2023-2024学年人教版数学九年级下册章节真题汇：锐角三角函数（中等卷）教师版

2023-2024学年人教版数学九年级下册章节真题汇编检测卷（中等）

第28章锐角三角函数

考试时间：120分钟试卷满分：100分难度：中等

一.选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1.（本题2分）（2023秋•黑龙江哈尔滨•九年级哈尔滨德强学校校考开学考试）在直角三角形中，各边的

长度都扩大10倍，则锐角A的三角函数值（）

A.也扩大10倍B.缩小为原来的，C.都不变D.有的扩大，有的缩小

【答案】C

【分析】根据锐角三角函数的概念：锐角三角函数值即为直角三角形中边的比值即可求解.

【详解】解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大10倍，锐角力的三角函

数值不变.

故选C.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟记三角函数值与边的长度无关是解题的关键.

2.（本题2分）（2023春•福建厦门•九年级校考阶段练习）如图，四边形A3CD,ZADC=ZABC=90°,

AB=BC,则sinZADB为（）

A.|B.—C.在D.1

222

【答案】B

【分析】连接AC,利用同弧所对的圆周角相等可得NADF=/ACB,再利用等腰直角三角形的性质及特殊

角的三角形函数值即可求解.

【详解】解：连接AC,如图所示：

D

ZADC=ZABC=90°,

•••点4、B、a〃共圆，且AC为直径,

:.ZADB=ZACB,

又.AB=BC,

:.ZACB=45°,

sinNADB=sinZACB=sin45°=,

2

故选B.

【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等、特殊角的三角形函数值，熟练掌握基础知识，借助恰当的辅

助线解决问题是解题的关键.

3.（本题2分）（2023秋•山东枣庄•九年级统考期末）西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长

度来确定节气的仪器，称为圭表，如图所示的是一个根据石家庄市的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC

根部与圭表的冬至线之间的距离（即8C的长）为“.已知，冬至时石家庄市的正午日光入射角NABC约为

28°,则光线长约为（）

A.--------B.---------CD.就os280

sin28°cos28°-

【答案】B

【分析】根据/A5C的余弦函数求解即可.

【详解】解：在RtABC中，ZACB=90°,BC=a,NA3C=28。，

*.*cosABC=----,

AB

BCa

：.AB=

cosZABCcos28°

故选：B.

【点睛】此题考查了三角函数的应用，掌握所求边长与角的三角函数关系及三角函数的计算公式是解题的

关键.

4.（本题2分）（2021春•福建龙岩•九年级校考阶段练习）在下面网格中，小正方形的边长为1,ABC的

)

C.5D.75

【答案】B

【分析】作AC边上的高3£）,根据5VAsc=!xA8x2「xACx&）算出由sinNBC4=丝即可求解.

22BC

【详解】解：由图可知：AB=2,AC=6+42=2,，BC=打+22=20

S7VA.oC=—2xABx2=AB=2

作AC边上的高BD,如图:

/.BD=|A/5

sm/BCAqM

BC10

故选：B

【点睛】本题考查求解一个角的正弦值.将所求角度放在直角三角形中是解题关键.

5.（本题2分）（2021•广东江门•校联考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图:

①分别以点C和点。为圆心，大于3。为半径作弧，两弧交于点例N；

②作直线MN,且恰好经过点4与C。交于点£,连接BE,

A.ZABC=60。B.SAABE=2S^DE

C.若AB=4,则3£=44D.sinZCBE=卫

14

【答案】C

【分析】结合尺规作图和菱形的性质即可逐一进行判断.

【详解】解：由作法得4E垂直平分C。，

/.ZAED=90°,CE=DE,

:四边形A3CD为菱形，

/.AD=2DE,

：.ZZME=3O°,ZD=60。，

AZABC=60°,所以A选项的说法正确；

•/AB=2DE,

•••5AAs歪=2SAADE，所以B选项的说法正确；

在Rt^EC”中，:NECH=60°,

：.CH=-CE=l,EH=y/3CH=y/3

2

在RtABEH中，BE=J(®+5。=21,所以C选项的说法错误;

sinZCBE=雙=画，所以D选项的说法正确.

BE14

故选：C.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、菱形的性质、勾股定理、三角函数等知识点.熟练掌握相关

结论是解题关键.

6.（本题2分）（2023春•安徽蚌埠•九年级校考开学考试）如图，河岸AZ）、3C互相平行，桥垂直于

两岸，从，处看桥的两端4B,夹角N3C4=50。，测得3c=40m,则桥长AB=（)m.

C丄

40-cos50°D.40-tan50°

cos50°•tan50°

【答案】D

【分析】根据锐角三角函数可以求得A5的长，本题得以解决.

【详解】解：由题意可得,

ZABC=90°,5c=40m,ZBCA=50°,

An

・.・tan/5cA=——，

BC

：.AB=BCtanZBCA=40-tan50°,

故选：D.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答问题.

7.（本题2分）（2022春•安徽合肥•九年级校考开学考试）如图，在中，ZC=90°,ZA=30°,

E为A3上一点且AE：EB=4：1,EF丄AC千F,连接FB,则tanNCb8的值等于（）

A.f「573

D.5A/3

3

【答案】C

【分析】tan/CEB的值就是直角厶与。/中,2c与CP的比值，设3C=x,则3c与CF就可以用x表示出

来.就可以求解.

【详解】解：根据题意：在RtCiABC中，NC=90。，NA=30。,

EF1AC,

・・・EF〃BC,

CFBE

**

AE：EB=4：1,

.T=5,

EB

.♦尸_4

••一，

AC5

设AB=2x,贝i」5C=x,AC=瓜.

•.在HlC必中有。尸=走％,BC=x.

5

[Jill./CQRBC

贝IItanZCFB==-----.

CF3

故选：C.

【点睛】本题考查平行线分线段成比例，锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；

余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边.

8.（本题2分）（2023•河南洛阳•校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点。在坐标

原点，ZBOC=60。,顶点C的坐标为（。,3）,y=&的图象与菱形对角线4。交于点〃连接3D,当。B丄龙

A.-2也B.-3A/3C.-4拒D.-673

【答案】C

【分析】过点C作CE丄x轴于点E,由N30c=60。，顶点C的坐标为（。,3）,可求得OC的长，进而根据菱

形的性质，可求得08的长，且厶08=30。，继而求得03的长，则可求得点，的坐标，又由反比例函数y=《

X

的图象与菱形对角线4。交〃点，即可求得答案.

【详解】解：过点。作CE丄x轴于点£,

:顶点C的坐标为33）,

OE=—a,CE=3,

CE

OC==2百,

sin60°

•・•菱形ABOC中，ZBOC=6Q°,

：.OB=OC=2A/3,ZBOD=^ZBOC=30°,

'：DB丄x轴，

DB=OB-tan30°=2辰3=2,

3

.•.点〃的坐标为：（-2^,2）,

k

:反比例函数＞的图象与菱形对角线4。交于点〃

X

k=xy=-4A/3.

故选：C.

【点睛】此题考查了菱形的性质，解直角三角形，反比例函数图象上点的坐标特征.注意准确作出辅助线,

求出OC是解本题关键.

9.（本题2分）（2023秋•浙江•九年级专题练习）如图，点厶8、在。上，ZD=120°,AB=AC=6,

则点。到BC的距离是（）

A

A.3B.&C.26D.373

【答案】B

【分析】过点。作6®丄3C于点色连接03、OC,由四边形ABDC是圆内接四边形，得到厶+/。=180。,

求出NA=60。，由圆周角定理得到/3OC=120。，由OB=OC,OE丄3c得到NCOE=N3OE=60。，

AB=AC=6,ZA=60°,贝忆ABC是等边三角形，BC=AB=AC=&,由OE1丄3C得3E=CE=3则

CF

tan60°^^1,即可得到答案.

OE

【详解】解：过点。作。£丄5c于点£,连接OROC,

・・•四边形A5DC是圆内接四边形,

/.ZA+ZD=180°,

ZD=120。,

ZA=60。，

・・・ZBOC=120°,

VOB=OC,OE丄BC,

：.ZCOE=ZBOE=60°,

VAB=AC=6,ZA=60°,

・・・一ABC是等边三角形,

:・BC=AB=AC=6,

■:OE1BC,

：.BE=CE=3,

解得：OE=B

即点。到BC的距离是山，

故选：B.

【点睛】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，

熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键.

10.（本题2分）（2023秋•湖南永州•九年级校考开学考试）如图，在矩形ABCD中，DC=3,AD=C,

AC的垂直平分线分别交A3,AC,8于点£,ft凡点G是4E的中点，连接AF,CE,OG,则下列

结论:①DF=1；②BC=2OG；③四边形AEC厂是菱形；④“G=±S矩形钻曲,其中结论正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】利用正切函数求得/DC4=3O。，由垂直平分线的性质推出=AE=EC,可证明四边形

AECF是菱形；在Rt.ADF中，利用正切函数的定义可求得小=1；根据斜边中线的性质求得

OG=：AE=gcE＞：BC,判断②错误；计算得出So。。和S矩形.CD的面积即可判断④正确.

【详解】解：；四边形ABCD是矩形，

：.?D90?,

VDC=3,AD=6，

•+/nrs_厶。_上

••tan/DCA-——,

CD3

・・・ZDCA=3O°,

•/EF是AC的垂直平分线,

:.AF=FC,AE=EC,

,NC4F=N/C4=30°,ZC4E=ZFC4=30°,ZCAE=ZECA,

：.ZFAC=ZFCA=ZCAE=NECA=30°,

：.AF=FC=AE=EC,

四边形AEC厂是菱形，故③正确；

在Rt仞尸中，ZDAF=90°-30°-30°=30°,

A£>F=tan30°AD=—-^=1,故①正确；

3

•.•四边形AEC尸是菱形，

EF1AC,即ZAOE=90°,

:点G是AE的中点，

OG=-AE=-CE>-BC,即BC<2OG,故②错误；

222

:在矩形ABCD中，DC=3,AD=C,ZDC4=30°,

.♦.AC=2百，贝l|AO=5OE=l,

:点G是AE的中点，

1

•C_C_1X】

而S矩形皿=ADxDC=34,

,"S4Aoe=丘S矩形ABCD,故④正确；

综上，①③④正确，即正确的结论有3个；

故选：C.

【点睛】本题考查了解直角三角形，矩形的性质，菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明四边

形AEC尸是菱形是解题的关键.

二.填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11.（本题2分）（2023春•江西吉安•九年级校考阶段练习）如图，在四边形A3CD中，AD〃BC,ZC=90°,

将△ABD沿折叠，点/恰好落在CO边上的点A处.若BC=3,ZABC=60。，则AO的长为.

AD

【答案】3-V3

【分析】易得NAT>C=90。，折叠性质，NCBD=45。,如图，得/2=/1=60。-45。=15。，Z3=30°,

A'C=BCtan30°=y/3,即可得解.

【详解】解：如图，

AD

VAD//BC,ZC=90°,

：./ADC=90。，

△ABD沿折叠，

NBDC=ZADB=45。,

：.NCBD=45。,

：.Z2=Z1=6O°-45°=15°,

Z3=30°,

A'C=BCtan30°=73,

XVCD=BC=3,

：.AD=A;D=3-£.

故答案为：3-石.

【点睛】本题考查了折叠性质以及解直角三角形，知/3=30。是解题的关键.

12.（本题2分）（2023•全国•九年级专题练习）如图，直角三角形A3C纸片中，Z4CB=90。，点。是A3

边上的中点，连接C£）,将一ACD沿CO折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE1AB.若CB=1,那么CE=.

【答案】73

【分析】如图，设CE交于点0,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得8=位＞=國＞,

ZA=ZACD,由翻折的性质可知NACD=NQCE,再根据CE1AB,可证明NACD=NOCE=NBCE=30。,

可得/8=60。，从而得到。。=亜，再解直角三角形可得结论.

【详解】解：如图，设CE交A5于点0,

VZACB=90°,点。是A5边上的中点，

・・・CD=AD=BD,

：.ZA=ZACDf

由翻折的性质可知ZACD=ZDCE,

•:CE丄AB,

ZBCE+ZB=90°f

•・・NA+NB=90。，

・・・NBCE=ZA,

：.ZACD=ZDCE=ZBCE=30°,

・・・ZB=90°-ZBCE=90°-30°=60°,

•:CD=BD,

・・・△以»是等边三角形，

•:CE丄AB,

：.CO=OE=sin60。=1乂且=走，

22

CE=y/3.

E

B

故答案为：73.

【点睛】本题考查了翻折的性质、直角三角形斜边中线的性质、等边对等角以及解直角三角形的知识，求

出△BCD是等边三角形是解答本题的关键.

13.(本题2分)(2023•安徽•九年级校联考专题练习)如图，在RtO4B中，ZA=9O°,NABO=60。，

点8的坐标为(-2,0),若反比例函数>=幺经过点A.则左=.

【分析】解直角三角形求出A点坐标，然后用待定系数法求出解析式.

【详解】解：如图所示，过厶作41/丄于点

・・•点3的坐标为(-2,0),

：・OB=2,

在Rt_OAB中，ZA=90°,ZABO=6Q°,

：.ZAOB=30°,OA=sin60°?OB=—X2=A/3,

2

在RtZXOAM中，NAMO=90。，ZAOB=30°,

/.AM=-OA=—,OM=-OA=-,

2222

点A的坐标为

k

•・•反比例函数y=—（左w0）经过点A

X

.,3上3由

・・k=-x—=---------

224

故答案为：-地.

4

【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，解直角三角形，求得A的坐标是解题的关键.

14.（本题2分）（2023秋•黑龙江哈尔滨•九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）在Rt^ABC

中，NC=9O°,tanZA=3,则sinNB=.

【答案】巫

1010

【分析】如图所示，根据tan/A=3,设AC=x,则BC=3x,运用勾股定理可求出A3的值，根据正弦值

的计算方法即可求解.

【详解】解：如图所示,

VtanZA=—=3,贝l]3C=3AC,

AC

...设AC=x,贝！13c=3x,

ABC是直角三角形，ZC=90°,

AB=s!AC2+BC2=,d+（3尤）2=VlOx,

...在中，sinZB=--=—,

AB術10

故答案为：叵.

10

【点睛】本题主要考查三角函数的求值方法，掌握三角函数的计算方法，图形几何分析是解题的关键.

15.（本题2分）（2023春•黑龙江绥化•九年级校考阶段练习）锐角厶满足8$（90。-4）=（,则厶=度.

【答案】30

【分析】根据特殊角的锐角三角函数值，即可求解.

【详解】解：：cos6（）o=g,cos（90°-A）=1,

.•.90°-/A=60°

则厶=30°

故答案为：30.

【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键.

k

16.（本题2分）（2023•北京•北京四中校考模拟预测）如图，/、6是反比例函数尸一（Q0,x>0）图

x

象上的两点，直线A5交y轴正半轴于点反过点4夕分别作x轴的平行线交p轴于点C,D,若点8的横

3

坐标是4,CD=3AC,cosZBED=-,则A的值为.

V

ED3

【分析】由cosZB理”——=一，设。石=3々，则BD=4〃，可求得”=1,设AC4,CD=3b,由AC〃亜,

EB5

可得丝=黑=2求出6的值,再求出3（4,“），利用/、6是图象上的两点,即可求出

ECED3I33丿

答案.

【详解】解：國>〃九轴，

.•.NEDB=90。,

FD3

cosZBED=—=-,

EB5

・,・设。石=3a,BE=5a,

BD=4a,

・・•点6的横坐标为4,

4a=4,

则。=1,

/.DE=3,

CD=3AC,

设AC=b,CD=3b,

ACiBD,

.ACBD

••耘—访一§'

3

/.EC=-b,

4

315

:.ED=3b+-b=—b,

44

15c

—bz=3,

4

4

则b=y，

412

/.AC=~,CD=—

55f

设6点的纵坐标为n,

：.OD-n,

12

贝|JOC=CO+O。=三+〃,

・〃

..A±U+,3(4,n),

(55

A,6是反比例函数尸丄（抄0,x>0）图象上的两点,

X

:.k=­xF〃|=4〃.

515丿

3

n~~，

1

5

12

故答案为：—

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形及勾股定理得应用，表示出点46的

坐标是解题关键.

17.（本题2分）（2023•江苏盐城•校联考二模）如图，在矩形A3CD中，AB=3,AD=4,点区尸分

别是边CD、3c上的动点，且/AFE=90。，当DE为时，ZAED最大.

AD

5?

【答案】r3

AnAF)

【分析】在mADE中,ND=90o》iJtanNAa=——，当NAED增加时，tanZAED=——也增加，因为")=4,

DEDE

An

要使tanNAEr>=F；取最大值，所以取最小值，然后证明△树口厶尸小，利用二次函数求得DE的最

DE

小值即可.

【详解】设DE=y,a=%,

・・,矩形ABC。中，AB=3,AD=4,

：.AB=CD=3,AD=BC=4,ZB=ZC=90°,

CE=CD—DE=3—y,BF=BC-CF=4—x,

・.,NAFE=90。，

・・・ZAFB+NCFE=90。，

又ZAFB-^-ZBAF=90°,

・・・ZBAF=ZCFE,

Rt_ABFc/^Rt_FCE,

:.处=也,即里鲁,

CFCEx3-y

1、5

整理得：y=-(x-2)2+-,

*.*tz=—>0,

3

・••当x=2时，y取最小值g,

•・・Rtz\A£)£中，?D90?,

JtanZAED=—=-,

DEy

Ar)

・・・要使tan/AED==取最大值，即/血>最大时，y应取最小值,

DE

：.y=-f即。6=9,

33

故答案为：I"

【点睛】本题考查二次函的最值、三角形相似的判定和性质、正切函数的性质，也体现了数学中转化的思

想，灵活运用是关键.

18.（本题2分）（2023春•湖南永州•九年级校考开学考试）如图，在2*4的方格中，两条线段的夹角（锐

【分析】由勾股定理的逆定理可得NCED=9O。，可得NEDC=ZECD=45。,由平行线的性质和锐角三角函

数可求解.

【详解】解：如图，取格点£,连接则CE〃AB,

AD

E

CE=后,DE=y[5,CD=4\0,

：.DE=CE,CE2+DE2=10=CD2,

..NCED=90。，

:.ZEDC=ZECD=45°,

CEAB,

.-.Z1=ZDCE=45°,

tanZl=l,

故答案为：L

【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理的逆定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键.

19.（本题2分）（2023春•山东烟台•九年级统考期中）七巧板被誉为“东方魔板”，小丽利用七巧板（如

图甲）中的各板块拼成一个“帆船”（如图乙），则“帆船”的长与高之比为

甲乙

【答案】I

【分析】设大正方形的边长为4,分别表示三种等腰直角三角形和小正方形的边长，再表示帆船的长与高即

可.

【详解】解：如图，设大正方形的边长为4,

则大等腰直角三角形的直角边为2竝，小正方形的边长为夜，平行四边形的两边分别为行和2,

则在图乙中，AB=2,GH=2,HK=2,

则“帆船”的长为：2+4+2=6,“帆船”的高为：2+2+1=5,

二“帆船”的长与高之比为g.

故答案为：y.

【点睛】本题主要考查正方形的性质、解直角三角形等知识点，由正方形的边长得出各个几何图形的边长

是解题关键.

20.（本题2分）（2021•广东清远•一模）雨涵同学准备做一个班会要用的圆锥形帽子.如图，在矩形纸

片ABCD中，AB=20cm,取中点。.以。为圆心，以20cm长为半径作弧，分别交A3,CD于点、M,N,

得到扇形纸片OMN,发现点弘及恰好分别是边AB,8的中点，则用此扇形纸片围成的圆锥形帽子的底

面圆的周长为cm.（结果保留m）

【分析】根据5皿厶。加=3.=丄,5吊/。0双=型=1,得到NAO"=NOON=30。，求得NMON=120。,

OM2ON2

根据弧长公式计算即可.

【详解】解：由题意得：AM=DN=-AB=-CD=10cm,OM=ON=20cm,

22

ZA=ZD=90°,

....AM1.DN1

..sinZAOM==—,sinADON=----=—,

OM2ON2

ZAOM=/DON=30°,

/.ZMON=120°,

..„120x»x2040/r/>.

..MN7=---------------=------（cm）,

1803v7

用此扇形纸片围成的圆锥形帽子的底面圆的周长为4刀0乃,

40

故答案为：—.

【点睛】本题考查了矩形的性质，三角函数，弧长公式，圆锥的计算，熟练掌握三角函数，弧长公式是解

题的关键.

三.解答题（共8小题，满分60分）

21.（本题6分）（2023春•浙江衢州•九年级校考阶段练习）（1）计算：（-4）°-2sin30。+我

【答案】（1）2后⑵

【分析】（1）先计算零指数幕、代入三角函数值、化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可;

（2）先根据分式的加减运算法则计算即可.

【详解】解：（1）原式=1—2X]+2A/^,

=1-1+2后,

=2^2;

⑵原式=「1+(a-1)+

a(a+l)+a

(a+1)(a—1)

a(a+2)

(a+1)(a—1)

【点睛】本题主要考查实数的混合运算和分式的加减运算，解题的关键是掌握分式的加减运算运算法则及

零指数塞、三角函数值、化简二次根式.

22.（本题6分）（2023•安徽宿州•统考模拟预测）如图，在Rt^ABC中，NA=3O。，NC=9O。，经过点

C的，。与边相切于点E,与边AC、3c分别交于点£）、点尸，连接。4,CF=2CD.

（1）求证：CF=6CD;

⑵若CD=2,求。4的长度.

【答案】（1）见解析

⑵2岳

【分析】（1）根据圆周角定理得出。p是直径，进而得出.C次是含有30。角的直角三角形，得出CD与尸C

的关系即可；

（2）根据切线的性质，四边形的内角和以及（1）的结论可得出NEO尸是正三角形，在根据三角形的内角

和以及直角三角形的边角关系可求出彼、BE、BC、AB、AE,再根据勾股定理求出。4即可.

【详解】（1）证明：如图，连接。尸，OE,EF,

B

'：ZC=90°,

厂是。。的直径，即过点。,

CF=2CD，

NCDF=2NCFD,

又ZCDF+ZCFD=90°,

/.ZCDF=60°,ZCFD=30°,

PC

在RtZkCDF中，tan60°=而，

CF=6CD.

（2）解：；A3是:。的切线，0E是半径，

/.OELAB,即NOEB=90°,

在Rt^ABC中，ZBAC=30°,贝UZB=90°-ZBAC=90°-30°=60°,

:由（1）可知，ZCFD=30°,ZCFD+ZOFB=180°,

：.ZOFB=180°-30°=150°,

在四边形尸中，由内角和定理可得，ZEOF=360°-90°-60°-150°=60°,

•?OE=OF,

/.EO尸是正三角形，

/.OE=OF=EF=CD=2,NOEF=NOFE=NEOF=60°,

：.NEFB=ZOFB-ZOFE=150。—60°=90°,

在RtABE尸中，ZB=60°,EF=2,

：.EF=&F,则BF=@EF=2x是=BE==2、空=延，且由（1）可得，CF=/CD=2币,

33333

在Rt^ABC中，ZBAC=30°,BC=BF+FC=—+2y/3=—,

33

AB=2BC=^^~,

3

/.AE=AB-BE==,

33

在RtZkAOE中，OE=2,

...由勾股定理得，OA=y/OE2+AE2=722+（4A/3）2=2A/13.

【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理以及直角三角形的边角关系，掌握切线的性质，圆周角定理及

其推论，直角三角形的边角关系是正确解答的前提.

23.（本题8分）（2023春•陕西榆林•九年级校考期中）楼观台显灵山的老子铜像（图1）栩栩如生，童

颜鹤发，参悟天地的手势寓意着天地和谐，万物归一，与庄严肃穆的说经台遥相对应，象征着老子的和谐

哲学思想源远流长.如图2,小颖想利用无人机测量老子铜像BC的高度，无人机在点力处测得铜像顶部点

6的俯角/R4D为45°,铜像底部点C的俯角NZMC为76°,此时无人机与铜像的水平距离AD为8m,点

D、B、C在一条直线上，求老子铜像BC的高度.（参考数据：tan76。。4.0）

C

图1图2

【答案】老子铜像3c的高度为24m

【分析】分别解和Rt^ACD,求出8DCD的长，即可得解.

【详解】解：如图，

A

由题意得，ZBAD=45°,ND4c=76。，

在RtZXABD中，N3AE>=45°,">=8m,

/.BD=AD=8m,

CDCD

在RtZkACD中，ADAC=76°,tan76°=-----=-----«4.0,

AD8

解得CD=32,

・,.BC=CD-BD=32-8=24（m）.

，老子铜像BC的高度为24m.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数，构造直角三角形.

24.（本题8分）（2023春•山东烟台•九年级统考期中）海阳市小孩儿口湿地公园是国家级城市湿地公园

之一，也是市民喜爱的休闲游乐、康体健身的公园，在公园绿化改造项目中，在操作过程中，张师傅想直

接从根部把树放倒，他担心这样会损坏这棵树周12m处的花园，通过测量发现，

ZSCD=30°,Z£>C4=32°,BD=3m.请通过计算说明王师傅的担心是否有必要（结果精确到1m）.

（参考数据：sin32°«0.53,cos32°®0.85,tan32°«0.62,sin62°®0.88,cos62°«0.47,tan62°«1.88,

y/3^1.73）

A

BC

【答案】张师傅的担心没有有必要的

【分析】根据特殊角的三角函数值求出3c长，再利用62。的正切值可得树高与12进行比较，即可得

出答案.

【详解】解：：3。=3米，ZBCD=30°,

,BC=Br>+tan30°=3g（米）；

：/DC4=32。，

ZACB=62°,

AB=BCxtan62°=373x1.88-9.76^,

9.76<12,

...张师傅的担心没有有必要的.

【点睛】本题考查解直角三角形在实际生活中的应用.逐个求解直角三角形是解题关键.

25.（本题8分）（2023春•江苏苏州•八年级校考阶段练习）太原双塔寺又名永祥寺，是国家级文物保护

单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会

实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的。处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD,这时地面上的

点、E,标杆的顶端点〃舍利塔的塔尖点6正好在同一直线上，测得EC=4米，将标杆CO向后平移到点G

处，这时地面上的点凡标杆的顶端点〃，舍利塔的塔尖点6正好在同一直线上（点凡点G,点£,点，与

塔底处的点/在同一直线上），这时测得FG=6米，GC=49米.请你根据以上数据，计算舍利塔的高度A3.

【答案】舍利塔的高度AB为51米

【分析】易知△FHGsAFBA,可得空=里,—=—,因为OC=HG,推出空=空,

BAFABAEAFAEA

列出方程求出C4=98（米），由D告C=金FC，可得2w=4―，由此即可解决问题.

BAEABA4+98

【详解】解：由题意可知：ZDEC=ZBEA,ZDCE=ZBAC=90°,

「EDCsEBA,

DCEC

"BA"'

由题意可知：ZHFG=/BFA,ZHGF=/BAC=90。,

:.FHGsFBA,

,GH_FG

••---=---,,

BAFA

DC=HG,

.FGEC

,FA'EA?

FG=6米，GC=49米，EC=4米，

.64

―55+C4-4+C4，

.-.04=98（米），

DCEC

BA~EA"

,24

一诙-4+98'

.\AB=51（米），

答：舍利塔的高度A5为51米.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决

问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型.

26.（本题8分）（2023春•江苏淮安•九年级校联考阶段练习）如图，一艘军舰以每小时72海里的速度向

东北方向（北偏东45。）航行，在A处观测灯塔。在军舰的北偏东80。的方向，航行20分钟后到达3处，这时

灯塔C恰好在军舰的正东方向.已知距离此灯塔55海里以外的海区为航行安全区域，这艘军舰是否可以继

续沿东北方向航行？请说明理由.（参考数据：sin80°«0.9,tan80°«5.7,sin35°«0.6,tan45°=l,

cos35°«0.8，tan35°«0.7）

A

【答案】可以，见解析

20

【分析】过点。作CD丄AB,交A5的延长线于点。，依题意可得：A8=72x二=24（海里），，4®C=45。,

60

ZBAC=35%设CD=x海里，则利用解直角三角形即可得到结论.

【详解】解：可以，理由如下：

过点C作COLAS,交A3的延长线于点0,

20

依题意得：NE4B=45o,NE4C=80。,/DBC=45。,AB=72x而=24（海里）

ABAC=ZEAC-ZEAB=35°,

设CD=x海里,

CDx10

在直角二ACD中,AD=«一x,

tanZBACtan357

CDx

在直角△5CD中，BD==%，

tanZDBCtan45

AB=AD-BD,

10-“

——x-xa24,

7

.,.x®56,

56>55,

可以继续沿东北方向航行.

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用一方向角问题.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意能借

助于方向角构造直角三角形并解此直角三角形是解此题的关