2023-2024学年宁德市一中高二数学上学期10月考试卷附答案解析

2023-2024学年宁德市一中高二数学上学期10月考试卷

考试时间：120分钟；时间满分：150分

第I卷（选择题）

一、单选题

1.若直线/经过点人（I词।卜2,2@,则直线/的倾斜角为（）

A.30°B,60°c.120。D.150。

h

=ad-bei।

2.定义d,已知数列MJ为等比数列，且“3=1)

A.4B.+4C.8D.+8

3.已知点4（HQ），8（3,2）,若直线ar+y+2=（）与线段AB没有交点，则”的取值范围是（

)

54

2,3

4.“直线2x+“y-3=0与直线ax+2y+5=0相互平行,，是“。=2„的（）

A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

5.设等差数列｛4｝的前"项和为若邑=16,邑=8,则兀=（）

A.-50B.-60C.-70D.-80

6.已知A。』），3（一1，2）,若ZAC3的角平分线所在直线方程是＞=x+l,则直线AC方程为

.5

V--A+

A.x-2y-l=0B.-22C.y=2x-5D2x+y-7=0

7.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线

段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条

线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得

到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“〃次构造”，就可以得到一条科赫曲线.

若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（）.

（取lg3=0.4771,lg2«0.3010）

A.16B.17C.24D.25

°=&a=^33a；-a；7二嫌］一4(雇之

8,数列间满足8,'一33,(4>°),~,则%。“=()

&石］里

A.64B.64c.32D.32

二、多选题

9.若两平行线分别经过点A（5,0）,B（0,12）,则它们之间的距离d可能等于（）

A.14B.5C.12D.13

10.等差数列｛%｝中，4>°,公差为其前n项和，对任意正整数n,若点（"，色）在以下4条曲

线中的某一条上，则这条曲线不可能是（）

II.已知动直线m2x_y+/l=O和〃:x+4y_3_2；l=0,尸是两直线的交点，A8是两直线“和〃分别过

的定点，下列说法正确的是（）

A.B点的坐标为（3，-2）B.旷轴上的点到点距离之差的最大值为2夜

C.|叫阀的最大值为I。D.点8到直线加距离的最大值为26

1二2%

12.已知数列｛4｝的前"项和是满足S"d+1对"wN*成立，则下列结论正确的是（）

A.q=±lB.｛%｝一定是递减数列

C.数列｛*｝是等差数列D.«2023^^/2024->/2023

三、填空题

13.已知直线1经过点P（0,1）且一个方向向量为（2,1）,则直线1的方程为

14.等比数列｛an｝中，公比q=3,S80=32,则a2+a4+a6+…+a80=.

15.过原点。有一条直线/,它夹在两条直线4：2》->-2=°与，2：x+y+3=°之间的线段恰好被点。平

分，则直线/的方程为

16.记正项数列｛“"｝的前〃项和为S",且满足询一芯一147%一14（〃+1）若不等式

"S，「4+l恒成立，则实数4的取值范围是

四、解答题

17.直线/过点喉T.

⑴若直线/与直线x+y+i=°平行，求直线/的方程;

2

(2)若点A92)到直线/的距离为1,求直线/的方程.

18.数列间满足“〜，1=M+2"(〃eN)入为常数

(1)是否存在实数入，使得数列｛""｝成为等比数列，若存在，找出所有的入，及对应的通项公式；若不存

在，说明理由；

(2)当a=2时，记'=击，求数列低｝的前n项和.

19.已知等比数列S”｝均为正数，4=1°24,且4s4=5邑,(S“为｛凡｝的前“项和)

(1)求数列｛“"｝的通项公式；

(2)若I是数列S"｝的前”项积，请求出，，及当I取最大值时对应的"的值.

20.已知等差数列｛%)满足:4+3,仰，双成等差数列，且4,%,%成等比数列.

(1)求数列｛""｝的通项公式

(2)在任意相邻两项4与4+|(无=1，2,...)之间插入2，个2,使它们和原数列的项构成一个新的数歹

求数列也"｝的前200项和“。。.

7x5x1

4：y=--1—L'y=—I—j5/fA/f

21.如图，直线-44与22相交于点M.直线4与x轴交于点例I过点例।作x轴的垂

线交直线12于点M,过点乂作y轴的垂线交直线4于点“2,过点”2作X轴的垂线交直线12于点N;…,

这样一直作下去，可得到一系列点，.…点％5=1,2,3,)的横坐标构成数列｛%｝.

⑴求为,々，W的值，并求%与4的关系式;

⑵设""=%，，求数列｛“"｝的前n项和S，.

[log2=2%-1,ZwN*

22.已知数列｛叫满足4>°,[2""+2,〃=2/"€N.

(1)判断数列｛%"—｝是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；

b=-------5------£

⑵若数列｛“"｝的前10项和为361,记n"(唾2"2向卜％”.2,数列色｝的前〃项和为7,,求证：T"<2.

3

1.c

【分析】利用直线斜率等于其倾斜角的正切值求解即可.

2A/3-Grr

tana=--------=一。3

【详解】设直线/的倾斜角为a,则一2-（-1），因为直线倾斜角的范围为［0加），

所以

a卫=120°

3

故选：C

2.C

【分析】根据题意得到64=%a=*,再结合为=i即可求解%的值.

【详解】依题意得64=4•%=.，

又为>°,所以％=8.

故选：C.

3.B

【分析】求出直线CA，CB的斜率，结合图形得出。的范围.

,=_5=4

【详解】直线6+"2=°过定点C（°，-2）,且AC—2,BC~3,

54

--<-Q,<一

由图可知直线与线段48没有交点时，斜率一“满足23,

解得（32人

【分析】先通过直线平行的判断公式求出“，再根据充分性和必要性的概念得答案.

【详解】因为直线2》+--3=0与直线ar+2y+5=0相互平行，

则2x2=axa,解得a=12,

又当a=±2时，两直线均不重合，

故4=±2,

4

所以“直线2x+e-3=0与直线or+2y+5=0相互平行,，是“q=2„的必要不充分条件

故选：C.

5.D

【分析】由等差数列片段和的性质可得出邑、臬-53、Sg-Se、Sg-Sg成等差数列，即可求得兀的值.

【详解】解：由等差数列的性质可知，邑、$6-53、S「S八品成等差数列，

且该数列的公差为HFY=-8-16=-24,则S9-S6=(56-53)-24=-32,

所以，S12-S9=(S9-S6)-24=-56；

5

因此，i2=^+(56-S3)+(S9-S6)+(512-S9)=-80

故选：D.

6.A

【分析】本题主要考查的是点关于直线的对称点、直线关于直线的对称直线，可通过设B的对称点，再

根据对称性质进行求解.

【详解】分析试题：由题意可知直线AC和直线BC关于直线y=x+l对称.设点8(-1,2)关于直线＞=、+1

的对称点为8("。'为),则有12一2*,即8(1,0).因为8'(1，°)在直线AC上，所以直

k=—=-

线AC的斜率为3-12,所以直线AC的方程为yJ_1=l2(x_3),即x-2y-l=0.

故A正确.

【点睛】解决直线的对称性问题对考生来说相对较抽象，可结合草图来加强理解.

7.D

a仁］＞1000

【解析】由折线长度变化规律可知“〃次构造”后的折线长度为131,由此得到【3J,利用运算

n＞一一

法则可知2xlg2-lg3,由此计算得到结果.

4a⑶2a

【详解】记初始线段长度为。，贝心一次构造”后的折线长度为“二次构造”后的折线长度为0,

以此类推，“〃次构造”后的折线长度为13J,

⑶a＞1000a⑶＞1000

若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则,即

5

,但G）=〃lgg=〃（lg4-lg3）="（21g2-lg3）Nlgl000=3

n>----------:--------p24.02

即2x0.3010-0.4771,至少需要25次构造.

故选：D.

【点睛】本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到

每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.

8.A

22

【分析】将递推式化为“34a

%'-',从而得到是常列数，进而得到是等差数列,

a„=广

由此求得力?+31,据此解答即可.

【详解】因为“3吮"

1121111

-2+-__

---------------~2~+~2~~Z+--------2~~---~\n~

所以可T4+1,即4-1%+1,则勺T4用可，故％4

%=旦a『叵±-±=33-32=1

又8,-33,所以对4,

所以〔4+1是以首项为1的常数列，则禽+1%,

-4=32±-±=1W

又4,44，所以14"是以首项为32,公差为1的等差数列,

g=32+（"-l）xl=〃+31an=-^^

故可，则"+31,

_]_]_]_V2

所以"""一《2017+31.72048.3242~64

故选：A.

9.BCD

【分析】由题意可知当两平行线与A,B两点所在直线垂直时，两平行线间的距离d最大，求得0<d§3,

即可得出答案.

【详解】因为两平行线分别经过点A(5,0),B(0,12),

易知当两平行线与A,B两点所在直线垂直时，两平行线间的距离d最大，

MM=W=J(5_0)2+(0一12—13,所以0<小13,

6

故距离d可能等于5,12,13.

故选：BCD.

10.ABD

【分析】等差数列的前〃项和关于n的二次函数，根据二次函数的图象和性质，判断图象的开口方向，可

判断A,B；判断图象对称轴位置，判断C,D,即可到答案.

【详解】等差数列｛"J中，4>°,公差”<0,S"为其前〃项和，

cn（n-1）」d2/d、

S=na+--------xd=_〃-+（q）n

nA222,

，点（说）在曲线冶八山今上，

〃<0,二次函数开口向下，故A,B不可能；

d

x=-----—>0

对称轴d，，对称轴在y轴的右侧，故C可能，D不可能.

故选：ABD

11.BCD

【分析】根据直线方程确定定点AB的坐标判断A的正误，应用对称性判断B的正误；由48是定点结

合机_L”可得|PA「+|P3「=20,结合基本不等式分析判断，根据直线加过定点A（T，°）分析判断D的正

误.

【详解】对于直线加:心-丫+2,可得i（x+D,

令X=-1,可得y=o,所以直线机过定点A（T°）；

对于直线〃:X+…3-22=0,可得（》_3）+川_2）=0,

令y=2,可得x=3,所以直线〃过定点'（3,2）,故A错误；

对于选项B：取点A（T°）关于y轴的对称点A"⑼，

对于y轴上的点M,则有悭HM=12卜版何码=20

当且仅当三点共线时，等号成立，

所以轴上的点到点距离之差的最大值为2&,故B正确；

7

对于选项C：因为，xl+lx(T)=°,可知：mYn,

即PA±PB,可得附2+|冏2AM?=20,

又因为|*+阀之22陷•阀,即20M叫网,解得照♦阀G0,

当且仅当归川=俨叫=加时，等号成立，

所以归，叫尸"的最大值为］0,故C正确；

对于选项D：因为直线皿过定点A(T°),

所以点B到直线机距离的最大值为MSI=2石，故口正确；

故选：BCD.

12.AC

【分析】根据给定的递推公式，结合“〃22,。“=5”-5,1，,探讨数列｛氏｝的性质，再逐项判断作答.

2s“=《,+，_2S„=S„-S„.1+—

［详解］由S"””+1得：4,,当〃22时，贝ijS"一"T,

1_2$

整理得s：-s3=i,显然ES：+l,则s：=i,因此数列｛0｝是等差数列，首项为1,公差为1,C正

确：

a'=5>2=1,解得q=±1,A正确；

S；=l+(〃-l)xl=〃，当S“>0时，SK=G,当“22时，a“,“1=1满足上式，

11

因此《，=五一疝"，此时,而斤+〃，"田<”"，｛4｝是递减数列，

当S"<0时，s“=M,当“22时，q=-i满足上式，

_1_1

因此4，=fG+病7，此时"册+册=T,'I疝！+〃，4用>4，，｛%｝是递增数列，B错

误；

当S〃>0时an—y/n—yJn—1%()23=J2023—J2022

当S〃<0时，an=-y/n+\jn-\a2023=72023+J2022口错误

故选：AC

【点睛】方法点睛：给出S"与“”的递推关系，求凡，常用思路是：一是利用S，“|-S"=4,转化为4,的递

推关系，再求其通项公式；二是转化为S，，的递推关系，先求出S，，与n之间的关系，再求

8

y=-x+l

13.2

【分析】根据方向向量可得直线的斜率，进而根据点斜式求解方程即可.

—y-]=一(%—0)

【详解】因为直线1的一个方向向量为(2,1),所以其斜率为2,所以直线1的方程为.2'

11

y=-x+1

即2.

y=L+l

故答案为：2

14.24

【详解】设SI=a2+a4+a6+…+a80,

工

S2=al+a3+a5+…+a79.贝I」$2=q=3即S1=3S2.

4

又Sl+S2=S80=32,.•.3-81=32,解得Sl=24.

即a2+a4+a6+…+a80=24.

4

y=­x

【解析】设两交点分别为4“，2"-2),B也-3-b),利用中点为原点求解a,b,得到A点坐标，即得解.

【详解】设两交点分别为4.2L2),B(b「3-b),

a+h=0

2a-5-b=0

则

4

y=­x

所以直线/的方程为5.

4

y=­x

故答案为：5

【点睛】本题考查了直线与直线的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于中档题.

16.)

1111n

-2-------12----------*2--------,**2------------=----------\

【分析】由4-1%-1+写出〃的式子，通过两式相减化简得出

c,「(3+2〃+1卜72c12〃+2

a„=2n+1,S„=------------=〃-+2〃2>------

2,再利用不等式恒成立问题，得出n-+2n进而分析右侧式子

的最值，即可求出结果.

9

+~r—+^r—+

【详解】因为"I"T"J4(〃+l)①,

1111n-\

-272722=-

所以当〃之2时，q-1a2_1〃3-1an-\-14"②.

nn-\

①一②，得a：T4(n+1)4n4n(n+l))

所以"；=4〃~+4〃+1=(2〃+,

因为数列｛""｝是正项数列，则°”=2〃+l(*).

当”=1时，a'~l4x(l+l),则4=3,符合(*)式，

从而%=2〃+1,｛q｝是首项为3,公比为2的等差数列,

c〃(3+2〃+1),〜

S„=----------L=”2+2”

所以2,

由他2+1,得义(〃~+2””2〃+2,即-f^+2n

(「2〃+22(〃+1)2

八")一〃2+2”一(“+1)2_1一，

令''〃+1,

因为)〃+1在"eN时单调递增，

/(«)=-------f-

(«+1)--------

所以"+1单调递减，

则当〃=1时，/(〃)取得最大值，且为3,所以-3.

4

—,+oo

故答案为:3

17.(i)x+y-i=°

【分析】(1)设出直线/的方程，利用待定系数法求得正确答案.

(2)根据直线/的斜率是否存在进行分类讨论，结合A到直线/的距离来求得直线/的方程.

【详解】(1)设直线方程为x+y+c=°，c*i

10

将P（2，T）代入得c=-1,

所求直线方程是x+yT=°

（2）若直线/的斜率不存在，

则过P的直线为x=2,到A的距离为1,满足题意；

若直线/的斜率存在，设斜率为3

则/的方程为丘—y_2Z-1=0

\k-2-2k-^_\-k-^t

由A到直线/的距离为1,可得病有护W.

k-A

解得3,

—X—y—2|—I—1=0

所以直线方程为3I3J,即4x+3y-5=0

综上得所求的直线方程为》-2=0或4x+3y-5=O.

18.(1)存在，2=1,%=2”

S=〃(〃+3)

⑵“4

【分析】（1）假设存在实数3使得数列｛/｝成为等比数列，根据疗=4.3可求出久可得答案;

（2）当4=2时，由2向2-2根据等差数列的定义和求和公式可得答案.

【详解】（1）假设存在实数3使得数列｛%｝成为等比数列，

W

则有"士=43n（2，+2）=2（24~+22+4）=，=1an+|=an+2

i_2”

+-4T）+-+Q_4）+4=2"'+2片+…+2+2=0+1=2；

_^

因为=2,所以数列｛4｝成为等比数列，存在a=1,。，，=2"；

4="+1

（2）当a=2时，由2"*2"2可知：

数列也｝是以要=1为首项，3为公差的等差数列

,./1〃+1cn(n-l)1〃(〃+3)

“=1+(〃-1n)・一=---S„---^x-=—---L

故”v722,224

11

=2"-,,(/IGN，

19.⑴""

n(2\-n)

(2)(=22，〃=1°或11

【分析】（1）根据等比数列定义及其基本量的计算即可求得数列｛“"）的通项公式为a"=2,〜eN*）；

n（21-w）

（2）易知数列｛“"｝的前〃项积1=2,，再由二次函数性质即可求得当"=10或11时，I取最大值.

【详解】（1）设数列｛《J的公比为°,则9>°,

当4=1时，454*552,不合题意；

.6（1-/）at（1-^2）

Ax、____L=5x、____L.

当4工1时，由条件可得i-q"q,

,l~qi=5

化简得4（1一力=5（1-4）则l-q4.

1+^2=—cq==

故4,又4>。，解得"2,

=1024x（"=21

从而⑵

所以数列的通项公式为%=2""（〃eN）

w（10+ll-w）n（2l-«）

（2）若I是数列｛叫的前〃项积，则%,=2限2隈…x2"-"=22=2-

n[2\—n）

（取最大值时，当且仅当一2—取最大值

"（2・〃）一几_0丫+也

因为2212）8,

-£（10,11）"⑵一"）

又2，，所以当〃=10或11时，2取最大值

故当7"取最大值时〃=1。或11.

20.（1）《，=3"+1；（2）477.

【分析】（1）根据等差中项的性质，可求得d值，根据等比中项的性质，可求得可,代入公式，即可得

答案.

（2）分析可得新数列出｝中，4M前面（包括4”）共有2+22+2'++2*+便+1）=2*"+1项,令

2<+,+^-1<200,小=1，2，）,可解得k的范围，分析可得所以的前面包括劭共有133项，所以的后面

12

（不包括的）还有67个2.利用分组求和法，代入对应的求和公式，即可求得答案.

【详解】（1）设等差数列｛""｝的公差为必

由题意得4+3+。4=2%,即24+3+34=24+4",解得&=3,

又即+7x3）=（q+2x3）,解得q=4,

所以q=3〃+1

⑵在新数列｛"”｝中，。川前面（包括%）共有2+22+2、+2«+（"1）=2印+"1项，

令2«”+氏一14200,（1=1，2,）,则无46,

所以4,出,%,%,%,%,%出现在新数列出｝的前200项中，

当％=6时，2"、％-1=133,所以由前面包括内）共有133项，所以的后面（不包括％）还有67个2.

所以（oo=（4+7++22）+2（2+22+23++26+67）=91+386=477

注：%,%,%,%,%,«6,%出现在新数列也｝的前200项中，实际上表明：数列加"｝的前200项

中，有7项是4,%，％,“4,牝,«6,为其余193项都是2.

【点睛】解题的关键是熟练掌握等差、等比数列的性质，并灵活应用，难点在于，需读懂题意，分析可

得数列低｝的前200项中，有7项是%%,%,«4,%,即，生其余193项都是2.再代入公式，求解

即可，属中档题.

21.（1）W=5,々=-7,w=17,x,,+|=-2x“+3；

04j（”+l）（3”+1）（-2产

⑵929

【分析】（1）由题易得由V4J可得12人I2人即得；

（2）利用递推关系可求%=（-2）""+1,进而可得知=〃（一2）'"'+〃，再利用分组求和法及错位相减法即

求.

【详解】（1）因为M（5,0）,所以西=5,

M（5,3）,所以以（-7,3）,所以赴=-7,

%式-7,-3),所以％(17,-3),所以X3=17,

5f玉+11+1

X—11---

此七，用，2

因为I4,所以I2,所以

13

X"+l_"5

故244,即X“M=_2X,,+3；

(2)因为XT=-2X“+3,

所以