114广东省深圳市南山区南山二外（集团）学府中学2023-2024学年九年级下学期开学考数学试题

2023-2024学年第二学期九年级开学闯关数学一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）1.右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．看不见的棱要用虚线表示．找到从前面看所得到的图形即可．【详解】解：卷纸的主视图应是：，故选：C．2.用配方法解一元二次方程，变形正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据完全平方公式和等式的性质进行配方即可．【详解】解：故选：B．【点睛】本题考查了配方法，其一般步骤为：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．3.不透明的盒子放有三张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗，小明从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的概率（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】可利用画树状图得到所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可．【详解】解：设李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗分别为A、B、C，画树状图为：由图知，一共有6种等可能的结果，其中从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的有2种，∴从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的概率为，故选：A．【点睛】本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意题目中是放回试验还是不放回实验试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．4.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，过点作平行线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理得出，进行计算即可，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键．【详解】解：如图，过点作平行线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，，则，线段，，，故选：C．5.点和在反比例函数的图象上，若，则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是看k，并能正确把握反比例函数的性质．根据反比例函数的性质，当时，图象在第一三象限，在图象的每一支上y随x的增大而减小，可以判断出，【详解】解：∵反比例函数中，，∴在图象的每一支上y随x的增大而减小，∵，∴．故选：D．6.下列说法中，错误的是（）A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B.平行四边形对角相等C.对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形【答案】C【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的性质，矩形、菱形及正方形的判定，根据平行四边形的性质，矩形、菱形及正方形的判定定理进行排除．【详解】A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；故原说法正确；B、平行四边形对角相等；故原说法正确；C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原说法错误；D、对角线互相垂直的矩形是正方形，原说法正确；故选：C．7.如图，E、F、G、H是四边形ABCD四条边的中点，则四边形EFGH一定是()A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形【答案】D【解析】【分析】连接AC、DB，根据题意可确定线段EH为的中位线，线段FG为的中位线，即得出，，可判定四边形EFGH为平行四边形．【详解】如图，连接AC、DB．∵E、F、G、H是四边形ABCD四条边的中点，∴线段EH为的中位线，线段FG为的中位线，∴，，∴四边形EFGH为平行四边形．故选D．【点睛】本题考查三角形中位线的性质，平行四边形的判定．正确的连接辅助线是解题关键．8.10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是设参赛队伍有支，根据参加乒乓球比赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛380场，可列出方程．【详解】解：设参赛队伍有x支，由题意可得：，故选B．9.如图，为的对角线，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点的直线分别交于点E，F，交于点O，连接．根据以上尺规作图过程，下列结论不一定正确的是（）A.点O为的对称中心 B.平分C. D.四边形为菱形【答案】B【解析】【分析】由作图知，是线段的垂直平分线，利用平行四边形的性质可判断选项A；根据菱形的判定定理可判断选项C；根据菱形的性质得到，可判断选项D；不一定平分，选项B不正确．【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线，即点O为的对称中心，故选项A正确，不符合题意；∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵是线段垂直平分线，∴，，，∴，∴，∴，∴四边形为菱形，故选项D正确，不符合题意；∴，∴，故选项C正确，不符合题意；不一定平分，故选项B不正确，符合题意；故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10.如图1，在平行四边形ABCD中，，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿折线运动到点D停止．图2是点P、Q运动时，的面积S与运动时间t函数关系的图象，则a的值是（）A. B. C.6 D.12【答案】B【解析】【分析】根据题意计算得；再结合题意，得当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现二次函数关系；当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现一次函数关系，从而得a对应动点Q和点C重合；通过计算，即可得到答案．【详解】解：∵动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB运动到点B停止，一共用6秒钟，∴AB=1×6=6，∵，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD=6，当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现二次函数关系，当动点Q在上时，的面积S随运动时间t变化呈现一次函数关系，∴a对应动点Q和点C重合，如图：∵动点Q以每秒4个单位的速度从点B出发，∴，∴，∴，∴，如图，过点C作，交于点E，∴，∴，即．故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形、函数图像，二次函数、一次函数、三角函数,与三角形高有关的计算等知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、三角函数的性质，从而完成求解．二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11.如果，那么______．【答案】【解析】【分析】本题考查利用比例性质求代数式值，涉及比例性质、分式求值等知识，由条件可设，其中，代入分式化简求值即可得到答案，熟练掌握由比例性质设出值是解决问题的关键．【详解】解：，设，其中，，故答案为：．12.在△ABC中，若，则的度数是_____．【答案】##105度【解析】【分析】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．也考查了非负数的性质．先利用非负数的性质得到，即，则根据特殊角的三角函数值得到的度数，然后根据三角形内角和定理计算出的度数．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：．13.如图，某幅画的总面积为，该幅画平铺在地面上被墨汁污染了一部分，向画内随机投掷骰子（假设骰子落在画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在画内被污染部分上的频率稳定在常数0.6附近，由此可估计画上被污染部分的面积约为__________．【答案】【解析】【分析】本题考查的是利用频率估计概率．因为骰子落在画内被污染部分上的频率稳定在常数0.6附近，可估计画上被污染部分的面积约占整幅画面积的，由此计算即可．【详解】∵骰子落在画内被污染部分上的频率稳定在常数0.6附近，∴可估计画上被污染部分的面积约占整幅画面积的，即画上被污染部分的面积约为．故答案为：14.如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA=5米，进口AB∥OD，且AB=2米，出口C点距水面的距离CD为1米，则B、C之间的水平距离DE的长度为________米．【答案】8【解析】【分析】根据矩形的性质得到BE=OA=5，AB=2，求得B（2，5），设双曲线BC的解析式为y=，代入B点坐标，得到k=10，然后求出D点横坐标，最后用OD-OE即可求解．【详解】∵四边形AOEB是矩形∴BE=OA=5，AB=2∴B(2，5)设双曲线的解析式为y=，将点B的坐标代入，5=∴k=10∴y=∵CD为1∴当y=1时，x=10∴OD=10∴DE=OD-OE=10−2=8∴B、C之间的水平距离DE的长度为8米．故答案为8．【点睛】本题考查反比例函数的应用，矩形的性质，解题突破口是设双曲线BC的解析式为y=．15.如图，点E是正方形边的中点，，连接，将沿AE翻折，得到，延长，交的延长线于点M，交于点N．则的长度为________．【答案】【解析】【分析】连接，过点M作于点H，求出，得出，证明，求出，再证明，求出结果即可．【详解】解：连接，过点M作于点H，如图所示：∵四边形为正方形，∴，，，∵E是的中点，∴，根据折叠可知，，，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，即，解得：，∴，，∵，，∴，∴，即，解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，证明，求出．三．解答题（本大题有七题，其中第16题5分、第17题7分、第18题8分、第19题8分，第20题8分、第21题9分、第22题10分，共55分，解答应写出文字说明或演算步骤）16.（1）计算：．（2）先化简，再求值：，其中．【答案】（1）；（2），【解析】【分析】本题考查了实数运算，分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．（1）直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．（2）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【详解】解：（1）；（2）当时，原式．17.我校举行“创建文明城市，从我做起”的征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．（1）参加比赛的学生人数共有名，在扇形统计图中，表示“B等级”的扇形的圆心角为度，图中m的值为；（2）补全条形统计图；（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生征文比赛，已知A等级中男生有2名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．【答案】（1）20,90,40（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出学生总数，再用总人数减去A、C、D的人数得到“B等级”，然后用乘以“B等级”所占的百分比即可求得“B等级”的扇形的圆心角的度数；再后求出“C等级”所占的百分比即可求得m的值；（2）根据（1）求得“B等级”的数量，补全条形统计图即可；（2）根据D级的人数求得D等级扇形圆心角的度数，由C等级人数及总人数可求得m的值；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，然后根据概率公式计算即可．【小问1详解】解：根据题意得：（人），即参赛学生共20人；则B等级人数（人）．“B等级”的扇形的圆心角的度数为：；“C等级”的所占的百分比为：，即．故答案为：20，90，40．【小问2详解】解：补全条形图如下：【小问3详解】解：根据题意，列表表示出所有可能出现的结果如下：由表可知共有6种等可能的结果，其中所选两名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有4种，∴所选学生恰是一男一女的概率．【点睛】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、列表法求概率等知识点，弄清题意、从条形图和扇形图得到解题所需数据是解本题的关键．18.请用学过的方法研究一类新函数（k为常数，）的图象和性质．（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数的图象；（2）对于函数，当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化？（3）在坐标系中画出函数的图象，并结合图象，求当时，x的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）①时，当，y随x增大而增大，时，y随x增大而减小．②时，当，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大；（3）图象见解析，或【解析】【分析】（1）利用描点法可以画出图象．（2）分和两种情形讨论增减性即可；（3）画出函数的图象，根据图象即可求得．【详解】（1）函数的图象，如图所示，（2）①时，当，y随x增大而增大，时，y随x增大而减小．②时，当，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大；（3）由图象可知，当时，x的取值范围是或．【点评】本题考查反比例函数图象、正比例函数的图象，反比例函数的性质，解题的关键是掌握描点法画函数图象，学会利用函数图象说明函数增减性．19.公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到8625元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？【答案】19.该品牌头盔销售量的月增长率为20.该品牌头盔的实际售价应定为元/个【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据“从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程，求解即可；（2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，“月销售利润达到10000元”列方程，求解即可．【小问1详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据题意可得，解得，（舍去），答：该品牌头盔销售量的月增长率为；【小问2详解】解：设该品牌头盔的实际售价为y元/个，由题意可得，解得，尽可能让顾客得到实惠，（舍去），答：该品牌头盔的实际售价应定为45元/个．【点睛】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握知识点是解题的关键．20.下面是多媒体上的一道试题：如图，在菱形中，过点作于点，点在边上，，连接，求证：四边形是矩形．小星和小红分别给出了自己的思路．小星：先证明四边形是平行四边形，然后利用矩形定义即可得证；小红：先证明与全等，然后利用“有三个角是直角四边形是矩形”即可得证．（1）请你选择一位同学的思路，并进行证明；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）的长为【解析】【分析】（1）小星的思路．先证明四边形是平行四边形，然后利用矩形定义即可得证；小红的思路．由“”可证≌，可得，然后利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证；（2）先在中利用勾股定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可．【小问1详解】选择小星的思路．证明：四边形是菱形，，．，，四边形是平行四边形．，，四边形矩形；选择小红的思路．证明：四边形是菱形，，．，，，．，，，四边形是矩形；【小问2详解】在中，，四边形是菱形，，．中，，，解得．的长为．【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．21.根据以下素材，探索完成任务．素材1一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观在半径为米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉（图1中的阴影部分）．图1素材2从喷泉口A喷出的水柱成抛物线形，如图2是该喷泉喷水时的一个截面示意图，已知喷水口A离地面高度为米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为米处离地面最高，高度为米．图2问题解决任务1建立模型以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式．任务2利用模型为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，确定喷水口A升高的最小值．任务3分析计算喷泉口A升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议．【答案】任务1：；任务2：喷水口升高的最小值为米；任务3：建议花卉的种植宽度为米【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式．任务1：依据题意，用待定系数法求得抛物线的:函数表达式；任务2：依据题意，由喷泉池的半径为米，令，则，从而可以求出喷水口升高的最小值；任务3:：依据题意，当向上平移个单位，再令，，求出x的值，再减去即可判断得解．【详解】解：任务1：由题意得，，顶点为，可设抛物线的函数表达式为，抛物线过，，解得：，抛物线的函数表达式为；任务2：由题意，喷泉池的半径为米，令，则，喷水口升高的最小值为米；任务3：当向上平移个单位，则，令，，解得：，（舍去），米，建议花卉的种植宽度为米．22.【问题呈现】如图1，在中，，，，点P，Q分别是射线，射线上的两动点，且满足，连接．问：有何特点？【探究与延伸】（1）以下是某中学九年级（4）班同学们的一些猜测，其中正确的是（填序号）；①运动过