北京市八十中学2024届八年级下册数学期末学业水平测试试题含解析

北京市八十中学2024届八年级下册数学期末学业水平测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．当k＜0时，一次函数y=kx﹣k的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为()A．40° B．36° C．30° D．25°3．已知a＜b，下列不等关系式中正确的是（）A．a+3＞b+3 B．3a＞3b C．﹣a＜﹣b D．﹣＞﹣4．已知关于x的函数y=k(x－1)和y=(k≠0)，它们在同一坐标系内的图象大致是()A． B． C． D．5．顺次连接四边形各边中点所得的四边形是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．以上都不对6．多项式与的公因式是()A． B． C． D．7．若一次函数y＝(k－3)x－k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是()A．k＜3 B．k＜0 C．k＞3 D．0＜k＜38．为改善城区居住环境,某市对4000米长的玉带河进行了绿化改造.为了尽快完成工期，施工队每天比原计划多绿化10米,结果提前2天完成.若原计划每天绿化米,则所列方程正确的是（）A． B． C． D．9．已知是方程的一个根，那么代数式的值为（）A．5 B．6 C．7 D．810．如图，A、B、C、D四点都在⊙O上，若OCAB，AOC70，则圆周角D的度数等于（）A．70 B．50 C．35 D．2011．下列变形中，正确的是（）A． B．C． D．12．化简二次根式的结果为()A．﹣2a B．2a C．2a D．﹣2a二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，一次函数的图象与坐标轴的交点坐标分别为A（0，2），B（-3，0），下列说法：①随的增大而减小；②；③关于的方程的解为；④关于的不等式的解集．其中说法正确的有_____.14．如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，若△ABC的周长为20cm，则四边形ABFD的周长为________．15．两个实数，，规定，则不等式的解集为__________.16．将正比例函数的图象向上平移3个单位，所得的直线不经过第______象限．17．下表是某校女子羽毛球队队员的年龄分布：年龄/岁13141516人数1121则该校女子排球队队员年龄的中位数为__________岁.18．如图，已知□ABCD和正方形CEFG有一个公共的顶点C，其中E点在AD上，若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数是_________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在正方形中，已知于．（1）求证：；（2）若，求的长．20．（8分）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为i2=-1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：(2-i)+(5+3i)=(2+5)+(-1+3)i=7+2i；(1+i)×(2-i)=1×2-i+2×i-i2=2+(-1+2)i+1=3+i；根据以上信息，完成下列问题：（1）填空：i3=，i4=；（2）计算：(1+i)×(3-4i)；（3）计算：i+i2+i3+…+i1．21．（8分）已知E、F分别是平行四边形ABCD中BD上的点，且BE＝DF，试说明，四边形AECF是平行四边形。22．（10分）某书店以每本21元的价格购进一批图书，若每本图书售价a元，则每周可卖出（350﹣10a）件，但物价局限定每本图书的利润率不得超过20%，该书店计划“五一”黄金周要盈利400元．问需要购进图书多少本？23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，为坐标原点，，将平行四边形绕点逆时针旋转得到平行四边形，点在的延长线上，点落在轴正半轴上．(1)证明:是等边三角形:(2)平行四边形绕点逆时针旋转度．的对应线段为,点的对应点为①直线与轴交于点,若为等腰三角形，求点的坐标:②对角线在旋转过程中设点坐标为，当点到轴的距离大于或等于时，求的范围．24．（10分）如图1，，是线段上的一个动点，分别以为边，在的同侧构造菱形和菱形，三点在同一条直线上连结，设射线与射线交于.（1）当在点的右侧时，求证：四边形是平形四边形.（2）连结，当四边形恰为矩形时，求的长.（3）如图2，设，，记点与之间的距离为，直接写出的所有值.25．（12分）如图，是的中线，，交于点，是的中点，连接.（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若四边形的面积为，请直接写出图中所有面积是的三角形.26．如图，正方形ABCD，点P为射线DC上的一个动点，点Q为AB的中点，连接PQ，DQ，过点P作PE⊥DQ于点E．（1）请找出图中一对相似三角形，并证明；（2）若AB＝4，以点P，E，Q为顶点的三角形与△ADQ相似，试求出DP的长．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【解析】试题分析：∵k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y=kx﹣k的图象经过第一、二、四象限．故选C．考点：一次函数图象与系数的关系．2、B【解析】

根据AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．【详解】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵CD＝DA，∴∠C＝∠DAC，∵BA＝BD，∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，设∠B＝α，则∠BDA＝∠BAD＝2α，又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，∴α＋2α＋2α＝180°，∴α＝36°，即∠B＝36°，故选：B．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．3、D【解析】

根据不等式的性质逐一判断即可．【详解】A：不等式两边都加3，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；B：不等式两边都乘以3，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；C：不等式两边都乘﹣1，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项不符合题意；D不等式两边都除以﹣2，不等号的方向改变，原变形正确，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟记不等式在两边都乘除负数时，不等式符号需要改变方向是解题关键．4、A【解析】若k＞0时，反比例函数图象经过二四象限；一次函数图象经过一三四象限；若k＜0时，反比例函数经过一三象限；一次函数经过二三四象限；由此可得只有选项A正确，故选A．5、A【解析】试题分析：如图四边形ABCD，E、N、M、F分别是DA，AB，BC，DC中点，连接AC，DE，根据三角形中位线定理可得：EF平行且等于AC的一半，MN平行且等于AC的一半，根据平行四边形的判定，可知四边形为平行四边形．故选A．考点：三角形中位线定理．6、B【解析】

直接将原式分别分解因式，进而得出公因式即可．【详解】解：∵a2-21=（a+1）（a-1），a2-1a=a（a-1），∴多项式a2-21与a2-1a的公因式是a-1．

故选：B．【点睛】此题主要考查了公因式，正确将原式分解因式是解题的关键．7、D【解析】

由一次函数图象经过第二、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】∵一次函数y=（k-3）x-k的图象经过第二、三、四象限，∴k-3＜解得：0＜k＜3，故选：D．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限”是解题的关键．8、A【解析】

原计划每天绿化x米，则实际每天绿化(x+10)米，根据结果提前2天完成即可列出方程.【详解】原计划每天绿化x米，则实际每天绿化(x+10)米，由题意得，，故选A.【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.9、C【解析】

因为a是方程x2−2x−1＝0的一个根，所以a2−2a＝1，那么代数式2a2−4a＋5可化为2（a2−2a）＋5，然后把a2−2a＝1代入即可．【详解】解：∵a是方程x2−2x−1＝0的一个根，∴a2−2a＝1，∴2a2−4a＋5＝2（a2−2a）＋5＝2×1＋5＝7，故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的解以及代数式求值，注意解题中的整体代入思想．10、C【解析】

由垂径定理将已知角转化，再用圆周角定理求解．【详解】解：因为OC⊥AB，

由垂径定理可知，所以，∠COB=∠COA=70°，根据圆周角定理，得故选：C．【点睛】本题综合考查了垂径定理和圆周角的求法及性质．解答这类题要灵活运用所学知识解答问题，熟练掌握圆的性质是关键．11、D【解析】

根据分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．逐一进行判断。【详解】解：A.是最简分式，不能约分，故本选项错误；B.，故本选项错误；C.，故本选项错误；D.，故本选项正确。故选：D【点睛】本题主要考查了分式的性质,熟练掌握运算法则是解本题的关键．12、A【解析】

利用根式化简即可解答.【详解】解：∵﹣8a3≥0，∴a≤0∴＝2|a|＝﹣2a故选A．【点睛】本题考查二次根式性质与化简，熟悉掌握运算法则是解题关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、②④【解析】

根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系,一次函数与一元一次不等式的关系对个小题分析判断即可得解．【详解】解：根据一次函数的图象可知y随x的增大而增大，故①错误；因为一次函数的图象与y轴的交点A（0，2）,所以b=2，故②正确；因为一次函数的图象与x轴的交点B（-3，0），所以关于的方程的解为，故③错误；因为一次函数的图象与x轴的交点B（-3，0）结合图象可知关于的不等式的解集，故④正确；故答案为：②④.【点睛】本题考查一次函数与坐标轴交点问题，一次函数与一元一次方程的关系,一次函数与一元一次不等式的关系.掌握数形结合思想是解决此题的关键.14、26cm【解析】

先根据平移的性质得DF=AC，AD=CF=3cm，再由△ABC的周长为20cm得到AB+BC+AC=20cm，然后利用等线段代换可计算出AB+BC+CF+DF+AD=26（cm），于是得到四边形ABFD的周长为26cm．【详解】∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，∴DF=AC，AD=CF=3cm，∵△ABC的周长为20cm，即AB+BC+AC=20cm，∴AB+BC+CF+DF+AD=AB+BC+AC+AD+CF=20+3+3=26（cm），即四边形ABFD的周长为26cm．故答案是：26cm．【点睛】考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．15、【解析】

根据题意列出方程，再根据一元一次不等式进行解答即可.【详解】由规定，可得.所以，，就是，解得，.故答案为：【点睛】此题考查解一元一次不等式，解题关键在于理解题意.16、三【解析】

根据函数的平移规律，一次函数的性质，可得答案．【详解】由正比例函数的图象向上平移3个单位，得，一次函数经过一二四象限，不经过三象限，故答案为：三．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，利用函数的平移规律：上加下减，左加右减是解题关键．17、15.【解析】

中位数有2种情况，共有2n+1个数据时，从小到大排列后,，中位数应为第n+1个数据,可见,大于中位数与小于中位数的数据都为n个；共有2n+2个数据时,从小到大排列后,中位数为中间两个数据平均值,大小介于这两个数据之间，可见大于中位数与小于中位数的数据都为n+1个，所以这组数据中大于或小于这个中位数的数据各占一半，中位数有一个.【详解】解：总数据有5个，中位数是从小到大排，第3个数据为中位数,即15为这组数据的中位数.故答案为：15【点睛】本题考查中位数的定义，解题关键是熟练掌握中位数的计算方法，即中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．18、700【解析】分析：由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果．详解：∵四边形CEFG是正方形，

∴∠CEF=90°，

∵∠CED=180°-∠AEF-∠CEF=180°-15°-90°=75°，

∴∠D=180°-∠CED-∠ECD=180°-75°-35°=70°，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴∠B=∠D=70°（平行四边形对角相等）．

故答案为：70°.点睛：本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出∠D的度数是解决问题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（2）【解析】

（1）由正方形的性质可得BC=CD，∠B=∠BCD=90°，利用直角三角形中两个锐角互余以及垂直的定义证明∠BEC=∠CFD即可证明：△BCE≌△CDF；（2）由（1）可知：△BCE≌△CDF，所以CF=BE=2，由相似三角形的判定方法可知：△BCE∽HCF，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出HF的长．【详解】（1）证明：在正方形中，∴，∵，∴，又∵，∴，∴；（2）解：∵∴，∵，∴，∴，在Rt△BCE中，BC=AB=6，BE=2，∴，∴；【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，题目的综合性很强，但难度不大．20、（2）-i，2；（2）7-i；（3）i-2．【解析】试题分析：（2）把代入求出即可；

（2）根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算，再把代入求出即可；

（3）先根据复数的定义计算，再合并即可求解．试题解析：(2)故答案为−i，2；(2)(3)21、见详解.【解析】

先根据四边形ABCD为平行四边形得出OA=OC,OB=OD，再证明OE=OF，即可证明四边形AECF是平行四边形.【详解】四边形ABCD为平行四边形OA=OC,OB=ODBE＝DFOE=OF四边形AECF是平行四边形.【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质定理，熟练掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形为解题的关键.22、需要购进图书2本．【解析】

根据总利润＝每本利润×销售数量，可得出关于a的一元二次方程，解之可得出a的值，结合利润率不得超过20%可确定a值，再将其代入350﹣10a中即可求出结论．【详解】解：依题意，得：（a﹣21）（350﹣10a）＝400，整理，得：a2﹣56a+775＝0，解得：a1＝25，a2＝1．∵21×（1+20%）＝25.2，∴a2＝1不合题意，舍去，∴350﹣10a＝350﹣10×25＝2．答：需要购进图书2本．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23、（1）见解析（2）①P（0,）或（0,-4）②-8≤m≤-或≤m≤1【解析】

(1)根据A点坐标求出∠AOF=60°，再根据旋转的特点得到AO=AF，故可求解；（2）①设P（0,a）根据等腰三角形的性质分AP=OP和AO=OP，分别求出P点坐标即可；②分旋转过程中在第三象限时到轴的距离等于与旋转到第四象限时到轴的距离等于，再求出当旋转180°时的坐标，即可得到m的取值．【详解】（1）如图，过A点作AH⊥x轴，∵∴OH=2,AH=2∴AO=故AO=2OH∴∠OAH=30°∴∠AOF=90°-∠OAH=60°∵旋转∴AO=AF∴△AOF是等边三角形；（2）①设P（0,a）∵是等腰三角形当AP=OP时，（2-0）2+（2-a）2=a2解得a=∴P（0,）当AO=OP时，OP=AO=4∴P（0,-4）故为等腰三角形时，求点的坐标是（0,）或（0,-4）；②旋转过程中点的对应点为，当开始旋转，至到轴的距离等于时，m的取值为-8≤m≤-；当旋转到第四象限，到轴的距离等于时，m=当旋转180°时，设C’的坐标为(x,y)∵C、关于A点对称，∴解得∴（1，）∴m的取值为≤m≤1，综上，当点到轴的距离大于或等于时，求的范围是-8≤m≤-或≤m≤1．【点睛】此题主要考查旋转综合题，解题的关键是熟知等边三角形的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、对称性的应用．24、（1）见解析；（2）FG＝；（3）d＝14或.【解析】

（1）由菱形的性质可得AP∥EF，∠APF＝∠EPF＝∠APE，PB∥CD，∠CDB＝∠PDB＝∠CDP，由平行线的性质可得∠FPE＝∠BDP，可得PF∥BD，即可得结论；（2）由矩形的性质和菱形的性质可得FG＝PB＝2EF＝2AP，即可求FG的长；（3）分两种情况讨论，由勾股定理可求d的值；点G在DP的右侧，连接AC，过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H；若点G在DP的左侧，连接AC，过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H．【详解】（1）∵四边形APEF是菱形∴AP∥EF，∠APF＝∠EPF＝∠APE，∵四边形PBCD是菱形∴PB∥CD，∠CDB＝∠PDB＝∠CDP∴∠APE＝∠PDC∴∠FPE＝∠BDP∴PF∥BD，且AP∥EF∴四边形四边形FGBP是平形四边形；（2）若四边形DFPG恰为矩形∴PD＝FG，PE＝DE，EF＝EG，∴PD＝2EF∵四边形APEF是菱形，四边形PBCD是菱形∴AP＝EF，PB＝PD∴PB＝2EF＝2AP，且AB＝10∴FG=PB＝.（3）如图，点G在DP的右侧，连接AC，过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H，∵FE＝2EG，∴PB＝FG＝3EG，EF＝AP＝2EG∵AB＝10∴AP+PB＝5EG＝10∴EG＝2，∴AP＝4，PB＝6＝BC，∵∠ABC＝120°，∴∠CBH＝60°，且CH⊥AB∴BH＝BC＝3，CH＝BH＝3∴AH＝13∴AC＝＝14若点G在DP的左侧，连接AC，过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H∵FE＝2EG，∴PB＝FG＝EG，EF＝AP＝2EG∵AB＝10，∴3EG＝10∴EG＝∴BP＝BC＝∵∠ABC＝120°，∴∠CBH＝60°，且CH⊥AB∴BH＝BC＝，CH＝BH＝∴AH＝∴AC＝综上所述：d＝14或.【点睛】本题考查菱形的性质、平行线的性质、平行四边形的判定及勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质、平行线的性质、平行四边形的判定及勾股定理的计算.25、（1）见解析；（2），，，【解析】

（1）首先证明△AFE≌△DFB可得AE=BD，进而可证明AE=CD，再由AE∥BC可利用一组对边平行且相等的