指数（六大题型）-2023年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（苏教版2019）（解析版）

专题10指数

【题型归纳目录】

题型一：由根式的意义求范围

题型二：利用根式的性质化简或求值

题型三：有限制条件的根式的化简

题型四：根式与指数幕的互化

题型五：利用分数指数幕的运算性质化简求值

题型六：整体代换法求分数指数幕

【知识点梳理】

知识点一、整数指数幕的概念及运算性质

1、整数指数募的概念

〃“=Q•〃.•WZ")

”个a

0。=1(4工0)

a"=—(awQ,neZ*)

2,运算法则

(3)—=a'"-"(m>n,"0)；

a"I)

(4)(ab)'"=a'"bm.

知识点二、根式的概念和运算法则

1、”次方根的定义：

若，'=乂〃€”,〃>1)右/?),则》称为丫的“次方根.

“为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为内；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为

方；露的奇次方根为零，记为而=0.

n为偶数时，正数y的偶次方根有两个,记为土方；负数没有偶次方根;零的偶次方根为零，记为V0=0.

2、两个等式

(1)当且时,

(2)"=卜(〃笑?

[laI(〃为偶数)

知识点诠释：

①要注意上述等式在形式上的联系与区别；

②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先

写成|“|的形式，这样能避免出现错误.

知识点三、分数指数易的概念和运算法则

为避免讨论，我们约定a>0,”，mwN*,且'为既约分数，分数指数基可如下定义：

n

a"=H[a

tn

加=而广="

二1

a"=—

a-

知识点四、有理数指数幕的运算

1、有理数指数塞的运算性质

(a>0,Z?>0,a,j3&Q)

(1)诡"=产2

(2)(4"),=正；

(3)(ab)a=aaba-,

当a>0,0为无理数时，，是一个确定的实数，上述有理数指数幕的运算性质仍适用.

知识点诠释：

(1)根式问题常利用指数哥的意义与运算性质，将根式转化为分数指数累运算；

(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如

2

(3)幕指数不能随便约分.如(_4)Q(T)2.

2、指数塞的一般运算步骤

有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数基化为正指数事的倒数.底数是负数，先确定符号，

底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用哥的形式表示，便于用指数

运算性质.在化简运算中，也要注意公式：a2-b2=(a-b)(a+b),(a±b)2=a2±2ab+b2,

(a±Z?)3=a3±3a2b+3ab2±b3,o'-b3=(a-b)^cr+ab+kr^,/+y=(a+h)(/一而+匕?)的运用，能够简

化运算.

【典例例题】

题型一：由根式的意义求范围

例1.（2023•高一单元测试）若疟工工=行二，则实数”的取值范围是（）

A.asRB.a=2C.a>2D.a<2

【答案】D

【解析】因也/2_4a+4=痴_2）2对,则有。2-〃20,即2-aNO，解得a42,

所以实数。的取值范围是a42.

故选：D

例2.（2023・全国•高一专题练习）若0-2x/有意义，则x的取值范围是（）

A.（-oo,+oo）B.（fgjU（；,+8）

7”）D.（-1）

【答案】D

【解析】因为（l-2x）4=诉二斤，贝打一2x>0,解得x<].

故选：D.

例3.（2023•高一课时练习）若04a'—4a+l则实数。的取值范围是（）

11

OC

aGRB>小

A.--2D.-2

【答案】D

【解析】ElH^/4«2-4a+l=V（2«-l）2=^\2a-\\=il\-2a,

可得2a-1”0,即a,；..•.实数〃的取值范围是4,g.

故选：D.

变式1.（2023.江苏.高一专题练习）若（x-2产有意义，则实数x的取值范围是（）

A.[2,+e）B.（-8,2]C.（2,+a?）D.（-<x>,2）

【答案】C

3J

【解析】由负分数指数暴的意义可知，（X-2）4=,（二斤,

所以x-2>0,即x>2,因此x的取值范围是（2,+功.

故选：C.

变式2.（2023•高一课时练习）若鲂工+（。-4）°有意义，则。的取值范围是（）

A.[2,+a>）B.[2,4）<J（4,+oo）

C.（Y）,2）（2,+<»）D.（^»,4）u（4,+co）

【答案】B

【解析】由题意可知，。-220且a-4w0,的取值范围是“22且”4.

故选:B.

题型二：利用根式的性质化简或求值

例4.（2023•高一课时练习）0（3-7t）"（"GN,〃22）=（）

A.3—兀B.n-3

C.|3-7t|D.当"为奇数时，3-兀；当〃为偶数时，7T-3

【答案】D

【解析】当"为奇数时，0（3-兀）"=3-兀;

当"为偶数时，^（3-7r）n=|3-7r|=7t-3.

故选：D

例5.（2023•高一课时练习）给出下列4个等式：①标行=土2;②疹加=疝»；③若“WR,则

（a2-«+l）°=l；④设“GN*,则仃“，其中正确的个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

【答案】B

【解析】①中而短=疥=办=2,所以①错误；

②错误；

③因为+恒成立，所以（/-a+1『有意义且恒等于1,所以③正确；

④若〃为奇数，则"=〃，若"为偶数，则海=同，

所以当〃为偶数时，。<0时不成立，所以④错误.

故选：B.

例6.（2023•高一课时练习）化简（l-a）j房7的结果是（）

A.</^TB.C.D.-</T^

【答案】B

【解析】由题意得，67-1>0,即

所以(l-“)

故选：B

变式3.（2023・高一课时练习）将根式犷化为分数指数幕是（）

D•/

A，a\5B.C._涓

【答案】A

【解析】根式拧化为分数指数幕是》

故选：A

变式4.（2023•吉林・高一吉林省实验校考期中）化简：J（兀_4『+,（兀_4）3=（）

A.0B.27t—8C.2兀一8或0D.8-271

【答案】A

【解析】因为兀<4,所以兀-4<0,

（其中。>0,6>0）的结果是

16

D

3b3b8仍％4-

【答案】C

23a-3=(型)4=16

【解析】？，选C.

3听3b81aV

题型三：有限制条件的根式的化简

例7.（2023•全国•高一专题练习）已知实数满足（a+户口）3+庐口）=1，则a+八（）

A.-1B.1C.±1D.0

【答案】D

【解析】设租=a+[a2+1，n=b+\Jb24-1,

—=——J---，=J/+[_“,-=——2=：=>Jb2+\-b,

ma+Va2+l«b+Jb、l

—=+2a,

22

/J-l=^+7/?+l)-pb+l-^=2/>.

11

m----n—

・•.Q=—”,b=—J

22

X,.mn—\।y/.n=­1，m=一1,

mn

m-n,n-m.m-nn-m

a=-------,b=-------,:.a+b=--------+-------=0.

2222

故选：D

例8.（2023•江苏・高一专题练习）把代数式士中的a-1移到根号内，那么这个代数式等于

)

A.—J]—aB.yja-\C.D.-yja-1

【答案】A

【解析】T-!—,BPl-6/>0,/.a—lvO,

=­y)\—a.

故选：A.

例9.（2023•高一课时练习）若与片0,则等式&7=-成立的条件是

A.x>0,y>0B.x>0,y<o

C.x<0,y>0D.x<0,y<0

【答案】c

x2y3>0

x<0

【解析】xy^o,：.X^O,"0.由•-xy>0,得

y>0

y>0

故选C.

=-^成立的条件是（）

变式6.（2023・高一单元测试）等式

x

A.------>3B.JCW3C.x>0D.x>3

x-3

【答案】D

【解析】等式、叵=*=成立的条件是尸?八，即%>3.

Vx-3[x-3>0

故选：D

变式7.（2023・高一课时练习）若。=$（3-兀）3；b=«2F）1则a+b的值为（）

A.1B.5C.-1D.21—5

【答案】A

【解-析】依题意，a=y（3-万<=3-TT,b=y（2-乃）4=|2—乃|="一2,

则a+b=（3—万）+（乃-2）=1,

所以a+b的值为1.

故选：A

变式8.（2023•青海西宁・高一统考期末）若。=而护，8二小寸，则a+6等于（）

A.-10B.10C.-2D.2

【答案】D

【解析］因为a='（-4）3=-4,b=J（-6）2=|-6|=6,

所以4+0=2.

故选：D

题型四：根式与指数塞的互化

例10.（2023,高一课时练习）化简：（/.曲+（&而）=.（用分数指数幕表示）.

【答案】/

【解析】因为

__3121111376

22

（a-AJV）=（a向.⑷,aioy-as^.a5=a55=a5.

故答案为：a5.

例11.（2023・上海金山•高一统考阶段练习）将小扬化为有理数指数幕的形式为

【答案】一

338

【解析】由题意可得：LaI-\^/LI-a--LaI^Cl-Cl-Cl

o

故答案为：a5.

例12.（2023・山东济南•高一校考期中）计算:（«>0）（写成分数指数幕的形式）

yfa-yja^

【答案】』

a2a22二°

【解析】不了:-TY=a6=/

-+-

出3

故答案为：“

3

变式9.（2023・湖南益阳・高一统考期末）计算：D

27

【答案】77

64

【解析】由题知稿）2=（闻=图'啜

故答案为:7当7

64

变式10.（2023・上海长宁•高一上海市延安中学校考期末）用有理数指数事的形式表示=

【答案】j

【解析】x*12-*4y/x=X2-X^=X^）

故答案为:J.

变式U.（2023•上海浦东新•高一统考期末）用有理数指数辕的形式表示.3（其中。＞0）

【答案】/

【解析】.4^3=/.a4==a4，

故答案为：,

题型五：利用分数指数骞的运算性质化简求值

例13.（2023.高-课时练习）27：+16上6『_（/1=.

【答案】3

【解析】27"64一（；「_图匚婕+（2卡-Q-户图，32+2“_22_目=9+「4子3.

故答案为：3.

1，

例14.（2023•安徽马鞍山•高一安徽工业大学附属中学校考期中）［（_2『?_（_20221+8-3=.

【答案】7

4

【解析】原式=（2?）J+2y=2-1+2-2=1+1=』.

44

故答案为：y.

4

例15.（2023,安徽安庆・高一统考期末）已知2、=3,则22'+22=.

【答案】yQO/9^1

【解析】由已知得22v+2小=（2,丫+（2'f=9+|=y.

QO

故答案为：y.

2II_21

变式12.（2023・上海静安•高一校考期中）化简宜丝丝竺（其中。＞0力＞0）=

眩

【答案】）/海

a6b6a6b6

2

故答案为：a3.

变式13.（2023•高一课时练习）计算次+（蚯x6）6的值为.

【答案】110

61LfL1V

【解析】蜉X荻+即=倒尸x2；+25X3^=2+22X33=110.

故答案为:110.

题型六：整体代换法求分数指数幕

例16.（多选题）（2023•陕西西安・高一统考阶段练习）已知〃+32=3,贝ija+a"等于（）

A.75B.＞C.1D.-1

【答案】AB

【解析】令4+〃T=£,.•/=（4+，）=/+二+2,

，产=3+2=5,.,.t=+5/5.

故选：AB

例17.（多选题）（2023•湖北•高一校联考阶段练习）已知a+k=3,则下列选项中正确的有（）

re,,II33

A.a~+a-=1B.a^a~=16C.”十”=后D・”+J=2也

【答案】ACD

【解析】—=3,/.a2+a2=（a+—）~—2=32—2=7,因此AlF确；

aa

+a3=（。+a1）（6/~+t/l）=3x（7—1）=18»因此B不正确；

（G+/）2=a+，+2=3+2=5,。＞0，解得4+户=«，因此C正确;

I221

a\[a+―尸=5+白-乂标2)-(a2+a?)=3小-亚=2亚,因此D正确.

ayla+a

故选：ACD.

例18.(多选题)(2023•河南濮阳•高一濮阳一高校考期中)已知〃+〃7=4(。＞0),则下列选项中正确的有

()

A.a2+a-2=l4B.a"+a3=56C.-+〃4=逐D.a-a'

【答案】AC

【解析】.4+1=4,

『+〃-2=(a+0-1)2-2=14；

a3+“-3=(a+“T)(a2-l+«-2),

=4x13=52;

故A正确，B错误；

+-(a-a-1)2=4,

.-.(a-a-1)2=12

ci-a=i2-\/3,

故C正确，D错误.

故选：AC.

变式14.(多选题)(2023•高一单元测试)已知实数〃满足〃+才|=4,下列选项中正确的是()

A.a'+a~2=14B.a-a"=

33

11〃2+〃2

C-”+户=卡D.-^-^-=4

a2+a2

【答案】AC

【解析】a+a~[=4,/.(a+ax)2=4-tz-2+2=16,a2+a1=14,故选项A正确；

,)2=(6f+6f-,)2-4=42-4=12,:.a-a^]=±243,故选项B错误；

/--V--

+a5=a+2+a-=4+2=6,/.a'+="，故选项C正确；

RR33

331Vf_1Vfl_1A2।~2

a22=\a2+a2=a2+a2一~-1=3,故选项D错误.

IJIJIJ/+小

故选：AC.

变式15.(多选题)(2023•高一课时练习)己知〃+/=3,则下列选项中正确的有()

A.cr-Fa2—7B.a3+ay=16

2J.33

C・+a=±5/5D・佯+a3=2也

【答案】AD

【解析】a+-=3,

a

a2+a~=(a+—)2—2=3i—2=7,因此Al上确；

a

o'+a~3=(a+a-])(a2+6f-2-1)=3x(7-1)=18,因此B不正确；

(J+a^)2=a+a-'+2=3+2=5>a>0>解得/+/=石，因此C不正确：

]1111

a4a+—=(a+a~')(a2+a2)-(a2+a=3垂i-亚=2后,因此D正确.

ay/a

故选：AD.

变式16.(2023•高一■课时练习)已知2"，+2一”=5,则4"+4一"的值为.

【答案】23

【解析】因为2"+27"=5，

所以(2"'+2-皿)2=25,

即4”+2+4"，=25,

所以4"'+4"'=23.

故答案为：23

【过关测试】

一、单选题

1.(2023•高一课时练习)下列各式计算正确的是()

・I_221I

A.(T)=1B.心.a1=aC,43=8D,a33=a3

【答案】A

【解析】对于A,(-1)0=1,A对；

对于B，消.八声J，B错：

2

对于C,4§=*=2次，C错；

212I

对于D，涓+/5=凉+5=&，D错.

故选：A

C_i_y_£\/।y।\

2.(2023•高一课时练习)化简1+2行1+211+2-51+241+2々的结果为()

1-232B.一1-232

A，221

1

c.1+2一支D*

7

【答案】B

【解析】11+24IA1+2-*](1+2一，1\

1+2一记1+2-2

/7

1+2力1+2々|\(1

1+2-五1+2市1+2-5・1—2五

\7

__i_\1、(_1_A

1-2一正1+2一记1+281+2一,1+22+1—2三

/777

1\

1-281+281+2%1+2.・1-2三

777

1-2414-241+22・1-232

\7

_2V(I

1-2-21+2-2・1-2一五

八7

=（1一2）1-2^

7

=1

2

故选：B

3.（2023•黑龙江大庆・高一大庆中学校考期中）下列根式与分数指数暮的互化正确的是（）

A・_«=(_炉B.\1~/=y3(y<0)

」1

C.x3=~q=(x>0)D.

Qx

【答案】C

【解析】对于A选项：一五=」（*0），（_/=Q（X40），故A错误;

对于B选项：由7=故B错误;

」11

对于c选项：x'=F=五（x>°）,故C正确;

对于D选项：当x<0时，［玳-A了=（一工（我=（r）］，而当x<0时，）=后没有意义，故D错误.

故选：C

4.（2023.高一单元测试）计算（_3.8）°-6x1|JxVii的结果为（）

A.-2B.1C.2D.-1

【答案】A

［解析］(-3.8)°-6x图'x陀=1-3；x(|)5x2$x3。

11111

=1-3i+3+6X23+3=1-3=-2，

故选：A

5.(2023•北京海淀・高一人大附中校考阶段练习)0.027-3-(-\)+256075-3-'+2x7°(

)

A.105B.33C.69—D.-23

36

【答案】B

0.027飞一卜、)75_|0

【解析】由题意得:+256°--3+2X7

2S

=(0.3)K4)-(-6)+(2)^-1+2

(0.3)*'-36+26-^+2

=--36+64-i+2=33.

33

故选：B.

6.（2023•天津河西•高一天津市新华中学校考期末）设匕>0,则下列运算正确的是（）

32

A-l^+b2=h2B-b-^b^=b3

C.b2b-2=0D.

【答案】D

【解析】对于A,令匕=4,则1+湛=49+4；=8+2=10,从=16,显然A错误;

224

对于B，吩+京=/3=6wb3，故B错误；

对于C,b2b-2=b2-2=b°=1,故C错误；

对于D,仅平=/=〃=;,,故D正确.

故选：D.

7.（2023•广东广州•高一广州市第九十七中学校考阶段练习）已知正数。，8满足强x昉'=3,则3a+2Z?

的最小值为（）

A.10B.12C.18D.24

【答案】D

232323

【解析】陶X炳=3；*32=3。=3，所以々+g=L

因为“，人为正数，

当且仅当一=丁时，即a=4,匕=6时，等号成立，

ab

所以3a+2Z?的最小值为24.

故选：D.

8.（2023•河南郑州♦高一郑州市第七中学校考期末）己知a+“T=3,下列各式中正确的个数是（）

22a+=2

®a+a-=l；②苏+/二运；+=±y/si®^~^^'

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】①/+。-2=（〃+/）2_2=9-2=7,正确；

@a3+a-3=（«+a''）（«2-l+a_2）=3x（7-l）=18,正确；

③因为a+G=3可知a>。，—+]>0，（滔+小）2="+2+/=5，

所以a3+q-3=6',故错误；

1W_2J.」

④“&+—尸=+a5=（«2+a5）（〃-1+“T）=5/5（a-1+«"'）=2后,正确.

ay/a

故选：C

二、多选题

9.（2023•吉林白山•高一校考阶段练习）已知》归0,且必于=-2.，则以下结论错误的是（）

A.xy<0B.xy>0

C.x>0,y>0D.x<0,3<0

【答案】BCD

【解析】由y]4x2y2=|2xy|=-2xy,孙w0知个<0,

所以x、y异号，

所以A对，BCD错;

故选：BCD.

10.（2023•浙江•高一校联考期中）下列等式不成立的是（）

A."=同"N,且"22）B.（町'=a（nsN,且〃22）

C.yj—a3--a\/—aD.=a

【答案】AD

I—为奇数

【解析】对A：।斗/用站（“eN,且”22）,A不成立；

对B：（标）=a（neN,_tl.n>2）,B成立;

对C：可得-dzo，则a40,

J-a，=A/-a?a2|a|?y/-a=-a>^-a,C成立;

对D：•；（叫？=J^"=同=D不成立；

故选：AD.

11.（2023•江苏•高一专题练习）［多选题］若『=a（xxO）,则下列说法中正确的是（）

A.当〃为奇数时，x的〃次方根为aB.当“为奇数时，a的"次方根为x

C.当〃为偶数时，x的"次方根为土aD.当〃为偶数时，。的"次方根为土x

【答案】BD

【解析】当〃为奇数时，a的〃此方根只有x；

当〃为偶数时，由于（±x）"=x"=a,所以。的〃次方根有2个，为七匚

故选：BD

12.（2023•高一单元测试）［多选题］下列根式与分数指数基的互化正确的是（）

A.-yfx=（-^）2B.6^_yi（y<0）

C.x3=-^=（x^O）D.W（-x）2］4=/（x>0）

【答案】CD

【解析】对于选项A,因为_五=_/（x>0）,ffi］（-x）2=（x<0）,故A错误;

对于选项B,因为后=_j（y<0）,故B错误；

1~

对于选项C,工3=（xwO）,故C正确；

vx

厂____-|2I31

对于选项D,而彳力'=后（x>0）,故D正确.

故选:CD

三、填空题

13.（2023•安徽芜湖・高一芜湖一中校考强基计划）J（5+2拓）：45-26?=

【答案】22&

=11«+26+5-2#-215+2限15-2指

=11710-2=11^=2272.

故答案为：22>/2

12

14.（2023♦高一课时练习）求值：0.125^=

【答案】行

2

【解析】0+（_5.6）。-得）+0.125一；

219c149

一+1---+2=

316

149

故答案为：-

15.（2023•高一课时练习）（1）2>/3XVT5XV12=

【答案】卷6万|■加

333

【解析】（1）巴yJ二丫/2丫;

UJ（25；⑺⑸125

21_[1Ij_2lW

273xVh5xVi2=2x32x35x25x25x3^=2r+5x3rr；=2x3=6-

_111

(丫3J27ft6¥_(33b6¥_3b2_3ab2

〔前=〔罚牙=丁

Q__3

故答案为：在§；6；y[xy；—

16.(2023・江苏•高一专题练习)使得等式Jl+小晶=蚣成立的实数a的值为

【答案】8

【解析】由题意可得，71+^>0，所以+，故无21.

设板=f，则a=/Q±l).

J1+Jl+a'=\[a<=>Jl+Jl+产=t

。i+Vi77=『=/一i

=1+r=(r-1)2oi+f3=/4-2产+1

=/一/一2产=0

o产(r-f-2)=0o/(f-2)(r+l)=0

解得f=2,或f=0(舍)，或f=T(舍)

所以i/a=t=2

所以a=8

故答案为：8

四、解答题

131

17.(2023.广东深圳.高一翠园中学校考期中)⑴计算：273+(1-正尸-81-(5-2#)2；

(2)化简：.

b2-\[a^

【解析】⑴27%+(1-扬T-8尸-(5-26户

(3++力一(34)1匹忑

=V3-(A/2+1)-33-7(^-V2)2

=6-夜-1-27-6+夜=-28；

I

18.(2023•高一课时练习)化简：

⑴5/6+40+，6-40；

।_Li_1_1

⑵(1+2至)(1+2g)(i+2飞)(1+2"；)(1+2”)•

【解析】(1)小6+4贬+J6-40=J(2+伪2+j(2-&)z=2+&+2-0=4.

(2)原式=—(1-24)(1+2热1+24)(1+2*)(1+2T)(1