2023-2024学年新疆乌鲁木齐101中学高三（上）月考数学试卷（理科）（8月份）（含解析）

2023-2024学年新疆乌鲁木齐101中学高三（上）月考数学试卷

（理科）（8月份）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知i是虚数单位.若z=+Qi,z•z=4,贝IJQ的值为（）

A.一<3或B.1C.-1D.1或一1

2.数据12,12,12,14,15的平均数与众数的差为（）

A.2B.1C.-1D.—2

x

3.已知全集U=R,集合M={x\2>1},集合N={%|log2x<1},则下列结论中成立的是（）

A.MnN=MB.MUN=NC.Mn（QN）=0D.（QM）nN=。

4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的

体积（单位：。M3）是（）

A.2

B.4

C.6

D.8

俯视图

5.函数f（%）的部分图象大致为（）

6.设函数/（%）=（x2+a）e》在R上存在最小值（其中e为自然对数的底数，aeR）,则函数

g（x）=/+x+a的零点个数为（）

A.0B.1C.2D.无法确定

7.如图，PA1圆。所在平面，4B是圆。的直径，C是圆周上一点,

其中AC=3,PA=4,BC=5,则PB与平面PAC所成角的正弦

值为（）

A号

B4

D.?

8.《九章算术》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委菽依组内

角，下周三丈，高七尺，问积及为菽几何？”其意思为：“靠墙壁堆放大豆成半圆锥形，大

豆堆底面的弧长为3丈，高为7尺，间大豆堆体积和堆放的大豆有多少斛？”己知1斛大豆=

2.43立方尺，1丈=10尺，圆周率约为3,估算出堆放的大豆有（）

A.140斛B.142斛C.144斛D.146斛

9.已知圆锥的母线与底面所成的角等于60。，且该圆锥内接于球0,则球。与圆锥的表面积之

比等于()

A.4：3B.3：4C.16：9D.9：16

10.抛物线C：y=M的焦点为尸，直线2经过点F与抛物线C相交于4,B两点,若点F是线段AB

的三等分点，则直线，的斜率是()

A.2\T2B.±2y/~2C._D.

11.如图，4B为定圆。的直径，点P为半圆上的动点.过点P作ZB的P

垂线，垂足为Q，过Q作OP的垂线，垂足为M.记弧4P的长为％,线段QM:欢、

BOO

的长为y,则函数y=/(x)的大致图象是()

12.己知定义在R上的偶函数y=f(x)的导函数为y=/'(x),当x＞0时，/(x)+竽＜0,

且f(2)=3,则不等式-x-l)＜提的解集为()

12

A.(一8弓)u+8)B.(-8,1)u(3,+8)

c.(3,+8)D.(i,l)U(l,3)

二、填空题(本大题共4小题，共16.0分)

13.对于任意向量方、b＞定义新运算“团"：a0d=|a||K|-sin。(其中。为无与方所的角).利

用这个新知识解决：若|五|=1,|b|=5，且方•b=4，则五回b=.

14.己知两圆相交于4(1,3)和两点，且两圆心都在直线x-y+c=0上，则m+c的

值为.

15.从正四面体的四个面的中心以及四个顶点共八个点中取出四个点，则这四个点不共面的

取法总数为种.

16.拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著

名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三

角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，在△ABC中，以4B,BC,C4为边向外构造的

三个等边三角形的中心依次为O,E,F,若NB4C=60。，DF=2y/~3,利用拿破仑定理可求

得4-AC的最大值______.

三、解答题(本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

数列｛即｝的各项均为正数，%=1,当?1>2时,ci"-an_r=J即+Jan_r

(1)证明：｛口；｝是等差数列，并求数列｛aj的通项公式；

(2)设%=白彳，数列｛4｝前n项和为右，证明：Sn<1.

18.(本小题12.0分)

如图，四边形4BC。为菱形，AB=2,Z.ABC=60。，将△力CD沿4c折起，得至lj三棱锥。一4BC,

(2)当三棱锥D-4BC的体积最大时，求二面角N-BM-。的余弦值.

19.(本小题12.0分)

设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为本遇到红灯(禁止通

行)的概率为:•假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进,f表示停车时已经通过的路口

数，求：

(IR的概率的分布列及期望以；

(n)停车时最多已通过3个路口的概率.

20.(本小题12.0分)

己知抛物线C：/=2py(p>0)的焦点为广，直线x=4与x轴的交点为与C的交点为N,

且|NF|=||MW|.

(1)求C的方程；

(2)设4(—2,1),5(2,1),动点Q(m,n)(-2cm<2)在曲线C上,曲线C在点Q处的切线为，.问:

是否存在定点P(O,t)(t<0),使得/与P4PB都相交，交点分别为C,E,且AQAB与APDE的

面积之比是常数？若存在，求£的值；若不存在，说明理由.

21.(本小题12.0分)

(1)求证：Vx+1<|+l(x>—1)；

(2)已知f(x)=1+占，求/。)=0的根的个数；

(3)求证：若x>0,则e*>(x+2)>x+1+—4.

22.(本小题12.0分)

已知物线C：y2=2px(p>0)过点M(4,-4，N).

(1)求抛物线C的方程；

(2)设F为抛物线C的焦点，直线八y=2刀一8与抛物线C交于4B两点，求△凡4B的面积.

答案和解析

I.【答案】。

【解析】解：■；z=V"?+ai,且z-z=4,

z'z=|z|2-(V-^)2+a?=4,即a=-1或1.

故选：D.

由已知结合Z.z=|z|2列式求解a值.

本题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题.

2.【答案】B

【解析】解：平均数为超卫磬±£=13,众数为12,差为1.

故选：B.

先求出平均数和众数，再求差即可.

本题主要考查了平均数和众数的计算，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：因为M={x\2x>1]={x\x>0],

N={x|log2x<1}={x|0<%<2},

则MnN=N,MUN=M,

Mn(Cy/V)={x\x>2),(CyM)CN=0.

故选：D.

先通过解指数不等式、对数不等式化简集合，再通过研究集合之间的运算进行判定.

本题考查集合的基本运算，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查的知识要点：三视图的应用和棱柱体积，属于基础题.

直接利用三视图的复原图求出几何体的体积.

【解答】

解：根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱.

如图所示：

故该儿何体的体积为：K=1(1+2)X2X2=6.

故选C

5.【答案】A

【解析】解：••"(x)=第，

由cos%—1H0,得f(%)的定义域为{%|xH2kn,k€Z}»

••・函数/(x)的定义域关于原点对称，且/(-X)=

••・函数/(X)是奇函数，图象关于原点对称，排除B选项，

结合八1)=黑T<°'排除C。两项，故只有4项符合题意.

故选：A.

根据题意，先判断函数/(x)的奇偶性，再取特殊点得出答案.

本题主要考查函数奇偶性、函数的图象变换及其应用等知识，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计

算能力，属于难题.

法一：f'(x)=(x2+2x+d)ex,x2+2x+a=0的判别式4=4(1—a),对a分类讨论，当a>1时，

f'(x)20在R恒成立，可得函数/(%)=(/+a)e^在R上单调递增，没有最小值；当a<1时，令

f'(x)=0得叼=-V1-a-1,x2=yj1-a-1,且与<%2，通过研究函数的单调性极值与最

值，即可得出a的范围，进而得出结论.

法二：特殊值检验，取a=0时，函数〃%)=/靖在R的最小值为0,即可得出结论.

【解答】

解：法一：f'{x}=(%2+2x+a)ex,/+2x+a=0的判别式△=4(1—a),

当a>1时，x2+2x+a>0在/?恒成立，所以/''(x)=(x2+2x+a)ex>。在R恒成立,

所以函数f(x)=(x2+a)e》在R上单调递增，没有最小值；

当a<l时，令尸(x)=。得与=—=1—a—1,x2~yj1-a—1)且与<打

X(一8/1)%2(X2,+00)

f(x)+0—0+

f(x)7极大值极小值7

当XT-8时，/(x)0,所以若/(x)有最小值，只需要f(X2)«0,

•••/(x2)=(2—2。1—a)e*zw0=2-2>J1—a<0a<0,

..x2+x+a=0的判别式4=1-4a>1>0,因此g(x)=x2+x+a有两个零点；

法二：特殊值检验，取a=0时，函数/(x)=Fe*在R的最小值为0,函数g(x)=必+%有两个零

点.

故选：C.

7.【答案】A

【解析】解：根据题意，力B是圆。的直径，C是圆周上一点，则BCJ.4C,

又由圆。所在平面，则P4LBC,

则BCJ_平面PAC,故4BPC是PB与平面P4C所成角，

A4cB中，AC=3,BC=5,AC1BC,则力B=VAC2+BC2=A/^34,

△PAB中,AB=V_34.PA=4,PA1AB,贝UPB=V+432=5c,

△ACB中，BC=5,PB=SC，则sin/BPC=^=¥，

PB2

故选：A.

根据题意，由线面垂直的判断方法可得BC_L平面P4C,贝此BPC是PB与平面PAC所成角，计算求

出PB的值，由此计算可得答案.

本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的判断，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：令锥体底面半圆半径为r,半圆弧长I,则有□=，，即r=L

n

2

圆锥体底面面积为S=1r，=L，而1=30尺，圆锥体的高h=7尺，

227r

22

于是得圆锥体体积为U=-Sh=---h^-x-x7=350(立方尺)，

332n32x3'

由言，144,得大豆有144(斛)，

堆放的大豆大约有144(斛).

故选：c.

由已知根据锥体的体积公式结合给定条件计算即可.

本题考查圆锥的体积计算，正确理解题意是关键，是基础题.

9.【答案】C

【解析】解：设圆锥底面直径为2r,圆锥的母线与底面所成的角等于60。，

则母线长为2r,高为Cr,

则圆锥的底面积为：nr2,侧面积为;2r•2”，

则圆锥的表面积为仃2+^2r-2rn=3nr2,

该圆锥内接于球0,则球在圆锥过高的截面中的截面为圆，即为边长为2r的等边三角形的内切圆，

则半径为R=2—r，表面积为：4兀/?2=等二

则球。与圆锥的表面积之比等于（工竽）：（3/rr2）=16：9,

故选：C.

由圆锥的母线与底面所成的角等于60。，可知过高的截面为等边三角形，设底面直径，可以求出其

表面积，

根据圆锥内接于球0,在高的截面中可以求出其半径，可求其表面积，

可求比值.

本题考查圆锥的性质，以及其外接球，表面积，属于中档题.

10.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合应用，属于中档题.

由抛物线的标准方程可得焦点的坐标，设直线48的方程与抛物线的方程联立求出两根之和及两根

之积，由尸为AB的三等分点可得力，B的横坐标的关系，代入两根之和及两根之积中可得直线4B的

斜率.

【解答】

解：抛物线C：y=/的标准方程：x2=y,可得焦点坐标（0,》，

由题意可得直线[的方程斜率存在，设直线y=kx+[,

设8（%2，丫2），

因为F是线段4B的三等分点，设/=2而，则一X1=2次①，

y=kx+4,整理可得：x2-fcx-i=o,

(x2=y4

X1+x2=k,xxx2=-i@,

由①②可得上=—匕所以2x)=3即

解得k=士?，

故选：D.

11.【答案】A

【解析】解：在直角三角形OQP中，设OP=1,

•・,弧4P的长为％,则NPOQ=x,0Q=\cosx\,

・••点Q到直线OP的距离即QM=y,

・•・y=/(%)=OQ\sinx\=|cosx|•\sinx\=|\sin2x\,

其周期为r=3,最大值为;，最小值为o,

故选A.

在直角三角形OQP中，求出。Q,注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义

即可得到f(x)的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择.

本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公

式的运用.

12.【答案】B

【解析】解:令F(%)=xf(x),

所以尸'(%)=/(X)+xf'(x),

由x>0时，(0)+竽<0,

所以x>0时,F'(x)<0,尸。)单调递减,

因为f。)是偶函数，

所以/(%)=/(一%)，

所以?(一%)=(-%)/(-%)=-x/(x)=-F(x),

所以尸(X)为奇函数，

由f(2)=3,可得F(2)=2/(2)=6,

当x>1时，f(x-1)<言可变形为(X-1)/(%-1)<6>

所以F(x-1)<F(2),

因为F(x)=xf(x)在R上单调递减，

所以x—1>2且x>1,

所以x>3,

当x<1时，fix-1)<告可变形为(x-l)/(x-1)>6,

所以F(x-1)>F(2),

因为尸(x)=xf(x)在R上单调递减，

所以x-1<2且x<1,

所以x<1,

综上所述，不等式/(x-1)<言的解集为(一8,1)u(3,+00),

故选:B.

令F(x)=xf(x),求导可得尸'(x)=/(x)+xf'(x},由％>0时，f'(x)+<0>则F'Q)<0,F(x)

单调递减，由f(x)是偶函数可得F(x)为奇函数，由/(2)=3,可得F(2)=2/(2)=6,当X>1时，

f(x-1)〈含可变形为(工一l)/(x-1)<6,即F(x-1)<F(2),结合尸(x)单调性，即可得出答

案.

本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题.

13.【答案】3

【解析】解:v|a|=1,|K|=5,且五7=4，

44

・•・COSO=—r=-=,

1x55

st・nOn=3

a06=|a|•|h|-sind

3

=1x5x-

=3.

故答案为：3.

先由|五|=1,|9|=5,且小加=4,求出cos。=±=g,从而得到s出。是，再由公式五回方=\a\-

\b\-sin0i+Ma□b.

本题考查平面向量的数量积的计算，是基础题.解题时要认真审题，注意公式力图9=1尚・|1|,

sin。的灵活运用.

14.【答案】3

【解析】解:两圆相交于4(1,3)和-1)两点,

所以心B—=T~f

由于直线％-y+c=0的斜率々=1,

所以7~，一Xl=-1,解得m=5；

1-m

且AB的中点(3,1)满足直线x-y+c=O,

解得c=-2；

故m+c=3.

故答案为：3.

直接利用直线垂直的充要条件求出m的值，进一步利用中点坐标满足的直线的方程的应用求出结

果.

本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件，圆和直线的方程，主要考查学生的运算能力和数学

思维能力，属于基础题.

15.【答案】60

【解析】【分析】

本题考查棱锥及其结构特征，以及组合与组合数公式，考查运算能力，属于基础题.

利用正四面体的结构特征，结合组合与组合数公式，计算得结论.

【解答】

正四面体ZBCD,。1、。2、。3和。4分别是面4BC、面AC。、面力BD和面BCD的中心，

则每个面上的三个顶点与这个面的中心，这四个点共面，如面ACD上，4、C、。和外共面，

每条棱都与小正四面体。4-。1。2。3的一条棱平行，如8(7/。2。3，则B、C、。2和。3四点共面,

因此四个点不共面的取法总数为或-4-6=60.

故答案为60.

16.［答案］4V-3

【解析】解：设BC=a,AC=b,AB=c,如图所示，连接4D,

AF,BD,

由拿破仑定理可知，ADE尸为等边三角形.

因为。为等边三角形的中心，

所以在AOAB中，ZABD=/.BAD=30°,AADB=120°,

设40=BO=x,由余弦定理得：c2=x2+x2-2X2COS120°,

即C2=3/,即£=<3=X=YC，即40=*c，

x33

同理AF=?b;

又因为NB4C=60°,4CAF=30°,

所以NDAF=4BAD+^BAC+ACAF=120°,

在AADF中，由余弦定理可得=AD2+4F2-2/WSF-COS120。，g|J12=|c2+1/J2-2X

化简得：(b+c)2=bc+36,

由基本不等式得：(6+c)2<(^)2+36,

解得b+c<4，可，当且仅当b=c=2，耳时等号成立，

所以AB+AC的最大值为4/3.

故答案为：4A/~3.

在^DAB中，设4D=BD=X,乙ABD=4BAD=30°n乙4nB=120°,由余弦定理可求得x与c的

关系；同理可得4F与b的关系，由余弦定理可求得4B与4c的关系，再由基本不等式即可求出48+

力C的最大值.

本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查作图能力、逻辑思维能力和运算求解能力，属中

档题.

17.［答案］解：(1)证明：an-aM_!=/~a^+Jan_i，・・.(1屋-J即-1)(/^+V«n-i)=

7an+Van-l)

又数列｛斯｝的各项均为正数，即";+"二；力0,二广；一户蒜=1，

又，石=1,则数列｛几｝是首项为1,公差为1的等差数列,

2

•••y/an—7a1+(n-1)=n,即。耳=n；

2

(2)证明：由(1)得即=n,贝I]%=4Li)

=

bn=(2n-l)(2n+l)

F=，(1_§+5飞+厂尹…+罚一罚)=2(1-苗)，

则1一焉<1’一焉)<3，即％<：♦

【解析】⑴将递推式变形为-广二)(4^+"二')=厂屋+"^7,利用等差数

列的定义即可证明结论，根据等差数列的通项公式，即可得出答案；

(2)由(1)得与=声，则与=悬不变形得%=：(上一焉)，利用裂项相消法计算上,即可

证明结论.

本题考查等差数列的定义和裂项相消法求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属

于中档题.

18.【答案】解：(1)延长BM交AD于P点，延长BN交4c于。点，连接P0.

因为点"，N分别为△48。和AABC的重心，所以点P,

所以PO〃CD,

又CD仁平面8MN,POu平面BMN,

所以CD〃平面BMN.

(2)当三棱锥。-4BC的体积最大时，点。到底面4BC的距离最大,

即平面£MC_L平面ABC,

连接。0,因为△ADC和△ABC均为正三角形，

于是DOJLAC,BO1,AC,

又平面D4cD平面4BC=AC,

所以。。，平面ABC,所以南，灵,而两两垂直，

以0为坐标原点，OB,0C,。。分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz,

则。(0,0,0),4(0,—1,0),B(<3,0,0),D(0,0,C),P(0,—g,?)，

所以丽=前=(-O,0,<3),0B=(O,0,0),0?=

又二面角N-BM-D即二面角。-BP—D,

设平面BPO的一个法向量为元=(x,y,z),

则也更=0,

1元•BD=0

可得一「苫一2丫+h2=°,取z=i,则元=(i,_q,i),

V-3%+y/~3z=0

同理可求得平面。BP的一个法向量为记=(0,，行,1),

—

所，匚以I”/—»―\沅员3+1\/-5

由图可知二面角N-BM-。为钝角，

所以二面角N-BM-。的余弦值为一萼.

【解析】(1)延长BM交AD于P点，延长8N交AC于。点，连接PO.由己知可得CD〃OP,可证CD〃平

面BMN；

(2)当三棱锥。-48C的体积最大时，点D到底面4BC的距离最大，可知平面ZMC1平面A8C,进

而可证以南,万？,而两两垂直，以。为坐标原点，OB,OC,。0分别为x,y,z轴建立空间直角坐

标系Oxyz,利用向量法求二面角N-BM-。的余弦值.

本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，属中档题.

19.【答案】解：(/)由题意知泛的所有可能值为0,1,2,3,4

用4K表示“汽车通过第k个路口时不停(遇绿灯)”，

则P(4K)=算忆=123,4),且醺砥4独立•

1

-P--

4

Pd=l)=p(4.君)="；=得

P(f=2)=P(4.&.否)=(62,=看

P延=3)=「(4•&•&•%)=(1)3i=袅,

P(f=4)=P(4•&“3"4)=弓)4=装

从而f有分布列：

产01234

1_3_92781

P

41664256256

厂/

EV=OCX-1+,IYx3—,+C2x9—,+C3xZZ27T+,4“Xyr8y1=52Z577

,41664256256256

(〃)P(fw3)=1-P(f=4)=1-袅=

即停车时最多己通过3个路口的概率为竟|.

【解析】(/)由题意知6表示停车时已经通过的路口数，因为共有4个路口，f的所有可能值为0,1,

2,3,4,根据条件所给的在每个路口遇到绿灯的概率为本遇到红灯(禁止通行)的概率为看做出

变量对应不同数值时的概率，得到分布列和期望.

(〃)停车时最多已通过3个路口的对立事件是停车时己经通过4个路口，根据上一问做出的通过4个

路口的概率和对立事件的概率，得到结果.

本题考查相互独立事件同时发生的概率，对立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望，是

一个近几年经常出现的概率问题，解题时注意分清事件的关系.

p

20.【答案】解：(1)设N(4,%),代入/=2py,得yi=]

|M/V|=1,\NF\=^+yr=^+^,

P85

-+-=-x1,解得p=2,

2b4

C的方程为尤2=4y；

(2)点4、B均在抛物线/=4y上，

假设存在点P(0,t)(t<0)满足条件，

则直线P4的方程是y=与1%+3直线PB的方程是y=y％+3

曲线C在Q处的切线/的方程是y=它与y轴的交点为G(0,-苧)，

由于一2<m<2,因此一1</<1,

①当—l<t<0时，-1<与^<—存在m€(―2,2),使得，=与工

即I与直线PA平行，故当-l<t<0时不符合题意.

②当tW-l时，^i<-l<y,1>p所以]与直线P8一定相交.

分别联立方程组

t-1(1-t

y=-2-x+ty=~2~x+t

2

mm2mmz

U=2x一丁

了=2L才

解得D,E的横坐标分别是

m2+4t__m2+4t

X0=2(m+l-t)(Xe=2(m+t-l)'

则…=("1)黑与

乂|GP|=一:—t，有S“OE=>\GP\­\xE—xD\

_1—t(m2+4t)2

8(t-l)2—m2

又也.8=”―(1一第=第，

222

壬日SAQAB_4(m-4)[m-(t-l)]

丁-----=i~；--------；----2-----

S4PDEIT(?n2+4t)

4-[4+(£-1)2]/+4(1)2

1-t7n4+8tm2+16t2

对任意机(-2,2),要使沁为常数，

即只需t满足仁4-I)"",

解得t=—l.此时沁=2,故存在t=—l,

\>PDE

使得△。43与4PDE的面积之比是常数2.

【解析】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于难题.

(1)把％=4代入抛物线方程计算N点坐标，得出|MN|,根据抛物线的定义列方程解出p；

(2)假设存在点P满足条件，求出直线P4PB及切线方程，联立方程组求出D,E坐标，计算AQAB

与APDE的面积，令其比值为常数，得出方程组解出t.

21.【答案】解：(1)证明：当K2—1时，号“，且*1>0,

4乙

所以GTT<JRx+i=|f+i|=f+1(当且仅当％=。时，等号成立).

故、％+1<|+l(x>—1);

(2)已知/(%)=ex+占，函数定义域为(一8,a)u(a,4-00),

当%>a时，ex>0,-^―>0,

x—a

此时/(%)>0恒成立,

所以函数f(x)没有零点；

exa

当％Va时，/(%)=4--=^~^f

J、'x—ax—a

不妨设/i(x)=ex(x-a)+1,函数定义域为(-8,a)u(a,+8),

要求函数/Xx)的零点个数，

即求函数以久)的零点个数，

可得“(%)=ex(x—a4-1),

令八'(尢)=0,

解得工=a-1,

当工€(-8,a-1)时，hf(x)<0,九(x)单调递减；

当％C(a—1,a)时,hz(x)>0,九(%)单调递增，

ar

所以函数八(%)在(一8,Q)上的最小值为九(。-1)=1-e~.

当a=1时，九(a—1)=0,

又a—1=0,

所以0是函数f(%)的唯一的零点；

当a<1时，h(a—1)=1—ea-1>0,

此时函数f(x)没有零点；

当Q>1时，

因为/i(a-1)=1—ea-1<0,h(a)=ea(a—a)+l=l>0,

且/i(x)在(a-1,a)是增函数，

所以函数九(久)在(a-l,a)有且仅有一个零点；

又九(一a)=e-a(-a-a)4-1=-|^+1=

不妨设g(a)=e。-2a,函数定义域为(1,+8),

a

可得g'(a)=e-2>0f

所以函数g(a)在(L+8)上单调递增，

此时g(a)>g(l)=e-2>0,

即九(一a)>0,

又九(Q-1)V0,且八(%)在(-8,a-1)是减函数,

所以函数九(%)在(-8,Q-1)有且仅有一个零点；

则当a