2023-2024学年上海市高一年级上册期末数学试题3

2023-2024学年上海市高一上册期末数学试题

一、填空题

1.函数/O）=log/x-3）的定义域是.

【正确答案】（3,+8）

【分析】根据函数成立的条件，即可求函数的定义域.

【详解】解：要使函数有意义，则χ-3>0,

即x>3,

故函数的定义域为（3,+8）,

故（3,+∞）.

本题主要考查函数定义域的求法，正确判断函数成立的条件是解决此类问题的关键.

2.不等式一∣∖≥2的解集为________.

x-1

【正确答案】{x∣l<x≤2}

【分析】利用分式不等式的解法求解即可.

【详解】因为上γ≥2,

所以上一2≥0,则土生二D≥o,即二∑±2≥o,故二2≤o,

x-1χ-lx-lX-I

所以忙2）'T）≤0,解得上：2,故I。。，

X-IHo[Λ≠1

所以七≥2的解集为{M1<X≤2}.

故答案为.{∙Φ<X≤2}

3.已知αe,2,-1,-3,3,1,2,31,若基函数/（x）=X“奇函数，且在（0收）上为严格减函数,

贝IJa=.

【正确答案】-1

【分析】根据基函数f（x）=J在（0,+8）上为严格减函数，可得α<0,再由基函数/（x）=x"

奇函数即可得答案.

【详解】解：因为塞函数"x）=x"在（0,+巧上为严格减函数，

所以α<O,

所以aet2,-1,-；1,

又因为募函数/(x)=6奇函数，且αe卜

所以α=-l,

故-1

4.已知角α的终边经过点P(T,3),则tanα=.

【正确答案】-3

【分析】根据正切函数定义计算

3

【详解】由题意tanc=∖=-3∙

故-3.

IT

5.己知扇形的弧长为WCm,且半径为IoCm,则扇形的面积是_________cm2.

2

【正确答案】咚5万##5K

22

【分析】由扇形面积公式可直接求得结果.

I1TTSTT

【详解】扇形面积S=；b=；XgXlO=彳.

2222

STT

故答案为

6.若Sina+cosα=(,则sin2α=.

【正确答案】-黄24

【分析】直接将Sina+cosα=g两边平方，结合二倍角公式计算可得；

121

【详解】解：因为Sina+cosα=S,所以(Sina+cosα)~=不，即

sin21+2sinacosa+cos2a=—,即1+sin2α=L,所以sin20=-上

252525

M24

故-石

7.方程χ2+χ-m=0(,">0)的两个实根分别为占,电，则XlX；+X；X2=.(结果表示

成含W的表达式)

【正确答案】m

【分析】根据韦达定理运算求解.

【详解】•・•方程Y+X—相=0(相>0)的两个实根分别为王，则△=1+4m>0当机>()时恒

fx+ɪɔ=-1

成立，可得l'-，

[xxx2=-m

2

：•+Λ⅛X2=x1x2(xl+Λ2)=-m×(-1)=m.

故答案为.加

8.方程lg(2x+l)+lgx=l的解为.

【正确答案】2.

x(2x+l)=10

由对数的运算性质可转化条件为,即可得解.

2x+l>0

lgx(2x+l)=l

【详解】方程lg(2x+l)+lgx=l等价于卜>0,

2x+1>O

x(2x+l)=10

所以"θ,解得x=2.

2x÷l>O

故2.

本题考查了对数方程的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.

9.函数y=J7的值域是.

【正确答案】(0,1)

I-V

【分析】由函数解析式导出2'=%」，利用指数式的有界性，，即可求解y的取值范围，即

为值域.

【详解】由函数解析式，2'y+y=l,.∙∙2x=1,

y

l—y

2'>0,/.——>O,解得O<γ<1

y

则值域为(0,1),

故(0,1)

指数函数y=2',值域为(0,+8),即2,>O恒成立.

10.如果∣x+l∣+∣x+9〉”对任意实数X总成立，那么”的取值范围是.

【正确答案】(y,8)

【分析】先利用绝对值三角不等式求出∣x+l∣+∣x+9∣的最小值，进而求出”的取值范围.

【详解】∣x+l∣+∣x+9∣≥k+l-(x+9)∣=8,当且仅当-9≤x≤-l时等号成立，故α<8,所以〃

的取值范围是(一,8).

il⅛(-∞,8)

11.已知函数/(x)=∣InH,若OCaC6,且/(a)="。)，则α+2b的取值范围是.

【正确答案】(3,+8)

【分析】由/(α)=∕(A),OCaC匕可得O<α<l,b>l,-ln<7=ln⅛,得6=」，所以

a

22

a+2b=a+~,然后构造函数g(x)=x+—(0<x<l),利用可求出其单调区间，从而可求出

aX

其范围

【详解】"x)=∣InxI的图象如图，

因为"a)=∕S),

所以IIna=IInw,

因为Ova<b,

所以Ina<0,

所以OVaVI/>1,

所以IInd=_InaJIn.=In/?,

所以一Ina=InZ?,所以lnα+lnb=ln(")=0,

所以ab=1,则b=一,

a

2

所以0+2b=α+-,

a

2,7r—2

令g(x)=x+-(Ovx<l),则g'(χ)=l——=------,

XXX

当OVXVI时，g∖x)<O,

所以g(x)在(0,1)上递减，

所以g(x)>g⑴=1+2=3,

所以G+2b>3,

所以。+2万的取值范围为(3,+∞),

故(3,同

12.设函数/(M="+]).+202：―202『在区间12022,2022]上的最大值和最小值分别为

M、m,则M+"t=.

【正确答案】2

/、(Λ+1)2+2021V-202ΓX,2Λ∙+202ΓV-202ΓΛ

[rz分kiι析ςι]ʃ(ɪ)=^—1~y---------1+-------------------------令

(x)=2x+20^ζ~2021,ɪ≡[-2022,2022],易得函数g(x)为奇函数，则

g(x)3=—g(x：L，从而可得出答案・

r1“∖(X+∣)-*^2021t—2021

[详解]解：f(χ}=-——---ʒ-----------------

Jr+1

x2+2x+l÷2021t-202Γv

x2+l

Λ

12x+202F-202Γ

一+%2+1'

令g(x)=2*+202,：2021",X6[_2022；2022],

H%/∖-2x÷202Γr-2021r/、

因为g(τ)=---------7W----------=一g(1)，

所以函数g(x)为奇函数，

所以g(Ha=-g(Hl,即SWιraχ+g(ɪ)min=°，

所以/(χ)g+〃XLl=1+g(χ)3+ι+g(χ)mi∏=2,

BpM+/n=2.

故2.

二、单选题

13.己知“，b,C都是实数,则"α<”'是""J府”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】B

【分析】利用充分、必要条件的定义，结合不等式的性质判断题设条件间的推出关系，即可

知条件间的充分、必要关系.

【详解】当“<b时，若C=O时at?<乩2不成立；

当四2<雨时,则必有“<b成立，

.•."。<方’是"皿2<k2，，的必要不充分条件

故选：B

14.下列四组函数中，两个函数相同的是()

A.y=λ∕^^和y=(«)2

B.'=］和,7

C.y=国和y=

2

D.y=IogaX^tly=21ogflx

【正确答案】C

【分析】如果函数的三要素中有一个不同，则两个函数不同；判断两个函数相同，需要判断

定义域、对应关系相同.

【详解】选项A,函数y=JF的定义域为R,丫=(4了定义域为［0，+8),所以两个函数

不同；

选项A,函数y=l的定义域为R,y=χ°定义域为{χ∣χxθ},所以两个函数不同；

选项C,因为y=G^=k∣,定义域都为R,所以函数V=W和y=G^相同;

选项D,函数y=iog,,/的定义域为{χ∣χ≠0},y=21og,,χ定义域为{x∣x>0},所以两个函

数不同.

故选：C.

15.函数y=二的图像的对称性为()

2

A.关于X轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线V=X对称

【正确答案】B

【分析】将函数进行化简，利用函数的奇偶性的定义进行判断.

Λx-L1Ax1

【详解】解：因为/(X)=望=/+>2、+2。所以f(-x)=2τ+2*=2'+2-∙c=∕(x),

所以函数/(x)是偶函数，即函数图象关于y轴对称.

故选：B.

16.若a<b<c,则函数/(x)=(X-α)(x-b)+(x-6)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位

于区间

A.(。,8)和(b,c)内B.(-∞,α)和(α,b)内

C.(b,c)和(c,+8)内D.(-∞,α)和(G+8)内

【正确答案】A

【详解】试题分析：/㈤=。-C)。-叭Oj(C)=(c-α)(c-b))θ,所以S,c)有零点，排除

B,D选项.当x>c时，/(x)>0恒成立，没有零点，排除C,故选A.另外

f(a)=(a-b)(a-c)>O,也可知(“㈤内有零点.

零点与二分法.

【思路点晴】如果函数J=/0、：)在区间［。句上的图象是连续不断的一条曲线，且有

/(α)∕Q)<0,那么，函数J=在区间(a,b)内有零点，即存在ce(q,加使得

f‹.CI=0,这个也就是方程/，'，=0的根•注意以下几点：①满足条件的零点可能不唯一;

②不满足条件时，也可能有零点.③由函数；=4已在闭区间忸,可上有零点不一定能推出

f(a)f(b)<0,如图所示.所以/(α)∙∕Q)<0是$=∕(x)在闭区间耳上有零点的充

分不必要条件.

三、解答题

17.已知集合A={x∣∣x-4∣≥a}(a>O),B={x∣√-2x-3<()].

⑴若α=3,求，C3：

⑵若B=A,求实数。的取值范围.

【正确答案】⑴{疝VXV3}

(2)0<β≤l

【分析】(1)由不等式的解法，结合集合的运算求解即可；

(2)由集合的包含关系得出实数。的取值范围.

【详解】(1)A={小一4∣≥3}={x∣x≥7或x≤l},B=∣x∣x2-2x-3<0∣={x∣-l<x<3}.

因为A=MVXV7},所以AC8={疝<xv3}.

(2)A={x∣∣x-4∣≥α}={x∣x≥4+α或x≤4-4},因为3=A,4+β>4>3,

4-a≥3

所以“>0,即0<α≤L

cos(π+a)cos∣-÷α∣cos(2π-α)sin∣到+α]

18.(I)化简.'，(2人'，(2J

sin(π+a)cos(π-σ)

31

(2)已知Sina=∙∣,CoS/=-万，且α］在同一象限，求CoS(zα+4)的值.

4-3√3

【正确答案】(1)0；(2)

10

【分析】(1)根据诱导公式化简整理；(2)先根据三角函数值判断见?所在象限，进而利用

平方关系可求cosa,sin£,代入两角和的余弦公式运算求值.

【详解】(1)

π

cos(π+a)cos∣三十0cos(2π-σ)sil∏∣÷,

2一CoSa)(—Sina)CoSa(-COSa)

÷--------------------+-------------------=-cosa+cosa=0

sin(π+6r)cos(π-a)一Sina一COSa

31

(2)Vsina=->0,cosy5=--<0,且α/在同一象限，则为第二象限角,

∙^∙COSa=-Jl-Sin2a=一∙∣,sinβ=Jl-cos,2/?=-ɪ>

4-3√3

故COS(α+6)=cosαcos6一SinaSin尸=

10

19.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设/为地震时所散发出来的相对能量程度，则

2

里氏震级度量/可定义为r∖lg∕+2;

(1)若∕=1.2xl0',求相应的震级；(结果精确到0.1级)

(2)中国地震台网测定：2021年11月17日13时54分在江苏省盐城市大丰区海域发生5.0

地震，地震造成江苏盐城、南通等地震感强烈，上海亦有震感；请问汶川8.0级地震的相对

能量如是大丰区海域5.0级地震相对能量4。的多少倍？(结果精确到个位)

【正确答案】(1)6.1

(2)31623

【分析】(1)由里氏震级度量公式计算即可；

2

(2)由公式r=]lg∕+2解出/,再代入数值计算即可.

【详解】(1)当∕=1.2xl()6时,

2,22

则有r=]lg(l2x10)+2=§(怆12+5)+2=5(1.08+5)+2=6.1.

所以相应的震级为6.1级.

(2)由r=glg∕+2,可得∕=ιo竽，

3x8-6

所以41=2=雪∙=10;≈31623.

[0丁ι05

所以汶川8.0级地震的相对能量录是大丰区海域5.0级地震相对能量GO的31623倍.

20.已知二次函数/*)=£+"+1,Λ∈[-1,2].

(I)如果函数/(χ)单调递减，求实数”的取值范围：

(2)当。=1时，求f(χ)的最大值和最小值，并指出此时X的取值；

(3)求/(x)的最小值，并表示为关于α的函数HS).

13

【正确答案】(1)(—8,—4]；(2)当X=-^时，/(x)min=-,当x=2时，/(X)mas=7；(3)

2-a,a≥2

2

H(a)=sl--,-4<tz<2.

4

5+2α,α≤-4

【分析】(1)根据函数开口向上，对称轴为X=-W，进而结合题意得：-W≥2,解不等式

即可得答案；

(2)由题知/(x)=χ2+χ+]=(χ+g]+1,进而根据二次函数性质即可得答案；

(2)根据题意，分α≤T,-4<a<2,α≥2三种情况讨论函数单调性求解最小值即可.

【详解】解：(1)因为函数/(x)=χ2+qχ+l开口向上，对称轴为x=—微，

若函数f(x)在xw[-l,2]上单调递减，则422,解得.α≤Y

故当函数/(x)单调递减，实数。的取值范围是.(-8,—4]

(2)当α=l时，f(x)=x2+x+∖+1,

1Q

所以当X=V时，函数“X)取得最小值∕‰='.

当X=2时，函数“X)取得最大值取X)3=7.

(3)因为函数/(x)=χ2+αr+l开口向上，对称轴为x=-],

所以当4≥2,B∣J：α≤T时，函数/(x)在[-1,2]上为单调递减函数，故

〃⑷="x)*n=∕(2)=2α+5;

当-]≤-l,即：“≥2时，函数/O)在[-1,2]上为单调递增函数，故

H(α)=∕(x)n,n=∕(-l)=2-α;

当即Y<α<2时，函数/O)在-1,ʒ上为单调递减函数，在*2上为单

乙_乙_乙_

调递增函数，故"(a)=/(x),“M=4-少J?

2-a,a≥2

2

综上，”(a)=51--,-4<6T<2.

4

5+2a,o≤-4

本题考查二次函数在闭区间上的最值和单调性问题，考查运算求解能力，分类讨论思想，是

中档题.本题第三问解题的关键在于由二次函数的单调性分ɑ