2022-2023学年北京市朝阳区第二外国语学院附属中学高一年级上册期中考试数学试卷含详解

2022-2023学年第一学期期中考试

高一数学

（北京第二外国语学院附属中学）

2022年11月23日

本试卷共8页，150分.考试时长120分钟.

第I卷（每题5分，共50分）

一、选择题（在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项.）

jsin240=（）

A.--B.一立C.—D.

222

2.已知集合4={-1,0,1,2},8={就<%<3},则AB=（）

A.{1,2}B.{0,1}C.{-1,1,2}D.{-1,0,1}

3.命题“三%€1<,左；+/+1<0”的否定为（）

；+/+

A.3x0eR,Xg+x0+1>0B.3x0eR,x1>0

C.VxeR,x2+x+1>0D.VxeR,x':+x+1>0

4.下列函数中，既是偶函数又在（0,+8）上单调递增的是（）

A.y=log2xB.y=|x|+l

C.y=-x2+1D.y=

7T1

5.“a=—”是“sina=一”的（）

62

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件

6.如果a>S>0,那么下列不等式一定成立的是（）

1I|11/1Y门

A.a<b7|B.->-C.->-D.]na>\nb

ab⑶（2

7.函数/（%）=%3—%一7的零点所在的区间是（）

A.（0,1）B.（1,2）C,（2,3）D.（3,4）

8.己知a=log20.2,6=202,c=0.2°3,则a,8c的大小关系是（）

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<b<cD.a<c<b

x

9.声音等级/（x）（单位：dB）与声音强度x（单位：W/m2）满足/（x）=10xlg-----喷气式飞机起飞

lxl（）T2

时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为6（）dB,那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说

话时声音强度的（）

A.105倍B.108倍C.倍D.1012倍

10.设函数/（X）的定义域为凡且/图=0，/（°）#0,若对于任意实数X,y,恒有

/（司+/（月=2/1号2）/[±手）则下列说法中不正确的是

A."0）=1B.仆）=/（一）

C./（x+2%）=/（x）D.〃2x）=2/（x）—l

第II卷（共100分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.）

11.函数>定义域为.

X

12.已知x>0,y>0,x+y=2,则母的最大值为.

13.0.25x24+lg8+31g5=.

14.函数的值域为（0,+?）,且在定义域内单调递减，则符合要求的函数"力可以为.（写出符合条

件的一个函数即可）

15.已知函数/。）=产一满足对任意x产々都有"（X）一/（々）]（七一%2）>0成立，那么实

数〃的取值范围是.

16.已知函数=｛，—，关于函数“X）有以下四个结论：

[-x+2,x>l

①/（九）定义域为R；

②/（X）的值域为（-8,4]；

③若/（x）=2,则x的值是一公；

④〃》）<1的解集为（一1,1）.

其中所有正确结论序号是.

三、解答题

17.根据下列条件，求三角函数值

3

(1)已知sina=g,且。为第二象限角，求cosajana的值；

(2)已知tana=,求sina、cosa的值.

12

18.已知集合A={x|l42'<8},8={尤|X2+3]-4>0}.

(1)求集合A与集合3；

(2)求及

(3)若集合C={x|a<x<Q+l},且AcC=C,求实数。的取值范围.

19.设函数/(力是定义在R上的偶函数，若当时，/(X)=-X2+2%+3,

⑴求当X€(F,O)时，函数/(X)的解析式；

(2)画出函数图象，并求满足/(x)>0的X的取值范围；

(3)若方程/(力一4=0有四个实数根，求人的取值范围.

20.己知f(x)=lg(2+x)+lg(2-x).

(1)求函数/(x)定义域；

(2)判断函数/(力的奇偶性，并加以证明；

(3)求/(G)的值；

⑷证明函数/(x)在[0,2)上为单调递减函数•

21.已知函数/(x)=%-2,g(x)=%2_/%x+4(meR).

(1)当加=4时，求不等式g(x)>f(x)的解集；

(2)若对任意xeR,不等式g(x)>/(x)恒成立，求"?的取值范围；

(3)若对任意%e口,2],存在/44,5],使得g(%)=/(X2)，求加的取值范围.

2022.2023学年第一学期期中考试

高一数学

（北京第二外国语学院附属中学）

2022年11月23日

本试卷共8页，150分.考试时长120分钟.

第I卷（每题5分，共50分）

一、选择题（在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项.）

।sin240=（）

A.--B.一立C.—D.

222

【答案】B

【分析】利用诱导公式进行化简并求值

【详解】sin240=sin（180+60）=-sin60=--:

故选：B

2.已知集合4={-1,0,1,2},3={M0<X<3，}则A8=()

A.{1,2}B.{0,1}C.{-1,1,2}D.{-1,0,1}

【答案】A

【分析】利用集合的交集运算即可.

【详解】由题可知，AB={1,2},

故选:A.

3.命题“大0€氏%；+/+1<0”的否定为（

A.3x0eR,XQ+x0+1>0B.GR,4-x0+1>0

C.VxeR,x2+x+l>0D.VxGR,x24-X4-1>0

【答案】C

【分析】在写命题的否定中要把存在变任意，任意变存在.

【详解】因为特称命题的否定为全称命题，

所以北）eR,xj+/+1<（）的否定即为Vx€R,x"+x+120.

故选：C.

4.下列函数中，既是偶函数又在（0,+"）上单调递增的是（）

B.y=|x|+l

A.y=log2x

C.y=-x2+1D.y=III

【答案】B

【分析】根据函数的单调性、奇偶性确定正确答案.

【详解】>=log2X的定义域是（0,+8）,是非奇非偶函数，A选项错误.

y=|X+l是偶函数，且在（（）,+s）上单调递增，B选项正确.

y=—1+l是偶函数，在（0,+。）上单调递减，C选项错误.

y=|曰是偶函数，在（0,+。）上单调递减，c选项错误.

故选：B

兀1

5."a=—"是"sina=—”的（）

62

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义分析判断即可

JT7TI

【详解】当。=—时，sina=sin—=一,

662

当sina=!时，a=^+2k兀或a=^~+2kjr、keZ,

266

冗1

所以“a=—”是“sina=—”的充分非必要条件，

62

故选：A

6.如果a>8>0,那么下列不等式一定成立的是（）

人•同第^4。3〉以D.lna>lnb

【答案】D

【分析】根据不等式的性质判断A、B,再根据指数函数的性质判断C,根据对数函数的性质判断D：

【详解】解：因为a>b>0,所以同>网>0,故A错误;

因为a>8>°,所以《（?故B错误;

因为a>b>Q,且y=在定义域上单调递减，所以(g)<(3)，故C错误;

因为a>b>0,且y=lnx在定义域(0,+e)上单调递增，所以lna>lnZ?,故D正确;

故选：D

7.函数"%)=%3—％-7的零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【分析】

先判断函数/(x)在(0』)上的范围，排除A；再判断了(x)在区间(1,+oo)上的单调性，根据函数零点存在性定

理，即可判定出结果.

【详解】因为/(x)=Y—x—7=%(》2-1)-7是定义在R上的连续函数，

当xw(O,l)时，x(x2-l)<0,所以/(力=%(/一1)一7<0,即零点不可能在(0,1)内；

3

任取1<X]<X2,则/(X])—/(%)=(x『—X]—7)—(x2,—%2—7)=—Xj—(%1—)

22

(3—X2)(X1+x1x2+x2—11,

22

因为1<%<%2，所以玉一工2<0,Xj+xtx2+x2-1>0,即

-(-%2)(v+4/+1_j<0,即/(%)</(%)，

所以，(力=%3-x—7在(1,*O)上单调递增；

又"1)=1_1_7=_7<0,"2)=8—2-7=—1<0,〃3)=27-3—7=17>0,

44)=64-4-7=53>0,

根据零点存在性定理，可得/(X)=/一X—7在(2,3)内有零点，

故选：C.

8.己知a=log20.28=202,c=0.2°3,则。，仇c大小关系是()

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<h<cD.a<c<h

【答案】D

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可得出“自c的大小关系.

【详解】log20.2<log2l=0,即。<0.

20<20.2<21,即lvb<2.

0<0.2°3<0.2%即Ovcvl.

所以avcvb.

故选：D

x

9.声音的等级/5)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足f(x)=10xlg——-.喷气式飞机起飞

1x10飞

时，声音的等级约为140dB：一般说话时，声音的等级约为6()dB,那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说

话时声音强度的()

A.105倍B.108倍C.1010倍D.ion倍

【答案】B

【分析】

首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为西,工2,根据题意得出/(%,)=140,

“々)=60,计算求五的值.

【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为AW,

=％=102，

6

/(x2)=10xlg-^—=60,x2=10-,所以F=10)

1X1U“2

因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍.

故选：B

10.设函数/(X)的定义域为总且/图=0，/(°)。°，若对于任意实数X,y,恒有

〃力+/(丁)=2/［二?)/(三，.则下列说法中不正确的是

A."0)=1B.〃X)=/(T)

C."x+21)=〃x)D.〃2x)=2/(x)-l

【答案】D

【分析】令x=y=O,即可求解/(0)=1,

令％=%,y--x,即可求出.(一力=〃力,

令％=%,y=Ax,可得结论，/(x+2»)=/(x)

令x=2x,y=0,〃2x)=2/2(x)一i.

【详解】由题意，令x=y=O,可得2/(0)=2/(0)〃0),/⑼。0,

・••"0)=1，故4正确,

令％=力y=-x,可得/(x)+/(—x)=2/(x)〃0),

.,./(-X)=/(x),故8正确

可得/(7)+/'(乃一X)=2/1])f=0,

令X=71y=7T-Xf

・••/(%)=-/(乃-)

；•/(一x)=/(x)=一/(万一龙)；

.T(x)=/S+x),

..•/(乃+%+4)=一/(x+%)=/(x)

.,./(2^+x)=/(x),故C正确，

令x=2x,>=0,可得〃2x)+/(O)=2/(x)/(x),

：.f[2x)=2f(x)-l,故〃错误，

故选D.

【点睛】本题考查抽象函数问题，考查了函数的奇偶性、对称性、单调性，同时也考查了学生解决探索性问题的

能力，属于中档题.

第II卷(共100分)

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.)

11.函数3，=互1的定义域为.

【答案】[-i,o)U(o,e)

【分析】根据分式和根式的定义域求出范围即可.

f%+l>0

【详解】由《c，解得xN—1且X/0,

故定义域为[-1,0)(0,+8),

故答案为:[一1,0).(O,+8).

12.已知x>0,y>0,x+y=2,则孙的最大值为.

【答案】I

【分析】利用基本不等式求解即可.

【详解】因为x>0,y>0

所以x+y石

即2而W2,解得孙41,当且仅当x=y=l时等号成立.

则xy的最大值为1.

故答案为：1.

13.0.25x24+lg8+31g5=.

【答案】7

【分析】利用指数运算及对数运算法则进行计算.

【详解】0.25x24+lg8+31g5=0.25xl6+3(lg2+lg5)=4+3=7

故答案为：7

14.函数“X)的值域为(0,+?),且在定义域内单调递减，则符合要求的函数/(x)可以为.(写出符合条

件的一个函数即可)

【答案】/(x)=ff>

【分析】

由函数=的值域为(0,+?)，且在定义域R内单调递减,即是符合要求的一个函数.

【详解】解：•.•函数的值域为(o,+?)，且在定义域A内单调递减，

函数即是符合要求的一个函数，

故答案为：/(x)=；

【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性和值域，是基础题.

15.已知函数/(x)={(5一满足对任意N片%都有"(X)—/(电)](%-工2)>。成立，那么实

数。的取值范围是.

【答案】［2,5)

【分析】利用求解分段函数单调性的方法列出不等式关系，由此即可求解

【详解】由已知可得函数/(X)在/?上为单调递增函数，

‘5-心0

则需满足，解得2Wa<5,

(5—a)xl-a+l<a

所以实数a的取值范围为［2,5),

故答案为：［2,5).

16.已知函数'一，关于函数/(x)有以下四个结论：

-X+2,x21

①/(X)的定义域为R；

②f(x)的值域为(一。,4卜

③若/(x)=2,则x的值是一枝；

④〃%)<1的解集为(一1,1).

其中所有正确结论的序号是.

【答案】②③

【分析】根据函数解析式画出函数图象，即可判断①②，再结合函数解析式分类讨论分别计算③④;

-2

./\x~,—2Wx<1

【详解】解：因为/(%)=〈，函数图象如下所示：

-x+2,x>1

显然函数的定义域为[-2,+8),故①错误；

又/•(—2)=(—2)2=4,所以函数的值域为(-8,4],故②正确;

当-2?x1时f=2,解得x=—正或》=夜(舍去)，

当时-x+2=2,解得尤=0(舍去)，

即若/(x)=2,则x=—J5，故③正确；

当-2?X1时冗2v1,解得一1vxv1,

当时一1+2<1,解得x>l,

综上的解集为(一1,1)(1,+8),故④错误；

故答案为：②③

三、解答题

17.根据下列条件，求三角函数值

3

(1)已知sina=g,且a为第二象限角，求cosa、tana的值；

(2)已知tana=-■—,求sina、cosa的值.

12

43

【答案】(1)cost?=——,tana=——

54

1252125

(2)costz=---,sintz=—或cosa=——，sina=----

13131313

【分析】(1)利用同角三角函数基本关系式进行求解；

(2)利用同角三角函数基本关系式得到关于sin。、cosa的方程组，再结合角a所在象限进行求解.

【小问1详解】

3

因为sina=《，且sin2a+cos2a=l，

所以cos2a=1-sin2a=3，又a为第二象限角，

25

4ein3

则cosa=——,tan6z=-----

5cosa4

【小问2详解】

因为tanoc----,

12

所以sina=—2cosa,且a是第二、四象限角;

sin。=----cosa

联立，12得cos%=也

169

sin2a+cos?a=l

1255

当a是第二象限角时，cosa=-----，sina=----cosa-一；

131213

1255

当a是第四象限角时，cosa=一,sina=-----cosa=-----；

131213

,125-125

所以cosa=-----,sin(7=一或cosa=—,sina=-----.

13131313

18已知集合4=卜|142”<8},8={%|X2+3X-4>0}.

(1)求集合A与集合8；

(2)求AuB及4(ADB)

(3)若集合C={x[a<x<a+l},且AcC=C,求实数。的取值范围.

【答案】(1)A=[0,3),B=(F,T)_(l,+oo)

(2)A8=(F,Y),[0,4w),4(4。3)=[<())

(3)[0,2]

【分析】(1)解指数不等式和一元二次不等式即可；(2)根据集合的交并补运算即可求解；(3)根据集合的包含关系求

解.

【小问1详解】

由142*<8解得0Wx<3,所以A=[0,3),

由+3x-4>0解得了<一4或x>l,所以8=(-oo,-4)J(l,+oo),

【小问2详解】

由⑴得AB=(-<»,-4)10,同,4(ADB)=[T,0).

【小问3详解】

因为AcC=C,所以A,且C={x|a<x<a+l}H0,

a>0「八7

所以a+]<3,解得0K%W2,所以。的取值范围是

19.设函数/(x)是定义在R上的偶函数，若当xe[0,+co)时，〃x)=-f+2x+3,

⑴求当X€(f>,0)时，函数/(X)的解析式；

(2)画出函数图象，并求满足/(x)>0的X的取值范围；

(3)若方程f(x)—%=0有四个实数根，求后的取值范围.

【答案】(1)f(x)———x^—2x+3

(2)(-3,3)

(3)(3,4)

【分析】(1)利用已知的解析式和偶函数的定义求解即可；

(2)画出函数图象，借助图象即可得出结论；

(3)在同一坐标系中作出>=/(%)和丁=人的图象，再由图象进行求解.

【小问1详解】

令x<0,则-x>0,

因为当无20时，f(x)=-x2+2x+3,

所以/(—x)———(―x)~—2,x+3——x~—2.x+3,

因为函数/(x)的偶函数，

所以/(x)=/(-X)=一彳2一2X+3,

即当xe(-a),0)时，f(x)=-x2-2x+3；

【小问2详解】

—x2+2.x+3,x20

由(1)得f(x)=<

—f—2x+3,x<0

作出/(X)的图象(如图所示),

由图象，得当一3<x<3时，/(x)>0,

即满足/(x)>0的x的取值范围为(—3,3)；

【小问3详解】

将/(%)一左=。化为/(%)=左，

在同一坐标系中作出y=/(x)和y=&的图象(如图所示),

由图象，得当3<%<4时，y=/(x)的图象与直线y=Z有四个交点;

即方程/(x)一％=0有四个实数根，后的取值范围为(3,4).

20.已知/(x)=lg(2+x)+lg(2-x).

(1)求函数“X)的定义域；

(2)判断函数/(x)的奇偶性，并加以证明；

(3)求/(6)值；

(4)证明函数/(x)在[0,2)上为单调递减函数.

【答案】⑴(-2,2)；

(2)偶函数，证明见解析；

(3)0；(4)证明见解析.

【分析】(1)由对数真数大于0可得定义域；

(2)根据奇偶性的定义判断；

(3)由对数运算法则计算：

(4)根据单调性的定义证明.

【小问1详解】

2+x>0

由题意C，解得一2<%<2,

2-x>0

定义域为(-2,2)；

【小问2详解】

/“)是偶函数：

证明：/(-%)=lg(2-x)+lg(2+%)=/(%),所以/(x)是偶函数；

【小问3详解】

/(@=.2+百)+坨(2-⑹=lg[(2+@(2-⑹]=lgl=0；

【小问4详解】

设。<X]<%2<2,

/(%)一/(%2)=lg(2+%)+lg(2—X)Tg(2+xQ-lg(2-X2)Tg[：+*1?=山^~^~，

(2+々)(2T2)4-X2

4—%24—%?

,.10<%,<x<2,所以0<4-¥<4-X：,———>1,1g----7>0>

-24-考4-x；

/(%1)-/(x2)>0,g|j/(%,