0=——<x<3,

2

因为｛刈-/<》<3｝。｛》［-1<》<6｝,

所以-1cx<6是2/_5犬-3<0的必要不充分条件.

故选：B.

4.（2022•福建省厦门第六中学高三阶段练习）已知tana=3,则

2sin?a+sinacosa-3cos2a的值为(

17

10

【答案】A

【详解】Zsir^a+sinacosa—3cos2a

2sin2a+sinacosa-3cos2a

sin~a+cos'a

_2tan2a+tancr-3

tan2a+1

o

代入tana=3可算得原式的值为会

故选：A

5.（2022•福建•厦门双十中学高一阶段练习）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，

它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面

三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）

由题意PO2=4"，^b2--=-ab,化简得4（2）2—2坦一1=0,

242aa

解得2=士5（负值舍去）.

a4

故选：C.

6.（2022•福建省福州格致中学高三阶段练习）已知函数

2

/"（》）=公皿5+夕）+8$（0*+9）（4>0,0>0,两<$的最小正周期为兀，其最小值为-2,

且满足/（切=-/07）,则9=（）

A.±-B.±-C.-D.—

3636

【答案】C

【详解】

f（x）=asin（Gx+e）+cos（Gx+e）=:—sin（Gx+o）+「|一cos（&x+e）

_\Ja2+\\ja2+\_

=J〃2+1xsin（4x+8+r）,

-a1

其中cosr=—7=^=,smt=/

只中V77TV77T,

2元____

依题意G>0,T=—=冗,0=2；a>0,4?+l=2,〃=6.

co

所以cosf=X&sinf=’,不妨设f=g.

226

所以〃x）=2sin（2x+e+J

由小）f（知,令可，得尼卜-佃图=。，

(p+^=^-+kn.,k&7,,由于附<£,所以。=£

6223

故选：c

7.(2022•福建省永春第一中学高二期中)将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，

③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，力表示事件“医生甲派往①村庄”；

6表示事件“医生乙派往①村庄”；。表示事件“医生乙派往②村庄”，则()

A.事件/与8相互独立B.事件/与。相互独立

C.2(BIA)*D.P(C|4)q

【答案】D

【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄义诊的试验有C：A；=36个基

本事件，它们等可能，

1211

事件/含有的基本事件数为A；+C；A；=12,则25)=^=,,同理P(B)=P(C)=>

3

21

事件4?含有的基本事件数为A；=2,则p(AB)=*=事件4C含有的基本事件数为

C：+C；C；=5,则P(4C)=2,

36

对于A,P(A)P(B)^^P(AB),即事件/与8相互不独立，A不正确；

对于B,P(A)P(C)='wP(AC),即事件4与。相互不独立，B不正确；

9

对于c,P(8|A)=€誓=!，c不正确；

P(A)6

对于D,P(C|A)=萼/D正确.

故选：D

8.(2022•福建省福州第一中学高二期末)已知en2.71828是自然对数的底数，设a=ln0.99,

0.99

则(

40799

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

10.99^1_____1

【详解］?6~99~40e~99~4000e,

99

因为”992-4000e9801—4000e

<0,

―99-99-

b-c=---------------1------->()

所以4000e99，即

99

设f(x)=ln(x+l)--则/'(x)=7TT,

x+1(x+1)

当xe(-l,0)时，<0,当xe(O,+<x>)时，>0,

所以/(x)2〃0)=0,所以In(x+l)W*,当x=0时等号成立，

所以In0.99=In(1-0.01所以a>c.

'71-0.0199

故选：D.

二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求,全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.)

9.(2022•福建三明•模拟预测)某人记录了某市2022年1月20日至29日的最低温度,

分别为-5,-6,-9,一5,—39—2,-3,-3,-4,—8(单位：℃),则关于该市这10

4

天的日最低气温的说法中正确的是()

A.众数为-3B.中位数为-5

C.平均最低气温为一4.8℃D.极差为6

【答案】AC

【详解】解：依题意将数据从小到大排列为-9、-8、-6、-5、-5、-4,-3、-3、-3、

—2,

所以可得极差为-2-(-9)=7,故D错误；众数为-3,故A正确；

中位数为一“(一4)=_4.5,故B错误；

2

平均最低气温为

(-9)+(-8)+(-6)+(-5)+(-5)+(-4)+(-3)+(-3)+(-3)+(-2)=故C正确.

10-‘

故选：AC

10.(2022•福建省宁化第一中学高一阶段练习)已知G为一AfiC的重心，Zfl4C=60°,

UUU

ABAC=2＞则|AG|的可能取值为()

A.\B.1C.正D.-

332

【答案】CD

【详解】如图，G是,AfiC的重心，记A8=c,AC=6,A8=a,

2211

则AG=-AD=-x—(A8+AC)=—(A6+AC),

3323

|AG|2=$AB+AC)?V(AB2+2AB-AC+AC?)=+c2+4),

5LABAC=*ccos60°=^bc=2,即历=4,所以从+,222历=8,当且仅当6=c=2时等

号成立，

所以|AG『w"x(8+4)=g.即,G2芈.只有CD满足.

故选:CD.

5

11.(2022•福建漳州•高二期末)已知动点尸与定点尸(2,0)的距离和它到直线/：x=l的

距离的比是常数及，则下列结论正确的是()

A.动点？的轨迹方程为V->2=2

B.|PF|>2-^

C.直线y=x+i与动点一的轨迹有两个公共点

D.若M(5,l),则IPM1+1尸尸I的最小值为3亚

【答案】ABD

【详解】设点P(x,y),依题意，Jd)2+V=&,化简整理得：X2-/=2,点P的轨

Ix-H

迹是双曲线，

左焦点厂(-2,0),右焦点F(2,0),实半轴长“=&,

所以动点？的轨迹方程为V-y2=2,A正确；

厂是右焦点，由双曲线的性质知，则当点户是右支的顶点时，I尸FI取最小值，此时IPB|=2-&,

B正确；

3

231

2解得7.即直线y=x+i与动点尸的轨迹只有一个公共点(-匕-力，C

122

不正确；

对于D,因尸是右焦点，点"在双曲线右支的含焦点的一侧，要|PM|+|PF|最小，点〃必

在双曲线右支上，

由双曲线定义知，IPMI+1P尸|=|PM|+1PF'|-2加>|F'M|-2立

=J(-2-5)2+1-20=3夜，

当且仅当点尸是线段尸例与双曲线右支的交点时取“=”，即1尸加1+1尸尸I的最小值为3&，

D正确.

故选：ABD

12.(2022•福建福州•高二期末)如图，棱长为2的正方体ABCO-ABIG。中，E、尸分

别为棱42、44,的中点，C为面对角线为，上一个动点，则()

6

A.三棱锥4-EFG的体积为定值

B.线段而，上存在点G,使平面的/平面比匕

T4T1

c.当cG=rq时，直线皮与凿所成角的余弦值为］

D.三棱锥A-EFG的外接球半径的最大值为逆

2

【答案】ACD

【详解】对A,y^-EFG=匕f防=§*S凡防XAA=gxgxlxlx2=g,故A正确；

对B,如图，以D为坐标原点，扇,丘,0、所在方向分别为％y,z轴正方向建立空间直角坐

标系，则A(2,(),0),8(2,2,0),C(0,2,0),3((),0,0),A(2,0,2),

4(222),0(022),A(0,0,2),E(l,0,2),尸(2,0,1),

设平面BOG的法向量为1=(x,y,z),法=(2,2,0),0匕=(0,2,2)，

tn•DB=02x+2y=0

所以=>令产1,=

2y+2z=0

m-DCx=0

—~"、r-t->-»

EC=(-l,2,-2),CB|=(2,0,2),设CG=尤CB|=(2/l,0,22)(04；l41)，

所以应7=应7+左=(2/1-1,2,2/1-2)，若平面明〃/平面劭G,则

7

Tf5

m-EG=2/1—1-2+2/1—2=0=>2=—,故B错误；

4

对C,设跖与SG所成角为。,此时启尺=（-2,0,2），

—>—>

1

所以cos。=1cos<EG,BC,>1=1.|=2_

§.故c正确;

\EGWBQ|云x20

对D,因为AS，平面AEF,且AE=AF,所以根据球的性质容易判断，三棱锥A-EFG

的外接球球心在过线段蹄的中点且垂直于平面4OPA的直线上，记球心为。由

c（o,2,o）,CG=（22,0,22）（04441）易得G（2A,2,22）（0<2<1）,则外接球半径

r=|OA|=|OG|='产+g=J2（2/一/）+（?-2）2=^>r=2A2-32+2,

而/=2储-3几+2=21-；,+,，则当4=0时，f11m=2,即7ax=,22+；=,血.故D正

确.

故选:ACD.

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3

分.）

13.（2022•福建省漳州第一中学高三阶段练习）若/Xx）是"上的偶函数，且在（0,1）

上单调递减，则函数f（x）的解析式可以为f（x）=.（写出符合条件的一个即

可）

【答案】-X?（答案不唯一）

［详解］若/（力=一/，则/（_x）=_（_x）2=_x2=/（x）,

故/"（X）为偶函数,且易知f（外在（0,+8）上单调递减，

故/"（X）在（0,上单调递减，符合条件.

故答案为：-

14.（2022•福建龙岩•高一期中）甲、乙两艘渔船从点1处同时出海去捕鱼，乙渔船往正

东方向航行，速度为15公里每小时，甲渔船往北偏东30°方向航行，速度为20公里每小

时，两小时后，甲渔船出现故障停在了8处，乙渔船接到消息后，立刻从所在地C处开往8

处进行救援，则乙渔船到达甲渔船所在位置至少需要小时.（参考数据：取旧=3.6）

【答案】2.4

【详解】由题可知4?=40,^=30,NBAC=60°

8

B

AC

由余弦定理，得8。2=AB2+AC2-2A8,AC-COS60O=1300,得3。=10小，

乙渔船到达甲渔船所在位置需要的时间为U巫=2叵=2.4小时.

153

故答案为：2.4

15.(2022•福建省福州第一中学高三阶段练习)已知随机变量才服从正态分布X〜N(8,4),

1Q

P(x>\O)=m,尸(64x48)=",则一+一的最小值为____________.

2mn

【答案】25

【详解】解：随机变量X服从正态分布X~N(8,/)，，P(X28)=g,

由P(6VXK8)=〃，得P(8WXW1O)=〃，

又P(X>10)=rn,

：.tn+n=-,且6>0,M>0,

,|1818、--、.rn16"Z、.r-n16"?.r仆cl

贝m。1—=(z----1—)(2/n+2n)=17H-----1------->17+2.1----------=17+8=25.

Imn2mnmnVmn

当且仅当八则，即,〃是时等号成立.

mn105

1o

——•■—的最小值为25.

2mn

故答案为:25.

16.(2022•福建泉州•高三开学考试)已知：若函数〃x),g(x)在R上可导，〃x)=g(x),

则/&)=g(x).又英国数学家泰勒发现了一个恒等式e2，=%+qx+4/++”/"+，

209

【答案】1

【详解】解：因为©2、=/+平+412++《卢"+,令x=0,即e°=%,所以%=1；

2v2vnln

(e)=2e=a1+2a2x4-+nanx~4-(??+\)an^x+

9

2x2

又2e=2ao+2qx+2a2x++2anx"+

四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出文

字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（2022•福建省厦门集美中学高三阶段练习）如图所示，在平面四边形A8CD中，

AB=2,BD=j3,ZABD=XACD=-,设ZCAD=0,0e(0,—).

63

⑴若嗫‘求8的长；

（2）当，为何值时，△BC。的面积取得最大值，并求出该最大值.

【答案】(l)CZ)=V2

(2)e=m，面积最大值为立

64

(1)

在中，由余弦定理得，

AD2=AB2+BD2-2ABBDcosZ.ABD=4-^3-2x2y/3x—=\,

2

所以AO=1,

CDAD

在△4CD,由正弦定理得,

sinZCAD-sinZACD

lxsin—

所以C£>=-----生=6.

.7t

sin—

6

(2)

10

由第（1）问知，在△姒）中，AB=2,BD=®AD=1,

-7T

所以他2=8。2+4£>2,所以NAD8=5,

CDAD

在△AC。，由正弦定理得,

sinZ.CADsinZACD

MIxsin。.q

小一2DC=------=2sin8、

所以兀

sin—

6

因为NBOC=;r-6»-工一代=工-6»,

623

所以加,=»。皿小"火=国皿7呜-。）

3AA6.2a361-cos26?

=—sin"cos夕----sin，=—sin2"----x--------

22422

3-g,Gy百道,sa工兀、右

=—sin29+——cos2,----=——sin（2，+—）----,

444264

因为&e（o,q）,所以2e+ge（m，y）,所以当2e+f=g,即e=m时，

3666626

sin（26+B）=1,此时△38的面积取得最大值为更.

18.（2022•福建省宁德第一中学高二阶段练习）在等比数列｛q｝中，%>0（〃eN+）,公

比夕€（0,1）,且/为+2的6+。3a9=10°，又4是%与4的等比中项.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）设2=log2a„,求数列｛间｝的前21项和4.

【答案】⑴a,,=2~,〃eN+

（2）126

（1）

解：因为6出+2aM+。3a9=10°，可得蜡+2%%+。；=1。。，即（4+4『=1。。，

又因为q>0,所以4+4=1°，

因为4是2与4的等比中项，所以。4a6=16,

即氏与&是方程f-10x+16=0的两个根，且4«0,1）,

所以%=8,&=2,即，,2=：,解得q=64应=（,

aq=22

所以数列｛%｝的通项公式为a“=64.（g）"T=2".

(2)

11

解：由。-j,可得以=1脸4=7-〃，则同=|7-小

则数列也｝的前〃项和为北=%〃），

当14〃47,〃eN+时，b„>0,所以§,=笔辿；

当〃28,〃eN*时，〃,<0,

所以$21=（4+4++b7）—（bs+b9++b2l）

T,TT、疗T、,（）（）

=（一（4i-4）=2刀一q|=2Cx-7-X--1-3----7----2-1-X--1-3--2--1=1〜26.

19.（2022•福建泉州•模拟预测）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感

与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度旷℃关于时间x（min）的回

归方程模型，通过实验收集在25℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间

变化的数据，并对数据做初步处理得到如下所示散点图.

木温度°C

（1）根据散点图判断，①丫二”+法与②），=小/+25哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时

间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立该茶水温度y关于时间x的回归方程：

（3）已知该茶水温度降至60℃口感最佳，根据（2）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的

茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？

附：①对于一组数据（如匕）,（“2，匕），，（",,，5），其回归直线丫=&+应，的斜率和截距的最小

二乘估计分别为B=上，-----------4=

/=1

12

②参考数据：e-008®0.92,e409»60,In7»1.9,In3®1.1,In2®0.7.

【答案】(1)②y=〃c'+25

⑵y=e409-008x+25

(3)7.5分钟

【详解】(1)根据散点图判断，其变化趋势不是线性的，而是曲线的，因此，选②y=小/+25

更适宜此散点的回归方程.

(2)由y=d.<?*+25有:y-25=d・c”,两边取自然对数得:ln(y-25)=ln(d-c*)=lnd+x-lnc,

设(w=ln(y-25),a=\nd,b=\nc,

则ln(y-25)=lnd+x」nc化为：co=bx+a,又工=-----------------=3,

y%—可®-同224

Z(斗_亍)2=28,：.b==-0.08,

<=1

:.a-m-bx-3.85+0.08x3=4.09»...由6=-0.08=Inc得:c=e-008>

由a=4.09=lnd得：t/=e4<w

,回归方程为：y=d-cx+25=e409-e-°08t+25=e409-008x+25,

g|Jj=e409-008j+25.

(3)当y=60时，代入回归方程y=ev*+25得：60=e409-008x+25，化简得：35=e4%。*,

即4.09-0.08x=ln35,

又e-008»0.92,e">9®60,In7»1.9,In3~1.1,In2»0.7,

.•.4.09—0.08x=ln35约化为：ln60-0.08x=ln35,

I?

即0.08x=ln60-ln35=ln-y=In12-ln7=(21n2+ln3)-ln7«2x0.7+l.1-1.9=0.6

0.6

xb-----=7.5

0.08

，大约需要放置7.5分钟才能达到最佳饮用口感.

20.(2022•福建省福州第二中学高二阶段练习)如图多面体ABCDE尸中，四边形A8CO是

菱形，ZABC=60°,E4_L平面ABC。，EA//BF,AB=AE=28尸=2.

(1)证明：平面E4CL平面EFC；

(2)在棱EC上有一点M,使得平面MBD与平面8CF的夹角余弦值为理，求点“到平面

8CF的距离.

13

E

【答案】(1)证明见解析

⑵正

4

(1)

证明：取EC的中点G,连接5。交AC于N,连接GN,GF,

因为A8CD是菱形，所以且N是4c的中点，

所以GN//AE且GN=g4E,又AEHBF,AE=2BF=2,

所以GNHBF&GN=BF,所以四边形BNGF是平行四边形，

所以GF//BN,

又E4J_平面ABC。，BNu平面4BCD,所以E4_LfiV,

又因为ACJ_8N,ACrEA=A,

所以N8_L平面E4C,所以G尸1.平面E4C,又GFu平面MC,

所以平面EFC1•平面£4C；

(2)

,/GN//AE,E4J_平面ABC。，；.GNJ_平面ABC。，且CNLBN,

...以N为原点，NC,NB,NG为坐标轴建立空间直角坐标系，

设在棱EC上存在点M使得平面与平面BCF的夹角余弦值为四,

4

14

员一1,0,2),8(0,右，0),C(1,0,0),F(0,G，1),A(-l,o,o),D(0,一日

0)

则设C例=/iCE=/l(-2,0,2),,0,2/1),

所以DM=(1-2%,V3,22),DB=(0,25/3,0),BC=(l,-g,0),ffi=(0,0,-l)

设平面OBM的一个法向量为"=(x,丫，z),

n-DM=0f(1-22)x+>/3y+22z=0

则<，即｛l，令)'=0，x=-22,

n-DB=0[2V3y=0

得n=(-22,0,1-22),

设平面ESC的一个法向量为"2=3,b,c),

tn，BC=0a-\/3b=0r-

则,即,取人=1,得相=(6,1,0),

m・FB=。-c=0

.•"2=3=j上2网解得通,

I"小I"I2^(-2A)2+(l-2/l)2-4

此时CM=1/0,；

21.(2022•福建省龙岩第一中学高二阶段练习)已知圆M的方程为/+(?-2)2=4,设

8(0,4),©(0,1),过点。作直线4,交圆M于尸，。两点，点P,。不在y轴上.

(1)若过点。作与直线4垂直的直线4,交圆“于E，F两点，记四边形EPFQ的面积为S,

求S的最大值；

(2)若直线。尸，BQ相交于点N,试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；

若不是，说明理由.

【答案】(D最大值为7

15

（2）是在定直线，定直线为y=-2

（1）设直线4的方程为广辰+1,即京7+1=0,则圆心（0,2）到直线4的距离

①若k=0,则直线4斜率不存在，则|PQ|=26,\EF\=4,则S=J|EFHPQ|=4百,

②若则直线4得方程为了=-1丫+1,即x+b，-&=0,则圆心（0,2）到直线4的距离

K

当且仅当&2=表，即〃=±1时，取等号，

综上所述，因为7=历＞46，所以S的最大值为7；

（2）

设P