第35讲 三角函数的应用（学生版）-高一数学同步讲义

第13讲三角函数的应用

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课程标准课标解读

1.掌握三角函数的图象与解析式之间的

对应问题的处理方法.

2.能结合实际生产与生活中与三角函数

之间的密切关系，用三角函数这一数

通过本节课的学习，要求掌握常见的三角函数应用问题

学模式解决与之相关的问题.

的处理方法，了解并掌握数学建模的方法与步骤，能处

3.能处理三角函数相关学科之间的问

理与三角函数相结合的数学问题、物理问题及与之相关

题，用三角函数这一重要工具解决与

的其它学科与生产、生活有密切联系的问题.

数学、物理学及其它学科与之相关联

的问题.

4.掌握数学建模的重要方法与步骤，并

能严谨的应用数学知识解决问题.

漱:知识精讲

*'知识点

1.三角函数模型的简单应用

三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规

律、预测等方面发挥着十分重要的作用.

教材中的例2对太阳光照以及潮汐问题的研究为我们展示了怎样运用模型化的思想建立三角函数模型的方

法和过程.

2.三角函数模型应用的步骤

三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数

值，进而使实际问题得到解决.

步骤可记为：审读题意一建立三角函数式一根据题意求出某点的三角函数值一解决实际问题.

这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的

三角函数解析式.

3.三角函数模型的拟合应用

我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的

函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.

TTTT

【即学即练1】把函数产sin（x+§）的图象上所有点向右平移1个单位长度，再将所得图象的横坐标变为原

来的g（纵坐标不变），所得图象的解析式是产sin（s+0）（加>0,附〈兀），则（）

1兀兀

A.co=—,（p=——B.CD=29（/）=一

233

2兀

C.（o=2f0=0D.CD=2,9=—

7T

（即学即练2】电流强度/（单位:安）随时间单位:秒）变化的函数/=Asin（初+0）（4>0,3>0,0</<］）

的图象如图所示，则当右一匚秒时，电流强度是（）

100

A.一5安

C.5百安D.10安

JT

【即学即练3］如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（—X+9）+k.据此函

6

数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）

“水深/m

0618变U寸间/h

A.5B.6

C.8D.10

【即学即练4】如图所示，质点尸在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为尸0（及，-V2）,角

速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间，的函数图象大致为（）

D

【即学即练5】某弹簧振子做简谐振动，其位移函数为y=sin（创+：］（。＞0）,其中f表示振动的时间，y表

示振动的位移，当/40,2|时，该振子刚好经过平衡位置（平衡位置即位移为0的位置）5次，则在该过程

中该振子有（）次离平衡位置的距离最远.

A.3B.2C.5D.5或6

【即学即练6】我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同

的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这

种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角。的面度数为（，则角。的余弦值为

（）A.-3B.--C.1D.正

2222

u能力拓展

考法01

1.函数解析式与图象的对应问题

(1)已知函数解析式判断函数图象，可结合函数的有关性质排除干扰项即可得到正确的选项.

(2)函数图象与解析式的对应问题是高考考查的热点，解决此类问题的一般方法是根据图象所反映出的

函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据.

【典例1].己知函数/(x)=3sin(2x+e),xeR.

(1)用“五点法''作出＞=/(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；

(2)请说明函数y=/(x)的图像可以由正弦函数，=$皿、的图像经过怎样的变换得到.

【即学即练7]函数y=ln(cosx)的图象是()

CD

考法02

函数解析式的应用

（1）已知实际问题的函数解析式解决相关问题，题目一般很容易，只需将具体的值代入计算即可.

（2）三角函数模型中函数解析式的应用主要是对相关量物理意义的考查.

【典例2］.如图，某海港一天从0~12h的水位高度y（单位：m）随时间f（单位：h）的变化近似满足函

数丁=Asin(a+e)+6(A>0<y>0,0<9<;r).

（1）求该函数的解析式；

（2）若该海港在水位高度不低于6m时为轮船最佳进港时间，那么该海港在0~12h,轮船最佳进港时间总

共多少小时？

【即学即练9］如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数尸Asin（5+p）+伙4>0,。>0,

0<0<兀），则该函数的表达式为.

考法03

三角函数在物理学中的应用

【典例3］下图是某简谐运动的图像.试根据图像回答下列问题:

(1)写出这个简谐运动的振幅、周期与频率

(2)从。点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如果从A点算起呢？

(3)写出这个简谐运动的函数表达式.

【典例4］弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间心)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离/z(cm)由下面的

函数关系式表示：〃=3sin(2f+」).

4

(1)求小球开始振动的位置；

(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置；

(3)经过多长时间小球往返振动一次？

(4)每秒内小球能往返振动多少次？

【典例5】单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间《单位：s)的函数关系式为s

71

—6sin(2rtr+—).

(1)作出函数的图象.

(2)当单摆开始摆动"=0)时，离开平衡位置的距离是多少？

(3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？

(4)单摆来回摆动一次需多长时间？

考法04

三角函数在平面几何中的应用

【典例6】如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，那么折痕长度/取决于角

。的大小.探求/,。之间的关系式，并导出用。表示/的函数表达式.

【典例7】南开园自然环境清幽，栖居着多种鸟类，热爱动物的南莺同学独爱其中形貌雅致的蓝膀香鹊，于

是她计划与生物兴趣小组的同学一起在翔字楼前广场一角架设一台可转动镜头的相机，希望可以捕捉到这

种可爱鸟儿的飘逸瞬间，南同学设计了以下草图，为简化模型，假设广场形状为正方形，边长为1,已知相

机架设于A点处，其可捕捉到图象的角度为45,即NPAQ=45,其中P,。分别在边BC,C。上，记

ZBAP=0（OW45）.

(1)南莺同学的数学老师很欣赏她的计划，并根据她的设计草图编制了此刻你正在思考的这道期中考试试

题，设AC与PQ相交于点R,当。=30时，请你求出：

(i)线段。。的长为多少？

(ii)线段AR的长为多少？

(2)为节省能源，南莺同学计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能，为使相机能够捕

捉到的面积(即四边形APCQ的面积，记为S)最大，。应取何值？S的最大值为多少？

考法05

三角函数模型的应用

三角函数应用模型的三种模式：

一、给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；

二、给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题；

三、搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化

规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题.

【典例8】已知某海滨浴场的海浪高度是时间f(h)的函数，记作y=o下表是某日各时的浪高数据.

*h)03691215182124

y(m)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5

经长期观测，)，=/(。的曲线可近似地看成是函数产ACOSM+A

(1)根据以上数据，求出函数)，=儿0$皿+人的最小正周期T、振幅A及函数表达式；

(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8

时到晚上20时之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？

【典例9】心脏跳动时，血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的

读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p⑺=115+25sin160m,

其中为血压(mmHg),f为时间(min),试回答下列问题：

(1)求函数p(f)的周期；

(2)求此人每分钟心跳的次数；

(3)画出函数0⑺的草图；

(4)求出此人的血压在血压计上的读数.

7T

【典例10]如图，在扇形OP。中，半径OP=1,圆心角NPOQ=],C是扇形弧上的动点，矩形ABC。内

接于扇形.记NPOC=e,求当角a取何值时，矩形A8CQ的面积最大？并求出这个最大面积.

fii分层提分

题组A基础过关练

1.简谐运动y=4sin15x-gj的相位与初相分别是（）

A.5x----,—B.5%—3,4

33

7171

C.5x-3,——D.4,一

33

2.在两个弹簧上各挂一个质量分别为M和M2的小球，它们做上下自由振动.已知它们在时间r（s）时离

开平衡位置的位移sl（cm）和S2（cm）分别由下列两式确定：

si=5sin（2r+V],S2=5cos（2r-?）.

24

则在时间/=玄时，SI与S2的大小关系是（）

A.51>52B.51<52

C.S|=S2D.不能确定

3.月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温.某城市一年中12个月的月均温V（单

jr

位：C）与月份X（单位：月）的关系可近似地用函数丫=Asin-（^-3）+a（x=1,2,3,112）来表示，

O_

已知6月份的月均温为29C,12月份的月均温为17C，则10月份的月均温为（）

A.20CB.20.5CC.21CD.21.5C

4.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h,低潮时水深为9m,高潮时水深为15m.每天潮涨潮

落时，该港口水的深度y（m）关于时间f（h）的函数图象可以近似地看成函数y=Asin（祝+p）+A（A>0,co

>0）的图象，其中叱也24,且f=3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（）

A.y=3sinT5T，+12B.y=-3sin715，+12

66

ITTT

C.y=3sin—/+12D.y=3cos-?+12

5.在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm,

周期为3s,且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时.则物体对平衡位置的位移x（单位：cm）

和时间，（单位：s）之间的函数关系式为（）

11-JT

6.若函数/(x)=sin2x的图象向右平移多个单位得到的图象对应的函数为g(x),则下列说法正确的是

0

()

A.g(x)的图象关于寸称B.g(x)在[0,句上有2个零点

C.g(x)在区间信期)上单调递减g(x)在1(0上的值域为一冬。

D.

7.某艺术展览馆在开馆时间段(9：00—16：00)的参观人数(单位：千)随时间，(单位：时)的变化近

似满足函数关系f(r)=Asin+5(A>0,94Y16),且下午两点整参观人数为7千,则开馆中参观

人数的最大值为()

A.1万B.9千C.8千D.7千

8.如图所示为2018年某市某天中6h至14h的温度变化曲线，其近似满足函数产Asin&x+p)+

dA>0,3>0,]<9<;rJ的半个周期的图象，则该天8h的温度大约为(

)

r/h

A.16℃B.15℃C.14℃D.13℃

9..已知函数/(x)=sin[2x+3J,则下列判断错误的是()

A.“X)的最小值为TB.点信。)是的图象的一个对称中心

C./(x)的最小正周期为"D.在卜上单调递增

10.已知/(x)=asin2x+0cos2x的最大值为了(5=4,将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍得

到的函数解析式为()

A.y=4sinl2x+yB.y=4sinlx+y

171

C.y=4sin—x+—D.V=4sin4x+—

23I3

11.有一块矩形花圃A8CD如图所示，其中AB=10m,BC=6cm,现引进了新品种需将其扩大成矩形区域

EFGH,点、A,B,C,。均落在矩形£FG”的边上（不包括顶点），则扩大后的花圃的最大面积为（）

B.128m2

C.144/n2D.196病

12.电流强度/（安）随时间f（秒）变化的函数/=Asin（胡+9）（A>0M>0,0<S<|^的图像如图所示,

则当"上秒时，电流强度是（）

A.10安B.5安

c.5G安D.-5安

题组B能力提升练

TT

1.设函数/（X）=COS（5+：）在［-私兀］的图像大致如下图，则段）的最小正周期为（）

6

10兀In

A.一B.

9

4兀3兀

C.—D.

3

2,若2sin(a-/

=3sina-V7,贝Ijtan2a=()

2GD.考

A.-4A/3B.4A/3C.

~T~

3..函数f*）=Asin（④r+e）（A>0⑷的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是

A.函数/（x）的图象可由y=Asinox的图象向左平移［个单位得到

O

■7T

B.函数JU）的图象关于直线x=§对称

7171

C.函数/（X）在区间上是单调递增的

D.函数/（*）图象的对称中心为博植,0卜eZ）

4.（多选题）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（)

A.该质点的运动周期为0.7s

B.该质点的振幅为5

C.该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零

D.该质点的运动周期为0.8s

5.（多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然

的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点4卜6,-3卜七发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转；且

旋转一周用时60s.经过右后，水斗旋转到尸点，设P的坐标为（x,y）,其纵坐标满足

y=f（f）=Rsin（d+0（fNO,0>O，M<^）.则下列结论正确的是（）

B.当止［35,55］时，点P到x轴的距离的最大值为6

C.当fe［10,25］时，函数），=/（。是减函数

D.当f=20时，PA=6出

6.如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asin（s+夕）+8（0<夕<兀），则下列

说法正确的是（）

A.该函数的周期是16

B.该函数图象的一条对称轴是直线x=14

TT3乃

C.该函数的解析式是y=10sin(qX+丁)+20(6人14)

D.这一天的函数关系式也适用于第二天

7.(多选题)将函数"x)=2sin(2x+?)的图象向右平移:个单位长度后，所得图象对应的函数为y=g(x),

则下列结论正确的是()

A.函数g(x)的图象关于直线x=(对称

B.函数g(x)的图象关于点(-*0)对称

C.函数g(x)在上单调递减

D.函数g(x)在[0,2句上恰有4个极值点

8.(多选题)已知函数,f(x)=2cos2(2x+5+Gsin(4x+3则下列判断正确的是()

A./(x)的周期为万

B."X)为偶函数

C.的图象关于直线x=f对称

D.Dx)的值域为域1,3]

EJ(x)的图象关于点样可对称

9.下表中给出了在24小时内人的体温的变化(从夜间零点开始计时).

时间(X)024681012

温度(y)36.836.736.636.736.837.037.2

时间(X)141618202224

温度(y)37.337.437.337.237.036.8

选用一个三角函数模型来近似地描述这些数据，则该模型为

10.如图，学校有一块矩形绿地，且48=2()111,3。=40111,现准备在矩形空地中规划一个三角形区域410开

TT

挖池塘，其中MN分别在边BC。上，若NMAN*则，9面积的最小值为一

C培优拔尖练

1.已知函数y=2sin2(x-2)+1.

8

(1)求函数的最小正周期：

(2)求函数的递增区间.

2.如图，它表示电流/=Asin3x+e)(A>0M>0),在一个周期内的图象.

(1)试根据图象写出1=Asin(0x+s“|d<、J的解析式；

3

(2)在任意一段诉秒的时间内，电流/既能取得最大值A,又能取得最小值-A吗？

3.心脏跳动时，血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就

是收缩压和舒张压，读数120/80，，而场为标准值.设某人的血压满足函数式p(f)=115+25sinl60M其中p⑺

为血压(mmHg),，为时间(min),试回答下列问题：

(1)求函数0⑺的周期；

(2)求此人每分钟心跳的次数；

(3)画出函数以。的草图；

(4)求出此人的血压在血压计上的读数.

4.如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆逆时针匀速爬行，己知圆的半径为8,小圆的圆心。距离地面的高

度为10m,蚂蚁每12加”爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点儿处.

(1)将蚂蚁距离地面的高度〃(m)表示为时间f(min)的函数；

(2)在