高考数学一轮复习热点难点精讲精析10.3 统计案例

高考一轮复习热点难点精讲精析：

10.3统计案例.

（一）线性回归分析

※相关链接※

1.首先利用散点图判断两个变量是否线性相关.

2.求回归方程y=bx+a.

⑴线性回归方程中的.截距。和斜率匕都是通过样一本估计而来的，存在着误差，这种误差可能导致预报

结果的偏差.

（2）回归方程y=区+4中的人表示X增加1个单位时y的变化量为人

（3）可以利用回归方程y=bx+a预报在x取某一个值时），的估计值.

3.相关系数厂

利用相关系数，•来衡量两个变量之间的线性相关的强弱.

4.建立回归模型的步骤

（1）确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预报变量.

（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）.

⑶由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系,则选用线性回归方程y=bx+a）.

（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）.

（5）得出结果后分析残差是否异常（个别数据对应残差过大,或残差呈现不随机的规律性等）.若存在异

常，则检查数据是否有误,或模型是否适合等.

注：回归方程只适用于我们所研究的样本的总体,而且一般都有时间性.样本的取值范围一般不能超过

回归方程的适用范围，否则没有实用价值.

※例题解析※

K例1测得某国10对父子身高（单位:英寸）如下:

父亲身

60626465666768707274

高（力

儿子身

63.665.26665.566.967.167.468.370.170

V）

(1,)对变量y与x进行相关性检验；

(2)如果y与x之间具有线性相关关系,求回归方程.

(3)如果父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高.

思路解析：(1)先根据已知计算相关系数「，判断是否具有相关关系.

(2)再利用分工求出回归方程进行回归分析.

解答：⑴

101010

x=66.8,y=67.0l,x=4462.24,y«4490.4,Zx：=44974,工=44941.93,工=44842.4,

/=1i=l/=!

44842.4-10x4476.26879.72,、。八，

-I,~~iy0.804.

（fxMoz）（Zx2-io7）“44794—44622.4）（44941.93-449.3.4）,6611.5764

/=!/=1

所以y与x之间具有很强的线性相关,关系.

10____

£3为-10Q

44842.4-44762.68_79.72

(2)设回归方程为y=〃x+a.由3=/=|

-«0.4646.

E%,2-10x44794-44662.4171.6

；=1

a=y-bx=61.01-0.4646x66.8«35.97.

故所求的回归方程为：»=0.4646x+35.97.

⑶当x=73时，3=0.4646x73+35.97a69.9.所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子身高约为

69.9英寸.

(二).非线性回归分析

※相关链接※

1.非线性回归模型：当回归方程不是形如y=尿+。时称之为非线性回归模型.

2.非线性回归模型的拟合效果:对于给定的样本点(内,凶),(々,％)，，(x“,y”)，两个含有未知数的模

型)川=/(x,a)和y°)=g(x,勿，其中。和匕都是未知参数.

可按如下的步骤比较它们的拟合效果：

⑴分别建立对应于两个模型的回归方程歹D=/(x,&)和/⑵=其中4和△分别是参数。和Z?

的估计值；

⑵分别计算两个回归方程的残差平方和"=£(y—%D)2和。⑵=f(y—*2))2；

1=1/=1

⑶若。⑴V0⑵，则/=/(X,0的效果比严=g(x,b);

反之，科＞=/(x,4)的效果不如亍⑵=g(x1)的好.

※例题解析※

K例】为了研究某种细菌随时间x变化时,繁殖个数y的变化，收集数据如下：

3

人数,7A1O156

繁殖个数w个1112251995190

(1)用一天数x作解释变量,繁殖个数y作预报变量,作出这些数据.的散点图

(2)描述解释变量x与预报变量y之间的关系；

(3)计，算残差平方和、相关指数.

思路解析:作出散点图f分析与哪种曲线拟合-转化线性关系T进行回归分析.

解答：(1)所作散点图如图所示.

r♦

20()•

*

150-

1()0-•

5()-•

(2)由散点图看出样本点分析在一条指数函数y=的周围,于是令z=Iny,则

・)

131,16

ry

1.i2.183.22.-1,15.25

由计算器得：2=0.69X+1.112,则有1=/69MLU2.

r6.06］：'；.'：：!•18.0195.771D

yI-；121995190

(3)

666?1643

则2?，2=》?'一力）2=3/643,y（x-X）2=24642.8,g=1一二-=0.9999，即解释变量

MM24642.8

天数对预报变量细菌的繁殖个数解释了99.99%.

（三）独立性检验

K例》在调查的480名男人中有38名患有色盲,520名女人中有6名患有色盲,分别利用图形和独立性

检验的方法来判断色盲与性别是否有关?你所得到的结论在什.么范围内有效？

思路解析：（1）先由已知作出调查数据的列联表；

（2）再根据列联表画出二维条形图,并进行分析；

（3）利用独立性检验作出判断.

解答:根据题目所给的数据作出如下的联表:

色盲不色盲合计

男38112180

女I-;511520

合计9561000

根据列联表作出,相应的二维条形图，如图所示.

从二维条形图来看，在男人中患色盲的比例生，要比在女人中患色盲的比例且要大，其差值为

480520

|卫-上一花0.068,差值较大,因而我们可以认为“性别与患色盲是有关的”，根据列联表中所给的数据

480520

可以有a=38,b=442,c=6,1=514,a+b=480,c+d=520,a+c=44,〃+d=956,〃=1000,

1000x(38x514-6x442)^

代入公式K2=-------〃""一姐-------得K-