安徽省滁州市定远县第一初中教育集团2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

定远县第一初中教育集团2023-2024学年九年级下学期开学学情评估数学试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分考试范围：沪科版九年级上、下册）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【详解】解：A．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：C．2.已知反比例函数，下列结论不正确的是（）A.图象必经过点 B.若，则C.图象在第二、四象限内 D.随的增大而增大【答案】D【解析】【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．根据反比例函数的图象与性质求解即可．【详解】解：当，，∴图象必经过点，A结论正确，故不符合题意；∵，∴图象位于第二、四象限，C正确，故不符合题意；若，图象位于第四象限，y随x的增大而增大，故若，则，故B结论正确；故不符合题意；在第二或第四象限中，y随x的增大而增大，D错误，故符合要求；故选：D．3.如图是由6个相同的小正方体组成的几何体．则这个几何体的俯视图是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查三视图，画出从上面看到的图形，即可．【详解】解：这个几何体的俯视图是：故选C．4.如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形判定方法：两角法、两边及其夹角法、三边法、平行线法．先求出，再根据相似三角形的判定方法分析判断即可．【详解】∵，∴，∴，A、添加可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得，故此选项不合题意；B、添加可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得，故此选项不合题意；C、添加可利用两边及其夹角法：两组边对应成比例且夹角相等两个三角形相似，故此选项不合题意；D、添加不能证明，故此选项符合题意；故选：D．5.在中，，都是锐角，且，则的形状是（）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.直角三角形【答案】D【解析】【分析】本题考查特殊角三角函数，三角形内角和，三角形分类．熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键．由特殊角三角函数值计算出和的角度来即可确定．【详解】解：，，，即，，，即为直角三角形，故选：D．6.如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的周长是25，则四边形的周长是（）A.4 B.10 C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了位似变换，相似图形的性质．先根据位似的性质得到，四边形与四边形相似，再利用比例的性质得，然后根据相似多边形的性质求解．【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，，四边形与四边形相似，，，，四边形的周长：四边形的周长，四边形的周长．故选：B．7.如图，是的直径，，是上的两点，若，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据直径对的圆周角为直角得到，再根据同圆中同弧对的圆周角相等得到，即可求出．此题主要考查了圆周角定理．熟练掌握直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，是解决问题的关键．【详解】∵为⊙O的直径，∴，∵，∴．故选：C．8.如图，抛物线的对称轴是，且过点，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论为（）A.①② B.②③ C.③④ D.①④【答案】D【解析】【分析】由图示可知，，由对称轴是，可知，将点代入抛物线可求出，由此即可求解．【详解】解：抛物线的对称轴是，且过点，∴对称轴，则有，∴，，，∴，得，∴，∵，∴结论①正确；∵，∴结论②错误；∵，∴结论③错误；∵当时，抛物线线有最大值，∴，则，即，∴结论④正确．故选：．【点睛】本题主要考查抛物线图像与系数的关系，理解图示，并根据题意确定系数的关系是解题的关键．9.如图，六边形是内接正六边形，设正六边形的面积为的面积为，则（）A2 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查正多边形和圆，三角形的面积，全等三角形的判定，关键是由正六边形的性质证明．连接、、、，由正六边形的性质得到、、、、、把圆六等分，推出，得到、是等边三角形，由证明，得到的面积的面积，同理：的面积的面积，的面积的面积，因此的面积的面积的面积的面积，即可得到答案．【详解】解：连接、、、，六边形是的内接正六边形，、、、、、把圆六等分，，，、是等边三角形，，，，的面积的面积，同理：的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积的面积的面积，，．故选：A．10.如图，菱形中，是边的中点，是边上一点，连接，．若，，则的值为（）A.4 B.5 C.6 D.【答案】C【解析】【分析】延长交的延长线于点，结合菱形的性质，证明出，再根据条件中线段与线段之间的关系求出，，，得到，再证明出即可求解．【详解】解：延长交的延长线于点，四边形是菱形，，，，是的中点，，，，，，，，，，又，，，又，，故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形相似的判定及性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是添加合适的辅助线，构建相似三角形进行求解．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11.若正三角形的边长为6，则它的半径为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了正三角形的半径即外接圆与外心，熟知等边三角形的性质及正三角形的半径的定义是解答此题的关键．设正的中心为O，过O点作，垂足为D，连接，把问题转化到中求即可．【详解】解：如图，连接，作，

，，是等边三角形，，，，，

解得：（负值舍去），，

故答案为：．12.在一个不透明的袋子里有1个红球，2个白球和若干个黑球．小宇将袋子中的球摇匀后，从中任意摸出一个，记下颜色后放回袋中，在多次重复以上操作后，小宇统计了摸到红球的频率，并绘制了如图折线图．则从袋子中随机摸出两个球，这两个球一红一白的概率为______．【答案】##0.2【解析】【分析】根据折线图可知摸到红球的概率为0.2，然后可得不透明袋子中球的个数，进而根据列表法可进行求解．【详解】解：由折线图可知摸到红球的概率为0.2，∴不透明袋子中球的个数为（个），∴黑球的个数为5-1-2=2（个），列表如下：红白1白2黑1黑2红/√√√√白1√/√√√白2√√/√√黑1√√√/√黑2√√√√/由表可知随机摸出两个球的可能性有20种，摸出两个球为一红一白的可能性有4种，则摸出两个球为一红一白的概率为，故答案为：．【点睛】本题主要考查概率及用频率估计概率，熟练掌握利用列表法求解概率是解题的关键．13.如图，以为直径作半圆O，C为的中点，连接，以为直径作半圆P，交于点D．若，则图中阴影部分的面积为_____．【答案】##【解析】【分析】如图，连接，先由垂径定理的推理得到，再由圆周角定理得到，则由垂径定理可得，利用勾股定理求出的长，进而求出，再根据进行求解即可．【详解】解：如图，连接．∵C为的中点，∴，∵是小圆的直径，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，垂径定理的推理等等，熟知垂径定理和垂径定理的推论是解题的关键．14.已知，正方形的边长为4，点E为正方形内一动点，交射线于F，且．（1）求的最小值为______；（2）在（1）的情形下，求______．【答案】①.②.【解析】【分析】本题考查了圆的性质，正方形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，分母在理化．（1）先证明，判断出点在以为直径的半圆上，再利用勾股定理求解即可；（2）证明，利用平行线分线段成比例定理结合分母在理化，求解即可．【详解】解：（1）取的中点，连接，∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴点在以为直径的半圆上，且圆心为，当在同一直线上时，取得最小值，∵正方形的边长为4，∴，∴，∴的最小值为，故答案为：；（2）∵四边形是正方形，∴，∴，即，故答案为：．三、本大题共2小题，每小题8分，满分16分．15.计算：【答案】0【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．16.某校举办篮球比赛，进入决赛的队伍有A、B、C、D四队，要从中选出两队打一场比赛．（1）若已确定A打第一场，再从其余三队中随机选取一队，求恰好选中D队的概率；（2）请用画树状图或列表法，求恰好选中B、C两队进行比赛的概率．【答案】（1）恰好选中D队的概率；（2）画树状图见解析；P（B、C两队进行比赛）=．【解析】【分析】（1）由已确定A打第一场，再从其余三队中随机选取一队，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中B、C两队进行比赛的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】（1）∵已确定A打第一场，再从其余三队中随机选取一队，∴恰好选中D队的概率；（2）画树状图得：∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种，∴P（B、C两队进行比赛）==．四、本大题共2小题，每小题8分，满分16分．17.如图，四边形内接于，，．（1）求点O到的距离；（2）求的度数．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）连接，作于H，根据勾股定理的逆定理，得到，根据等腰直角三角形的性质解答；（2）根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．【小问1详解】解：连接，作于H，∵，，∴，∴为等腰直角三角形，，∴，即点O到的距离为；【小问2详解】，，四边形内接于，．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理的逆定理，掌握圆内接四边形对角互补是解本题的关键．18.如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上．（1）画出于轴的对称图形；（2）以原点为位似中心，在轴左边画一个，使它与的相似比为，并写出顶点的坐标．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析，．【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质得到点，顺次连线即可得到；（2）以为位似中心，在轴左边作的位似图形，使各边为的一半，再写出点的坐标即可．．【小问1详解】解：如图，即为所求；；【小问2详解】解：如图，即为所求，顶点的坐标为顶点．．【点睛】此题考查了作图：轴对称作图及位似作图，以及点的坐标，正确掌握轴对称的性质及位似的性质是解题的关键．五、本大题共2小题，每小题10分，满分20分．19.如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角是，沿斜坡走米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF的坡比为（参考数据：，，）（1）求小明从点A走到点D的过程中，他上升的高度；（2）大树的高度约为多少米？（精确到0.1米）【答案】（1）他上升的高度为米；（2）大树的高度约为8米．【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．（1）作于H，解，即可求出；（2）延长交于点G，求出，得到；设米，根据正切的概念用x表示出，根据列出方程，解方程得到答案．【小问1详解】解：作于H，如图，在中，∵，∴，∵，∴，∴，故他上升高度为米；【小问2详解】解：如图，延长交于点G，设米，由题意得，，∴，∴，∴，在中，，∴，在中，，∴，∵，∴，解得．答：大树的高度约为8米．20.如图，已知和为等腰三角形，其中，，，点B、C、D在同一直线上，连接，过点D作交延长线于点F，连接．（1）求证：；（2）若，求证：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质：（1）根据等边对等角得到，由根据平行线的性质得到，易证四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质可证；（2）由（1）可知，四边形是平行四边形求得结合已知证得，利用相似三角形的性质可得，即，结合可得结果；【小问1详解】∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，在和中，，∴；【小问2详解】由（1）可知，，四边形是平行四边形，∴，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵∴；六、本题满分12分．21.如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点．（1）证明：是的切线；（2）若，，求的半径．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，证明，得到，即可得证．（2）连接，，证明，求得、的长，半径即可得解．【小问1详解】证明：如图，连接，平分，；，；，∴，，，是的切线．【小问2详解】解：如图，连接，，是直径，是圆的切线，，；，；，，，，，，，解得，，圆的半径为．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键．七、本题满分12分．22.已知二次函数y=ax+ax+c（a≠0）．（1）若它的图象经过点（-1，0）、（1，2），求函数的表达式；（2）若a＜0，当-1≤x<4时，求函数值y随x的增大而增大时x的取值范围；（3）若a=1、c=-2，点（m，n）在直线y=x-2上，求当x=m，n时的二次函数的函数值和的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）把两个点的坐标代入解析式得到二元一次方程组并求解即可．（2）根据a的正负确定二次函数图象开口方向，根据解析式求出二次函数的对称轴，再结合x的范围求解即可．（3）根据点（m，n）及其所在直线用m来表示n，再用m表示出当x=m，n时的二次函数的函数值和，最后根据二次函数的最值求解即可．【小问1详解】解：把（-1，0）、（1，2）代入二次函数解析式得解得所以二次函数的表达式为．【小问2详解】解：∵a<0，∴二次函数图象开口方向向下．∵二次函数解析式为y=ax+ax+c（a≠0），∴二次函数的对称轴为直线．∵-1≤x