武汉市江汉区2023年高三《数学》上学期开学检测与参考答案

武汉市江汉区2023年高三《数学》上学期开学检测与参考答案一､选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.[－5，－3） B. C.（－5，－3] D.【答案】A【分析】解不等式确定集合，然后由交集的定义计算．【详解】或，∴故选：A．2.在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【分析】先求出复数z，再求z的共轭复数，即可判断.【详解】.所以复数z的共轭复数，对应的点在第四象限.故选：D3.某校高三数学备课组老师的年龄（单位：岁）分别为：28，29，42，32，41，56，45，48，55，59，则这组数据的第80百分位数为（）A.54.5 B.55 C.55.5 D.56【答案】C【分析】由百分位数的定义计算．【详解】这10个数按从小到大顺序排列为：28，29，32，41，42，45，48，55，56，59，，第8个数是55，第9个数是56，因此第80百分位数为．故选：C．4.若二项式的展开式中的系数是84，则实数（）A.2 B. C.1 D.【答案】B【分析】利用二项式展开式的第项公式，即可解出答案.【详解】二项式展开式的第项为.又展开式中的系数是84，即.所以，解得故选：B.5.若函数在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【分析】由导数几何意义得，然后由基本不等式得最小值．【详解】由已知，所以，，当且仅当时等号成立．故选：A．6.2022年7月，台风“暹芭”登陆我国.某兴趣小组为了解台风“暹芭”对本市降雨量的影响，在下雨时，用一个圆台形的容器接雨水.已知该容器上底直径为56cm，下底直径为24cm，容器深18cm，若容器中积水深9cm，则平地降雨量是（）（注：平地降雨量等于容器中积水体积除以容器的上底面积）A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm【答案】B【分析】由题可知积水深度恰为容器高度一半，根据比例可知积水上底直径，代入圆台体积公式可求得积水体积，进而求出平地降雨量.【详解】根据题意可得，容器下底面面积为，上底面面积为,因为容器中积水高度为容器高度的，则积水上底面恰为容器的中截面，所以积水上底直径为cm，积水上底面面积为，所以积水体积为，则平地降雨量是cm.故选：B.7.已知椭圆：的两个焦点为，，过的直线与交于A，B两点.若，，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】由已知条件以及椭圆的定义,将,用a表示出,再在三角形中利用余弦定理建立方程,即可求解.【详解】设,则,.由椭圆的定义可知,所以,所以,.在△ABF1中,.所以在△AF1F2中,,即整理可得：,所以故选：C8.若，其中，，则下列结论一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】由题知，进而根据得，再构造函数，结合其单调性得，即，进而得答案.【详解】解：因为，其中，，所以，其中，，令，，故时，，单调递减，时，，单调递增，所以，即，当且仅当时等号成立，所以，所以故令，则等价于，因为，故函数在单调递增，所以等价于，即所以，即故选：D二､多选题本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图，已知正方体，分别是，的中点，则下列结论正确的是（）A. B. C.平面 D.平面【答案】AC【分析】连接，由线面垂直的判定定理可证明平面，进而可判断A，B；由线面平行的判定定理可判断C；先假设平面，则，进而，从而可判断D【详解】连接，如图：由正方体可知，因为平面，平面，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以，故A正确，B错误；由题意知为的中位线，所以，又,所以又平面，平面，所以平面，故C正确；若平面，BD1在平面BDD1B1中，则，进而，在中易知与不垂直，故D错误；故选：AC10.若，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【分析】当时，由得，，当时，由得，，可判断AD；由得，且与同号，即可判断BC.【详解】由得，当时，由得，即，可得，当时，由得，即，所以，故AD正确；.由得，且与同号，即，所以与异号，即与同号，由得，故B错误；故C正确；故选：ACD.11.设函数，若在[0，2π]有且仅有5个零点，则（）A.在（0，2π）有且仅有3个极大值点 B.在（0，2π）有且仅有2个极小值点C.在（0，）单调递增 D.的取值范围是[，）【答案】AD【分析】由求得的范围，结合正弦函数性质得的范围，判断D，利用正弦函数的极大值、极小值判断ABC．【详解】，时，，在[0，2π]有且仅有5个零点，则，，D正确；此时，，时，取得极大值，A正确；，，即时，时，均取得极小值，B错；时，，，则，因此在上不递增，C错．故选：AD．12.已知数列满足：，，下列说法正确的是（）A.，成等差数列 B.C. D.，一定不成等比数列【答案】BCD【分析】根据题意得，再结合数列单调性与得，可判断B选项；由递推关系式易得，进而可判断A选项；根据数列单调性得，进而可得判断C；利用反证法先假设，成等比数列，推出之间的公比为，结合可以得到成等比数列，与矛盾，故假设不成立，可判断D【详解】解：因为，所以，且，所以①，所以②所以，②-①整理得：因为，所以数列为单调递增数列，所以，即，故B选项正确；对于A选项，若，成等差数列，则成等差数列，由递推关系得，显然不满足等差数列，故A选项错误；对于C选项，因为，数列为单调递增数列，所以，即，所以，因为，所以所以，从第2项起，数列介于以为首项，公比分别为和为公比的等比数列对应项之间，所以，故C选项正确；对于D选项，假设，成等比数列，设之间的公比为，由可得即，因为，所以，解得，因为为单调递增数列，所以，由可得，即整理得，所以成等比数列，所以以此类推能得到成等比数列，与矛盾，故假设不成立，故D正确；故选：BCD三､填空题本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，，则___________.【答案】【分析】先由求得t，再利用向量的数量积运算求解.【详解】，∴，∴，∴.故答案为：-214.写出一条同时满足下列条件①②的直线l：___________.①经过点（，1）；②与双曲线有且只有一个公共点.【答案】，或，或（只需答其中之一即可）【分析】显然直线的斜率存在，设直线方程为，代入双曲线方程后，方程只有一解或有两个相等的实根，求得值即得直线方程．【详解】显然直线的斜率存在，设直线方程为，代入双曲线方程得，，，此时直线方程为或，即，或，时，，，此时直线方程为，即．故答案为：，或，或（只需答其中之一即可）15.一电器商城出售的某种家电产品来自甲､乙､丙三家工厂，这三家工厂的产品比例为，且它们的产品合格率分别为96%，95%，98%，现从该商城的这种家电产品中随机抽取一件，则取到的产品是合格品的概率为___________.【答案】0.96【分析】易知取到合格品的情况有三种，分别算出每一种合格品的概率即可.【详解】由题意知，取到合格品的情况又三种：甲厂合格、乙厂合格、丙厂合格概率分别为所以渠道合格品的概率为故答案为：0.9616.已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正三棱锥体积的最大值为___________.【答案】【分析】由外接球表面积求出半径，设球心到底面距离为，由三角函数关系解出底面三角形面积，由此可确定正三棱锥体积关于的函数关系.【详解】因为，所以正三棱锥外接球半径，正三棱锥如图所示，设外接球圆心为，过向底面作垂线垂足为，因为是正三棱锥，所以是的中心，所以，,又因为，所以，所以，令，解得所以在递增，在递减，故当时，取最大值，.故答案为：.四､解答题本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.记为数列{}的前项和，已知（1）证明：{}是等差数列；（2）若，，成等比数列，求的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）利用与的关系结合等差数列的定义即可证明；（2）利用等差数列通项公式与等比中项的性质求出，从而得到，再结合基本不等式求解即可.【小问1详解】由已知①∴②由①-②，得即∴，且∴是以2为公差的等差数列.【小问2详解】由（1）可得，∵，，成等比数列，∴即，解得∴∴当且仅当，即时，的最小值为18.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.（1）若，求ABC的面积；（2）若，求ABC的周长.【答案】（1）（2）【分析】（1）由余弦定理求得，再由三角形面积公式计算；（2）由同角关系化为正弦关系，由正弦定理化角为边，再由余弦定理求得，得三角形周长．【小问1详解】由余弦定理，得，即，解得（舍去），或由，得.【小问2详解】由，得，即由正弦定理，得，即由余弦定理，得，解得，从而∴ABC的周长为．19.在直三棱柱中，已知侧面为正方形，，D，E，F分别为AC，BC，的中点，.（1）证明：平面⊥平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【小问1详解】解：（1）由题设条件可知，∵四边形为正方形∴∵E，F分别为BC，的中点∴∴又∵∴∴，又∵且∴平面，又BF平面，∴平面⊥平面.【小问2详解】由(1)知，BF⊥平面，∴BF⊥AB∵D，E分别为AC，BC的中点，∴DE∥AB∴BF⊥AB，又且∴AB⊥平面∴AB⊥BC建立如图空间直角坐标系B-xyz，则B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），F（0，2，1），（0，2，2），∴由(1)知，平面的一个法向量为设平面的法向量为，则由得，取设平面与平面夹角为θ，则故平面与平面夹角的余弦值为..20.为应对气候变化，我国计划在2030年前实现碳排放量到达峰值，2060年前实现“碳中和”.某市为了解本市企业碳排放情况，从本市320家年碳排放量超过2万吨的企业中随机抽取50家企业进行了调查，得到如下频数分布表，并将年碳排放量大于18万吨的企业确定为“超标”企业：硫排放量X[2.55.5）[5.5，8.5）[8.5，115）[115，14.5）[14.5.175）[175，20.5）[20.523.5）频数56912864（1）假设该市这320家企业的年碳排放量大致服从正态分布，其中近似为样本平均值，近似为样本方差，经计算得，.试估计这320家企业中“超标”企业的家数；（2）通过研究样本原始数据发现，抽取的50家企业中共有8家“超标”企业，市政府决定对这8家“超标”企业进行跟踪调查，现计划在这8家“超标”企业中任取5家先进行跟踪调查，设Y为抽到的年碳排放量至少为20.5万吨的企业家数，求Y的分布列与数学期望.（参考数据：若X~，则，，.）【答案】（1）51（2）分布列答案见解析，数学期望：【分析】（1）根据正态分布的规律以及计算公式求解即可；（2）Y的可能取值为1，2，3，4，再由超几何分布概率的计算方法求出对应的概率即可求解【小问1详解】由已知，得，，所以因为所以这320家企业中“超标”企业的家数约为51.【小问2详解】由频数分布表可知，8家“超标”企业中碳排放量至少为20.5万吨的企业有4家，所以Y的可能取值为1，2，3，4，且所以Y的分布列为Y1234P所以21.已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为4，圆心的轨迹为曲线.（1）求的方程：（2）过点的直线与相交于两点.设，若，求在轴上截距的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据圆的方程和勾股定理求解即可.（2）根据和（1）中求得的曲线方程联立可得关于的直线方程，再分析截距的取值范围即可.【小问1详解】设，圆的半径为，则整理，得所以的方程为.【小问2详解】设，又，由，得由②，得，∵∴③联立①､③解得，依题意有，又，∴直线l的方程为，或，当时，l在y轴上的截距为或，由，可知在上是递减的，∴，∴直线l在y轴上截距的取值范围为.22.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）设是函数的两个极值点.①求实数a的取值范围；②求证：.【答案】（1）单调递减区间为（－∞，1），递增区间为（1，+∞）（2）①（－，0）；②证明见解析【分析】（1）由出导函数，由得增区间，由得减区间；（2）①由有两个不等的实根，转化为与函数图象有两个交点，由导数研究新函数的单调性、极值、取值范围后可得的范围；②不妨设是的两个极值点，且，由①可知，得出的单调性，由且，放缩，只要证，此时达成了二元化一元的目的，然后引入新函数，利用导数证明即得．【小问1详解】当时，，当时，，当时，单调递增，且，时，，时，，所以时，，∴的单调递减区间为（－∞，1），递增区间为（