2023-2024学年山东省青岛重点中学高一（上）10月月考数学试卷（含解析）

2023・2024学年山东省青岛重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合4={汨/一1=。},则下列结论错误的是（）

A.1eaB.{-1}cAc.{-1}eaD.{-1,1]=A

2.已知集合4U{2,3,4,7},且A中至少有一个奇数，则这样的集合4的个数为（）

A.11B.12C.13D.14

3.设集合〃=2,其中N为自然数集，S={x|x2-%=0）,T={x&N\-^-EZ],则下列结论正确的是（）

X-N

A.TcsB.Tn（QS）={3,4,5}

C.SdT=SD.SG

4.设Q£R,则“a>9”是“工V：”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.若“mxeR,a/-3ax+9W0”是假命题，则a的取值范围为（）

A.[0,4]B.[0,4）C.（0,4）D.[4,+oo）

6.近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤、b元/斤（a二b）,学校甲食堂和

乙食堂购买牛肉的方式不同，甲食堂每周购买6000元钱的牛肉，乙食堂每周购买80斤牛肉，甲食堂、乙食

堂两次平均单价为分别记为mi，爪2,则下列结论正确的是（）

A.m1=m2B.m1>m2

C.m2>D.nii，的大小无法确定

7.已知x+y=l,y>0,x>0,则五+]的最小值为（）

A.口B.2+AT2C.2<7D.|+<7

8.对于集合4B,我们把集合{x|x64且xgB}叫做集合4与B的差集，记作4-B.若集合P=[y\y=-x2+

2x-1,1-^<x<|}，集合Q={x|/+（a-l）x-a<0},且P-Q=0,则实数a的取值范围是（）

A.[0,+oo）B.（0,+oo）c.（一/8）D.（-OO,

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知全集U={x|x<10,xGN*},AcU,BQU,Ad（QB）={1,9},4CiB={3},（CMn（QB）={4,6,7）,

则下列选项正确的为（）

A.8€BB.4的不同子集的个数为8

C.{9}5D.6£Q(4UB)

10.下列说法中，错误的是()

A.若avb,c<d,则QC<bd

B.若一2<a<3,l<b<2,则一1<£<3

C.“对Vxe(0,+8),]+恒成立”是“mwi”的必要不充分条件

D.设xCR,则丫=(/+2)+六的最小值为2

11.若关于％的不等式0<ax2+bx+c<l(a>0,b,ceR)的解集为[-1,2],贝ij4a+56+c的值可以是()

A.-iB.C.WD.1

242

12.已知正实数a,b满足/+炉一。一匕+=i,则下列选项正确的是()

A.a+b的最大值为2B.a+b的最小值为竽

C.a2+匕2的最大值为3D.a2+非的最小值为2

三、填空题(本大题共4小题，共20.()分)

13.已知a£R,bGR,若集合力={a,，l},B={a2,a+b,0)MUB且BU4,则a2°23+从。23的值为.

14.设命题p：实数%满足％2一4数+3a2W0,其中a>0,命题q：实数x满足六：一：一6：°若是q的

必要不充分条件，则实数a的取值范围为.

15.当X>a时，关于x的不等式2/-2ax+225恒成立，则实数a的取值范围是.

x-a

16.若存在正实数支,使得孙(x+y)=x-y,贝丹的最大值为.

四、解答题(本大题共5小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

设集合A={x|—2<x<5},B={x\m-1<%<2m+1].

(1)若m=3时,求An8,(CRA)UB；

(2)若4nB=0,求zn的取值范围.

18.(本小题10.0分)

为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其

建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.该建筑物每年的能源消耗费用

P(单位：万元)与隔热层厚度双单位：cm)满足关系：P=23(xeR,0WxW8).若不建隔热层，每年能源

消耗费用为9万元.设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和.

(1)求m的值及用为表示S；

(2)当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值.

19.(本小题10.0分)

已知不等式a尤2+(a—i)x—1>0(ae/?).

(1)若当x=-a时不等式成立，求实数a的取值范围；

(2)解这个关于x的不等式.

20.(本小题10.0分)

已知y=x2-2ax+a.

(1)若方程y=0有两个实数根Xi，x2,且好+媛=6与％2-3,求实数a的值；

(2)若集合4={x|x2+4x=0},B={x\y+a2—a=—(4a+2)x+1),若4uB=A,求a的取值范围.

21.(本小题12.0分)

设集合4n={1,2,3,...,n}(n>2,neN),集合P£An,如果对于任意元素xeP,都有x-1GP或x+1eP,

则称集合P为4n的自邻集.记即(k)(l<k<n,keN)为集合力”的所有自邻集中最大元素k的集合的个数.

(1)直接判断集合P={1,2,3,5}和(？={1,2,4,5}是否为人的自邻集；

(2)比较％o(6)和a1o(5)+%()(3)的大小，并说明理由.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：集合a={久氏2-1=0}={—1,1},选项。正确；

1e4,选项A正确；

{-1}A,选项8正确，选项C错误.

故选：C.

化简集合4,逐一检验选项即可.

本题考查元素与集合的关系，集合与集合的关系，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：根据题意，A中至少有一个奇数，包含两种情况，A中有1个奇数或2个奇数，

若4中含1个奇数，有废X22=8,

4中含2个奇数：废x22=4,

由分类计数原理可得.共有8+4=12种情况.

故选:B.

根据题意，分4中有1个奇数或2个奇数两种情况讨论，由排列组合知识易得每种情况下的集合4数目，由分

步计数原理计算可得答案.

本题考查排列、组合的运用，解题的关键在于对“4中至少有一个奇数”的理解，进而分“4中有1个奇数或

2个奇数”两种情况讨论，是基础题.

3.【答案】C

【解析】解：因为集合1/=N,S={X|X2-X=0]={0,1}<7={x€N|提eZ}={0,134,5,8},

所以SU7,7不是S的子集，选项A错误；

7c(JS)={3,458},所以选项8错误；

Snr={0,1]=5,选项C正确；

S不是加丁的子集，选项。错误.

故选：C.

化简集合S、T,再判断选项中的命题是否正确.

本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题.

4.【答案】A

【解析】解：当a>9时，必有工<：,

a9

当工寸，不妨取a=-l,满足工<、，但推不出a>9,

a9a9

故“a>9”是“工<I"的充分不必要条件.

a9

故选:A.

判断“a>9”和“工<之间的逻辑推理关系，即可得答案.

a9

此题考查了充分、必要条件的判断，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：“mxeR,a/-3aX+9W0”是假命题，

则VxGR,ax2—3ax+9>0是真命题，

当a=0时，9>0,符合题意，

当a羊0时，则彳交A、°，解得0<a<4,

U=9az-36a>0

综上所述，a的取值范围为［0,4).

故选：B.

由题意可知，VxeR,。/一3年+9>0是真命题，再对a分类讨论，并结合二次函数的性质，即可求解.

本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题.

6.【答案】C

2x2022ab

【解析】解：甲购买猪肉的平均单价为：机1=匹前=虫=不，

T+Ta+h+

乙购买猪肉的平均单价为：巾2=岑=字，

,122

所以热=匿7=2+黑2尸就1^=1;当且仅当a=b时取"="，

m2(a+b)az4-o+2ab十/a。

因为两次购买的单价不同，即aRb,

所以爪1<瓶2，即乙的购买方式平均单价较大.

故选：C.

由题意可知，mi=缥,根2=塔，再利用作商法结合基本不等式比较巾1与皿2的大小即可.

,a+b42

本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：由于％+y=l且％>0,y>0,

则2+；(X+y)底+》=5+；+/=5+2y)y'i=l+E当且仅当X=<3-1，y=2-时

取等号.

故选：D.

利用基本不等式的性质即可得出.

本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

8.【答案】4

【解析】解：因为集合{x|x€P且xCQ}叫做集合P与Q的差集，且P-Q=0,所以PUQ,

由函数丁=一%2+2%-劣，1一?<%<京可得开口向下，且对称轴为x=l,

乙乙L

当X=1时，可得%nax=；，当久=1-?时，可得ymin>。，即P=3。<y<芬

又由不等式/+(a-l)x—a=(x+a)(x-1)<0,

当—a>l时，即a<—1时，解得1<x<—a,即。={x[l<x<-a},显然不满足PUQ；

当—a=l时，即a=—1时，解集为空集，即Q=。，显然不满足PUQ；

当一a<1时，即a>—1时，解得—a<x<l,即。={x[—a<x<1},

要使得PUQ,则满足-a<0,解得a20,即实数a的取值范围是[0,+8).

故选:A.

根据题意，求得P={y|0<yW；}和分类讨论，求得集合Q,结合题意中的新定义，转化为PUQ,利用集

合的运算，即可求解.

本题主要考查集合的新定义，集合间的包含关系，考查运算求解能力，属于中档题.

9.【答案】ABC

【解析】解:全集U={x\x<10,xGN*}={1,2,3,4,5,67,8,9},

vAQU,BJU,An(CuB)={1,9},力nB={3},(Cy/1)n(CuB)={4,6,7},

作出韦恩图：

则8GB,故A正确;

集合4中有3个元素，故A的不同子集的个数为23=8,故8正确；

-9&A,{9}QA,故C正确；

•••(CM)U(QB)=Q(AUB),且(CM)n(QB)={4,6,7),

6eCu(AUF),故。错误.

故选：ABC.

根据已知条件，作出韦恩图，结合元素与集合的关系，以及集合之间的关系，依次判断各项，能求出结果.

本题考查集合的运算，考查韦恩图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系等基础知识，考查运算求

解能力，是基础题.

10.【答案】ABD

【解析】解：当a=-2,b=1,c=-2,d=0时，4显然错误；

若一2<a<3,1cb<2,i<1,

当0Wa<3时，04<3,

当一2<a<0时,0<-a<2,则0c一微<2,

所以一2<一牌0,

综上,-2<l<3,B错误；

当久>0时，^+->2,当且仅当％=2时取等号，

若%>0时，今+白之m恒成立，

2x

又源22,

则m<2,

所以充+22m恒成立是m<1的必要不充分条件，C错误;

2x

令t=24-%2,t>2,

则y=(7+2)+/%=t+；在［2,+8)上单调递增，故y>2+g=?,£>错误.

故选：ABD.

举出反例检验选项A,结合不等式性质检验选项B；结合基本不等式及不等式恒成立与最值关系检验C；结

合对勾函数单调性检验选项D.

本题主要考查了不等式的性质，基本不等式，对勾函数单调性在最值求解中的应用，还考查了不等式恒成

立与最值关系的转化，属于中档题.

11.【答案】BC

【解析】解：由题意a,b,c满足：b2-4ac<0,Jlax?+bx+c=1的两个根为一1,2,

所以Q-b+c=1,4CL+2b+c=1,

得b=-a,c=1—2a,

b2—4ac=a2—4a(l—2a)=9a2—4a<0,

得0工QW1，因Q>0,所以0<aW

4a+5b+c=4a—5a+1—2a=1—3a,

1

故(1—3a)G1),

1

所以《、1不满足题意,4-满足题意.

故选：BC.

先根据0Wa/+bx+cWl(a>0,b,c6R)的解集为［-1,2］得到a,b,c的关系和范围，利用不等式的性质

可得4a+5b+c的范围.

本题主要考查了“三个二次”的关系，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.

12.【答案】AD

【解析】解：正实数a,b满足a?+b2-a-b+ab=l,两边都加上ab,得(a+b)2-(a+b)=1+ab>1,

22

结合ab<’得1V(a+b)?—(a+Z?)<14-

而Q+b>0,所以解得岑5<a+bM2,且仅当a=b=1时等号成立，

2

因为Q2+垓—(Q+人)+Q8=(Q+b)—(a+Z?)—0+电)=1，

所以a2+垓=—(Q+b)2+2(a+b)+2,

设£=。+匕，16(巧上,2］，函数丫=一户+21+2在(与1,2］上单调递减，

2

t=2时，ymin=-t+2t+2=2；t=时，y=

故a2+b2［2,呼)，C错误，。正确.

故选：AD.

利用基本不等式将a?+炉一a-b+ab=1化为1<(a+b)2-(a+b)41+@丝-，结合一元二次不等式

的解法判断AB的正误；将a?+b2-a-b+ab=1化为a?+b2=-(a+b)2+2(a+b)+2,然后采用换元

法并结合二次函数的性质，可判断CD的正误.

本题考查利用基本不等式求最值、一元二次不等式的解法等知识，考查运算求解能力，是基础题.

13.【答案】-1

【解析】解：因为AUB且BUA,故4=8,

而集合Z={a,，,1},B={a2,a+h,0},

则a力0,aK1,贝!=0,b=0,则a?=1,a=-1,

a

故。2。23+炉。23=(-1)2023=_L

故答案为：—1.

根据集合的包含关系推出4=B,由此判断元素的取值情况，求得a,b,即可求得答案.

本题主要考查集合的基本运算，比较基础.

14.【答案】(0,仙[3,+8)

【解析】解：p：实数不满足/一4Q%+3/w0,得-ip：实数%满足产一4Q%+3Q2>0,

2

x—4ax+3a2>o,(%—a)(x—3a)>0且a>0,解得％<Q或%>3a.

设「p对应的集合4,即力={x[%<a或%>3a,a>0].

由卜2—%—6<0+2)(x-3)<0^zSf-2<%<3

tx24-2x—8>0'-2)(%+4)>O'解倚卜V-4或%>2即2VxV3.

设q对应的集合8,即8<={%|2V%V3}.

由是q的必要不充分条件可得B£4

所以有{：；；，即aN3或{仁力，即。<。4

综上所述，实数a的取值范围为(0,|]U[3,+8).

故答案为：(0,|]U[3,4-00).

根据题意，把「p是q的必要不充分条件转化为集合的包含关系，即「p对应的集合真包含于q对应的集合，由

此得实数a的取值范围.

本题考查由必要不充分条件求参数范围，属于中档题.

15.【答案】原+8)

【解析】解：不等式至普龙泊，即为x+±丹，

又因为％>Q,所以

11

所以％4-----X-CL------FQ3Q+2,

x—ax—a

当且仅当x—a=」一，即x=a+l时，等号成立，

x-a

所以a+22|,解得a.

所以实数a的取值范围是：展,+8).

故答案为：原+8).

变形给定不等式，利用函数不等式恒成立，结合均值不等式求解即得.

本题考查了基本不等式的应用，掌握基本不等式是关键，属于中档题.

16.【答案】1

【解析】解：因为存在正实数x,使得孙(x+y)=x—y,

即y%2+(y—l)x+y=0存在正实数根％,

当y=0时，x=0显然不符合题意；

当yHO时，有4=(y—1)2—4y220,解得一lWywg,

若方程存在正根且根据方程的根与系数关系可知，两根之积为1可知两个都为正数，

故两个之和>0,解得0Vy<1,

y'

综上，0vyW

则y的最大值为今

故答案为：

由已知先整理，然后结合二次方程的根的存在条件及方程的根与系数关系可求y的范围，进而可求.

本题主要考查了二次方程的根的存在条件的应用，体现了转化思想的应用，属于基础题.

17.【答案】解：(1)集合4={%|-2<x<5},m=3时，B=<%|2<%<7},所以ACB=[x\2<%<5},

又因为CRA={x\x<一2或%>5},所以(CRA)UB={x\x<一2或%>2]；

(2)因为AnB=0,当8=0时，m-1>2m+l,解得m<-2；

"i之一2Q

-1、匚曲9i解得m>6或一24mV—5，

(?71—1>5或2"1+1<-22

综上，m的取值范围是或？n>6}.

【解析】(1)求出m=3时集合B,再根据集合间的运算求解即可；

(2)由ACB=0,讨论B=。时和B*。时，分别求出m的取值范围.

本题考查了集合的运算与应用问题，是基础题.

18.【答案】解：(1)设隔热层厚度工,依题意，每年的能源消耗费用为：「=房之，而当x=0时，P=9,

则管=9,解得巾=15,

显然建造费用为8x,所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为：

S=40P+8x=40X,+8x=臂+8x(0<x<8).

4x+54x4-5'7

(2)由(1)知5=黑+8》=黑+2(奴+5)-10

>2』黑-2(4x+5)-10=2X60-10=110-

当且仅当粤=2(4x+5),即x=6.25时取等号，

所以当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用S取得最小值110万元.

【解析】(1)利用给定条件，求出m的值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和.

(2)利用基本不等式即可求最值，根据等号成立的条件可得隔热层厚度.

本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题.

19.【答案】解:(1)由题意得,a3-a(a-l)-l>0,

即/—a2+a-1>0,

化简得，(a-l)(a2+l)>0,

解得a>1,

故a的取值范围为(1,+8)；

(2)当a=0时，原不等式化为—x—1>0,即x<—1；

当a>0时，由a/+(a—i)x—1>0,可得(ax—1)(%+1)>0,

解得x>；或x<-1；

当a<0时，由a/+(a—l)x—1>0=>(ax-l)(x+1)>0=(x—；)(x+1)<0,

若工>一1,即a<-l时，不等式的解为一1<%<4

aa

若工<一1,即—l<a<0时，不等式的解为工<%<-1；

aa

当(=一1即。=一1时，不等式化为。+1)2<0,不等式无解;

综上，当。=0时，解集为(一8,-1)；

当a=-l时，解集为。：

当a>0时，解集为(-8,-1)u(；,+8)；

当a<-l时，解集为(一1,今；

当一1<。<0时，解集为1).

【解析】(1)把x=-a代入，解不等式即可求解；

(2)由已知对a的正负进行分类讨论，然后结合一次及二次不等式的求法即可求解.

本题主要考查了高次不等式及二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题.

20.【答案】解：(1)方程为丫=刀2-2奴+。=0有两个实数根与，x2,

p=4a2—4a>0

则%i+%2=2a，

彳1•g=Q

若好4-%2=6%I%2-3,

2

则(修+%2)—2%62=6%I%2-3,

则(%1+%2)2—8%1%2+3=0,

即4a2—8Q+3=0,

(2a-l)(2a-3)=0,

得Q=或Q=I，

VA>0得Q>1或Q<0,

则a=|,即实数a的值是I；

(2)集合/={x\x2+4%=0}={0,-4},

B={x\y4-a2—a=—(4a4-2)x+1}={x\x2-2ax4-a4-a2—a=—(4a+2)x+1}={x\x2+2(a4-

l)