2023-2024学年上海市高一年级上册期末数学试题5

2023-2024学年上海市高一上册期末数学试题

一、填空题

1.若一个暴函数的图像过点(27,3),则该函数的表达式为.

【正确答案】y=j

【分析】设暴函数为y=代入点的坐标即可求出结果.

1I

【详解】设嘉函数为则27a=3,即a=g,所以该函数的表达式为产，

3J

1

故答案为.丫=/

y入

2.终边在直线y=x上的角a构成的集合可以表示为.

7T

【正确答案】a=k冗吟、keZ

4

【分析】写出终边落在直线y=x上且在第一、三象限的角的集合，即可得到结果.

【详解】•••角a的终边在直线y=x上，

；•角a的终边在一、三象限的角平分线上，

JI

/.a=k7r+—,keZ.

4

^\a\a=kn+^,k&Z^.

3.化简：sin(a+0)cosa-cos(a+0)sina=.

【正确答案】sin/7

【分析】根据两角差的正弦函数的公式，化简运算，即可求解.

【详解】由题意，根据两角差的正弦函数的公式，

nJsin(a+(3)cosa-cos(«+(3)sina=sin[(cr+P)-a]=sin£.

故答案为sin夕.

本题主要考查了两角差的正弦函数的公式的化简、运算，其中解答中熟记两角和与差的三角

恒等变换的公式是简单的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

4.已知56"=14,试用〃表示log756为.

2

【正确答案】---

【分析】指对互化可得。，由换底公式可得log?2,由log756=l+31og,2可得答案.

,一log,14log72+1l-a

【详解】因为56"=14,所以4=1*5614=7^=07,可得kg2=产

log,56310g72+173i/-l

1一〃2

log56=log（7x8）=l+31og2=l+3x-------=--------.

7773〃-13a-1

2

故答案为引

5.函数y=lg(mf-4jnr+m+3)的定义域为R,则实数机的取值范围是

【正确答案】［0,1)

【分析】由条件可得对VxeR都有,加2-4,我+机+3>0,然后分，"=0、，"呈0两种情况讨

论求解即可.

【详解】因为函数y=怆(尔2-4尔+〃?+3)的定义域为R,

所以对VxwR都有mx2-4/nr+6+3>0,

当m=0时成立，

当时有《=16>_4，”(加+3)<0'解得0<加<1,

综上可得OW/MVl,

故［0,1)

6.若扇形的周长为16,问当圆心角为时，扇形面积最大？

【正确答案】2

【分析】设该扇形的弧长为/、半径为R、圆心角为a,根据条件可将S表示成关于R的二

次函数，由此可得答案.

【详解】设该扇形的弧长为/、半径为R、圆心角为a,

因为扇形的周长为16,所以/+2/?=16,

所以S=；//?=g(16_2R)R=_R2+8R,

所以当R=4时S最大，此时/=8,a=q=2,

故2.

7.已知角a的终边上一点P(-4a,3a),a^Q,则3sinar+cosa的值为.

【正确答案】±1

【分析】利用三角函数的定义，求得正弦值与余弦值，可得答案.

【详解】由角a的终边上一点尸(T。,3a),则

.3a3-4a4

当。>0时，sma~I~~,cosa=i==~~即3sinc+cosa=l；

J1669+9/5y/16a27+9a259

.3a3-4a4

当a<0时，sina-i-=-~~,cosa=.==—,即3sina+cosa=-l.

116/+9/5J16/+9q25

故答案为.±1

8.奇函数“X)在(r&0)上是严格减函数，且/(-3)=0,则x-/(x)<0的解集是.

【正确答案】(7,-3)(3,物)

【分析】利用奇函数的性质，结合函数的单调性，可得函数与零的大小关系，可得答案.

【详解】由奇函数“X)在(-8,0)上是严格减函数，则“X)在(0,+8)上是严格减函数，

由〃-3)=(),则奇函数"3)=0,且当3)5。，3)时,/(x)>0,当

xe(-3,0)53,+60)时，/(x)<0,

即不等式“X)<0的解集为(Y,-3).(3,依).

故(YO,-3)(3,+OO)

9.在区间；,2上，函数〃司=9+笈+c(b,ceR)与g(x)=t±W在同一个点取得相同

的最小值，那么/(X)在区间；，2上的最大值为.

【正确答案】4

【分析】将g(X)化简得g(X)=X+g+l,运用均值不等式得g(xL=g⑴，所以

/(力*=/(1)，由二次函数的性质求得f(x)的解析式，再求出了(X)的最大值，得解.

【详解】由屋力=/丁1=_+-+122氏+1=3,当且仅当x=l时取等号，得

g(%=g6=3，

b.

--=1

/、42f[b=-2

于是/(x)也在x=l处取得最小值3,则]〃[)=3,解得gc=4，即

/(X)=X2-2X+4=(X-1)2+3,

所以〃x)在区间g，2上的最大值为f(2)=4.

故填：4.

本题考查双勾函数和二次函数的最值问题，关键在将双勾函数g（x）化简运用均值不等式求

最值和二次函数运用配方法求最值，属于中档题.

10.已知A6C的外接圆半径是2,c=2y［3,A=f,边长匕=_____.

6

【正确答案】2或4##4或2

【分析】先利用正弦定理求出。，再利用余弦定理列方程可求出从

【详解】因为的外接圆半径是2,A=9，

所以由正弦定理得a=2Rsin4=2x2sin匹=2,

6

由余弦定理得/=〃2+C2-2）CCOSA，

4=〃+12-4&x立，化简得〃-6b+8=0,

2

解得6=2或方=4,

故2或4

二、单选题

11.下列命题中真命题是（）

A.第一象限的角为锐角B.钝角是第二象限的角

C.小于］的角是锐角D.终边在x轴负半轴上的角既是第二象限角

又是第三象限角

【正确答案】B

【分析】根据象限角和锐角和钝角的定义判断依次判断各选项即可.

【详解】对于选项A,若。=t，则a为第一象限角，但。不是锐角，A错误；

对于选项B,若尸为钝角，则］＜夕＜明所以夕为第二象限角，B正确；

对于选项C,若/=一兀，则/＜曰，但/不是锐角，C错误；

对于选项D,终边在x轴负半轴上的角既不是第二象限角也不是第三象限角，D错误；

故选：B.

12.关于某函数y=Y及其图象，有下列四个命题：其中正确的命题个数是（）

①其图象一定不通过第四象限；②当%>0时，函数y=f是增函数;

③当％<0时，其图象关于直线y=x对称；④)，=/的图象与丫=厂人的图象至少有两个交点.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【正确答案】B

【分析】利用基函数的性质可判断①，举例可判断②③④.

【详解】对于①，因为x>0时，幕函数y=f>0,所以其图象一定不通过第四象限，故正

确；

对于②，当％>0时，如％=2时，y=d在xeR上不是增函数，故错误；

对于③，当％<0时，如女=一3时，y=4在其图象不关于直线y=x对称，故错误；

X

对于④，当％=g时，？=«与>=如联立解得x=l,y=l,其图象交点为(1,1),

只有1个交点，故错误.

故选：B.

13.在AA5C中，“sinA>sin8”是“力>6”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】C

【详解】试题分析：由正弦定理三二二二上，得sinA=f,sinB=9,由sinA>sinB得

sinAsmBkk

即由大边对大角得/>6；当/>6得。>b,即/>9，由正弦定理得

kkkk

sinA>sinB,因此“sinA>sinB”是“4>6”的充要条件,故答案为C.

1、正弦定理的应用；2、充要条件的判断.

14.已知函数y=/(x)与y=g(x)的图象如图所示，则函数f(x)=/(x>g(x)的图象可能

是()

【正确答案】D

【分析】利用函数的奇偶性结合y=〃x).g(x)在定义域上的函数值的正负即可判断.

【详解】由图知，y=/(x)的定义域为(―，+8),y=g(x)的定义域为(y,O)U(O,田)，

令/(x)=0时，X=X1或X=X”且又］<0<々，

设〃(x)=/(x),g(x),则函数网力的定义域为(e,O)U(O,M),关于原点对称，

因为y=f(X)为偶函数，y=g(x)为奇函数，所以〃r)=/(x),g(T)=-g(x),

贝|J/i(-x)=f(-x)-g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),

所以函数〃(x)为奇函数，其图象关于原点对称，

对于选项A,因为Mx)=/(x)-g(x)是奇函数，图象关于原点对称，故A错误；

对于选项B,因为〃(x)=/(x>g(x)是奇函数，图象关于原点对称，故B错误；

对于选项C当xw(x，O)时,/(x)<0,g(x)<0,所以“x).g(x)>0,故C错误；

对于选项D,由图知，当xe(-oo,xj时，/(x>g(x)<0,当xe(X|,O)时，/(x)-g(x)>0,

结合奇函数的对称性可得XG(O,~)时的图象，故D正确.

故选：D.

三、解答题

15.设集合4=卜卜-4<2},8=姜？<1

(1)若Au3=3,求实数。的取值范围.

(2)若Ac8=0,求实数”的取值范围.

【正确答案】⑴[0,1]

(2)(^»,-4]u[5,+oo)

【分析】(1)先求出集合AB,再由=得AqB,从而可求出实数。的取值范围;

(2)由AcB=0,列出关于。的不等式，从而可求出实数〃的取值范围.

[详解】(1)4={小_同<2}=词"2cxea+2},

2x-\

B=\x\l[={x|-2<x<3},B=x|-2<x<3}

x+2x+2

因为=所以AqB,

a-2>-2

所以解得0<<1,

a+2<3

所以实数。的取值范围为[0』]；

(2)因为Ac8=0,

所以。+2W-2或a-2N3,

解得a<-4或Q之5,

所以实数。的取值范围为(e,-4]35,M)

16.己知5由(：一%)=^^0<]<;).

(1)求：cos[1+x)的值；

⑵求sin2x的值.

【正确答案】(1)立

3

⑵2

9

【分析】(1)由诱导公式可得结果.

(2)由差角公式、完全平方公式可得结果.

[详解】(1)cos(—+x)=cosx)]=sin(--x)=

42443

/.cos(£+x)的值为变.

43

(2),:sin(--x)=sin—cosx-cos—sinx=(cosx-sinx)

44423

.2

..cosx-sinx=一

3

又(cosx-sinjf)2=cos2x+sin2x-2sinxcosx=l-sin2x=—

..sin2x=—

9

17.某居民小区的自来水蓄水池足够大，现存有40吨水，水厂每小时可向蓄水池中注入8

吨水，同时蓄水池又向居民不间断地供水，x小时的供水总量为324吨(04x424).

(1)设蓄水池中的水量y=/(x),当x为何值，蓄水池中的水量最小，最小水量是多少？

(2)若蓄水池中水量少于10吨时，就会出现供水紧张现象，试问在24小时内，有多少小时

会出现供水紧张现象？

【正确答案】(1)当*=4时，蓄水池中水量最小，最小水量为8吨；

(2)4小吐

【分析】(1)由题意得到了(x)的解析式，然后可得答案；

(2)解出不等式〃x)<10可得答案.

【详解】(1)由题意可得/(x)=40+8x-32或=8(。-2)+8(04x424),

所以当6=2,即x=4时，蓄水池中水量最小，为8吨.

(2)由40+8x-32&<10可得8x-32五+30<0,(2«-3乂4五-10)<0

,35925259.

所rci.以r二，BBnP—<,—-----=4；