高考二轮专题-圆锥曲线的概念与性质

高考复习专题——圆锥曲线的概念及性质一、热点视角展示1．专题主要内容⑴椭圆及其标准方程、椭圆的简洁几何性质、椭圆的参数方程．⑵双曲线及其标准方程、双曲线的简洁几何性质．⑶抛物线及其标准方程、抛物线的简洁几何性质．2．专题学问特点⑴用代数的方法探讨解决几何问题，重点是用数形结合的思想把几何问题转化为代数问题．⑵解题思路比较简洁，概念公式较多，规律性较强，但运算过程往往比较困难，对运算实力、恒等变形能力及综合运用各种数学学问和方法的实力要求较高．3．专题高考地位本专题是中学数学的核心内容之一，在历年高考试题中均占有举足轻重的地位，问题总量除包括倒数第1（2）题的压轴题外，还至少包括2~3道小题．本专题内容在高考题中所占的分值是20多分，占总分值的15%左右．⑴圆锥曲线中的定义、离心率、焦点三角形、焦半径、通径等学问点是填空题和选择题中的高档试题，难度不高，但方法比较敏捷．⑵直线与圆锥曲线的位置关系简洁和平面对量、数列、不等式综合，涉及存在性问题、定值问题、定点问题、求参数问题．⑶求曲线的轨迹方程是解析几何一个基本问题，是历年来高考的一大热点．⑷圆锥曲线（包括直线与圆）和函数、数列、不等式、三角、平面对量等学问联系亲密．直线与圆锥曲线中的存在性问题、定值问题渐成考试定势．⑸数形结合思想本身就是解析几何的灵魂，在高考解析几何题中的运用更为常见；分类探讨思想主要体现在解答题中对参数问题的探讨；等价转化思想：在解题中常化曲为直．二、高考链接1、（2010天津）已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（A）（B）（C）（D）2、（11全国Ⅰ）设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（A）（B）（C）2（D）33．（2010福建）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的随意一点，则的最大值为CA．2 B．3 C．6 D．84.（11四川）在抛物线上取横坐标为、的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为（A） （B） （C） （D）解：令抛物线上的点为、，则，由，故切点为，切线方程为，该直线又和圆相切，则，解得或（舍去），则抛物线为，定点坐标为，选A．5．(2010辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．假如直线AF的斜率为－eq\r(3)，那么|PF|＝()A．4eq\r(3)B．8C．8eq\r(3)D．16解法一：AF直线方程为：y＝－eq\r(3)(x－2)，当x＝－2时，y＝4eq\r(3)，∴A(－2,4eq\r(3))．当y＝4eq\r(3)时代入y2＝8x中，x＝6，∴P(6,4eq\r(3))，∴|PF|＝|PA|＝6－(－2)＝8.故选B.解法二：∵PA⊥l，∴PA∥x轴．又∵∠AFO＝60°，∴∠FAP＝60°，又知PA＝PF，∴△PAF为等边三角形．又在Rt△AFF′中，FF′＝4，∴FA＝8，∴PA＝8.故选B.1．已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为eq\f(4,3)eq\r(5)和eq\f(2,3)eq\r(5)，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．解法一：设椭圆的标准方程是eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，两个焦点分别为F1、F2，则由题意，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(5)，∴a＝eq\r(5).在方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1中，令x＝±c，得|y|＝eq\f(b2,a).在方程eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1中，令y＝±c，得|x|＝eq\f(b2,a).依题意知eq\f(b2,a)＝eq\f(2,3)eq\r(5)，∴b2＝eq\f(10,3).即椭圆的方程为eq\f(x2,5)＋eq\f(3y2,10)＝1或eq\f(y2,5)＋eq\f(3x2,10)＝1.解法二：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，则|PF1|＝eq\f(4\r(5),3)，|PF2|＝eq\f(2\r(5),3).由椭圆的定义，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(5)，即a＝eq\r(5).由|PF1|>|PF2|知，PF2垂直于长轴．故在Rt△PF2F1中，4c2＝|PF1|2－|PF2|2＝eq\f(60,9)，∴c2＝eq\f(5,3)，于是b2＝a2－c2＝eq\f(10,3).又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为eq\f(x2,5)＋eq\f(3y2,10)＝1或eq\f(3x2,10)＋eq\f(y2,5)＝1.2．（06北京）椭圆的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2,,|PF1|=,,|PF2|=.（I）求椭圆C的方程；（II）若直线L过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程。解法一：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=,从而b2=a2－c2=4,所以椭圆C的方程为＝1.(Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）.由圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.因为A，B关于点M对称.所以解得，所以直线l的方程为即8x-9y+25=0.(经检验，符合题意)解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且 ① ②由①－②得 ③因为A、B关于点M对称，所以x1+x2=－4,y1+y2=2,代入③得＝，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)3.（09重庆）已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率．（Ⅰ）求该双曲线的方程；（Ⅱ）如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标；解：（Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线的方程为，设，由准线方程为得，由得解得从而，该双曲线的方程为；（Ⅱ）设点D的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点，所以，是圆上的点，其圆心为，半径为1，故从而当在线段CD上时取等号，此时的最小值为直线CD的方程为，因点M在双曲线右支上，故由方程组得；4.（11北京）已知椭圆G：，过点（m，0）作圆的切线l交椭圆G于A，B两点。（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将表示为m的函数，并求的最大值。解：（Ⅰ）由已知得所以所以椭圆G的焦点坐标为，离心率为（Ⅱ）由题意知，.当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为此时当m=－1时，同理可得；当时，设切线l的方程为由；设A、B两点的坐标分别为，则；又由l与圆所以由于当时，因为且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.5．(06上海)已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的标准方程为(2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x0,y0),由得点P在椭圆上，得,∴线段PA中点M的轨迹方程是.(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,解得B(,),C(－,－),则,又点A到直线BC的距离d=,∴△ABC的面积S△ABC=于是S△ABC=由≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立.∴S△ABC的最大值是.6．(11湖南)已知平面内一动点到点F（1，0）的距离与点到轴的距离的等等于1．（I）求动点的轨迹的方程；（II）过点作两条斜率存在且相互垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．解：（I）设动点的坐标为，由题意为化简得当、所以动点P的轨迹C的方程为（II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．由，得设则是上述方程的两个实根，于是．因为，所以的斜率为．设则同理可得：

故当且仅当即时，取最小值16．7.(11江西）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于（）两点，且．（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．8．（11四川）设椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线为，是上的两个动点，（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）证明：当取最小值时，与共线。【点评】：此题重点考察椭圆中的基本量的关系，进而求椭圆待定常数，考察向量的综合应用；【突破】：熟识椭圆各基本量间的关系，数形结合，娴熟地进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的敏捷应用。9．（08辽宁）在直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线与C交于A，B两点．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）若，求k的值；（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有||>||．解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为．（Ⅱ）设，其坐标满意消去y并整理得，故．若，即．而，于是，化简得，所以．（Ⅲ）．因为A在第一象限，故．由知，从而．又，故，即在题设条件下，恒有．1．（11浙江）设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若;则点的坐标是．2．（11天津）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解法1．由题设可得双曲线方程满意，即．于是．又抛物线的准线方程为，因为双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则，于是．所以双曲线的方程．故选Ｂ．解法2．因为抛物线的准线方程为，双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则．由此解除Ａ，Ｃ．又双曲线的一条渐近线方程是，则，由此又解除Ｄ，故选Ｂ．3.（2010全国1）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为.命题意图：本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、其次定义、平面对量学问，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数探讨形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.4.（11江西）若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为，，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是.解:作图可知一个切点为（1,0），所以椭圆.分析可知直线为圆与以为圆心，为半径的圆的公共弦.由与相减得直线方程为：.令，解得，∴，又，∴，故所求椭圆方程为：5.（11山东）设M(，)为抛物线C：上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、为半径的圆和抛物线C的准线相交，则的取值范围是（A）(0，2)（B）[0，2]（C）(2，+∞)（D）[2，+∞)6．(09陕西)已知双曲线C的方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，离心率e＝eq\f(\r(5),2)，顶点到渐近线的距离为eq\f(2\r(5),5).(1)求双曲线C的方程；(2)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限.若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))，λ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))，求△AOB面积的取值范围．解：解法一：(1)由题意知，双曲线C的顶点(0，a)到渐近线ax－by＝0的距离为eq\f(2\r(5),5)，∴eq\f(ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(2\r(5),5)，即eq\f(ab,c)＝eq\f(2\r(5),5).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(ab,c)＝\f(2\r(5),5)，,\f(c,a)＝\f(\r(5),2)，,c2＝a2＋b2))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，,c＝\r(5)，))∴双曲线C的方程为eq\f(y2,4)－x2＝1.(2)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y＝±2x.设A(m,2m)，B(－n,2n)，m>0，n>0.由eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))得P点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－λn,1＋λ)，\f(2m＋λn,1＋λ)))，将P点坐标代入eq\f(y2,4)－x2＝1，化简得mn＝eq\f(1＋λ2,4λ)，设∠AOB＝2θ，∵taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝2，∴tanθ＝eq\f(1,2)，sin2θ＝eq\f(4,5).又|OA|＝eq\r(5)m，|OB|＝eq\r(5)n，∴S△AOB＝eq\f(1,2)|OA|·|OB|·sin2θ＝2mn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,λ)))＋1. 记S(λ)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,λ)))＋1，λ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))，则S′(λ)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,λ2))).由S′(λ)＝0得λ＝1，又S(1)＝2，Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(8,3)，S(2)＝eq\f(9,4)，∴当λ＝1时，△AOB的面积取得最小值2，当λ＝eq\f(1,3)时，△AOB的面积取得最大值eq\f(8,3).∴△AOB面积的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(8,3))).解法二：(1)同解法一．(2)设直线AB的方程为y＝kx＋m，由题意知|k|<2，m>0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,y＝2x))得A点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2－k)，\f(2m,2－k)))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,y＝－2x))，得B点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－m,2＋k)，\f(2m,2＋k))).由eq\o(AP,\s\up6(→))=λeq\o(PB,\s\up6(→))得P点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,1＋λ)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2－k)－\f(λ,2＋k)))，\f(2m,1＋λ)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2－k)＋\f(λ,2＋k)))))，将P点坐标代入eq\f(y2,4)－x2＝1得eq\f(4m2,4－k2)＝eq\f(1＋λ2,λ).设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为(0，m)．S△AOB＝S△AOQ＋S△BOQ＝eq\f(1,2)|OQ|·|xA|＋eq\f(1,2)|OQ|·|xB|＝eq\f(1,2)m·(xA－xB)＝eq\f(1,2)meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co