江西省丰城拖船中学2023-2024学年高二年级上册开学测试数学试题

2023-2024学年第一学期开学测试

高二数学试题

时间：120分钟分值：150分

一、单选题（每题5分，共40分）

L'七为三角形的一个内角”是“a为第一、二象限角''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

2.如图，在四边形ABCQ中，若AB=DC,则图中相等的向量是（）

A.A。与CBB.OB与。。C.AO与。CD.AC与BO

3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）

A.y=2x+lB.y=InnxC.y=sin3xD.y=x3

4.水平放置的XBC的直观图如图，其中B‘O'=C'O'=1,A1O'=-,那么原ΛBC是一个（）

2

A.等边三角形B.直角三角形

C.三边中只有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形

5.要得到函数y=3cosx的图象，只需将y=3sin（2x+（）的图象上所有的点（）

A.横坐标变为原来的）（纵坐标不变）再向左平移了个单位长度

24

B.横坐标变为原来的;（纵坐标不变）再向左平移弓个单位长度

C.横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移5个单位长度

4

D.横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移三个单位长度

O

6.己知函数/（x）=sin2xcos*+cos2xsin°（xeR）,其中。为实数，且/（x）≤/（弓）对任意XWR恒成立,

记P=/七），q=/传），r=/传），则P，4，r的大小关系是（）

A.r<p<qB.q<r<pC.P<q<rD.q<P<r

7.如图所示，为了测量AB处岛屿的距离，小明在。处观测，AB分别在。处的北偏西15。，北偏东45。

方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60。方向，则A,

8两处岛屿间的距离为（）

A.206海里B.10而海里C.2θ(l+>A)海里D.10(1+@海里

8.已知矩形ABCD,AB=2,AD=X,将aABD沿BO折起到,A'8D.若点A，在平面BeD上的射影落在

△88的内部（不包括边界），则四面体A-BS的体积的取值范围是（）

(也2√ηCf√32√η

f√3阻πC(石2图

A.b∙T5ITd∙^τπτ

二、多选题（每题5分，共20分）

9.已知d4为两个不同的平面，机,〃为两条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（）

A.若αβ=n,m!In,则机/∕α且机///7

B.若加Ia,"l∕7,αl∕?,则〃z_L〃

C.若αJ∙P,α0=n,mua,ml,ιt,则m_1_6

D.若αβ=n,m∕la,xnl/β,则

10.在ABC中，角A5,C所对的边分别为〃力,c,那么在下列给出的各组条件中，能确定三角形有唯一解

的是（）

A.3=30。,⅛=√2,c=2B.3=30。,b=2,c=4

C.3=30。,b=2,c=5D.A=75o,8=30。,b=2

11.已知平面向量〃，b,c，若〃=（1,0）,b=,（α-c）∙（b-C）=0,设α+Z?与C的夹角为6,则下

列说法正确的有（）

A.若C起点为原点，其终点构成的轨迹为一条直线B.C的模的最大值为@±1

2

C.COS。最大值为如D.CoSe最小值为亚

33

12.如图，正方体ABCD-44Gq的棱长为1,点M是侧面8CC4上的一个动点，点P是AA的中点,

则下列结论正确的是（）

A.三棱锥P-的体积与点M的位置有关

B.若PM=旦.则点用在侧面BCC向上运动路径的长度为5

22

3

C.若RMLQP,则AM的最大值为措

D.若AMLQP,则AM的最小值为乎

三、填空题(共20分)

13.扇形的圆心角为1,半径为1,则扇形的面积为.

14.己知向量4=(1,用)为=(*1,6),且2。-匕与&共线，则实数%=.

15.设。，/€(0卷)，且sin?α+sin?夕-^^Sina-^^∙sin4+1=O,则α+尸=.

16.如图，在多面体ABC-AQC中，已知4V=2,AC=SC=A,ACJ.CC'，平面A4'C'C_L平面BQCC,

四边形BECC是正方形，则点A到平面A1BC的距离是.

17.设函数f(x)=tanγ-(J.

(1)求函数的最小正周期；

(2)求不等式f(x)≤G的解集.

18.设复数z=α-i,其中i为虚数单位，α∈R.

(l)≡«=2,求z(l+i)的模;

(2)若z(l+i)是纯虚数，求实数。的值.

19.在①2sinA-sin3=2sinCcosB,(2)(a+c)(sinA-sinC)=sinB(α-Z?),③

SAABC=；CgSinA+6sin8-csinC)这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答.

问题：在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且____.

⑴求角C；

⑵若c=2,求24-6的取值范围.

20.如图，在三棱锥S-ABC中，SCJ_底面ABC,AB±BC,SC=IAB=IBC=I,£),£分别是4?,58

的中点.

（2）求四面体S-ABC的体积.

21.水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示.设水车（即圆周）的直径为3米，

其中心（即圆心）O到水面的距离6为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒.水车边缘上一点P距

水面的高度为〃（单位；米），水车逆时针旋转时间为r（单位：秒）.当点P在水面上时高度记为正值；当

点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度记为负值.过点P向水面作垂线，交水面于点过点。作

P用的垂线，交PM于点M从水车与水面交于点。时开始计时（f=0）,设/QON=夕，水车逆时针旋转

，秒转动的角的大小记为α.

（1）求。与，的函数解析式；

（2）当雨季来临时，河流水量增加，点。到水面的距离减少了0.3米，求NQoN的大小（精确到1。）；

（3）若水车转速加快到原来的2倍，直接写出〃与/的函数解折式.（参考数据：

π3TT2加

sin—≈0.60,sin—≈0.80,sin——≈0.86）

5105

22.在四棱台ABCr>-Λ1B∣GR中，∕⅛_L平面ABCL）,ABCD,ZACD=90°,AC=√3,CD=I,AMICC1,

垂足为M.

（1）证明：平面AfiM_L平面CDDC；

⑵若二面角正弦值为警‘求直线4C平面OAG所成角的余弦值.

答案

1.D

τr

α为三角形的一个内角，当α=1时，α不是第一、二象限角，

故"a为三角形的一个内角”推不出“a为第一、二象限角”；

7兀

当a为第一、二象限角时，不妨取a=£,a不是三角形的一个内角，

故"a为第一、二象限角”推不出“a为三角形的一个内角”；

故"a为三角形的一个内角”是“a为第一、二象限角”的既不充分又不必要条件,

故选：D

2.C

因为AB=OC，所以四边形A8C。是平行四边形，

所以A3=-CB,OB=-OD,AO=OC,AC#BD，故ABD错误，C正确.

故选：C.

3.D

对于A,令y="无)=2x+l,则〃1)=3,/(-1)=-1,

所以f(-l)r-∕(l),则/(x)不是奇函数，故A错误；

对于B,令y=∕(x)=tanx,则/⑼=0,=,

所以/(。)>„[，则〃x)不是增函数，故B错误；

对于C,令y=∕(x)=sin3x,则〃O)=0,/^=0,

所以/(0)=∕]｝则/(x)不是增函数，故C错误；

对于D,令y="x)=x3,则F(X)的定义域为R,

又〃-X)=(-x)3=-(x)3=-∕(χ),所以/(x)是奇函数，

又由基函数的图像性质可知/(x)是增函数，故D正确.

故选：D.

4.A

由图形知，在原..ABC中，AOJ.BC,如图，

BÔ=CÔ=\,:.BC=2,

'^AB=-JAO2+BO2=^3+7=2’AC=\JAO2+CO2=V3+Ï=2-

/.△ABC^ÜH^B.

i&fê:A

5.C

0y=3cosA-=3sin(x+1jy=3sin^2x+^gj>JJfrWËJ£tlt2fê(O»)

f#5Üy=3sinx+-7,

k4J

TTr7ti

Wl»j£¥fë-^WI£fêWy=3sinA-+-,BPWïiJ^^y=3cosA-f^|«j^.

4\2)

MÀ&-.C

6.D

®^/(x)=sin2xcosç?4-cos2xsin^>=sin(2x4-^),(xeR),

X'HT:?SxeR'IBJJSCAZ.,

.-.^X=y0t,M/(x)Wft;Mâ,

?7E7T71

BP2x-----Fm=2A.-714-—,k&L,BP<p=2kn4----,keZ,

9218

.„Tti

JO^/(*)=sin2x+2A-7t+-^=sin2x4-—,keZ,

\18l18J

.(7TT].(.l7iTtTtTtT].1557T1T.3TT

fflllP=/—=sin2x—4-—=sin----=sin—

118/l1188118j1818"’

5TT.317t.5TT।5itj

<J=.f=sin-----=sin2TI------=sin

T1818Î8)’

/77tl•43TT.f.7TTA..77TTTT

r=/—=sin=sin2Æ+—=sin—

I6J181818’

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2’2

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‘”18<ÏÏÏ<Ï8’

.(571^1.(37t^.(lit

/.sin-----<sin—<sin—Wq<p<V'

l18JI18j118

D.

7.B

ÆHÆACDc{4,AADC=90°4-15°=105°,ZACD=90°-60°=30°,

ACAD=180°-105°-30°=45°,

ÉIE&féS.W-1C—DAC

sin45°sin105°’

00

CDxsinl05°20x(sin60°cos454-cos60sin45°)/r

AC=-----------------=------------------------------------------------10h/34-1

sin45°sin45°'

ÆHÆ/BBCD^,ABDC=45°,ABCD=90°,

P/rttACDB=45°,ttBC=CD=20,

AB=siAC2+BC2-2xACxBCxcos60°=x/ôÔÔ=10^6>WÆ-

ifeiâ:B

8.D

fâfëJ&ABCD^,AB=2,AD=\,üâA1$AO1BDTO,3&&CDTE,$11,

BD=^22+\2=y/5’cosZADB—

W.OD=ADcosZADB=\x—=AO=siAD2-DO2=

JW,cosZDAE=——,KÜAE=----—----—\x—

AD5cosZDAE2V52

MOE=AE-AO=—-—=—,

2510

A'BDfô&fë4I,A'OIBD,OE±BD,

X0^)A'OOE=O,AO.OEc;?:jliA'OE,BD±^\^A'OE,

^BDŒ^BCD,W,¥®A'OE±T®BCD,

ÈiSffiiÊWtt^Æ3O,A'?±¥ffiBCDtlW^4£Mâ|0E±,

SMABCDt^BCDÛ<]MSÀO±BCDHt,

*A'BCDÔtïË®/>hnK=A'O=AO=—,

max5

M'ElYffiECDHt,ÆM'WFffiECDâWlAft/Js#[1S,lltHtA'E±O£,

WSfl0C=^x2xl=l,

732V5

G

P/flit»Kt'-eco236’15

Stiâ:D.

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'&ap=i,êzjt$-u^ijÆ«,^Y®rt^ps±/,ô5±z,Æmnes±»âp,C,

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Èfc&:BCD.

10.BD

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MB,^AÿlJiàBCKra^2±3/>ffl^,«HW;

MC,^AglJiàBCÛ<J?Ë^^2.5>Z7,

MD,MBKllW.41C=n-A-B=15°,a=c=46+4ï,

BD.

11.BD

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X'J’-f’A,i£c=(x,y),^a-c=()-x,-y),b-c=--x,—-y

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+22y’+-2=(DEplfx-4^j+fj~4^=44

FAW^cfëÆ^Mâ.^A^-,

B,^[SIA,

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,FAlUBOij,

XAT’CD,[S^9{a—c)•(b—c)=0,ffî'Ma-b—(a+b)-c+c=0>

FAlîÀ(a+b)■c=a■b+c=—+

È«Br^iiÆl<|t.|<xLLl,FW|c|=—fëW,FWcosO§/N<—.

2।।21।23

||=Aj.ng,2+<,Wcos^Wft^lÈl,

c|C|=^±1BA,cosé?==1

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wcfêiM,Dim,

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12.BC

A:&1IH1.=wP-DDtMâW4HVP.DDiM=VM_PDDi

PAA,FAyA™,ÉfjiWÆ^IÈ,

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WBCfâ^tiN,&&NCt,AtN,A.C.,MQC//PD,CtN1QC,

g]>jDtM1DP,WD}M±QC,

S>9D,C,1Y®BB^C,IÔCcY®BB^C,JjlfWD,C,1QC,

D,C,D.M=D{,D&,DtMcY®B>,C,M,

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22

a.AC.^Y,A^C^y/2,CtN=y]NC+CC=^~-,

22w

^AtN=ylAA^+AB+BN=|,JWA,^CjEï^;

cosZ.AiNC]=

2

IjliJsinZA,NCX=-cosZAiNCi=

MAg|CtNÛW&>jd=A,N-sinZAtNCl=|x—=

«TW\MDfêi£.

M:BC.

13.

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22

14.3sic-2

2a-b-(2,2/77)-(w-1,6)=(2-m,2m-6),

Ai2/77-6-/7î(3-77?)=O,^^/77=-2S!t3.

3«Je-2

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sina->sin^=^-^-,5La>JîiïWcosa=,cos/3=^->

44l2.)4^4

71

JjlfBsin(a+/?)=sin«cos/i+cost/sin/?=1,a+(3&(0,n),J9TË«+/?=—.

71

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4^5

5

MAAA'C'CftftAEAA'C,tME,

H%RWBB'C'CIE^,WJBC±CC,

S^T®AA'C'CATffiEB'CC,AA'C'C^WlïBB'C'C=CC,BCcfliBB'C'C,

.’.BC±WïiAA'C'C,XAEc^F®AA'CC,:.BCCAE,

AEEA!C,A'CryBC=C,A'C,BCcY®A'BC,:.AE±YffiA'BC,

ÏÏWÆA®J¥®A'BCAE,

BB'C'C^JE^JF,WJBBHCC,

BB1<zY®AA'C'C,CC'cWlAA'C'C,:.BB'H^F®AA'C'C,

AA!B'B,^\AAB'B^FjïîAA!CC=A4',:.AA!//BB,

^AAÀHCC,XÂCICC'-•’•AA'IAC,

A4'=2,AC=4,.-.A'C-7AA'2+AC2=2^>

wAE=A4';AC=JL.

A'C2^5=5

Elitb,^A?iJ¥ffiABcâ<]g§M^—.

5

5

17.(l)2n

(714TT

(2)l2fat-y,2far+y,keZ

(1)/(x)=tanf|-^K>/JsiEMJ»17'12n.

V-72

(2)7F^/(x)<^,HRtan^-^<5/3,<|-^<+,

\/L,L,JJ

TT4ÎTITT4Æ

5RW2A-7r-^<A-<2A7t+y,2kit-^2kit+y,keZ.

18.(l)VÏÔ

(2)«=-l

(1)È^z=2-i,WJz(l+i)=(2-i)(l+i)=3+i,

ElfWz(l+i)âW^VÏÔ.

(2)EÈ^?S,z(l+i)=(«-i)(l+i)=<z+fli-i-i2=a+l+(a-l)i

[a+1=0

^^1in’A?-lta=-l-

[<7-1*0

19.(1)-

3

(2)(-2,4)

(1)2sinA—sinB=2sinCcosB,

piij2sin(S+C)-sinB=2sinCcosB,

2sinBcosC+2cosBsinC-sinB=2sinCcosB

2sinBcosC-sinB=0

VBe(0,Ji),sinB*0,

cosC=—,*."Ce(0,7i),C=—.

2v’3

(a+c)(sinA-smC)=sinB(a-b),

ÉJEÆJSf#(a+c)(«-c)=b(a-b),

a2+b2-c1=ab,

a2+b2-c2

cosC=

2ab2’

SAÂBC=^c(<zsinA+bsinB-csinC),

plijsinC=—c(asinA+bsinB-csinC)

ÉMÆIW'-abc=-}c(a2+b2-c2),

a2+b2-c2=ab,

VCe(0,7i),C=-,

c4^3

(2)—=-—

sinAsinBsinC3

4>/3...4>/3.„

a-------sinA,b--------sinB>

33

81>W/3.4>^/33.8xV/3.4V^3.7t

2a-b=-----sinA--------sin»=------sinA--------sinA+—

3333

=2>/3sinA-2cosA=4sinA——,

k6)

.f2jtAa71(7tTtA■(AHH11^1

'.Me0,—,A—e—,—,sinA—e—,1,

l3)6l62)ôH2)

2a-be(-2,4).

20.(l)iOJWA

(1)SBFA>WDEHSA,

DE<zOÏSAC,wSACYWSAC,

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(2)ÈSClYffiABC,J^SCBP^KffifrS-ABCÛyS,

W%1ABJ.BC,SC=2AB=2BC=2,

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ÉVS_ABC=|xlx2=|.

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21.(l)Mr)=-sm—t+—+-

V’2\4010J5

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(1)fllSS'Ê:'®A(r)=Asin(<yr-^)+A)(A>0,<y>0,0<(Ü><^),

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É^Bsin^=^12|=|4,