2023-2024学年江苏省南京市秦淮区钟英中学八年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省南京市秦淮区钟英中学八年级（上）月考数学试

卷（10月份）

一、选择题（本大题共8小题，共16分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列四个图标中是轴对称图形的是（）

2.若△ABC三ADEF,则根据图中提供的信息，可得出％的值为（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

4.小熊不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的

四块），他只带了第2块去玻璃店，就配到一块与原来一样大小的三角形玻璃.他利

用了全等三角形判定中的（）

A.ASAB.SASC.SSSD.HL

5.如图，40是△48C中ZB4C的平分线，DELAB,交4B于点E,DFLAC,

交4c于点尸.若S08C=7，DE=2,48=4,则4c的长是（）

A.4

B.3

C.6

D.5

6.小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置力处，。4与地面垂直，两脚在地面上用力一

蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她,若妈妈与爸爸到。4的水平距离3D、CE

分别为1.46和1.8m,乙8。。=90。,爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（）

7.如图，把长方形沿EF折叠后，点D,C分别落在D',C'的位置，若乙DEF=AED

65°,则乙。7法是（）/\

A$4二

B.50°C

C.60°

D.65°

8.如图，△ABC中，4ABC、4EAC的角平分线BP、AP交于点P,延长34、BC,E

PMJ.BE,PNJLBF,则下列结论中正确的个数（）

①CP平分4ACF;②Z48C+2/.APC=180°；③匕ACB=2乙APB；@S^PAC=

S^MAP+S〉NCP-/></

BCN

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

二、填空题（本大题共10小题，共20分）

9.如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是

10.如图，AC=AD,要使AACB三△408,还需添加一个条件，这个条

件可以是.（写出一个即可）

11.如图，△力BCmAADE,若NB+Z.C=110。，则NZME=度.

12.三个全等三角形按如图的形式摆放，则+Z2+43的度数等于

13.如图，△ABC中，OE是4C的垂直平分线，AE=6,△4B0的周长为19,贝IJAABCA

的周长为E

B

DC

14.如图，OF垂直平分48,EG垂直平分AC,点。、E在BC边上，且点。

在点B和点E之间.若NB4c=100°,则NZME=.

15.如图，己知=乙DCE=90°,BE14c于点B,DC=EC,BE=20cm,AB=

9cm.,贝！IAC=.

16.如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着

点B到C的方向平移到AOEF的位置，AB=10,DO=4,平移距离为6,

则阴影部分面积为

17.如图，其中的AABE和△4DC是由AABC分别沿着直线AB,AC折叠得到的，BE与C。相交于点/,若

^BAC=140°,则4E/C='

18.如图，已知四边形ZBCD中，4B=12厘米，BC=8厘米，C。=13厘米，=",

点E为4B的中点.如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点

Q在线段CD上由C点向。点运动.当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够使△

BPE^hCQP全等.

三、解答题（本大题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.（本小题6.0分）

如图，AE=DB,AC=DF,AC//DF,求证：BC=EF.

20.(本小题6.0分)

生活中的数学：

(1)启迪中学计划为现初一学生暑期军训配备如图1所示的折叠凳，这样设计的折叠髡坐着舒适、稳定，这

种设计所运用的数学原理是.

(2)图2是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿4B和CO的长相等，。是它们的

中点.为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度力。设计为30sn,则由以上信息可推得CB的长度

也为30cm,请说明4。=CB的理由.

如图，在△力BC中，AC边的垂直平分线分别交BC、4C于点E、F,连接AE,作4。1BC于点D,且。为BE的

中点.

(1)试说明：AB=CE；

(2)若4c=32。，求4BAC的度数.

22.（本小题6.0分）

求证：三角形三个内角的平分线相交于一点.

23.（本小题6.0分）

如图，已知△力BCG4c<4B<BC）,请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕

迹）；

（1）在48边上寻找一点M,使得点M到AC、BC的距离相等；

（2）在BC边上寻找一点N,使得NA+NB=BC.

24.（本小题10.0分）

已知：乙4cB=90。，AC=BC,AD1CM,BE1CM,垂足分别为D,E,

（1）如图1,把下面的解答过程补充完整，并在括号内注明理由.

①线段CD和BE的数量关系是：CD=BE-.

②请写出线段A。，BE,OE之间的数量关系并证明.

解：①结论：CD=BE.

理由：•••AD1CM,BE1CM,

：.AACB=乙BEC=/.ADC=90°,

Z.ACD+乙BCE=90°,乙BCE+Z.CBE=90°,

・•・Z.ACD=

在△ACO和ACBE中，()

・•.△ACD=LCBE,()

・•・CD=BE.

②结论：AD=BE+DE.

理由：•••△ACD三△CBE,

CE=CD+DE=BE+DE,

・••AD=BE4-DE.

(2)如图2,上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段ZD,BE,DE之间的数量关系.并说明理由.

25.(本小题10.0分)

【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1,△ABC中，若4B=8,AC=6,求BC边上的中线AC的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2,延长4D到点E,使DE=AD,连结BE.请根据

小明的方法思考：

⑴由已知和作图能得到△4DC三AEDB的理由是.

A.SSS

B.SAS

C.AAS

D.ASA

(2)4)的取值范围是.

(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散

的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中.

【问题解决】如图3,AO是△ABC的中线，8E交4C干点E,交4。于F,且4E=EF.求证：AC=BF.

AA

A

B

,D

B

D

26.(本小题12.0分)

学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“S4”“A4S”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即

“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.

【初步思考】

我们不妨将问题用符号语言表示：在△力8c和ADE尸中，AC=DF,BC=EF,Z.B=zE,然后对2B是直

角、钝角、锐角三种情况探究.

【深入探究】

(1)如图1,在△4BC和AOEF中，AC=DF,BC=EF,NB=NE=90。，根据,可以知道/?《△

ABC三Rt△DEF.

(2)如图2,在4/IfiCftlADEF<V,AC=DF,BC=EF,zB=乙E,且NB,NE都是钝角.求证：△ABC»DEF.

(3)在AABC和AOEF中，4C=DF,BC=EF,4B=NE,且NB,NE都是锐角.请你用尺规在图3中作出△DEF,

使&。EF和△4BC不全等.(不写作法，保留作图痕迹)

(4)对于(3),4B还要满足什么条件，就可以使4DEF2请直接填写结论：在^ABC^hDEF中，4C=

DF,BC=EF,NB=NE,且4B,NE都是锐角，若,则△ABC三△DEF.

答案和解析

1.【答案】C

解：A,B,。选项中的图标都不能找一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，

所以不是轴对称图形；

C选项中的图标能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图

形；

故选：C.

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线

叫做对称轴进行分析即可.

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

2.【答案】A

解：「△ABC三△OEF,

BC=EF=30,

故选:A.

直接利用全等三角形的性质得出对应边相等进而得出答案.

此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边是解题关键.

3.【答案】C

解：•••△ABC三△DEF,

Z.D=z.A=34°,

•••々DEC=NF+NO=36°+34°=70°.

故选：C.

由全等三角形的性质得到ND=NA=34。，由三角形外角的性质得到々DEC=4F+ND=70°.

本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，关键是由全等三角形的性质得到ND=乙4=34。，由三角

形外角的性质即可求解.

4【答案】A

解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，

只有第2块有完整的两角及夹边，符合4S4,满足题目要求的条件，是符合题意的.

故选：A.

根据三角形全等判定的条件可直接选出答案.

本题主要考查三角形全等的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、4s4、4AS、

HL.

5.【答案】B

解：•••力。是AABC中NBAC的平分线，DE_LAB于点E,DF_L4C交4c于点产，

DF=DE=2.

乂"ShABC=S&ABD+SAACD，AB=4,

7——x4x2+~x/lCx2,

解得AC=3.

故选：B.

首先由角平分线的性质可知DF=DE=2,然后由S-BC=SUB。+S—CD及三角形的面积公式，从而求出4C

的长.

本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

6.【答案】D

解：由题意可知4CE。=乙BDO=90°,OB=OC,

"Z.BOC=90°,

•••乙COE+乙BOD=乙BOD+乙OBD=90°.

:、Z-COE=Z.OBD,

在△COE和△08。中，

Z-COE=乙OBD

乙CEO=乙ODB,

OC=OB

・・・△COE=A080(44S),

ACE=OD,OE=BD,

•；BD、CE分别为1.4巾和1.8m,

DE=OD-OE=CE-BD=1.8-1.4=0.4(m),

vAD=Im,

・••AE—AD+DE=1.4(m),

答：爸爸是在距离地面1.4m的地方接住小丽的.

故选：D.

由直角三角形的性质得出NCOE=4OBD,根据A4s可证明△COE为OBD,由全等三角形的性质得出CE=

OD,OE=BD,求出DE的长则可得出答案.

本题考查了全等三角形的应用，直角三角形的性质，证明ACOE三AOBD是解题的关键.

7.【答案】B

解：••・四边形4BCD是矩形，

.-.AD//BC,

乙BFE=4DEF=65°,

由折叠的性质得到：。七〃C'F,

•••/.FED'+乙EFC'=180°,

Z.EFC=115°,

•••Z.BFC=乙EFC'-乙BFE=50°.

故选：B.

由折叠的性质得到。'E〃C'F,由平行线的性质得到NBFE=Z_DEF=65。，/.FED'+/.EFC'=180°,求出

乙EFC'=115°,即可得至Ij/BFC'=Z.EFC-乙BFE=50°.

本题考查折叠的性质，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键.

8.【答案】D

解：①过点P作PO_L4C于。，乂广

•••PB平分Z71BC,P4平分NEAC,PMJ.BE,PN1BF,PDLAC,

PM=PN,PM=PD,

PM=PN=PD,„

BcN*

・••点P在乙4CF的角平分线上，故①正确；

②vPMA.AB,PN1BC,

・・・2LABC+90°+乙MPN+90°=360°,

:•乙ABC+乙MPN=180°,

在Rt△PAM^\Rt△P力。中，

(PM=PD

(PA=PA'

・••Rt△PAM=Rt△PAD(HL),

・•・Z.APM=Z-APD,

同理：RtAPCDwRtAPCN(HL),

乙CPD=乙CPN,

•••4MPN=2AAPC,

/.ABC+2乙4PC=180°,②正确：

③•••P力平分NCAE,BP平分乙4BC,

•••Z.CAE=乙ABC+Z.ACB=24PAM+AACB,4PAM=QABC+^APB,

Z.ACB=24APB,③正确；

④由②可知Rt△PAM^Rt△PAD(HL),RtAPCD^Rt△PCN(HL)

SAAPD=S—PM，S&CPD=S^CPN，

SMPM+S&CPN=SAAPC，故④正确，

故选：D.

过点P作PD1AC于。，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；^Rtl^PAM^RtPAD,根据全等

三角形的性质得出〃PM=〃PD,判断②;根据三角形的外角性质判断③;根据全等三角形的性质判断④.

本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等

是解题的关键.

9.【答案】3265

解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码

是3265.

故答案为：3265.

根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此分析并作答.

此题考查了镜面对称，正确理解对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不

同.

10.【答案】BC=8。(答案不唯一)

解：条件是BC=BC,

理由是：在△4CB和△ADB中，

AC=AD

AB=AB,

.BC=BD

•••△ACB三△ADB(SSS),

故答案为：BC=BD(答案不唯一).

此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可.

本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定

理有SAS,ASA,AAS,SSS,两直角三角形全等还有HL.

11.【答案】70

解：在△ABC中，NB+4c=110。，

•••Z.BAC=180°-（Z5+ZC）=70°,

ABC=^ADEj

・•・/,DAE=Z.BAC=70°,

故答案为：70.

首先利用三角形的内角和定理求得NB4C的度数，然后利用全等三角形的性质确定答案即可.

考查了全等三角形的应用，解题的关键是了解全等三角形的对应角相等，难度不大.

12.【答案】180°

解：如图所示：

由图形可得：Z.1+Z.4+Z.5+N8+Z.6+Z.2+Z.3+Z.9+Z,7=540°,

••・三个三角形全等，

•1•z4+z9+Z.6=180°,

又•••z5+z7+Z8=180°,

N1+42+43+180°+180°=540°,

Z.1+Z2+43的度数是180。.

故答案为：180°.

直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出44+49+46=180°,45+47+

48=180°,进而得出答案.

此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键.

13.【答案】31

解：•••DE是4C的垂直平分线，AE=6,

AD=DC>AE=EC=6>

.-.AC=12,

•・•△ABD的周长为19,

•••AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=19,

••.△48。的周长为48+"+"=19+12=31,

故答案为：31.

根据线段垂直平分线性质求出4。=OC，AC=12,根据△ABO的周长为24求出48+BC=19,即可求出

答案.

本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能正确运用线段垂直平分线性质进行推理是解此题的关键，注意：

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.

14.【答案】200

解：v4BAC=100°,

NB+NC=180°-100°=80°,

DF垂直平分力B,EG垂直平分4C,

•••DA=DB,EA—EC,

•1•/.DAB=乙B,Z.EAC=zC>

•1•/.DAB+Z.EAC=乙B+zC=80°,

miE=100°-80°=20°,

故答案为：20。.

根据三角形内角和定理得到NB+NC=80。，根据线段垂直平分线的性质得到=EA=EC,进而得

到4f=/.EAC=ZC,计算即可.

本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个

端点的距离相等是解题的关键.

15.【答案】11cm

【解析】证明：•.♦NECB+zDC4=90。，^DCA+=90°,

・•・乙ECB=乙D,

在aECB和△CO力中，

(乙ECB=Z.D

ZFFC=Z.A=90。，

(CE=CD

・••△ECB"CO4Q4AS),

・•・BE=ACfBC=ADf

•・•BE=20cm,

・•・AC=20cm,

・•・AD=AC-AB=11cm,

故答案为：11cm.

由“A4S”可证AECBmACOA,可得BE=AC,BC=AD,即可求解.

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明aECB三ACDA是本题的关键.

16.【答案】48

【解析】【分析】

根据平移的性质得出BE=6,DE=AB=10,贝！jOE=6,则阴影部分面积=S四边形ODFC~S梯形ABEO，根据

梯形的面积公式即可求解.

本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出阴影部分和梯形4BE。的面积相等是解题的关键.

【解答】

解：由平移的性质知，BE=6,DE=AB=10,

OE=DE-DO=10-4=6,

S四边形ODFC=S梯形ABEO=+OE)-BE=(10+6)X6=48.

故答案为48.

17.【答案】80

解：•・・△A8E和AADC是由AABC分别沿着直线48,4c折叠得到的，

•••4ABC=/.ABE,Z.BCA=/.DCA,

•••^BAC=140°,

.1.乙ABC+Z.ACB=180°-NBAC=180°-140°=40°,

•••/BC+Z/CB=2^ABC+2乙ACB=2x40°=80°,

4EIC=N/BC+Z.ICB=80°,

故答案为80.

由AABE和△4DC是由△ABC分别沿着直线AB,4c折叠得到的，得N/WC=41BE,Z.BCA=/.DCA,再根

据三角形的内角和定理得到乙IBC+NACB=40°,进而得到4/BC+N/CB=80°,最后根据三角形的外角性

质即可求出答案.

本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理等知识，根据折叠前后对应角相等求出N/BC+Z/CB=80。是

解题的关键.

18.【答案】2或3

解：设点P运动的时间为t秒，则BP=23CP=8-2t,

vLB—/-C,

.•.当BE=CP=6,BP=CQ时，ABPE与4CQP全等,

此时，6=8-2t,

解得t=l，

:.BP=CQ=2,

此时，点Q的运动速度为2+1=2(厘米/秒)，

⑵当BE=CQ=6,BP=CP时，4BPE与4CQP全等,

此时，2t=8-23

解得t=2,

点Q的运动速度为6+2=3(厘米/秒)，

故答案为：2或3.

分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度.

本题考查了全等三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.

19.【答案】证明：•:AE=DB,

•••AE+EB=DB+EB,

即AB=DE,

•••AC//DF,

Z71=Z.D,

在AABC和△£)£尸中，

AC=DF

Z.A=Z.D，

.AB=DE

.•.△ABC三△DEF(SAS),

•1•BC=EF.

【解析】已知4E=DB,则AE+EB=DB+EB,可得力B=DE,由得乙4=Z.D,结合已知AC=DF

可证明△ABC^DEF,利用全等三角形的性质证明结论.

本题考查了全等三角形的判定与性质.关键是由已知线段相等，公共线段求对应边相等，证明全等三角形.

20.【答案】三角形具有稳定性

解：这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性，

故答案为：三角形具有稳定性；

(2)证明：•.•。是4B和C。的中点，

・•.AO=BO,CO—DO,

在△4。。和ABOC中，

AO=BO

Z-AOD=(BOC,

DO=CO

AOD^ABOC(SAS),

・•・AD—BC.

(1)利用三角形的性质进行解答；

(2)利用S4S定理判定△AODwaBOC,再利用全等三角形的性质可得答案.

此题主要考查了全等三角形的应用，以及三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定方法和性质定理.

21.【答案】(1)证明：・・・。为BE的中点，

・・.BD-DE,

vAD1BC,

・•・AB=AE,

•・・EF是AC的垂直平分线，

AE=CE,

・•・AB=CE；

(2)解：vZC=32°,AE=CE,

・•・ZC=Z.EAC=32°,

・•・Z.AEB=4。+Z.EAC=64°,

vAB=AE,

・・・ZF=Z.AEB=64°,

・・・乙BAE=180°一乙B-Z,AEB=180°-64°-64°=52°,

・・・Z.BAC=Z-BAE+/LEAC=52°+32°=84°.

【解析】(1)根据等腰三角形的判定得出=根据垂直平分线的性质得出=等量代换即可得

出结论；

(2)根据等边对等角得出〃=^EAC=32。，再根据三角形的外角的性质得出=ZC+^EAC=64°,

再根据等边对等角得出乙B=^4EB=64。，根据三角形内角和定理得出NBAE=52。，进而得出答案.

本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，正确理解题意是解题的关

键.

22.【答案】已知：BD、CE是A/IBC的角平分线，BD、CE相交于点0,

求证：三角形三个内角的平分线相交于一点，

证明：如图，过点。作。G1BC于G,作。H14C于H,作OK_LAB于K,

,:BD、CE是△ABC的角平分线，

0G=OH,0G=0K,

AOH=0K,

•••点。在44的平分线上，

故三角形三个内角的平分线相交于一点.

【解析】作出图形，写出已知、求证，过点。作0G于G,作。于作。K1AB于K,根据角平

分线上的点到角的两边距离相等可得0G=0H,0G=0K,从而得到0H=0K,再根据到角的两边距离相

等的点在角的平分线上证明即可.

本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，要注

意文字叙述性命题的证明格式.

23.【答案】解：(1)如图所示：

(2)如图所示:

【解析】此题考查复杂作图，关键是根据角平分线和线段垂直平分线的作法解答.

(1)作乙4cB的平分线交4B于M；

(2)作4c的垂直平分线交BC于N即可.

24DC=乙BEC

24.【答案】"BE\A.ACD=^CBEAASAD=CE

.AC=BC

解：⑴TADLCM,BE1CM,

•••Z.ACB=乙BEC=/-ADC=90°,

A/.ACD+乙BCE=90°,乙BCE+乙CBE=90°,

・•・Z.ACD=Z-CBE

Z.ADC=乙BEC

在△AC。和△CBE中，(\AACD=/-CBE)

AC=BC

**.△ACD三ACBE,(AAS')

ACD=BE.

②结论：AD=BE+DE.

理由：•让ACD三XCBE,

・・・AD=CE

•・•CE=CD+DE=BE+DE,

・•・AD=BE+DE.

Z.ADC=乙BEC

故答案为：乙CBE,\^ACD=乙CBE,AASfAD=

AC=BC

CE.

(2)不成立，结论：0E-8E=A0.

理由：-ADLCM,BE1CM,

・••乙ACB=乙BEC=Z.ADC=90°,

・・.Z,ACD+乙BCE=90°,乙BCE4-Z-CBE=90°,

・•・Z.ACD=Z-CBE

在△力CO和△C8E中,

2LADC=乙BEC

Z.ACD=Z-CBE，

AC=BC

.SACD三4CBE,(44S)

・•・AD=CE9CD=BE,

・•・DE-BE=DE-DC=CE=AD.

(1)根据同角的余角相等，全等三角形的判定和性质即可解决问题;

(2)结论：DE-BE=AD,只要证明△4CD三△CBE即可解决问题;

本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件，灵活运用知识解决问

题.

25.【答案】B1<AD<7

解：如图2,延长4。到点E,使。E=AO,连结BE.

图2

•••AD为BC的中线，

・・.BD=CD,

XvAD=DE,Z.ADC=Z.BDE,

*,.△71£)(7=△EDB(SAS),

故答案为：B；

(2)解：•••△/DC