计数原理 高三数学二轮复习专题

计数原理考情预览

明确考向1.[排列的应用](2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有(

)A.12种 B.24种 C.36种 D.48种√2.[排列与组合综合应用](2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(

)A.30种 B.60种 C.120种 D.240种√3.[组合的应用与计数原理](2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有

种(用数字作答).

64-2855.[二项式系数与项的系数](2021·浙江卷)已知多项式(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a1=

,a2+a3+a4=

.

10考法聚焦讲练突破热点一排列与组合问题解答排列、组合问题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”4个角度入手(1)“分析”就是找出题目的条件、结论,哪些是“元素”,哪些是“位置”;(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合,对某些元素的位置有无限制等;(3)“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类,然后逐类解决;(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤,而每一步都是简单的排列、组合问题,然后逐步解决.典例1

(1)(2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有(

)√(2)(2023·全国甲卷)有五名志愿者参加社区服务,共服务星期六、星期天两天,每天从中任选两人参加服务,则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为(

)A.120 B.60 C.40 D.30√(3)(2023·山东潍坊统考一模)我国载人航天事业突飞猛进,其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试,主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项,连续5天完成.且前庭功能和失重飞行需安排在相邻两天测试,超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试,则选拔测试的安排方案有(

)A.24种 B.36种 C.48种 D.60种√(1)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.(2)对于分组与分配问题应注意三点:①处理分配问题要注意先分组再分配;②被分配的元素是否是相同的;③分配时要注意是否均匀.√热点训练1

(1)(2023·吉林长春模拟)10名学生进行队列训练,站成前排3人后排7人,现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同的调整方法的总数为(

)(2)(多选题)为响应政府部门号召,某红十字会安排甲、乙、丙、丁4名志愿者奔赴A,B,C三地参加防控工作,则下列说法正确的是(

)A.不同的安排方法共有64种B.若恰有一地无人去,则不同的安排方法共有42种C.若甲、乙两人都不能去A地,且每地均有人去,则不同的安排方法共有44种D.若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车(救护车相同),且每地至少安排一辆,则不同的安排方法共有171种√√热点二二项式定理(3)(a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n.考向1求特定项或其系数√√考向2展开式系数问题A.a0=64B.a0+a2+a4+a6=365C.a5=12D.a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=-6√√√√√√(1)求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路①利用通项公式将Tk+1写出并化简.②令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出k.③代回通项公式得所求.(2)对于两个因式的积的特定项问题,一般对某个因式用通项公式,再结合因式相乘,分类讨论求解.(3)求展开式中各项系数和可用“赋值法”,二项式系数最大的项在中间一项或中间两项取得.A.所有项的二项式系数和为64B.所有项的系数和为0C.常数项为