2022-2023学年陕西省西安市新城区爱知初级中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省西安市新城区爱知初级中学八年级（下）

期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列垃圾分类的标志中是中心对称图形的是（）

怎△3X

2.将分式弟中x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（）

A.扩大为原来的2倍B.缩小为原来的;C.不变D.扩大为原来的4倍

3.如图，将AABC沿4B方向平移后，到达ABCE的位置，若NC4B=50。，Z.ABC=100°,

则NCBE的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

4.如图，在△ABC中，乙4=40。，AB=AC,点。在4c边

上，以CB,CD为边作平行四边形BCDE,则4E的度数为（）

A.40°

B.50°

C.60°

D.70°

5.如图，在RtZkABC中，4c=90。，D、E分别为。4、C8的中

点，AF平分484C,交DE于点F,若4c=6,8C=8,则EF的

长为（）

A.2B.1C.4D.

5

2

6.关于x的分式方程与—W=l有增根,则小的值为（）

A.2B.1C.-3D.3

7.如图，△48C是等边三角形，点。是AC的中点，延长BC到点E,

使CE=CD=1,则DE的长为（）

A.1.5

B.2

C.C

D.0

8.如图，在Rt△ABC中，4ACB=90°,AA=60°,AB=4,

将^ABC绕点C按逆时针方向旋转得到4A'B'C,此时点4恰好

落在4B边上，则点夕与点B之间的距离为（）

A.4/3

B.2<3

C.4

D.2

9.如图，菱形4BCD的边长为5,对角线AC的长为8,延长4B至E,

BF平分“BE,点G是BF上任意一点，则/MCG的面积为（）

A.6v~3B.12C.20D.24

10.如图，正方形力BCD中，AB=6,点E在CD边上，S.DE=2.将△ADE

沿AE折叠至AAFE,延长EF交8c边于点G,连接AG、CF,下列结论：

①△ASG三△4FG；@BG=GCx③4G〃CF;④S“CG=£•其中正确的

结论是（）

A.①②④B.①②③C.①③④D.①②③④

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.因式分解：9%—4x3=

12.正九边形的每一个内角是度.

13.如图，"为平行四边形HBCD的对角线，AC1BC,点E在

4B上，连接CE,分别延长CE,交于点F,若CE=EF=4,

则CO的长为.

14.如图，△ABC中，N4CB=90。，AC=BC,点P在ZiABC内，且P4=l,PB=

PC=2，7，则4B的长为

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（本小题4.0分）

（3x<x—2,

解不等式组：］x-31x+1.

I--1--

16.（本小题10.0分）

⑴化简：（I一言）.用；

（2）先化简，再求值：版商+（1-磊），其中a=C-2.

17.（本小题10.0分）

解分式方程：

小21+x

（1七=色1；

x4

（2）京+R=L

18.（本小题5.0分）

如图，已知AABC中，乙4cB=90°,/.CAB=60°,请你利用尺规在BC边上找一点P,使得BP=

2PC.（不写作法，保留作图痕迹）

A

19.（本小题5.0分）

如图，点4、D、B在同一条直线上，AC=BD,AB=DE,zC=/DFB.试说明：乙E=Z.ABC.

20.（本小题6.0分）

为了解决雨季时城市内涝的难题，区政府决定对地下管网按照“雨污分流”要求进行改造.某

施工队负责改造一段长为3600米的街道地下管网时，每天的施工速度比原计划提高了20%,

按这样的速度可以比原计划提前10天完成任务.求实际施工时每天改造地下管网的长度.

21.（本小题8.0分）

如图，四边形ABCD的对角线AC于点E,点尸为四边形力BCD外一点，且4FCA=90。，BC

平分/DBF,Z.CBF=乙DCB.

（1）求证：四边形DBFC是菱形；

（2）若AB=BC,4尸=45。，BD=2,求4c的长.

22.（本小题8.0分）

为响应国家“电商助农”的号召，某电商平台准备将本地农户合作社手工制作的具有本地文

化特色的衬衣和体恤衫进行线上销售，它们的进价和售价如下表.已知购进一件衬衣比一件体

恤衫的进价贵180元，用3000元恰好可购进衬衣10件和体恤衫5件.

（1）分别求出表中a和b的值；

（2）若该电商计划购进衬衣和体恤衫两种服饰共300件，据市场销售分析，体恤衫进货件数不

低于衬衣件数的2倍.如何进货才能使木次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？

种类衬衣体恤衫

进价（元/件）ab

售价（元/件）300100

23.（本小题10.0分）

如图，直线ky=gx+b与直线y=依+2交于点k与x轴交于点B,%与％轴交

于点C.

（1）求直线k和直线，2的表达式；

（2）点P是y轴上一点，点Q是直线。上一点，以点4、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，

且4C〃PQ,求点Q的坐标.

24.（本小题12.0分）

问题提出：（1）如图①，在△ABC,AB=AC=13,BC=10,点。是8c1边上一点，若4。平

分△ABC的面积，则4。=；

问题拓展：（2）如图②，在平行四边形力BCD中，AB=6,BC=8,NB=60。，点E在AD边

上，且4E=2,点F在BC边上，若EF将平行四边形48co的面积平分，求线段E尸的长度；

问题应用：（3）张伯伯有一块空地，如图③，四边形4BC。为空地的示意图，经测量=2km,

BC=4km,^BAD=4BCD=90°,/.ABC=120。.张伯伯计划在空地内种植花卉，并且过点C

修一条笔直的小路将四边形48CD的面积平分，请问是否存在这样的路？若存在，请求出这条

路的长度；若不存在，请说明理由.

答案和解析

I.【答案】。

【解析】解：4不是中心对称图形，故本选项不合题意；

区不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D是中心对称图形，故本选项符合题意.

故选：D.

把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做

中心对称图形，据此可得结论.

本题主要考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题关键.

2.【答案】A

【解析】解：由题意得：

2n2y_4xy_2xy_

2x+2y2x+2yx+y'

・•・将分式W中的X、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值扩大为原来的2倍，

故选:A.

根据分式的基本性质，进行计算即可解答.

本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.

3.【答案】A

【解析】解：由平移的性质可知=LCAB=50°,

v/.ABC+4CBE+乙EBD=180°,

乙CBE=180°-50°-100°=30°,

故选：A.

利用平移的性质求出乙EBD，再利用平角的性质解决问题即可.

本题考查三角形内角和定理，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考

题型.

4.【答案】D

【解析】解：•••在△4BC中，乙4=40。，AB=AC,

：.ZC=/.ABC=(180°-40°)2=70°,E、----

•••四边形BCOE是平行四边形，\

NE=4C=70°.\\

故选：D./\\

AQ「

根据等腰三角形的性质可求4C,再根据平行四边形的性质可求

ZF.

本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，关键是求出乙C的度数.

5.【答案】A

【解析】解：在Rt△ABC中，4c=90。，AC=6,BC=8,

•••AB=VAC2+BC2=10.

•:D、E分别为C4、CB的中点，

•••DE是△ABC的中位线，

DE//AB,DE=^AB=5,

・•・Z-DFA=乙FAB,

AF平分4BAC,

・•.Z.DAF=Z.BAF,

・•・Z.DAF=Z-DFA,

・•,DF=AD=^AC=1x6=3,

:,EF=DE—DF=2,

故选：A.

根据勾股定理得到AB=10,根据三角形中位线定理得到DE〃诋。E=；AB=5,

根据平行线的性质得到NDFA=ZF4B,根据角平分线的定义得到N/Z4F=NB4F,求得NZMF=

/.DFA,得到。F=/W,于是得到结论.

本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，

且等于第三边的一半是解题的关键.

6.【答案】C

【解析】解：方程两边都乘(x—2),得m+3=x-2,

•••原方程增根为久=2,

.••把x=2代入整式方程，得血=一3.

故选：C.

增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.把增根代入化为整式方程的方

程即可求出Tn的值.

本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增

根代入整式方程即可求得相关字母的值.

7.【答案】C

【解析】解：vCE=CD=1,

乙E=4CDE,

•・•△ABC是等边三角形，点。是4c的中点，

•••JLABC=/-ACB=60°,BD1AC,BC平分

•••乙DBC=^ABC=30°,乙BDC=90°,

:.BC=2CD=2,

BD=VBC2-CD2=722-12=口,

v^ACB=60°,且乙4cB为△CDE的外角，

4E+Z.CDE=乙4cB=60°>

•••"=乙CDE=30°,

乙DBE=Z.E=30°,

•••DE=DB=3.

故选：C.

先根据等边三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质和勾股定理求出BD的长，再由等角对等边

得出DE=DB即可.

本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，直角三角形30。角所对的直角边等于斜

边的一半，勾股定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点.利用等边三角形

的性质和等腰三角形三线合一的性质是解题的关键.

8.【答案】B

【解析】解：由旋转性质得力C=A'C,BC=B'C,乙B'CB=/.A'CA,

"乙4=60°,

.•.△4C4'是等边三角形,

Z.A'CA=60°,则NB'CB=60°,

••.△BCB'是等边三角形，

BB'=BC,

在RtzMBC中，Z.ACB=90°,NA=60。，AB=4,

：.AC=^AB=2,

：.BC=VAB2-AC2=2/3，即BB'=

故选：B.

先由旋转性质得4C=AC,BC=B'C,Z.B'CB=Z.A'CA,再证明△4CA、ABC旋是等边三角形,

得到8夕=BC,再根据含30度角的直角三角形的性质求解BC即可.

本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，熟

练掌握旋转的性质和等边三角形的性质是解答的关键.

9.【答案】B

【解析】解：如图所示，连接8。交4c于0,1——

•••四边形ABC。是菱形，/■^尸

，乙ACB=+乙BCD,48=5,OA=^AC=4,AB//CD,AC1BD

**•乙BCD=乙CBE,OB-VAB^—OA^-V52—42=3，

•••△力BC的面积=^ACxOB=gx8x3=12,

•••BF平分“BE,

乙CBF=鼻乙CBE,

・•・Z.ACB=Z-CBF,

--AC//BF,

・・.△ACG的面积=ZMBC的面积=12,

故选：B.

连接BD交AC于。，由菱形的性质和勾股定理求出OB=3,得出A/IBC的面积=12,依据Z4CB=

乙CBF,得出AC〃BF,进而得出△ACG的面积=△ABC的面积=12.

本题考查了菱形的性质、勾股定理、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形

的性质，证出4C//BF是解题的关键.

10.【答案】D

【解析】解:・.•四边形ABC。为正方形,18=6,

・•・Z.DAB=Z-B=乙BCD=Z-D=90°,AB=BC=CD=AD=6,

•・•将△4DE沿AE折叠至△AFE,

・・・AD=AF,DE=EF=2,4。=^.AFE=90°,

・・・/B=4F,Z.AFG=90°,

^.RtABG^ARtAFG^p,

(AB=AF

lAG=AG"

：.Rt^ABG^Rt^AFG(HL),故①正确；

:.BG=FG,

设BG=FG=xf贝iJCG=BC-BG=6—%,

vDE=EF=2,

­.CE=CD-DE=6-2=4,

EG=FG+EF=%+2,

在RtZkCEG中，CG2+CE2=EG2,

22

A(6—%)4-4=(x+2＞，

解得：%=3,

.・.BG=FG=CG=3,故②正确；

:.Z-GCF=Z-GFC,

,**Rt△ABG=Rt△AFG»

:.Z.AGB=Z.AGFf

・•・乙BGF=2/-AGB,

•:(BGF=LGCF+乙GFC,&P/.BGF=2zGCF,

:.Z.AGB=乙GCF,

：.AG//CF,故③正确；

如图，过点C作CH1EG于点H,

............D

B'

VBG=EG=CG=3,DE=EF=2,

:.EG=5,

-S^CEG=\CG-CE=\EGCH,

CG-CE=EG-CH,即3x4=5x.CH,

„„12

•••CH=—,

•■1S^CFG="FG,CH=2X3x£=M，故④正确.

综上，正确的结论有①②③④.

故选：D.

①由折叠可得4D=AF,DE=EF=2,ZD=UFE=90°,于是通过HL证明Rt△ABGmRt△AFG；

②由全等三角形的性质可得BG=FG,可设BG=FG=x,贝UCG=BC-BG=6-x,EG=x+2,

在Rt△CEG中，利用勾股定理建立方程，解得x=3,则BG=FG=CG=3；③根据等边对等角

可得NGCF=NGFC,由全等三角形的性质得乙4GB=Z4GF,再利用三角形外角性质得/BGF=

ZGCF+乙GFC,进而得至IJ/AGB=乙GCF,于是可得AG//CF；④由等面积法可得SACEG=|CG-

CE=\EG-CH,求得CH=半，最后利用三角形面积得SACFG=：FG.CH=3

本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的

性质、三角形外角性质、三角形的面积，熟知折叠的性质是解题关键.

11.【答案】%(3+2x)(3-2%)

【解析】解：原式=尤(9-4x2)=%(3+2x)(3-2x).

故答案为:x(3+2x)(3-2x).

原式提取公因式即可得到结果.

此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键.

12.【答案】140

【解析】解:180°-(9-2)4-9=140°.

先求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数.

本题主要考查了多边形的内角和定理.

n边形的内角和为:180°(n-2).

此类题型直接根据内角和公式计算可得内角和，再除以边数即可.

13.【答案】8

【解析】解：・.・四边形4BCD是平行四边形,

:,AD〃BC,AD=BC,

・•・zF=乙BCE,Z-EAF=乙B,

vCE=EF=4,

•••△BCE为AFE(44S),

・•・BC=AFf

:.AD=AF,

•・•AC1BC,

・•・乙4cB=90°,

・•・/,DAC=Z.ACB=90°,

•••4c垂直平分0/，

ACD=CF=CE+EF=8.

故答案为：8.

四边形ABC。是平行四边形则AD//8C,AD=BC,得到乙F=乙BCE,乙EAF=乙B,由CE=EF=4,

则可证明4BCE三△AFE(44S),得到BC=AF,则4D=AF,再证4c垂直平分DF,则CD=CF=

CE+E凡即可得到答案.

此题考查了平行四边形性质、垂直平分线的定义和性质、三角形全等的判定和性质等知识，熟练

掌握相关判定和性质是解题的关键.

14.【答案】V26

【解析】解:如图，将△CPA绕点C逆时针旋转90。得到ACDB,PC=

根据旋转的性质，得CP=CD=2KBD=PA=l,Z.PCD=90%

・•・PD=7P>2+pp2=4,4CPD=Z.CDP=45°,

•・•PB2=(V-T7)2=42+l2=PD2+DB?,

・•・LCPA=乙CDB=135°,

/.CPA+乙CPD=135°+45°=180°,

•••4P,D三点共线，

AD=PA+PD=5,

•••AB=VAD2+DB2=

故答案为：726.

将ACPA绕点C逆时针旋转90。得到ACDB,根据旋转的性质，勾股定理PD=VPC?+PA=4,

Z.CPD=^CDP=45°,根据勾股定理的逆定理，282=(n7)2=42+12=「02+。82,得到

乙PDB=90°,继而得至IJ/CP4="DB=135°,结合NC7M+乙CPD=135°+45°=180°,判定4,

P,。三点共线，运用勾股定理计算即可.

本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握旋转

的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键.

15.【答案】解：由3x<x-2得：x<-1,

由*-1〈亨得：x>-7,

则不等式组的解集为一7<x<-l.

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大

大小小找不到确定不等式组的解集.

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小

取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

16.【答案】解：'八(汇1)4—x-2r7)+xz-2可x+l、

_3(x—1)—2%,x-1

x(%T)°(x-1)2

x—3

=---x--;

⑵濡H)

a-2a+2-4

(a+2)“a+2

Q-2Q+2

(a+2)“a-2

1

=a+2'

当a=\T~2—2时，

原式=^2-2+2=吉=殍

【解析】（1）根据分式的混合运算法则以及乘法公式进行计算即可;

（2）先根据分式的混合运算法则以及乘法公式化简原式，再代值求解即可.

本题考查分式的化简求值、分母有理数，熟练掌握分式的混合运算法则，正确求解是解答的关键.

17.【答案】解：（1）金=夸+1，

2=1+%+%—2,

3=2%,

经检验，％—2=—。，

・•.x=|是方程的根；

x4

⑵定+nj

x(x-2)+4=x2-4,

x2-2x+4=x2-4,

-2x=-8,

x=4,

经检验，x2-2=14*0,

x=4是方程的根.

【解析】（1）去分母、移项、合并同类项，x的系数化为1,最后对所求的根进行检验即可;

（2）去分母、去括号、移项、合并同类项，x的系数化为1,最后对所求的根进行检验即可.

本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意对方程根的检验是解题的关键.

18.【答案】解：如图，点P即为所求,

理由：由作图知：MN是A8的垂直平分线，

:.AP=BP,

:.Z.PAB=乙B,

•・・乙ACB=90°,Z.CAB=60°,

・・・乙B=30°,

・・・Z,PAB=30°,

・・・Z,CAP=2LPAB=30°,

•-AP=2CP,

又•・•AP=BP,

:.BP=2PC.

【解析】作力B的垂直平分线交BC与点P,连接力P即可.

本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30。的直角三角形的性质等

知识，掌握以上知识是解题的关键.

19.【答案】证明：•:乙C=ADFB,

AC//DE,

•••Z.A=Z.EDB,

,■AC=BD,Z.A=Z.EDB,AB=DE,

•••△/1BCSADEBRAS'),

乙E=/.ABC.

【解析】由NC=Z_DFB,可得AC〃DE,贝此4=证明△ABC三△DEB(SAS),进而结论得

证.

本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质.解题的关键在于明确全等的条件.

20.【答案】解：设原计划每天改造地下管网x米，则实际施工时每天改造地下管网(l+20%)x米,

3600

根据题意得：哭10,

(l+20%)x

解得：x=60,

经检验，x=60是所列方程的解，且符合题意,

•••(1+20%)x=(1+20%)x60=72.

答：实际施工时每天改造地下管网72米.

【解析】设原计划每天改造地下管网x米，则实际施工时每天改造地下管网(l+20%)x米，利用

工作时间=工作总量+工作效率，结合实际比原计划提前10天完成任务，可列出关于x的分式方程,

解之经检验后，可得出原计划每天改造地下管网的长度，再将其代入(1+20%)》中，即可求出实

际施工时每天改造地下管网的长度.

本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

21.【答案】(1)证明：Z.FCA=90°,Z.CBF=Z.DCB.

•••BD//CF,CD//BF,

二四边形DBFC是平行四边形；

•••BC平分ZDBF,

•1■/.CBF=Z.CBD,

Z.CBF=乙DCB,

:"Z.CBD=Z.DCB,

CD—BD,

四边形DBFC是菱形：

(2)解：•••四边形DBFC是平行四边形,

CF=BD=2,

"AB=BC,AC1BD,

AE=CE,

作CM_LBF于M,如图：

vBC平分乙DBF,

•••CE=CM,

Z.F—45°,

・•.△CFM是等腰直角三角形,

3cM=gCF=V_2>

AE=CE=y]-2>

AC=2y/~2-

【解析】(1)证出BO〃CF,CD//BF,得出四边形DBFC是平行四边形；再证出CO=BD,即可得

出结论；

(2)由平行四边形的性质得出CF=BD=2,由等腰三角形的性质得出4E=CE,作CM1BF于M,

则CE=CM,证出△CFM是等腰直角三角形，得出=^\AE=CE=V-2.即可得出4C的

长.

本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形

的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键.

22.【答案】解：⑴依题意得：fi0：X?3000'

^C：80°

答：a的值为260,b的值为80；

(2)设购进衬衣x件，则购进体恤衫(300-x)件，

依题意得：300-xZ2x,

解得：x<100.

设两种商品全部售出后获得的总利润为w元，则w=(300-260)%+(100-80)(300-x)=

20%+6000.

v20>0,

W随X的增大而增大，

.♦.当％=100时，w取得最大值，最大值=20x100+6000=8000,此时300-x=300-100=

200.

答：当购进衬衣100件，体恤衫200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元.

【解析】(1)利用总价=单价X数量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值；

(2)设购进衬衣x件，则购进体恤衫(300-乃件，根据体恤衫进货件数不低于衬衣件数的2倍，即

可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设两种商品全部售出后获得的总利

润为w元，利用总利润=每件的销售利润x销售数量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用一次

函数的性质，即可解决最值问题.

本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是:

找准等量关系，正确列出二元一次方程组和函数解析式.

23.【答案】解：(1)将4(1,|)代入y=+b中，得?=g+b,

则b=1,

・•・直线y=|x+1；

将力(1,|)代入y=依+2中，得k+2=|,

则k=-1,

・,・直线%：y=-+2；

(2)令y=-1x4-2=0,则x=4,

・・・C(4,0),

1

设P(0,t),Q(*?n+1),

如图，-：AC//PQ,

・••点4、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，有两种情况:

若AQ为对角线，则平行四边形4CQP中，l+rn=0+4,

解得?n=3,

则gm4-1=

若4P为对角线，则平行四边形4CPQ中，4+7n=0+l,

解得m=-3,

则+1=

1

综上，满足条件的点Q坐标为(3,|)或(一3,-手.

【解析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)先求得点C坐标，设P(O,t),Q(m[ni+1),根据平行四边形的性质，分AQ为对角线和4P为对

角线两种情况求解即可.

本题考查待定系数法求函数解析式、一次函数与坐标轴的交点、平行四边形的性质、坐标与图形

性质，熟练掌握平行四边形的性质，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键.

24.【答案】12

【解析】解：(1)由题意知，AD是BC的中线，如图①，

图①

AB=AC=13,

^ADB=90°,BD=^BC=5,

由勾股定理得4D=VAB2-BD2=12，

故答案为：12；

(2)•.•平行四边形力BCD,E/将平行四边形ABCC的面积平分，

CF=AE=2,BF=BC-CF=6,

如图②，过4作4M_LBC于M,过E作EN_LBC于N,则四边形AMNE为矩形,

BMNFC

图②

MN=2,EN=AM,

■■■NB=60°,

/.BAM=30°,

vAB=6,

•••BM=^AB=3,AM=VAB2-BM2=3y/~l，

EN=3c,

•••NF=BF—BM—MN=1,

由勾股定理得EF=VEN2+NF2=2V-7，

•••EF的长度为2，7;

(3)如图③,延长SB,DC交点为P,

图③

•••/.ABC=120°,/.BAD=乙BCD=90°,

乙D=60°,乙PBC=60°,ZP=30°,

vAB=2km,BC=4km,

ABP=2BC=8,AP=AB+BP