2023年高考数学试题解析新高考Ⅱ卷

1.在复平面内，（l+3i）（3—i）对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】（l+3i）（3—i）=3—i+9i+3=6+8i,复数对应的点位于复平面内第一象限，故

选A.

【方法总结】利用复数与点的对应关系解题的步骤

（1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z=a+6i（a,6dR）可以用复平面内的点Z（a,b）

来表示，是解决此类问题的根据.

（2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）

求解.

2.设集合A={0,—a},6={l,a—2,2a—2},若A口3,贝！|a=（）.

2,

A.2B.1C.-D.-1

3

【答案】B

【解析】74口_8则。-2=0且2。一2=—。，止匕时a=2

或。一2=-。且2a-2=0,则。=1,显然AaB,故选B.

（解后反思］利用集合间的关系求参数的关注点

（1）分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合.

（2）此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，

还要注意验证端点值，做到准确无误.一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心圈表示.

（3）此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集.

3.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，

拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200

名学生，则不同的抽样结果共有（）.

A.C窑。-C器种B.CMc机种

C.C落.C北种D.C2C禽种

【答案】D

【解析】初中部和高中部总共有400+200=600（人），

按照分层抽样的原理，应从初中部抽取60=40（人）,

600

从IWJ中部抽取---x60=20（人），

600

第一步：从初中部抽取40人，有C%种方法,

第2步：从高中部抽取20人，有C落种方法,

根据分步计数原理，一共有C禽-C落种方法；故选：D.

【解题规律】有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类

⑴“含,，与“不含,，问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去

掉再取，分步计数.

(2)“至多，，”至少，，问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不

漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏.

2x-1

4.若/('=@+4)111汽门为偶函数，则。=().

,1

A.-1B.0C.-D.1

2

【答案】B

【解析】方法一：函数“X)的定义域为(—8,—g)(；,+8)，因/(X)是偶函数，

不妨令x=l,则有/(-I)=/(I),/.(-1+Q)In3=(1+Q)Ing,，-1+a=-1一a,:,a=0.

方法二：发现g(x)=ln」一是奇函数，而/(x)=(x+a)g(x)为偶函数，

2元+1

有/(-X)=(-x+a)g(-X)=-(r+a)g⑴=(x+a)g(x)=/(x),

故x-a=x+a,则a=0.选B.

【解后反思】利用奇偶性求值的常见类型(1)求参数值：若解析式含参数，则根据八一X)

=-7(x)或八-x)=«x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义

域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数.

(2)求函数值：利用八一元)=—/(x)或八一求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于

求值.

5.己知椭圆=1的左、右焦点分别为耳，F2,直线丁=%+机与C交于A,B

两点，若△EA5面积是△6A3面积的2倍，则机=().

【答案】C

42_[

【解析】由＜3+'，可得4J?+6wx+3/一3=0

y=x+m

椭圆与直线y=与C交于A,B两点，可得一2＜相＜2

丫2LL

设椭圆、+丁=1的左、右焦点分别为《(-V2,0),F2(0,0)

到直线y=x+m的距离分别为4、d],

-V2+m|

由点到直线的距离公式可知4=

~~JT~

因为sAFiAB=2SAF2AB，所以有g.IA=g.|A4d2，

I-V2+/n||V2+m|

即d.=2d,,J——广~=2J~

12g垃

两边平方解得〃2=----,故选C.

3

【解后反思】解决直线与椭圆的综合问题，要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用

6.己知函数/(x)=ae*—Inx在区间(1,2)单调递增，则a的最小值为().

A.e~7B.eC.e_1D.e_9

【答案】C

【解析】函数/(x)=ae「Inx在区间(1,2)单调递增

等价于/'(x)=aH—工之0在区间(1,2)上恒成立，即。，工],

XI%，/max

设g(%)=%",则在(1,2)上恒有g'(jv)=(x+l)/>0,

所以g(耳＞8编=6,贝Ia

即a2e-i,故选C.

【解后反思】利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路

①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即了(尤巨0(或/㈤成)恒成立，利用分离参

数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取"='’时是否满足题意.

②先令/(x)＞0(或/(x)＜0),求出参数的取值范围后，再验证参数取"=''时段)是否满足题意.

1+A/5..CL

7.已知a为锐角，cosa=-----，贝！Jsin—=().

42

人3-新-1+石3-逐-[+非

A.-----D.C.D.

8844

【答案】D

a

r1c.20/口.2I-COSaIf11+45}3-石

【角星析】由coso=l—2sin一得，sin一二--------=一I-

2222I4J8

八冗。兀一、、.a八bli-a—I+y/5n-、r

又因为0<a<&则0<±<&所以sin—>0,所以sin—=——―,故答案为D.

2,24,224

【解后反思】利用半角公式求值的思路

(I)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角

公式求解.

(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应

半角的范围.

zyqina1—COSCk

⑶选公式：涉及半角公式的正切值时，常用ta2n1士十cosa=Fsin—a，其优点是计算时可

1—COSCk

避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin]=­2—

/1+cosa

cos2=---2--叶舁•

8.记5“为等比数列｛4｝的前〃项和，若其=—5,S6=21S2,则4=().

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

【解析】方法一(基本量法)：如果q=l,则§6=6%,S?=2囚与题意不符合，所以qwl,

由Sf=21S?得邛二^=21q二所以1—46=(1—42)(1+42+44)=21(1—42),

贝I/+“2—20=0,解得/=4.由已知~U=-5而

i—q

方法二(性质法)：由等比数列性质：%为等比数列,^Sn,S2n-Sn,Sin-S2n.依次成

等比数列，当

〃=2时，M，S4-SzS-S4q-S6成等比数列.设公比为

所以52+54_32+56_34=52(1+0+02)=2152，所以1+0+02=21,0=4,

—5,$2=T,

S2+S4-S2=(l+Q)S2=5S2=所以

所以58=52+（54—32）+（56—54）+（58—36）=52（1+!2+。2+03）=—85,故选（2.

【解后反思】处理等比数列前〃项和有关问题的常用方法

⑴运用等比数列的前"项和公式，要注意公比g=l和两种情形，在解有关的方程（组）

时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.

⑵灵活运用等比数列前n项和的有关性质.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,A8为底面直径，ZAPB=12Q°,E4=2,点C

在底面圆周上，且二面角P—AC—O为45。，则（）.

A.该圆锥的体积为兀B.该圆锥的侧面积为46兀

C.AC=2A/2D.△K4C的面积为石

【答案】AC

【解析】由题意，可得尸0,平面49C,ZAPO=-ZAPB=6Q°,

2

所以PO=PAcosNAPO=1,AO=PAsinNAPO=石.

如图，取AC的中点。，连接尸£>,（?£>,则P£）J_AC,O£）J_AC,

所以ZPDO即为二面角P-AC-0的平面角，所以ZPDO=45°.

因为ODu平面49C,平面49C,

所以所以为等腰直角三角形，

所以O£）=PO=1,PD=亚.

对于A,圆锥的体积V=；S/z=；7ix（G）2xl=7i,故A正确；

对于B,圆锥的侧面积5=兀〃=兀XJ§X2=26兀，故B不正确;

对于C,AC=2^AO--OD2=2V2,故C正确；

对于D,SAP.r=-xACxPD=-x2V2xV2=2,故D不正确.

"AC22

综上所述，故选AC.

【解后反思】1.圆锥的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而

表面积是侧面积与底面圆的面积之和.

2.求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面，准确求出几何体的高和底面积.

10.设O为坐标原点，直线y=—九一1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，且与C

交于N两点，/为C的准线，则().

Q

A.p=2B.\MN\=~

C.以MN为直径的圆与/相切D.△OMN为等腰三角形

【答案】AC

【解析】对于A,在y=—6(九—1)中令y=0,得x=l,

所以抛物线的焦点为(1,0),所以六1,所以0=2,故A正确;

对于B,由A知，抛物线的方程为/=4x,

1

x=一

评3一x=3

则由</-或〈

y2=4x2V3y=-2yf3'

y=—

3

不妨设M

则由抛物线的定义，得|MN|=XM+XN+p=g，故B不正确;

Q

对于C,由B知，以上W为直径的圆的圆心为,半径为2.

3

又抛物线的准线I的方程为％=-e=-1,

2

CQ

圆心到准线/的距离为1-(-!)=］，所以以儿W为直径的圆与/相切，故C正确;

对于D,因为|ON|=’32+-26丫=嫡。|,|，

则由抛物线的对称性知AOMN不是等腰三角形，故D不正确.综上所述，故选AC.

【解后反思】解决抛物线综合问题的基本策略

对于抛物线的综合问题，可以从直线、抛物线的方程出发，结合解一元二次方程，经过逻辑

推理和数学运算，从代数法的角度推证结论.

11.若函数〃x)=alnx+2+三(awO)既有极大值也有极小值，贝U().

XX

A.bc>0B.ab>0C.b1+Sac>0D.ac<0

【答案】BCD

【解析】由函数"x)=alnx+2+W，

XX

得函数/(x)的定义域为(0,”)，="“=-2°•

因为函数〃尤)既有极大值也有极小值，所以g(x)=ar2-法一2c在(0,+8)上，有两个

不同的零点.

A=Z?2+Sac>0

b

因为。/0,所以《%+/=一>0，

a

2c

%入2=---->0

a

所以/+8ac>0,且">0,ac<0,bc<0,

所以A不正确，B,C,D正确.故选BCD.

【解后反思】根据函数既有极大值又有极小值求参数的取值范围问题的常用方法为：首先对

函数进行求导，然后根据函数既有极大值又有极小值可以得到导函数为的方程有两个不等的

实数根，从而转化为函数存在两个零点问题求解.

12.在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立,发送0时，收到1的概率为a(O<a<l),

收到0的概率为1—夕；发送1时，收到0的概率为乃(0(乃<1),收到1的概率为1—〃.考

虑两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指

每个信号重复发送3次，收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即

为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1,

则译码为1)().

A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为

B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为，(1-,)2

C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为尸(1—分)2+(1—月)3

D.当0<】<0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方

案译码为0的概率

【答案】ABD

【解析】设事件“发送信号o收到0”为事件4，设事件“发送信号o收到1”为事件A,

设事件“发送信号1收至U0”为事件B。,设事件“发送信号1收至U1”为事件Bo,

由题知，P(4)=1-a,尸(A)=以尸(珞)=尸,P(旦)=1一£,

且事件4,A，稣,用互相独立，

考察选项A,所求事件为444，

2

所以P(B1AoBJ=尸(旦)P(4)P(B1)=(1-£)(1-a)(l-/7)=(1-a)(l-/7),所以A正确

考察选项3,所求事件为耳稣耳，

所以尸(片为4)=P(B,)P(B0)P(B1)=(1-/)尸(1一尸)=尸(1-£)2,所以3正确；

考察选项c,所求事件为444+月线4+4耳4+44居，

又P(用旦耳)=P(即尸(旦)P(即=(1-£)3,

所以P(B,B,B0+B}BOBX+稣44+444)=(1-/)3+36(1一尸)2,所以C错误；

考察选项。，采用三次传输，事件为44A+AAA+AAA+444，

所以尸(44A+4A4+444+444)=3a(1—a)~+(I—a)3,

米用单次传输，P(4)=l-a.

所以尸(44A+4A4+A44+A4A))一尸(4)=3a(i—a)2+(i—(z)3—(1—a)

=(1_«)[3a(l-a)+(l-a)2-1]

=(1-a)[3a(l-a)+(l-a)2-1]

=(1—a)(6z—2a~)

=a(l-a)(l-2ar)

因为0<cr<0.5,所以dz(l-tz)(l—2tz)>0.

所以采用三次传输的概率大于单次传输的概率，所以选项。正确.

【方法点拨】(1)本题需要准确理解题意，梳理清楚发送和接收信号的异同各自的概率是

什么；

(2)总体上设发送0为事件A,接收0为事件4,接收1为事件A；设发送1为事件3,

接收0为事件鸟，接收1为事件4；,则能清楚地分辨各个事件概率之间的关系；

(3)特别的，发送。收到0的概率小于0.5,以及正确接收信号的概率小于0.5,多次传输

会使得信号传输正确的概率变大，非常符合直觉。此选项也可以由直觉直接判断正误.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量a,小满足心一耳=百，卜+耳=|2«—4,则网=.

【答案】G

||-2••-2-•-2-2

【解析】由K—母=石，得a-2a-b+b=3,即2a+b-3①.

又由卜+目=|2。-目，得a+2a-b+b=4a-4a-b+b，

一2-一,-2/.2-2\

即3。-6a-b=0,代入①，得3a-3«+b-3=0,

整理，得广=3,所以M=

【解后反思】求解向量模的问题就是要灵活应用。2=同2,即⑷=4层，勿忘记开方.

14.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,高为3

的正四棱锥，所得棱台的体积为.

【答案】28

【解析】如图所示，。分别为棱台上、下底面的中心，由题意，得A5=4,AB'=2,

PC，CH'Q9

PO'=3.易知APOH〜APOH,所以——=——，即一=-,解得PO=6,所

POOHPO4

以00=尸0—尸0'=3,所以该正四棱台的体积是V=gx3xQ2+2x4+42)=28.

【解后反思】求几何体体积的常用方法

15.已知直线x—阳+1=0与，C:(x—1)2+丁=4交于A,8两点，写出满足“△A3。面

Q

积为g”的m的一个值______.

【答案】2答案不唯一，可以是土;,士2中任意一个

2

【解析】由条件知圆心C(l,o),到直线/的距离

\AB\=2^R2-d2=2/4-f2f=胴.

丫vVl+m2JJ1+.2

小c_8汨14|m|2_8

由as。——>何一X.-X.-=—，

52VIWA/1W5

整理，得2m?—5]时+2=0,解得加=±2,或加=±5,不妨取m=2.

【方法点拨】直线被圆截得的弦长的相关问题，通常利用几何法解决，即直线被圆截得的半

弦长;、弦心距d和圆的半径「构成直角三角形，且/=](1+储，可以知二求一，或者

结合点到直线的距离公式构建关系式求解参数.

16.已知函数/(X)=sin(&w+0),如图A,8是直线y与曲线y=/(x)的两个交点，

若|AB|=F，则/(兀)=.

【答案】一孝

【解析】对比正弦曲线y=sinx的图象易知，点|彳:五点法”中的第五点，所以

2»co

3co~\~(p—27r①.

由图象知|4-4=工，线段A3的垂直平分线对应于正弦曲线y=sinx的第1条对

6

称轴x=X

2

71

叫+。二7

所以由sin(ox+0)=g,得v两式相减,

5%

coXg(p--6

得。(招一/)="，即工0=也，解得69=4,

yBAJ666

代入①，得"=—考，所以/(x)=sin[4x—2乃

所以/(7i)=sin14兀一1.InA/3

=-sin——=------

32

【方法点拨】由函数y=Asin(m+0)的图象确定的题型，常常以“五点法”中的第

一零点£'°]作为突破口，要从图像的升降情况找准第一零点的位置.要善于抓住特殊

量和特殊点.

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤。

17.记△A5C的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,己知△ABC面积为有，若D为BC

中点，且AD=1.

7T

(1)若NADC=—,求tanB；

3

(2)^b2+c2—8,求b,c.

【思维导引】(1)△ABC面积为6一4csinB=2g一AABD中正弦定理一

csmB-———＞求〃

2

AADB中余弦定理求c—＞A/4BD中余弦定理求cos5—＞求13115

（2）中线定理一4£）2+5。2=4一求q一面积公式及余弦定理联立一人二女一面

3

积公式列方程求6,c

【解析】（1）（方法）由AABC面积为有，可知

SAABC=gacsin3=2后，...acsinB=2』,

Ar>

又在AABD中，有*AB

sinBsinZADB

JT1

由NADC=—,可得

3S1"sinT

故csinB=3，代入或^115=26可得0=4

2

，77"

在MDB中，由余弦定理可得AB~=c2=BD2+AD--2BD-ADcos——

3

即°?=F+2?-2xl*2*cos^^=7,解得c=V7

3

AB-+AD--BD1AB2+AD2-BD27+4-15C

在AABD中，cosB=------------...........=-----=--->Q

2AB-AD2AABB-AAD2.77x22用

故Bw，有sin3=,tan3=

21s-5

（方法二）D为BC中点，5AAsc=6，则SMCD=当

过A作垂足为E,

在石中，DE=-,AE=^-,

22

S^CD=~—CD,:.CD=2

:.BD=2,BE=-,:.tanB=—=—

2BE5

(2)在△ABC中，由中线定理可得〃+c2=2(4。2+5。2)

即32+5。2=4,所以30=6，a=2#)

由S=—bcsmA^Ob2+c2-a1=2bccosA

2

S=—(b2+c2-a2)tanA,所以tanA=-A/3<0

4

又Ae(工，1)，A=—

23

又5=工人。5也4,be=4

2

因万2+。2=8,可得>=c=2.

【解后反思】三角形面积计算的依据和解题策略

(1)依据：一般用公式S=5bsinC=]bcsinA=]acsinB进行求解；

(2)解题策略：①若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化

为求三角形的面积;②若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，

再利用三角形面积公式进行求解.

18.已知｛%｝为等差数列，“为偶数，记%，分别为数列｛4｝，也｝的

刖"项和，=32,丁=]6.

(1)求｛。”｝的通项公式；

(2)证明：当〃>5时，Tn>Sn.

【思维导引】(1)设公差2—求邑,刀一列方程求求｛4｝

2

(2)求和Sn=n+4〃一>n为奇数求，一为偶数求，一>做差(-S“一>证明〃>5时

不等式成立

【解析】设等差数列｛4｝的公差为小

an-6,“奇

由""=〈m，得4=%-6,8=2G=2(q+d),4=%-6=%+2d-6,

偶

-4x3

4a+----xd=32ra,=5

则由$4=32,7；=16,得|"2,解得《：,

(弓-6)+23+1)+(4+21—6)=161"=2

所以为=〃]=2几+3.

〃[5+（2〃+3）]=/+4〃

(2)由(1)可得S〃=

2

当“为奇数时，

Tn=%—6+2a2+。3—6+2%+%—6+2%++an_2—6+2a+cin—6

（-1+14）+（3+22）+（7+30）++［（2“-7）+（47?+2）］+2”-3

=［-1+3++（2n-7）+（2n-3）］+［14+22++（4«+2）］

厅（-1+2〃-3）〈（14+4/+2）

2+2

_3n2+5〃-10

2,

止。2HH八

UET3n+5n-10（2A\"―3〃—10（-5）（+3Z）

当〃>5时，Tn-Sn=——------（/+4"）=——-=~>0，

所以北〉，.

当几为偶数时，（—6+2a2+%—6+2%+%—6+2,++—6+261n

=（-1+14）+（3+22）+（7+30）++［（2«-5）+（4n+6）］

=［-1+3++（2«-5）］+［14+22++（4/1+6）］

|（-1+2H-5）|（14+4n+6）

2+2

_3«2+7〃

2--

22

wT03H+ln（2）\n-nn（n-l）

当〃>5时,Tn-Sn=------（犷+4"）=^—=—^>0,

所以7；〉S”.综上可知，当〃>5时，Tn>Sn.

【解后反思】若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，

则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减.

19.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经

过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值C,将该指标大于C的人判定为阳性，小于

或等于C的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；

误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为式C).假设数据在组内均匀分布，以事件发

生的顿率作为相应事件发生的概率.

(1)当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值C和误诊率q(c)；

(2)设函数/(c)=Mc)+q(c)，当ce［9函数5］时,求/(c)的解析式，并求/(c)在区

间［95,105］的最小值.

【思维导引】(1)患病者与未患病者频率分布直方图；

(2)漏诊率p(c),误诊率q(c)的含义；

(3)函数/(c)的定义，利用分段函数求函数/(c)的解析式.

【解析】(1)当p(c)=0.5%时，由已知患病直方图的第一个小矩形面积为

0.002x5=0.01,c=95+100=97.5.

2

由未患病直方图可得q(c)=0.010(97.5—95)+0.002x5=0.35.

(2)由已知

①当ce［95,100］时，/?(c)=0.002(c-95),q(c)=0.01(100—c)+0.002x5,

.•./(c)=0.002(c-95)+0.01(100-c)+0.002x5=-0.008c+0.82.

(易错提醒：误把小矩形的高度——频率/组距当作小矩形的面积)

②当ce［100,105］时,/7(C)=0.002X5+0.012(C-100),^(c)=0.002(105-c),

/(c)=0.002x5+0.012(c-100)+0.002(105-c)=0.01c-0.98.

，0.008c+0.82(ce[95,100)),

综上可得：/(c)=<

0.01c-0.98(ce[100,105]).

/(c)在[95,100)上单调递减，在上单调递增，.•.当c=100时，/(c)取最小值0.02.

20.三棱锥A—BCD中，DA=DB=DC,BDLCD,ZADB=ZADC=60°,E为

8c中点.

(1)证明：BC±ZM；

(2)点F满足EF=DA,求二面角O—AB—尸的正弦值.

【思维导引】(1)E为BC中点-5C_LDE-AACD为等边三角形-6cf6C，

平面

(2)求DEt求AEtAE,BC,DE两两垂直一建坐标系-求点的坐标一平面ABD法向

量一平面AB/法向量一二面角£)一AB—尸的正弦值

【证明】。8=。。，石为6。中点，二5。，。石.(等腰三角形性质——“三线合一”,

是解题的关键)

DA=DB=DC,NADB=ZADC=60°,△ABD,△ACD均为等边三角形，

:.AB=AC,又E为BC中点,:.BC±AE,

,.AE,u平面ADE,AEDE=E,:.BC1平面ADE,

又ADu平面ADE,.•.BCLZM.(证明异面直线垂直基本方法是：转化为线面垂直)

二少

E'

(2)设3c=2,由己知可得DA===J5.

DE为等腰直角三角形斜边8C上中线，.DE=1.

由已知可得AB=AC=0,AB2+AC2=BC2,

所以△A3c也为等腰直角三角形，.•.AE=1,

AE2+DE2=AD2,AELDE,

由（1）BCLDE,NCLAE,.BC,DE两两垂直，

如图2,以E为原点，ED,EB,EA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐

标系，

则A（0,0,1）,B（0,1,O）,C（O,-1,O）,D（1,0,0）,£（0,0,0）,/.AB=（0,1,-1）.

m-AB=0,

设平面ABD的法向量/n=（九，y,z）,贝k

m-DA-0,

y-z=0,X=z

即＜解得1'令z=l,得平面A5D的一个法向量=

—x+z—0,、y=z,

n-AB-0,

设平面ABF的法向量"=（a,v,w）,则《

n•BF-0,

v—w=0,[w=0,/、

即1解得〈令w=l,得平面AB厂的一个法向量〃=（0,1,1）.

-w-v+w=0,[v=w,

设二面角。一A8—尸的平面角大小为0,

则由4=酎==父：=^^旦

11\m\-\n\V3.V233

【易错提醒】二面角平面角的大小与两平面法向量的夹角有可能相等，也有可能互补

【解后反思】1.用法向量求二面角：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后

通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐二

面角还是钝二面角.

2.我与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的

两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

21.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为卜2君,0）,离心率为百.

（1）求C的方程；

(2)记C的左、右顶点分别为A，4,过点(—4,0)的直线与C的左支交于M,N两点，

M在第二象限，直线跖K与N4交于点P-证明：点尸在定直线上.

【思维导引】(1)左焦点求C-离心率求。一。之二储+尸关系求6T双曲线方程

(2)方法一：分析直线的斜率情况，并设出当斜率存在时直线"N的方程—根据直线

"N与双曲线相交联立得方程组一消元，得x的一元二次方程，写出韦达定理一写出直线

\M,直线&N的方程，联立求得点P的横坐标一点P的横坐标表达式为非对称的，因

此需要利用韦达定理将其齐次化，化简、整理，最后约分得结果；

方法二：分析直线"N的斜率情况，并设直线"N的点参式方程-根据直线"N与双曲线

相交联立得方程组

一消元，得y的一元二次方程，写出韦达定理一写出直线-A1,直线4N的方程，联立求

得点P的横坐标

一点P的横坐标表达式为非对称的，因此需要利用韦达定理将其齐次化，化简、整理，最

后约分得结果

22

【解析】(I)设双曲线c的方程为卞一方=1(。＞°，匕＞°),

由已知c=2百，e=—=V5,tz=2,

a

22

222xy

.•.A=C—a=16,.•.双曲线C的方程为二一2=1.

4lo

(2)证法一:

当直线MN的斜率存在时，设直线"N的方程为：y=k(x+4),

y=3+4),

设〃(石，x)，N1,%)，(%>0)，<VJ2

--------二L

1416

_-8k2

X]+x2

7肖去y得：(％?—4)兀2+8左2%+16左2+16=0

16产+16

左2—4

又4(-2,0),A(2,0),

y1

从而直线AM直线&N的方程分别为尸市(x+2),y=^-(x-2),

42一,

%

联立，消去y：

再+2……得「*）

—8左3-32k

由%=左(％+4),%=M9+4),得X+%=左(玉+X2+8)=^^^+8左=^^^①,

32k3+32k—321^32k

xry2+%2M=x]k(x2+4)+%2左(％1+4)=2kxxx2+4左(玉+x2)=上2—4+左2—4一左2—4

②，

—%%=而2(玉+4)一依(%2+4)=4M9—%)③,

乂一%=左(%1-％2)④,

64左

+44（石一尤2）

r-4

把①，②，③，④代入（*）得Xp=u―----=—1

64%'

左2—4

当勺/N存在时，点尸在定直线X=-1上.

22

xy1

（ii）“Nx=-4,代入--------1

当上不存在时，直线上W方程为代人416，

得/卜4,4君），吊―4,—4百），又4（—2,0）,4(2,0),

_2y/3(X-2)

直线AM,4N方程分别为y=—2g（x+2）,

厂3

y=-2®x+2),

联立，得12A/3（X-2）解得马=T

)=

3

此时尸也在定直线x=-1上.

综上可得P在定直线X=-1上.

【解法二】由于直线"N与双曲线左支交于两点，.•.左MN，°，

x+4=my.

设直线MN方程为x+4=ay,与双曲线方程联立，得2

----------=1.

1416

消去X,得（4"-l）y2—32阳+48=0,

32m

4m-1

设N（%,%），（K>°），则'

48

4m-1

/、/、y（尤+2）

又4（—2,0）,4（2,0）•.直线AM,直线4N的方程分别为y=-'）

X]"iz

%(x-2)

y=­o

尤2一2

X(x+2)

y=

石+2

-2(x1y2+々％)+4(%一%)

联立＜消去y,得马=(**)

%(x-2)(々%一石％)-2(%+%)

y=

%2一2

由玉=加%一4,%=阳2—4,得

%%=（加%