新高一数学衔接讲义讲义系列一

第1讲教与式

1、理解并掌握乘法公式与因式分解

教学目标2、理解并掌握二次根式的运算与化简

3、理解并掌握繁分式的化简

乘法公式与因式分解

重点、难点

二次根式与分式

1、理解并掌握乘法公式与因式分解

考点及考试要求2、理解并掌握二次根式的运算与化简

3、理解并掌握繁分式的化简

教学内容

知识框架

知识点一：乘法公式

【内容概述】

【公式1]（a+Z?+c）2=。2+/?2+c2+2ab+20c+2ca

【公式2]（a+8）（〃2-82）=〃3+。3（立方和公式）

【公式3]（a-4）3+>1+"2）=43-加（立方差公式）

【公式4]（a+0）3=。3+加+3。2。+3以?2（请同学证明）

【公式5】（a-b）3=〃3-3々2。+3出?2-加（请同学证明）

【典型例题一1】:

例1.计算：(%2->/2%+1)2例2.计算：(2〃+力(4。2一2出?+。2)

例3.计算(I)(3x+2y)(9x2—6xy+4y2)(2)(2x-3)(4%2+6^+9)

变式1:利用公式计算

(1)忙”机2++》(2)(a+&)(o2-ab+b^){a-b\a^+ab+b^)

变式2:利用立方和、立方差公式进行因式分解

(1)27m3-"3(2)27/713-1/13(3)X3-125(4)m6-〃6

8

【典型例题一2】:

例4.计算：(1)(.I/?/-m2-+JLn2)

5225104

例5.已矢口工2—3工+1=0，求+_L的值.

X3

例6.己知Q+/?+C=0,求6/(1+-)+b(-+-)+c(—+1)的值.

bccaab

变式1:计算：(x+l)(x-1)(X2-%+1)(X2+%+1).

变式2：已知Q+/?+C=4,+QC=4,求。2+/?2+C2的值.

知识点二、根式

【内容概述】

式子展(aN0)叫做二次根式，其性质如下：

(1)(y/a)2=a(a>0)(2)yfa2=\a1

(3)yfab=>fa-yfb(a>0,b>0)(4)=2^(a>0,ft>0)

yja

【典型例题一11：基本的化简、求值

例7.化简下列各式：⑴-2)2+一1)2(2)«-x)2+J(2-x)2(x>l)

例8.计算J4+2V5

变式1:二次根式疝=-。成立的条件是（）

A.a>0B.a<QC.a<QD.。是任意实数

变式2:若x<3,则•79-6苫+苫2-1彳-61的值是（）

A.-3B.3C.-9D.9

变式3：计算"7+40

【说明】

1、二次根式的化简结果应满足：

①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因

式.

2、二次根式的化简常见类型有下列两种:

①被开方数是整数或整式.化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因

数或因式开出来;

②分母中有根式（如」『），或被开方数有分母（如、E）.这时可将其化为至形式

2+73丫2枇

可化为由），转化为“分母中有根式”的情况.

（如,

V272

化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化

简.（如，化为3（：我其中2+万与2-6叫做互为有理化因式.

2+73（2+73）（2-73）

【典型例题一2】：有理化因式和分母有理化

有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那

么这两个代数式叫做有理化因式。如拓与、万；°6+八夕与b"互为有理化因

式。

分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。

Jay[a

例9.计算：（1）（2）-4-

a-y/aba+yjab

例10.设X=求x3+y3的值

2-73-2+73

知识点三、分式

【典型例题一1】：分式的化简

例11.化简-+3X+9+6x--7例12.化简X

-279工一工36+2x1-x

x+-------

1

x——

X

【典型例题一2】：分式的证明

例13.（1）试证：1-I-1（其中n是正整数）；

n（n+1）nn+\

⑵计算：_L+_L++_L；

1x22x39x10

11

（3）证明：对任意大于1的正整数"，有_二+一二++------<_.

2x33x4〃（及+1）2

【典型例题一3】：分式的运用

例14.设e=£,且e>l,2c2—5ac+2a2=0,求e的值.

变式1：对任意的正整数n,——

〃（〃+2）

若2%-y_2

变式2:选择题：一,则2=()

x-vy3y

46

(A)1(B)£(C)(D)

455

变式3:计算_L111

+---+--—十,...+--

1x22x33x499X100

知识点四、因式分解

【内容概述】

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在

分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。是一种重要的基本技能。

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式

和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等

等。

【典型例题一1】：公式法（立方和、立方差公式）

【内容概述】

我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：

3+6）（。2-曲+i>2）=43+加（立方和公式）

（4-。）（42+而+。2）=43-加（立方差公式）

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：

这就是说，两个数的立方和（差），等于这两个数的和（差）乘以它们的平方和与它们积的

差（和）。运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解。

例15.用立方和或立方差公式分解下列各多项式：

（1）8+X3（2）0.125-27M

变式：分解因式：⑴3a36-816（2）w-ab（）

【典型例题一2】：分组分解法

【内容概述】

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式.而

对于四项以上的多项式，如汕+〃a+湖既没有公式可用，也没有公因式可以提

取.因此，可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.

分组分解法的关键在于如何分组.常见题型：

（1）分组后能提取公因式（2）分组后能直接运用公式

（1）分组后能提取公因式

例16.把2a》-10缈+5力-法分解因式。变式：把ab（c-2-]2）-（。2-82）cd分解因式。

(2)分组后能直接运用公式

例17.把工2-产+ax+ay分解因式。变式：把2m+4孙+2产一分解因式。

【典型例题一3】：十字相乘法

【内容概述】

(1)m+(p+q)x+pq型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1;②常数项是两个

数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和.

・「X2+(p+g)x+pq=尤2+px+qx+pq=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q),

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.

(2)一般二次三项式办2+/7X+C型的因式分解

由QQX2+(ac+ac)x+cC=3x+c)(Qx+c)，我们发现，二次项系数Q分解成

121221121I22

aa，常数项c分解成cc，把a,a,c,c写成,这里按斜线交叉相乘，再相加，就

12121212°2c2

得至！Jac+aco

1221

如果它正好等于0X2+bx+c的一次项系数6,那么ax2+bx+c就可以分解成

(ax+c)(ax+c),其中a,c位于上一行，a,c位于下一行.这种借助画十字交叉线分

I122II22

解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才

能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.

(1)X2+(p+g)x+pq型的因式分解

例18.把下列各式因式分解：

(1)X2-7x+6⑵m+13x4-36

例19.把下列各式因式分解：

(1)-24(2)x2-2x-15

例20.把下列各式因式分解：

(1)x2+xy-6y2⑵(尤2+X)2-8(X2+%)+12

(2)一般二次三项式QK2+/?x+c型的因式分解

例21,把下列各式因式分解：⑴12X2-5X-2(2)5x2+6xy-8y2

变式练习：

(1)X2-6x+5(2)X2+15X+56(3)X2+2xy-32y(4)

(修+x4(x+x)T2

【典型例题一31：其它因式分解的方法

(1)配方法

例22.分解因式工2+6x-16变式：(1)X2+12x+20(2)aq+a2b2+bi

(2)拆项法(选讲)

例23.分解因式工3-312+4

(3)其它方法(选讲)

例24.(X2-5X+2)(X2-5X+4)-8

课后练习

1.填空：

一、11,J,1、/

(1)-fl2——/72-(—b+—a)();

9423

(2)(4/n+)2=16m2+4m+()；

⑶(a+2b—c)2=a2+4Z?2+c2+().

(4)1,则x,y的值为

(5)若X2+X+1=0,则X4—X2—2x—1=

(6)a=l,b=L则3-"

233O2+5ab—2b2

(7)若X2+xy-2y2=0,则±2吵

X2+y2

(8)若yj—a—b—lyfaE=-J—b—Q—a,则()

(A)a<b(B)a>b(C)a<b<0(D)b<a<0

(9)计算等于()

(A)(B)Ja(C)-^a(D)—y[a

(10)若，—1=2,则3x+砂-3y的值为(

)

尤yx-xy-y

55

B.cD.

A.II,33

2.化简：⑴?yJ9m+10m一2m2⑵

(x>y>0)

3.把下列各式分解因式:

(1)3ax-3ay+xy-y2(2)8x3+4x2-2x-l(3)5x2-15x+2xy-6y

(4)4xy+1-4x2-y2(5)a4b+a3b2—a2b3-ab，(6)%6-y6-2x3+1

第2讲一元二次法教与二次不等式

1、能熟练掌握二次函数的图像，能够根据解析式快速画出函数

的图像

2、理解并掌握二次函数的三种表达式

教学目标

3、理解并掌握二次函数的最值问题

4、能够根据二次函数、一元二次不等式不等式的关系解二次不

等式

二次函数的最值问题

重点、难点

一元二次不等式的解法

考点及考试要求二次函数的最值与一元二次不等式的解法

教学内容

知识框架

1、二次函数的图像与性质2、二次函数的三种表达式

3,二次函数的最值问题4、一元二次不等式

知识点一、y=ax2+hx+c的图像与性质

【内容概述】

1、当a〉0时，

Q函数y=ax2+bx+c图象开口方向________；顶点坐标为___________,对称轴为

直线___________；

Q当________时，y随着x的增大而_______；当__________时，y随着x的增大

而_________；当_________时，函数取最小值__________.

2、当a<0时，

Q函数>=62+以+。图象开口方向________；顶点坐标为________,对称轴为直

线__________;

Q当_______时，y随着x的增大而_______；当_________时，y随着x的增大

而__________；当________时，函数取最大值___________.

上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来.因此，在今后解决二次函

数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.

例1.求二次函数)，=-34-6》+1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值)，并

指出当x取何值时，y随x的增大而增大(或减小)？并画出该函数的图象.

变式1：作出以下二次函数的草图

(1)y-x2-x-6⑵y=x2+2x+l(3)y=-x2+1

例2.某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)

之间关系如下表所示：

X/元130150165

y/件705035

若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价

应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？

例3.把二次函数y=&+bx+c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到

函数y=x2的图像，求b,c的值.

知识点二、二次函数的三种表示方式

【内容概述】

1、一般式：y=ax2+bx+c(aW0)；

2、顶点式：y=a(x+h)2+k(aWO),其中顶点坐标是(一h,k).

3、交点式：y=a(x—x)(x—x)(aWO).

12

【典型例题】

例4.已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+l匕并且图象经过点(3,—1),求

二次函数的解析式.

例5.已知二次函数的图象过点(一3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,求此二

次函数的表达式.

例6.已知二次函数的图象过点(一1,—22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.

例7.函数y=—x/+x—1图象与x轴的交点个数是()

(A)0个(B)1个(C)2个(D)无法确定

变式1:已知二次函数的图象经过与x轴交于点(一1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设为

y=a(aWO).

变式2：二次函数y=-X2+25x+1的函数图象与x轴两交点之间的距离为.

变式3：根据下列条件，求二次函数的解析式.

(1)图象经过点(1,-2),(0,—3),(―1,—6)；

(2)当x=3时，函数有最小值5,且经过点Q，11);

(3)函数图象与x轴交于两点(1—淄，0)和(1+淄，0),并与y轴交于(0,-

2).

知识点三、二次函数的最值问题

【内容概述】

1.二次函数y=ar2+bx+c(awO)的最值.

二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况:

当。>0时，函数在X=-_L处取得最小值色士，无最大值；当。<0时，函数

2a4a

在》=一2处取得最大值小心，无最小值

2a4a

2.二次函数最大值或最小值的求法.

第一步：确定a的符号，a>0有最小值，aVO有最大值；

第二步：配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.

3.求二次函数在某一范围内的最值.

如：y=ax^+bx+c^（£m<x<n（其中机<〃）的最值.

第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：x=x；

0

第二步：讨论：

（1）若。>0时求最小值或时求最大值，需分三种情况讨论：

①对称轴小于根即x<m,即对称轴在加〃的左侧；

o

②对称轴机（x<n,即对称轴在机的内部；

o

③对称轴大于〃即x>n,即对称轴在mWxW〃的右侧。

o

（2）若。>0时求最大值或。<0时求最小值，需分两种情况讨论：

①对称轴x4竺二，即对称轴在m4尤4〃的中点的左侧；

02

②对称轴x>—,即对称轴在mWxW〃的中点的右侧；

o2

说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置

【典型例题】

例8.求下列函数的最大值或最小值.

（1）y=2x2-3x-5；（2）y=-x2-3x+4

例9.当UW2时，求函数y=-犬2-x+1的最大值和最小值.

例10.当xNO时，求函数y=—x（2—尢）的取值范围.

例11.当YxWf+l时，求函数y=lx2-x-2的最小值（其中t为常数）.

22

变式1：设。〉0,当-iWxWl时，函数y=-x2-ax+b+1的最小值是T,最大值是0,

求a,6的值.

变式2：已知函数y=x2+2ax+l在-l〈xW2上的最大值为4,求。的值.

变式3：求关于龙的二次函数y=x2-2a+1在TAxWl上的最大值（r为常数）.

变式4：已知函数y=-X2—2x+3,当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小

值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：

（1）xW-2；（2）xW2；（3）—2WxWl：（4）0<xW3.

知识点四、一元二次不等式

【内容概述】

通过前面的学习，咱们已经掌握了根据二次函数的解析式画函数的图像，现在同

学们根据图像与x轴交点的个数分类，详细总结，然后对比二次函数、一元二次方程、

一元二次不等式之间的关系.（在黑板上画出表格的框架，让学生来填，引导学生自主

找规律）

1、一元二次不等式ax2+/?x+c>0或an+bx+c<oG*0）的解集：

设相应的一元二次方程ax2+bx+c-oGw0）的两根为x、x且，

1212

△=m-4敬，则不等式的解的各种情况如下表：

二次函数

（a〉0）的图象

一元二次方程

2.简单分式不等式的解法

解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等

式，应当注意分母不为零.

3.含有字母系数的一元一次不等式

一元一次不等式最终可以化为以〉匕的形式：

(1)当a〉0时，不等式的解为：x>—

a

b

(2)当a<0时，不等式的解为：x<—

a

(3)当a=0时，不等式化为：0x>b；

①若〃>0,则不等式的解是全体实数；

②若。40,则不等式无解.

【典型例题】

例12.解下列不等式：⑴X2+X—6>0(2)(x-l)(x+2)>(x-2)(2x+l)

例13.解下列不等式：⑴%2-2X-8<0(2)%2-4X+4<0(3)

X2-x+2<0

例14.已知对于任意实数无，"2-2x+左恒为正数，求实数后的取值范围.

例15.解下列不等式：⑴2x~3<0(2)J_<3

x+1x+2

例16.解关于x的不等式-1)>0

例17.已知不等式on+hx+c<0(a丰0)的解是x<2,或x>3求不等式bxi+or+c>0的

解.

变式1：(1)2x2+x<0(2)%2-3X-18<0(3)-X2+x>3x+l(4)

x(x+9)>3(x-3)

—>0(2)3++1<2(3)3>-1(4)2『7+1〉0

变式2：解下列不等式：(1)

x—12x—1X2x+1

111八

变式3：解下列不等式：⑴X2-2X>2X2+2(2)—X2--X+->0

235

变式4:已知关于x的不等式如2-x+a<0的解是一切实数，求相的取值范围.(选做)

课后练习

1.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.

(1)已知二次函数的图象经过点A(0,-1),B(1,0),C(-1,2)；

(2)已知抛物线的顶点为(1,-3),且与y轴交于点(0,1)；

(3)已知抛物线与x轴交于点M(-3,0),(5,0),且与y轴交于点(0,-3)；

(4)已知抛物线的顶点为(3,-2),且与x轴两交点间的距离为4.

2.已知函数y=,其中aN-2,求该函数的最大值与最小值，并求出函数

取最大值和最小值时所对应的自变量X的值.

3.若0<a<l,则不等式(x-a)(x--)<0的解是()

a

A.a<x<—B.—<x<aC.x>工或x<aD.x<，或x>a

aaaa

4.如果方程ax2+bx+b=0中，a<0,它的两根x,满足那么不等式ax2+bx+b<0的解

是_______________

5.解下列不等式：

(1)3X2-2X+1<0；(2)3X2-4<O；(3)2x-X22一l；

(4)4—X2^0.(5)4+3x—2x2^0;(6)9x2—12x>—4;

6.解关于x的不等式X2-(i+a)x+a<0(a为常数).

7.关于x的不等式以2+bx+c<0的解为x<-2或X〉」求关于X的不等式

2

ax2-bx+c>0的解.

第3讲一元二次方程与韦达定理

1、理解并掌握一元二次方程根的判别式

教学目标

2、理解并掌握根与系数的关系(韦达定理)

1、韦达定理与一元二次方程的关系

重点、难点

2、韦达定理的应用

1、一元二次方程根的判别式

考点及考试要求

2、根与系数的关系(韦达定理)

教学内容

知识框架

1、一元二次方程根的判别式2、根与系数的关系(韦达定理)

3、简单的二元二次方程组(选讲)4、分式方程和无理方程的解法(选讲)

知识点一、一元二次方程根的判别式

【典型例题】

例1.求下列方程的根

(1)X2+2X-3=0(2)X2+2X+1=0(3)簧+2关+3=0

例2.判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根.

(1)xz—3x+3=0；(2)xz—ax—1=0；(3)X2—ax+(a—1)—0(4)xz—2x+a=0.

变式练习：己知关于x的一元二次方程3X2-2X+Z=0,根据下列条件，分别求出左的范

围：

(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根；

(3)方程有实数根；(4)方程无实数根。

知识点二、根与系数的关系(韦达定理)

【内容概述】

—b+J/72—4-

右一元二次方程ax2+bx+c=0(aNO)有两个头数根--------------，

«2a

_-b-yjb2-4ac

x=--------------,

22a

则有：

-b-\-Jb2-4ac-b-Jh2-4ac-2hb

x+x=--------------+---------------=----=；

122。2a2aa

-b+Jb2-4ac-b-Jln-^ac从一(4-4ac)4acc

V"V-*__

122a2a4〃24〃2a'

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

bc

x+x=——,X•X=—.

12a12a

这一关系也被称为“韦达定理”.特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=O,

若%,%是其两根，由韦达定理可知：

x+x=-p,x•x=q,即：p=-(x+x),q=x•x,

12121212

所以，方程x2+px+q=0可化为X2—(x+x)x+x•x=0。由于x，x是一元二次方程x?+

1212I2

px+q=O的两根，所以，x「x,也是一元二次方程X2—(X]+X2)x+X1•*2=0的两根.因此有：

以x,x为根的一元二次方程(二次项系数为1)是X2—(x+x)x+x•x=0.

121212

【典型例题】

例3.已知方程5"+"一6=°的一个根是2,求它的另一个根及k的值.

例4.已知关于X的方程X2+2(m—2)x+nt+4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个

根的积大21,求m的值.

例5.已知两个数的和为4,积为一12,求这两个数.

例6.若X1和色分别是一元二次方程2X2+5X—3=0的两根.

(1)求|x-x|的值；(2)求「-+」一的值；(3)X3+X3.

12X2X2I2

变式：若是方程X2+2X-2007=0的两个根，试求下列各式的值：

I2

(1)%2+犬2；(2)A4-—；(3)(x-5)(九-5)；(4)Ix-xI

12xX1212

例7.若关于x的一元二次方程xz—x+a—4=0的一根大于零、另一根小于零，求实数

a的范围.

例8.已知关于x的方程X2-(k+l)x+；也+1=0,根据下列条件，分别求出左的值。

(1)方程两实根的积为5；⑵方程的两实根满足lxl=x。

1212

例9.已知x,x是一元二次方程4区2-4区+左+1=0的两个实数根。

12

3

(1)是否存在实数3使(2x-x)(x-2x)=-二成立？

12122

若存在，求出攵的值；若不存在，请说明理由。

(2)求使人+5-2的值为整数的实数k的整数值。

XX

21

变式1：填空:

(1)若方程X2-3x-l=0的两根分别是x和x,则」_+_£=

12XX----------

12

(2)方程mx2+x—2m=0(m#0)的根的情况是.

(3)以一3和1为根的一元二次方程是.

(4)若m,n是方程x2+2005x—1=0的两个实数根，则irm+mm—mn的值等于.

(5)如果a,b是方程x2+x—1=0的两个实数根，那么代数式a3+a2b+abz+b3的值是.

变式2:已知&^8〃口6+仍-11=0,当k取何值时，方程kxz+ax+b=0有两个不相等的实

数根？

变式3:已知方程X2—3x—1=0的两根为x和x,求(x—3)(x—3)的值.

、1212

变式4:已知关于x的方程X2—kx—2=0.

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)设方程的两根为x和x,如果2(x+x)>xx,求实数k的取值范围.

变式5：一元二次方程ax21+bx2+c=0(aW1O)2的两1根2为x和x.

12

X+X

求：(1)IX—XI和-।二2;(2)X3+x3.

12212

变式6：关于x的方程X2+4x+m=0的两根为x,x满足|x—X|—2,求实数m的值.

知识点三、简单的二元二次方程组(选讲内容)'~'

【内容概述】

在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌

握了用“消元法”解二元一次方程组.高中新课标必修2中学习圆锥曲线时，需要用到

二元二次方程组的解法.因此，需介绍简单的二元二次方程组的解法。

含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次

方程。

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程

组组成的方程组，叫做二元二次方程组。

(1)由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组

【内容概述】

一个二元-一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，一般都可以用“代入法”

求解.其蕴含着，转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元一二次方程求解。

2x~y=Q(1)例11.解方程组<x+y=11(1)

例10.解方程组，

X2-J2+3=0(2)xy-28(2)

(2)由两个二K三二次方程组成的方程组(可因式分解型)

【内容概述】

方程组中，一个方程可以因式分解化为两个二元一次方不呈，则原方程组可转化为

两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成。

降—=5(x+y)⑴例13.解方程组+孙=12(1)

例12.解方程组,*

%2+孙+>2=43(2)xy+=4(2)

无2+*=26⑴例15.解方程组，xy+x=3(1)

例14.解方程组.

孙=5(2)3xy+y=8(2)

3x2-2xy-y2=0X2+2孙+y2=4

变式练习：解方程组(1)〈；(2)

(x-y)2-3(冗一y)—18=0(x-y)2+55y=6

知识点四、分式方程和无理方程的解法(选讲)

【内容概述】

初中大家己经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法。这里将要学习可化

为一元二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法.要求掌握：

(1)不超过三个分式构成的分式方程的解法，会用“去分母”或“换元法”求方程

的根，并会验根；

(2)了解无理方程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用“平方”

或“换元法”求根，并会验根。

【典型例题一1】可化为一元二次方程的分式方程

(1)去分母，化分式方程为一元二次方程

例16.解方程JL+©=

x+2"-4x-2

(2)用换元法，化分式方程为一元二次方程

例17.解方程(」L)2-把-4=0例18.解方程822x)+38-I)/,

x-lX-1X2-1X2+2x

【典型例题一2】可化为一元二次方程的无理方程

(1)平方法解无理方程

例19.解方程-'=1例20.解方程庄17+户1=3

(2)换元法解无理方程

例21.解方程3心+15x+2Vx2+5x+l=2

变式练习：解下列方程

(DyJx—5+x=7(2)Jx+3-2-x(3)>13K+1=Jx+4+1

课堂练习

1.选择题:

(1)已知关于x的方程x?+kx—2=()的一个根是1,则它的另一个根是()

(A)-3(B)3(C)-2(D)2

(2)下列四个说法：

①方程xz+2x—7=0的两根之和为一2,两根之积为一7；

②方程X2-2X+7=0的两根之和为一2,两根之积为7；

7

③方程3xz—7=0的两根之和为0,两根之积为一,；

④方程3xz+2x=0的两根之和为一2,两根之积为0.

其中正确说法的个数是()

(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个

(3)关于x的一元二次方程axz—5x+a；+a=0的一个根是0,则a的值是()

(A)0(B)1(C)-1(D)0,或一1

2.填空：

(1)方程kx?+4x—1=0的两根之和为一2,贝ijk=.

(2)方程2x2—x—4=0的两根为a,则a2+B2=.

(3)已知关于x的方程X2—ax—3a=0的一个根是一2,则它的另一个根是.

(4)方程2xz+2x—1=0的两根为x和x,则|x—x|=.

12I2-------------------

3.试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2X2—(2m+Dx+l=0有两个不相等

的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？

课后练习

1、选择题:

(1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2X2-8X+7=0的两根，

则这个直角三角形的斜边长等于()

(A)73(B)3(C)6(D)9

尤X

(2)若x,x是方程2XL4X+1=0的两个根，则—+一的值为()

12XX

2I

3

(A)6(B)4(C)3(D)-

2

(3)如果关于x的方程X2—2(1—m)x+m2=0有两实数根a,6,则a+6的取值范围为()

11

(A)a+0(B)a+0(C)a+P>1(D)a+BWl

22

(4)已知a,"c是△ABC的三边长，那么方程cx2+(a+b)x+:=0的根的情况是()

A)没有实数根B)有两个不相等的实数根

C)有两个相等的实数根D)有两个异号实数根

2.填空：若方程X2—8x+m=0的两根为x,x,且3x+2x=18,贝！Im=.

1212-----

3.求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程X2—7X—1=0各根的相反数

4.已知关于x的方程x2-(帆-2)x-竺=0.

4

(1)求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；

(2)若这个方程的两个实数根x,x满足|x|=|x|+2,求m的值及相应的x,X.

122112

5.若关于x的方程x?+x+a=0的一个大于1、零一根小于1,求实数a的取值范围

6.(选做)已知X」X,是关于x的一元二次方程4kx2—4kx+k+l=0的两个实数根.

3

(1)是否存在实数k,使(2X|-x)(x-2x