7.3.5已知三角函数值求角课件-【知识精讲精研】高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

已知三角函数值求角问题情境问题1（1）如果已知sinx＝

，你能求出满足条件的角x吗？（2）如果已知sinx≥

，你能求出角x的取值范围吗？新知探究作示意图，如图所示，可知角x的终边可能是OP，也可能是OP′，问题2尝试推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程？（1）由sinx＝

＞0可知，角x对应的正弦线方向朝上，而且长度为

．又因为所以x＝

＋2kπ或x＝

＋2kπ，k∈Z．（2）同样由图可知，如果x的终边在∠POP′中，则一定有sinx≥

，因此，x的取值范围是xOy1MN新知探究2．用三角函数线解sinx＞a（或cosx＞a）的方法：找出使sinx＝a（或cosx＝a）的两个x值的终边所在位置．1．在单位圆中，

是正弦线，

是余弦线，

是正切线，作出三角函数线，即可求得角的大小．根据变化趋势，确定不等式的解集．新知探究问题3可否从我们熟悉的三角函数图象入手，求解情境中的问题？作出函数y＝sinx（0≤x≤2π）的图象（如图），作出直线y＝

，结合图像可知sinx≥

对应的x的取值范围是｛x|＋2kπ≤x≤

＋2kπ，k∈Z｝．由于

，所以sinx＝

的解为新知探究用三角函数的图象解sinx＞a（或cosx＞a）的方法：选取一个合适周期写出sinx＞a（或cosx＞a）的解集，要尽量使解集为一个连续区间．作出直线y＝a，y＝sinx（或y＝cosx）的图象；确定sinx＝a（或cosx＝a）的x值；【练一练】求使sinx＜

的x的取值范围．新知探究问题4已知三角函数值为非特殊值，我们如何表示角呢？通常记作x＝arcsiny．（1）任意给定一个y∈[－1，1]，当sinx＝y且

时，xyOPα的终边β的终边NSM新知探究问题4已知三角函数值为非特殊值，我们如何表示角呢？这个x记作arccosy，即x＝arccosy；（2）在区间[0，π]内，满足cosx＝y（y∈[－1，1]）的x只有一个（见图或余弦曲线），xyOP－1MP'新知探究问题4已知三角函数值为非特殊值，我们如何表示角呢？这个x记作arctany，即x＝arctany．（3）在区间

内，满足tanx＝y（y∈R）的x只有一个（见图或正切曲线），xyA1OTT'新知探究说明：每个符号都要从以下三个方面去理解，以arcsinx为例来说明．这个角的正弦值是x，所以|x|≤1．arcsinx表示一个角；【练一练】

＝_______，

＝_______，arctan1＝_______．例如：arcsin3，arcsin（－2）都是无意义的．这个角的范围是初步应用例1

已知

，求x．作示意图，如图所示，解答：由

可知，角2x＋

对应的余弦线方向朝左，且长度为xyOP－1MP'可知角2x＋

的终边可能是OP，也可能是OP′，又因为初步应用例1

已知

，求x．xyOP－1MP'所以，即同前面类似，从图中可以得到不等式

的解集为初步应用例2

（1）已知tanx＝－1，x∈（3π，5π），求x．解答：（1）由tanx＝－1＜0可知，角x对应的正切线的方向朝下，而且长度为1．作示意图，如图所示，可知角x的终边可能是OT，也可能是OT′，（2）已知sinx＝

，x∈（0，2π），求x．xyA1OTT'又因为所以x＝

＋kπ，k∈Z．初步应用例2

（1）已知tanx＝－1，x∈（3π，5π），求x．（2）已知sinx＝

，x∈（0，2π），求x．xyA1OTT'又由3π＜

＋kπ＜5π，k∈Z，可知k＝4或k＝5，因此说明：由图象还可以得到不等式tanx＞－1的解集为初步应用例2

（1）已知tanx＝－1，x∈（3π，5π），求x．（2）已知sinx＝

，x∈（0，2π），求x．xyA1OTT'（2）当

时，所以由，得

或初步应用例3

写出sinx＜

的解集．解答：作出y＝sinx，

及y＝

的图象如下：由函数图像可知sinx＜

时，所以sinx＜

的解集为初步应用例4

求下列函数的定义域：结合正弦曲线或三角函数线，如图所示：（1）（2）解答：（1）要使

有意义，则必须满足2sinx＋1≥0，即sinx≥知函数

的定义域为初步应用例4

求下列函数的定义域：利用图像．在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的图像，如图所示．（1）（2）（2）要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0．在[0，2π]内，满足sinx＝cosx的x为再结合正弦、余弦函数的图像．所以定义域为