加强练05 动点中的函数关系综合专练（解析版）-2023年中考数学二轮复习讲练测（上海专用）

加强练05动点中的函数关系综合专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．（2021秋·上海青浦·九年级校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P为线段上的一个动点（点P不与A、O重合），过点P作x轴的垂线l与抛物线交于点E，连接、．(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；(2)连接交直线l于点D，则在点P运动过程中，当点D为中点时，求的值；(3)如图2，当轴时，点P停止运动，联结，在抛物线上是否存在点G，使得，如存在求出点G的横坐标，如不存在请说明理由．【答案】(1)抛物线的表达式为，点C的坐标为(2)的值为．(3)点G的坐标是．【分析】（1）将代入，求得，则抛物线的表达式为；可得点C的坐标为；（2）先求得直线的表达式为，设，则，，即可由，列方程得，求得，则，，即可由“等底三角形面积的比等于高的比”求得的值为；（3）设交于点H，作轴于点K，先证明，得，求得，再求得直线的表达式为，将该表达式与抛物线的表达式联立方程组，解该方程组求出符合题意的解即可．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，∴，解得，∴抛物线的表达式为；当时，，∴点C的坐标为，（2）如图1，设直线的表达式为，则，解得，∴，设，则，，当点D为的中点时，则，∴，解得，（不符合题意，舍去），∴，∴，，∴，∴的值为．（3）存在，如图2，设交于点H，作轴于点K，∵轴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，当时，由得，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，对于直线，当时，，∴，设直线的表达式为，则，解得，∴，解方程组，得，（不符合题意，舍去），∴点G的坐标是．【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数表达式、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．2．（2022秋·上海·九年级上外附中校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，动点P从O出发向A以每秒1个单位的速度移动，动点Q从A出发沿的路径以每秒2个单位的速度移动，当其中一个点运动到终点时运动停止，过点P作x轴的垂线，交线段或线段于点E，连接，设运动时间为t秒．(1)求直线解析式；(2)设的面积为S，求S关于t的函数解析式，并写出定义域；(3)在运动过程中，能否为等腰三角形？若能，直接写出t的值，若不能，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)能，【分析】（1）根据平行四边形的性质可得点C的坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解；（2）先求出，根据题意可得当时，点Q到达点B处，当时，点E到达点C处，当时，点Q到达点C处，然后分四种情况解答，即可求解；（3）分四种情况解答，即可求解．【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，，∴，点C的纵坐标为4，点B到y轴的距离为10，∴点C的横坐标为3，∴点C的坐标为，设直线解析式为，∴，解得：，∴直线解析式为；（2）解：如图，过C作于点D，∵点C的坐标为，∴，∴，∴当时，点Q到达点B处，当时，点E到达点C处，当时，点Q到达点C处，根据题意得：，当时，点E在上，点Q在上，∵轴，∴，∴，∴，即，解得：，过点Q作轴于点M，则，∵，∴∴，∴，即，∴，∴，∴；当时，点E在上，点Q在上，过点Q作轴于点F，根据题意：，∴，∴，∴；当点E与点Q相遇时，，解得：，当时，如图，，∴；当时，如图，，∴；综上所述，S关于t的函数解析式为；（3）解：能，理由如下：根据题意得：点P的坐标为，当时，由（2）得：点Q的坐标为，点E的坐标为，，∵，且，∴，当时，，解得：（舍去）；当时，，此方程无解；当时，由（2）得：点Q的坐标为，点E的坐标为，，∵，且，∴，当时，，解得：（舍去）或6（舍去）；当时，，此方程无解；当时，此时，由（2）得：点Q的坐标为，点E的坐标为，，当时，，解得：；当时，此时，由（2）得：点Q的坐标为，点E的坐标为，当时，，（舍去）；综上所述，当时，为等腰三角形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，求一次函数解析式，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．3．（2022·上海松江·校考三模）如图，抛物线过点B（3，0），C（0，-3），D为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标；(2)连接BC，CD，DB，求的正切值；(3)点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接，直线与对称轴交于点，在（2）的条件下，点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点使和相似，若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)，D（1，-4）(2)(3)存在，（1，0）或（1，）【分析】（1）将点B、的坐标代入，即可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可求得抛物线的顶点坐标；（2）求得BC，CD，DB的长，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，利用锐角三角函数的定义求解即可；（3）根据二次函数的对称性得，可得直线为，则，由（2）可知是直角三角形，，若和相似，可分和两种情况进行分析，借助相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：将点B、的坐标代入抛物线表达式，可得，解得，故抛物线的解析式为；∵，∴；（2）解：如下图，连接BC，CD，DB，∵，∴，，，，，，∴，∴是直角三角形，，∴；（3）解：∵点关于抛物线对称轴的对称点为点，的对称轴为，∴，又∵，可设直线BE的解析式为，将点B、E的坐标代入，得，解得，∴直线为，当时，，∴，由（2）知是直角三角形，，若和相似，可分两种情况进行解析：①时，点在轴上，∵，∴，∴，∴，∵，∴和，∴；②时，∵，∴，∵和，∴，∴，解得，∴点的纵坐标为，∴．综上所述，存在，点的坐标为或．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、勾股定理及逆定理的应用、求正切值、相似三角形的性质等知识，熟练掌握相关性质，用分类讨论和数形结合的思想分析问题是解题关键．4．（2022秋·上海徐汇·九年级上海市田林第三中学校考期中）如图，在直角坐标系中，，点B绕着点A顺时针旋转得到(1)求直线的表达式(2)求直线的表达式(3)若平面内有一点C，使是以为腰的等腰三角形且与相似，求点C的坐标【答案】(1)直线为(2)直线为(3)或或或【分析】（1）设直线为，把代入建立方程组，再解方程组即可；（2）过作轴于交于

过作轴于在上取点使，证明，可得设则求解可得再利用待定系数法求解函数解析式即可；（3）由为等腰三角形，而是以为腰的等腰三角形且与相似，则或再分两种情况讨论即可．【详解】（1）解：设直线为，把代入得：，解得：，∴直线为（2）如图，由题意可得过作轴于交于

过作轴于在上取点使，∴，∴设则∴∴∵∴∴∴设直线为∴解得：∴直线为（3）由题意可得：为等腰三角形，而是以为腰的等腰三角形且与相似，∴或如图，当此时满足条件；∴过作轴于∴由设则∴解得：（负根舍去），∴∴当与重合时，显然满足条件，此时同理可得：∴此时当时，满足条件；过作交轴于过作于∴∴同理可得：∴∴如图，当时，满足条件；过作轴，过作于同理可得：∴∴综上的坐标为：或或或【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，二次根式的运算，本题综合程度高，难度较大，对学生的计算能力要求高．5．（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，已知在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点A、，反比例函数的图像也经过点A，且点A横坐标是2．(1)求一次函数的解析式．(2)点C是x轴正半轴上的一点，连接，，过点C作轴分别交反比例函数和一次函数的图像于点D、E，求点D、E的坐标．(3)在（2）的条件下，连接，一次函数的图像上是否存在一点F使得和相似？若存在，请直接写出点F坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)；(3)存在，或【分析】（1）由反比例函数解析式和A点横坐标，可求出A点纵坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）过点A作轴于点H．由和A点坐标可求出，，从而可求出，即．再将分别代入反比例函数解析式和一次函数解析式即可求出点D和点E坐标；（3）设．根据各点坐标可求出，，，．又因为和必相等，故可分类讨论：①当时，即此时，得出，代入数据，求出t的值，即得出此时F点坐标；②当时，即此时，得出，代入数据，求出t的值，即得出此时F点坐标．【详解】（1）∵反比例函数的图像经过点A，且点A横坐标是2，∴，即．∵一次函数的图像经过点A、，∴，解得：，∴一次函数的解析式为；（2）如图，过点A作轴于点H．∴．∵，∴，∴，∴，∴．∵．∴，，∴；（3）∵点F在一次函数的图像上，∴可设．∵，∴，，，．∵和中，和必相等，∴可分类讨论：①当时，即此时，如图，∴，即．∵此时，∴，解得：，∴；②当时，即此时，如图，∴，即．∵此时，∴，解得：，∴．综上可知，存在一点F使得和相似，点F坐标为或．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，反比例函数与几何的综合，相似三角形的判定和性质，两点的距离公式，解直角三角形等知识，综合性强，较难．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．6．（2022春·上海·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B如图，点C在线段的延长线上，且.(1)用含字母m的代数式表示点C的坐标；(2)如果抛物线经过点A、C，求此抛物线的表达式；(3)在第（2）题的条件下，设点P是抛物线上一动点，且在对称轴左侧，如果满足，直接写出点P的坐标.【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）由，得点A、B的坐标分别为、，过点C作轴交于点H，轴于点E，设点C的坐标为，则，取的中点为G，的中点为F，得到，即可求得点C的坐标（2）利用待定系数法求解即可；（3）如图（见解析），设点P的坐标为，由点B和P的坐标求出直线的解析式，先根据点G在直线上可得其坐标，再结合面积等式可得一个s，t的等式，又由点P在抛物线上可得另一个s，t的等式，两者联立求解即可.【详解】（1）∵，令，则；令，则∴点A、B的坐标分别为、，∴，，∵，∴点C在第一象限，如图，过点C作轴交于点H，轴于点E，设点C的坐标为，则，取的中点为G，的中点为F，连接，则，且，，且，∵，∴，∴，，∴∴点C的坐标为：（2）将，代入函数得：解得：（舍去），∴抛物线的表达式为：；（3）由题（2）知，，则点A、B、C的坐标为、、∴，如图，连接、，过点A作轴，交于点G设点，则，且在对称轴左侧，即，再设直线的表达式为将点B、P代入得，解得则直线的表达式为∴点G的坐标为，∴∴，∵，∴联立①②解得：或∴点P坐标为或【点睛】本题考查了一次函数的实际应用、二次函数综合、利用待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数综合问题的解法是关键7．（2022·上海杨浦·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、、三点，且与轴交于点．(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴：(2)分别联结、、，直线与线段交于点，当此直线将四边形的面积平分时，求的值；(3)设点为该抛物线对称轴上的一点，当以点、、、为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出对称轴即可；（2）求出点坐标，设直线与交于点，分别用含的式子表示出的坐标，利用直线将四边形的面积平分，得到列式求解即可；（3）分，三种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线过点、、三点，设：，则：，解得：，∴，∴对称轴为：；（2）解：∵，当时：；∴，∴，∵、、∴，，，∵直线与线段交于点，且平分四边形的面积，∴直线与线段相交，设交点为，当时，；当时，；∴，∴，∴，即：，∴，即：，解得：；（3）解：①当时，点在线段上，此时：；②当时，设直线的解析式为：，则：，解得：；∴，设直线的解析式为：，∴，解得：，∴，当时，，∴③当时，设直线的解析式为：，则：，解得：；∴，设直线的解析式为：，∴，解得：，∴，当时，，∴综上：点、、、为顶点的四边形是梯形时，的坐标为：或或．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，一次函数与几何的综合应用．正确的求出二次函数的解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．8．（2021秋·上海长宁·九年级上海市延安初级中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点B在直线l：y＝x上且位于第三象限，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于第二象限内的点C．（1）设BC与AO相交于点D，①若BA＝BO，求证：CD＝CO；②求：点A到直线l的距离；（2）是否存在点B，使得以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①见解析；②4；（2）或或【分析】（1）①根据BA=BO，得到∠BAO=∠BOA，再根据垂直的定义可得∠BAO+∠ADB=∠BOA+∠COD=90°，从而可以推出∠CDO=∠COD，从而得证；②分别过点A作AE⊥直线l于E，过点B作BF⊥x轴于F，可证△AOE∽△BOF，得到，再由可设，得到，，从而推出，再在直角三角形AEO中利用勾股定理求解即可；（2）过点A作AE⊥直线l于E，由（1）②得AE=4，OE=4AE=16，设OB=x，则BE=OE-OB=16-x，则，证明△AEB∽△BOC，得到即，则，然后分当△ABC∽△BOC时和当△ABC∽△COB时两种情况讨论求解即可．【详解】解：（1）①∵BA=BO，∴∠BAO=∠BOA，∵AB⊥BC，CO⊥BO，∴∠ABC=∠BOC=90°，∴∠BAO+∠ADB=∠BOA+∠COD=90°，∴∠COD=∠ADB，又∵∠ADB=∠CDO，∴∠CDO=∠COD，∴CD=CO；②如图所示，分别过点A作AE⊥直线l于E，过点B作BF⊥x轴于F，∴∠AEO=∠BFO=90°，又∵∠AOE=∠BOF，∴△AOE∽△BOF，∴，∵B在直线上，∴可设，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴点A到直线l的距离为4；（2）如图所示，过点A作AE⊥直线l于E，由（1）②得AE=4，OE=4AE=16，设OB=x，则BE=OE-OB=16-x，∴∵AB⊥BC，CO⊥BO，AE⊥BO，∴∠ABC=∠BOC=∠AEB=90°，∴∠ABE+∠EAB=∠ABE+∠CBO=90°，∴△AEB∽△BOC，∴即，∴，∴∵∠ABC=∠BOC=90°，∴以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似有两种情况：当△ABC∽△BOC时，∴即，解得，∴此时；当△ABC∽△COB时，∴即，解得，∴此时或，综上所述，当或或，使得以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，一次函数上点的坐标特征，相似三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定．9．（2021秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD是BC边上的高，点E、F分别是AB边和AC边上的动点，且∠EDF＝90°．（1）（图1）求DE：DF的值；（2）（图2）连结EF，射线DF与射线BA相交于点G，当△EFG是等腰三角形时，求CF的长度；（3）（图3）连结EF，设点B与点E间的距离为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）先用勾股定理求出，然后利用面积法求出，即可求出，证明△EAD∽△FCD，即可得到；（2）先证明当△EFG是等腰三角形的时候，只存在EF=GF这种情况，再由等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由△AED∽△CFD，得到，则；（3）由，AB=3，则，根据△AED∽△CFD，得到，可以求得，，则，再由，得到，由，可得，，则．【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴，∵AD是BC边上的高，∴，∠ADC=∠ADB=90°，∴，∴，∵∠EDF=∠ADC=90°，∴∠EDF-∠ADF=∠ADC-∠ADF即∠ADE=∠CDF，∵∠B+∠C=180°-∠BAC=90°，∠B+∠EAD=180°-∠ADB=90°，∴∠EAD=∠C，∴△EAD∽△FCD，∴；（2）如图所示，∵∠EFG=∠FDE+∠FED＞90°，∴当△EFG是等腰三角形的时候，只存在EF=GF这种情况，∵EF=GF，FA⊥EG，∴A为EG的中点，∵在直角三角形EDG中，A为EG的中点，∴，∵△AED∽△CFD，∴，∴；（3）∵，AB=3，∴，∵△AED∽△CFD，∴，∴，，∴，在直角三角形AEF中，，∴在直角三角形DEF中，，∴，∴，∴，∴．∴【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质，列函数关系式，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件．10．（2021秋·上海闵行·九年级统考期中）如图，在中，，，，点是射线上的一个动点，过点作，垂足为点，延长交射线于点，设，．(1)如图1，当点是线段的中点时，求的值；(2)如图2，当点在的延长线上，求关于的函数解析式及其定义域；(3)当时，求的面积．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）过点A作于H，证明，求出，再求出，然后由锐角三角函数定义求解即可；（2）过点作，交于点，证明，由相似三角形的性质得到，据此解题；（3）①当点D在BC延长线上时，过点A作于点H，证明，求出，则，得到，再由三角形面积公式解题；②当点D在BC上时，过点A作于H，过点C作交AD的延长线于M，证明，求出，再证明，得到，然后证明，求出，则，得到即可解题．（1）解：在中，，，，∴过点作，垂足为，∴在与中，∴，∴∵，，，∴∴，，∵是线段的中点，∴，∴，在中，（2）解：∵，∴∵，∴，∴，∴∵，∴，如图，过点作，交于点，∵，，∵，，，，∴，∴在与中，，∴∴，∴，∴（3）情况一：当点在的延长线上时，可证∴，∴．∵，，∴∴，∵，∴∴，即∴情况二：当点在的边上时，可证∴，∴∵，，∴，∴类似的，如图，过点作交的延长线于点，可求得，∴，∴，∴，∴【点睛】本题考查三角形综合题，涉及直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、函数解析式、锐角三角函数定义、分类讨论等知识，综合性较强，有难度，掌握相关知识是解题关键．11．（2023·上海青浦·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与y轴交于点C．(1)求这个抛物线的表达式；(2)如果点D是抛物线位于第三象限上一点，交x轴于点E，且E为的中点．①求D点坐标；②点P在x轴上，如果，求点P的坐标．【答案】(1)(2)①，②或【分析】（1）将点和代入，求出a和b的值即可；（2）①先求出点C的坐标，设点D的坐标为，根据点E为的中点可求出t的值，即可求出点D的坐标；②分两种情况进行讨论，当点P在点A左侧时和当点P在点A右侧时，画出辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形对应边相等即可进行解答．【详解】（1）解：将点和代入得：，解得，∴这个抛物线的表达式为：；（2）①把代入得：，∴，∵D是抛物线位于第三象限上一点，∴设点D的坐标为，，∵点E在x轴上，且E为的中点，∴，解得：，（舍），∴，∴点D的坐标为；②∵点E为的中点，，，∴