2024年江苏省南师大附中树人学校八年级数学第二学期期末监测模拟试题含解析

2024年江苏省南师大附中树人学校八年级数学第二学期期末监测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，点是矩形的对角线的中点，点是边的中点，若，，则的长为（）A．3 B．4 C．4.5 D．52．如图，分别是矩形的边上的点，将四边形沿直线折叠，点与点重合，点落在点处，已知,则的长是()A．4 B．5 C．6 D．73．关于x的分式方程有增根，则a的值为（）A．2 B．3 C．4 D．54．下列图形不是中心对称图形的是A． B． C． D．5．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是()A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞26．若将直角三角形的两直角边同时扩大2倍，则斜边扩大为原来的A．2倍B．3倍C．4倍D．5倍7．在函数中的取值范围是（）A． B． C． D．8．如图，动点P从出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角当点P第2018次碰到矩形的边时，点P的坐标为A． B． C． D．9．使式子有意义的x的值是（）A．x≥1 B．x≤1 C．x≥﹣1 D．x≤210．对角线相等且互相平分的四边形是（）A．一般四边形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形11．已知锐角三角形中，，点是、垂直平分线的交点，则的度数是（）A． B． C． D．12．若，则函数的图象可能是A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，矩形ABCD中，AB=2,BD=4，对角线AC,BD交于点O,AE⊥BD，则AD=______，AE=______．14．如图，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，已知背水坡CD的坡度i＝1：2.4，CD长为13米，则河堤的高BE为米．15．已知菱形的两条对角线长分别为1和4，则菱形的面积为______．16．若点、在双曲线上，则和的大小关系为______.17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD＝BE＝2，点M，P，N分别是DE，BD，AB的中点，则△PMN的周长＝___．18．点A（a，﹣5）和（3，b）关于x轴对称，则ab＝_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，AD是△ABC的角平分线，M是BC的中点，FM∥AD交BA的延长线于点F，交AC于点E．求证：（1）CE=BF．（2）AB+AC=2CE．20．（8分）（1）读读做做：教材中有这样的问题，观察下面的式子，探索它们的规律，=1-，=，=……用正整数n表示这个规律是______；（2）问题解决：一容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出L水，第二次倒出的水量是L水的，第三次倒出的水量是L水的，第四次倒出的水量是L水的，……，第n+1次倒出的水量是L水的，……，按照这种倒水方式，这1L水能否倒完？（3）拓展探究：①解方程：+++=；②化简：++…+．21．（8分）如图，方格纸中每一个小方格的边长为1个单位，试解答下列问题：（1）的顶点都在方格纸的格点上，先将向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到，其中点、、分别是、、的对应点，试画出；（2）连接，则线段的位置关系为____,线段的数量关系为___；（3）平移过程中，线段扫过部分的面积_____．（平方单位）22．（10分）已知如图，在正方形中，为的中点，，平分并交于.求证：23．（10分）如图，在边长为的正方形ABCD中，作∠ACD的平分线交AD于F，过F作直线AC的垂线交AC于P，交CD的延长线于Q，又过P作AD的平行线与直线CF交于点E，连接DE，AE，PD，PB．（1）求AC，DQ的长；（2）四边形DFPE是菱形吗？为什么？（3）探究线段DQ，DP，EF之间的数量关系，并证明探究结论；（4）探究线段PB与AE之间的数量关系与位置关系，并证明探究结论．24．（10分）如图，在△ABC中，．请用尺规在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等保留作图痕迹，不写作法和证明25．（12分）一次函数的图象经过点A（2，4）和B（﹣1，﹣5）两点．（1）求出该一次函数的表达式；（2）画出该一次函数的图象；（3）判断（﹣5，﹣4）是否在这个函数的图象上？（4）求出该函数图象与坐标轴围成的三角形面积．26．如图，▱ABCD中，AC为对角线，G为CD的中点，连接AG并廷长交BC的延长线于点F，连接DF，求证：四边形ACFD为平行四边形．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【解析】

由三角形的中位线定理可得CD=AB=6，由勾股定理可求AC的长，即可求OB的长．【详解】∵四边形ABCD是矩形

∴AB=CD，∠ABC=90°，AO=OC=OB

∵AO=OC，AM=MD

∴CD=2OM=6=AB，

∴AC==10

∴OB=5

故选：D．【点睛】此题考查矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练运用矩形的性质是解题的关键．2、B【解析】

设AE=x,,则BE=8-x,根据矩形折叠过程可得：三角形BCE是直角三角形，AE=CE,所以BE2+BC2=CE2【详解】设AE=x,,则BE=8-x,根据矩形折叠过程可得：三角形BCE是直角三角形，AE=CE所以BE2+BC2=CE2所以解得x=5即AE=5故选：B【点睛】考核知识点：矩形的折叠问题.根据勾股定理求解是关键.3、D【解析】

分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．【详解】解：去分母得：x+1=a，

由分式方程有增根，得到x-4=0，即x=4，

代入整式方程得：a=5，

故选：D．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．4、D【解析】

根据中心对称图形的概念求解．【详解】A、是中心对称图形．故不能选；

B、是中心对称图形．故不能选；

C、是中心对称图形．故不能选；

D、不是中心对称图形．故可以选．故选D【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5、C【解析】

由图象可知，直线与x轴相交于（1，0），当y＞0时，x＜1．故答案为x＜1．6、A【解析】分析：根据勾股定理知直角三角形的三边满足a2+b2=c2，当直角边扩大2倍依然满足勾股定理：(2a)2+(2b)2=(2c)2，由此确定斜边扩大的倍数.详解：直角三角形的三边满足勾股定理：a2+b2=c2，如果两直角边扩大为原来的2倍，则(2a)2+(2b)2=(2c)2，所以斜边扩大为原来的2倍.故选A.点睛：此题属于勾股定理的应用，勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，当题目中出现直角三角形，常使用勾股定理进行求解，这个定理在几何的计算问题中是经常用到的，尤其是线段的长度以及边的关系，请同学们熟记并且能熟练地运用它.7、C【解析】

根据分母不等于0列式计算即可得解.【详解】根据题意得,,

解得.

故选C.【点睛】本题考查了函数自变量的范围,一般从三个方面考虑:

(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;

(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;

(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.8、C【解析】

理解题意，由反射角与入射角的定义作出图形，观察出反弹6次为一个循环的规律，解答即可.【详解】如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），

∵2018÷6=336…2，

∴当点P第2018次碰到矩形的边时为第336个循环组的第2次反弹，

点P的坐标为（7，4）．

故选C．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律，首先作图，然后观察出每6次反弹为一个循环，据此解答即可.9、A【解析】

根式有意义则根号里面大于等于0，由此可得出答案．【详解】解：由题意得：x﹣1≥0，∴x≥1．故选A．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，比较简单，注意根号里面的式子为非负数．10、C【解析】

由对角线互相平分，可得此四边形是平行四边形；又由对角线相等，可得是矩形；【详解】∵四边形的对角线互相平分，∴此四边形是平行四边形；又∵对角线相等，∴此四边形是矩形；故选B.【点睛】考查矩形的判定，常见的判定方法有：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.11、A【解析】

连接OA、OB，由，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=115°，根据线段的垂直平分线的性质得到OA=OB，OA=OC，根据等腰三角形的性质计算即可．【详解】解：如图，连接OA、OB，

∵∠BAC=65°，

∴∠ABC+∠ACB=115°，

∵O是AB，AC垂直平分线的交点，

∴OA=OB，OA=OC，

∴∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，OB=OC，

∴∠OBA+∠OCA=65°，

∴∠OBC+∠OCB=115°-65°=50°，

∵OB=OC，

∴∠BCO=∠OBC=25°，

故选：A．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，解决问题的关键是掌握：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．12、A【解析】

根据kb>0，可知k>0，b>0或k<0，b<0，然后分情况讨论直线的位置关系．【详解】由题意可知：可知k>0，b>0或k<0，b<0，

当k>0，b>0时，

直线经过一、二、三象限，

当k<0，b<0

直线经过二、三、四象限，

故选(A)【点睛】本题考查一次函数的图像，解题的关键是清楚kb大小和图像的关系.二、填空题（每题4分，共24分）13、23,3【解析】

根据矩形的性质求出∠BAD=90°，根据勾股定理求出AD，根据含30°角的直角三角形的性质求出AE=12AD，即可求出AE【详解】解：∵四边形ABCDD是矩形，∴∠BAD=90°，在Rt△BAD中，由勾股定理得：AD=∵在Rt△BAD中，AB=2，BD=4，∴AB=12BD∴∠ADB=30°，∵AE⊥BD，∴∠AED=90°，∴AE=12AD=12×2故答案为：23【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．14、1【解析】在Rt△ABE中，根据tan∠BAE的值，可得到BE、AE的比例关系，进而由勾股定理求得BE、AE的长，由此得解．解：作CF⊥AD于F点，则CF=BE，∵CD的坡度i=1：2.4=CF：FD，∴设CF=1x，则FD=12x，由题意得CF2+FD2=CD2即：（1x）2+（12x）2=132∴x=1，∴BE=CF=1故答案为1．本题主要考查的是锐角三角函数的定义和勾股定理的应用．15、1【解析】

利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．【详解】解：菱形的面积=×1×4=1．

故答案为1．【点睛】本题考查了菱形的性质：熟练掌握菱形的性质（菱形具有平行四边形的一切性质；

菱形的四条边都相等；

菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角）．

记住菱形面积=ab（a、b是两条对角线的长度）．16、【解析】

根据反比例函数的增减性解答即可．【详解】将A(7,y1),B(5,y2)分别代入双曲线上,得y1=;y2=,则y1与y2的大小关系是.故答案为.【点睛】此题考查反比例函数的性质，解题关键在于掌握其性质.17、2+．【解析】

先由三角形中位线定理得出PM∥BC，PN∥AC，PM＝BE＝1，PN＝AD＝1，再根据平行线的性质得出∠MPD＝∠DBC，∠DPN＝∠CDB，可证∠MPN＝90°，利用勾股定理求出MN＝＝，进而得到△PMN的周长．【详解】∵点M，P，N分别是DE，BD，AB的中点，AD＝BE＝2，∴PM∥BC，PN∥AC，PM＝BE＝1，PN＝AD＝1，∴∠MPD＝∠DBC，∠DPN＝∠CDB，∴∠MPD+∠DPN＝∠DBC+∠CDB＝180°﹣∠C＝90°，即∠MPN＝90°，∴MN＝＝，∴△PMN的周长＝2+．故答案为2+．【点睛】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．也考查了平行线的性质，勾股定理，三角形内角和定理．求出PM＝PN＝1，MN＝是解题的关键．18、1．【解析】

根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数可得a、b的值，继而可求得答案.【详解】∵点A(a，-5)和点B(3，b)关于x轴对称，∴a=3，b=5，∴ab=1，故答案为：1.【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，熟练掌握是解题的关键.三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（2）见解析【解析】

（1）延长CA交FM的平行线BG于G点，利用平行线的性质得到BM=CM、CE=GE，从而证得CE=BF；

（2）利用上题证得的EA=FA、CE=BF，进一步得到AB+AC=AB+AE+EC=AB+AF+EC=BF+EC=2EC．【详解】解：（1）证明：延长CA交FM的平行线BG于G点，

则∠G=∠CAD，∠GBA=∠BAD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∴AG=AB，

∵FM∥AD

∴∠F=∠BAD、∠FEA=∠DAC

∵∠BAD=∠DAC，

∴∠F=∠FEA，

∴EA=FA，

∴GE=BF，

∴M为BC边的中点，

∴BM=CM，

∵EM∥GB，

∴CE=GE，

∴CE=BF；

（2）证明：∵EA=FA、CE=BF，

∴AB+AC=AB+AE+EC=AB+AF+EC=BF+EC=2EC．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，解题的关键是正确地构造辅助线，另外题目中还考查了平行线等分线段定理．20、（1）；（2）按这种倒水方式，这1L水倒不完，见解析；（3）①x=；②【解析】

（1）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（2）根据题意列出关系式，利用得出的规律化简即可；（3）①方程变形后，利用得出的规律化简，计算即可求出解；②原式利用得出的规律变形，计算即可求出值．【详解】（1）根据题意得：=-；（2）前n次倒出的水总量为+++…+=1-+-+-+…+-=1-=，∵＜1，∴按这种倒水方式，这1L水倒不完；（3）①方程整理得：[（1-）+（-）+（-）+（-）]•=，[（1-）]•=，•=，解得：x=，经检验，x=是原方程的解，∴原方程的解为x=；②++…+==（-）+（-）+（-）+…+[-]=[-]=．【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，解分式方程，分式的混合运算，解答本题的关键是根据所给式子找出规律，并利用规律解答．21、（1）见解析；（2）平行，相等；（3）1．【解析】

（1）直接利用平移的性质分别得出对应点位置进而得出答案；

（2）利用平移的性质得出线段AA1、BB1的位置与数量关系；

（3）利用三角形面积求法进而得出答案．【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；

（2）线段AA1、BB1的位置关系为平行，线段AA1、BB1的数量关系为：相等．

故答案为：平行，相等；

（3）平移过程中，线段AB扫过部分的面积为：2××3×5=1．

故答案为：1．【点睛】此题考查平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．22、见解析【解析】

取DA的中点F，连接FM，根据正方形的性质可得DA=AB，∠A=∠ABC=∠CBE=90°，然后利用ASA即可证出△DFM≌△MBN，再根据全等三角形的性质即可得出结论．【详解】解：取DA的中点F，连接FM∵四边形是正方形∴DA=AB，∠A=∠ABC=∠CBE=90°∴∠FDM＋∠AMD=90°∵∴∠BMN＋∠AMD=90°∴∠FDM=∠BMN∵点F、M分别是DA、AB的中点∴DF=FA=DA=AB=AM=MB∴△AFM为等腰直角三角形∴∠AFM=45°∴∠DFM=180°－∠AFM=135°∵平分∴∠CBN==45°∴∠MBN=∠ABC＋∠CBN=135°∴∠DFM=∠MBN在△DFM和△MBN中∴△DFM≌△MBN∴【点睛】此题考查的是正方形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握正方形的性质和构造全等三角形的方法是解决此题的关键．23、（1）AC=，QD=；（2）是菱形，理由见解析；（3）DP2+EF2=4QD2，理由见解析；（4）垂直且相等，理由见解析.【解析】

（1）利用勾股定理求出AC，再证明△FDQ≌△FPA得到QD=AP，结合CD=CP求出结果；（2）先证明DE∥PF，结合EP∥DF得到四边形DFPE是平行四边形，再由EF⊥DP得到菱形；（3）根据菱形的性质得到2DG=DP，2GF=EF，再证明QD=DF，最后利用勾股定理证明线段关系；（4）证明△ADE≌BAP，得到AE=BP，∠EAD=∠ABP，延长BP，与AE交于点H，利用∠EAD=∠ABP，得到∠PHA=90°，即可判定关系.【详解】解：（1）AC=，∵CF平分∠BCD，FD⊥CD，FP⊥AC，∴FD=FP，又∠FDQ=∠FPA，∠DFQ=∠PFA，∴△FDQ≌△FPA（ASA），∴QD=AP，∵点P在正方形ABCD对角线AC上，∴CD=CP=a，∴QD=AP=AC-PC=；（2）∵FD=FP，CD=CP，∴CF垂直平分DP，即DP⊥CF，∴ED=EP，则∠EDP=∠EPD，∵FD=FP，∴∠FDP=∠FPD，而EP∥DF，∴∠EPD=∠FDP，∴∠FPD=∠EPD，∴∠EDP=∠FPD，∴DE∥PF，而EP∥DF，∴四边形DFPE是平行四边形，∵EF⊥DP，∴四边形DFPE是菱形；（3）DP2+EF2=4QD2，理由是：∵四边形DFPE是菱形，设DP与EF交于点G，∴2DG=DP，2GF=EF，∵∠ACD=45°，FP⊥AC，∴△PCQ为等腰直角三角形，∴∠Q=45°，可得△QDF为等腰直角三角形，∴QD=DF，在△DGF中，DG2+FG2=DF2，∴有（DP）2+（EF）2=QD2，整理得：DP2+EF2=4QD2；（4）∵∠DFQ=45°，DE∥FP，∴∠EDF=45°，又∵DE=DF=DQ=AP=，AD=AB，∴△ADE≌BAP（SAS），∴AE=BP，∠EAD=∠ABP，延长BP，与AE交于点H，∵∠HPA=∠PAB+∠PBA=∠PAB+∠DAE，∠PAB+∠DAE+∠HAP=90°，∴∠HPA+∠HAP=90°，∴∠PHA=90°，即BP⊥AE，综上：BP与AE的关系是：垂直且相等.【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，勾股定