2023-2024学年湖北省孝感第一高级中学高一（上）摸底数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖北省孝感第一高级中学高一（上）摸底数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.设全集U={123,4},且4={x\x2-5x+m=0,xEU）,若C"={2,3},则m的值等于（）

A.4B.6C.4或6D.不存在

2.若n满足（n-2022）2+（2023-n）2=1,则（2022-n）（n-2023）等于（）

A.-1B.0C.1D.2

3•若卜»2,则小的值为（）

A.|B.-|C.-iD.l

4如果好一2%i=2,xl-2X2=2,且那么％1%2等于（）

A.2B.—2C.1D.—1

5.已知p：x+y>3,q：x>iKy>2,贝ijq是「的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知菱形ABCD的边长为5,两条对角线交于。点，且。力、OB的长分别是关于x的方程/+（2m—l）久+

m2+3=0的根，则m等于（）

A.-3B.5C.5或-3D.-5或3

7.若t是一元二次方程a/+版+c=0（a片0）的根，则判别式4=b2-4ac和完全平方式M=（2at+b）2的

关系是（）

A.4=MB.△>MC.△<MD.大小关系不能确定

8.若实数aKb,且a,b满足a?-8a+5=0,b2-86+5=0,则代数式丝1f的值为（）

a-1D-l

A.-20B.2C.2或一20D.2或20

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列选项正确的有（）

A.比较接近1的整数的全体能构成一个集合

B.由实数X,一X,|%|,「正，-泞所组成的集合，其元素的个数最多为2

C.设x,y&R,A={（x,y）|y=x],B={（x,y）]?=1},则4=B

D.若集合M={x|x=2+CZ},集合N={x|x=3+：,k6Z},则MUN

10.已知集合4B均为R的子集，若4nB=0,贝IJ（）

A.41CRBB.QRAQB

C.AB=RD.3)u(CRB)=R

11.下列选项正确的有()

A.已知产-2x+1=0,则代数式(x-I)2+x(x-4)+(x-2)(x+2)=0

B.己知/-3x+1=0,则％3+妥-3=15

C.若Q=^-x+20,b=yrX+19,C=^7%+21,则Q2+匕2+—Qb一be—QC=3

D.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2/一8%+7=。的两个根,则这个直角三角形的斜边长

是9

12.下列选项正确的有()

A.己知全集U=(x\x2-3%+2=0},A=(x\x2-px+2=0},CyA=0,则实数p的值为3.

B.若{a,，1]={a2,a+b,0},则。2。23+^2023=1或-1

C.已知集合4={制。/+%+2=O,QwR}中元素至多只有1个，则实数a的范围是a

o

D.若4={x|—2<x<5},B={x\m+1<%<2m—1],且BQA,则m<3.

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知集合A={y\y=x2—2x—3,x6/?},B={y\y=-x2+2x+13,xG/?},那么/C\B=.

14.用一长度为2米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为.

15.已知实数a,b,c满足a=6-b,c2=ab-9,则。=,b—.

16.设％=等，y=空，贝仕3+y3=____.

2-\TiJ2+GJ

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

设4={%|尤2+4x=o},B={x\x2+2(a+l)x+a2-1=0},其中x€R,如果4nB=B,求实数a的取

值范围.

18.(本小题12.0分)

把下列各式分解因式：

(l)8x2+26xy-15y2；

(2)x6-y6-2x3+l；

(3)a3+a2c+h2c-abc+h3；

(4)x3-llx2+31%—21.

19.(本小题12.0分)

某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，物理179人，化学165人；参加两

科的：数学、物理143人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科都参加的有89人.求参加竞赛的学生总

人数.

20.(本小题12.0分)

已知集合4={x|ax2+2x+1=0,xG/?}.

(1)若4恰有一个子集，求a的取值范围；

(2)若4恰有一个元素，求a的取值集合.

21.(本小题12.0分)

已知p：/<1，q：/-3ax+2a2W0(其中a为常数，且a>0).

(1)若p为真，求x的取值范围；

(2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围.

22.(本小题12.0分)

(1)求二次函数y=2x2-3x+5在一2<%<2上的最大值和最小值，并求对应的x的值.

(2)已知函数y=x2+2ax+1在-1<x<2上的最大值为4,求a的值.

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：由全集U=口,2,3,4},QA={2,3},得4={1,4},

p=52-4?n>0

即1,4是方程/-5x+m=0的两个根，于是,1+4=5，解得m=4,

1x4=m

所以m的值等于4.

故选：A.

根据给定条件，求出集合4再借助韦达定理求解作答.

本题主要考查补集及其运算，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：依题意，(n-2022)2+(2023-n)2=[(2023-n)+(n-2022)]2-2(2023-n)(n-2022)

=1-2(2023-n)(n-2022)=1

所以(2022_zi)(n—2023)=0.

故选：B.

利用给定等式变形计算作答.

本题主要考查了完全平方公式的应用，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解："=2,y-x=2xy,即x-y=-2xy,

xy

.x+xy-y_(x—y)+xy_-2xy+xy_1

・•x-xy—y(x—y)-xy-2xy-xy3'

故选：D.

化简得光—y=-2xy,再整体代换即可.

本题主要考查算式的化简，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：由*-2x1=2,X2-2X2=2,且与*x2>得%i，不是方程/-2x-2=。的两个不等实根，

而方程/-2x-2=0中，4=(一2)2-4x1x(-2)>0,

所以=-2.

故选：B.

根据给定条件，利用韦达定理列式计算作答.

本题主要考查韦达定理的应用，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：当x=2,丫=3满足工+、>3但不满足刀>1且了>2,即命题p成立推不出命题q成立；

若%>1且y>2成立，则x+y>3成立，即命题q成立能推出命题p成立

所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件

故选：A.

通过举反例说明p推不出q；进而得到q能推出p；利用各个条件的定义，判断出结论.

本题考查要说明一个命题是假命题，常采用举反例的方法、考查原命题与其逆否命题真假一致、考查如何

判定一个命题是另一个命题的什么条件.

6.【答案】4

【解析】解：由直角三角形的三边关系可得：4。2+B02=25,又有根与系数的关系可得:AO+BO=-2m+

1,AO-BO=m2+3,：-A02+BO2=(AO+BO)2-2A0-BO=(-2m+l)2-2(m2+3)=25,整理得：

m2—2m-15=0,解得：m=-3或5.

又,:4>0.(2m—l)2—4(m2+3)>0,解得m■-m=—3>

故选：A.

由题意可知：菱形4BCD的边长是5,贝〃。2+BO2=25,则再根据根与系数的关系可得：AO+BO=-2m+

2

1,AOBO=m+3;代入力。2+8。2中，得到关于m的方程后，求得m的值.

将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.

7.【答案】A

【解析】解：t是一元二次方程ax?+bx+c=0(a丰0)的根

则有at?+bt+c=0

4a2t2+4abt+4ac=0

4a2t2+4abt=-4ac

4a2t2+b2+4abt=b2-4ac

(2at)2+4abt+b2=b2—4ac

(2at+b)2=b2—4ac=△

故选：A.

根据t是一元二次方程的根，把t代入原方程得到at2+bt+c=0进行整理，两边同乘以4a,再移项，两边

同加上炉，就得到了(2at+b)2=力2-4ac.

本题是一元二次方程的根与根的判别式的结合试题，既利用了方程的根的定义，也利用了完全平方公式，

有一定的难度，本题是一个中档题目.

8.【答案】A

【解析】解：由已知条件可知，a、b为方程一-8》+5=0的两根，此时△>(),

a+b=8,ab=5,

/?—1<i—1a2+/j2_2(a+b)+2(a+b)?—2ab—2(a+b)+2

a-1+b-1cib-(a+b)+1ab-(a+b)+1

故选A

根据a#b,知a、b满足条件a2-8a+5=0,b2-8b+5=0,可把a,b看成/-8x+5=0的两个根,

根据根与系数的关系即可解答求出结果.

本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把a,b看成方程的两个根再求解，把要求的结果整理成

含有两根和与积的形式.

9.【答案】BD

【解析】解：对4比较接近没有一个标准，故不符合集合确定性的性质，故A错误；

对B,因为。溟=|制，-际=-X,所以当％=0时・，这几个数均为0,

当x>0时，它们分别是x,-x,x,x,-x,

当％<0时，它们分别是％,-x,-x,-x,-x,均最多表示两个不同的数，

故所组成的集合中的元素最多为2个，故8正确；

对C,集合4中包含(0,0),而集合8中不含(0,0),故C错误；

对D，对于集合M；%=2+；=等•，/C6Z,

对于集合N：x=J+；=室,k€Z,

424

因为2/c+l是奇数集，k+2是整数集，所以MUN,故。正确.

故选：BD.

根据集合的性质和定义以及集合间的关系一一分析即可.

本题考查集合的性质和定义，考查集合间的关系，属基础题.

10.【答案】AD

【解析】解：根据条件画出Venn图如下:

则：AUCRB,B£CRA,(CR4)U(CRB)=R.

故选：AD.

根据题意画出Uerm图，然后根据子集的定义，并集和补集的运算即可判断每个选项的正误.

本题考查了借用Venn图解决集合问题的方法，并集和补集的运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基

础题.

11.【答案】BC

【解析】解：对于4，由/—2x+1=0,得x=1,则(％—I)2+x(x—4)+(x—2)(%+2)=—6,A错误；

对于B,由兀2—3x+l=0,得X+工=3,

X

则/+点-3=(x+：)3_3(%+：)-3=33_3x3—3=15,B正确；

对于C,依题意，a—b=l,b-c=—2,c—a=1,则卢+炉+一一人。一

=1[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]=i(1+22+1)=3,C正确；

m+n=4

7,

{mn=

所以该直角三角形斜边长为V巾2+九2—J(6十九)2—2mn—V42—7=3,。错误.

故选：BC.

求出X值并代入计算判断4求出x+L变形计算判断8；求出a—b,b-c,c-a,变形代入计算判断C；

X

利用韦达定理计算判断D.

本题考查函数零点与方程根的关系，属中档题.

12.【答案】AD

【解析】解：对于4全集U={1,2},由Q4=0,得4=U,所以4={1,2},

则1,2是方程/—px+2=0的两实根，由韦达定理有p=1+2=3,4正确；

对于B,由{a,，,l}={a2,a+b,0},由集合中元素的互异性和分母不为。得a丁0,a。1,，=0,

因此a2=l,解得a=-l,b=0,则。2。23+匕2023=_1,B错误;

对于C,依题意，当Q=0时，由％+2=0,得％=-2,此时集合A中只有一个元素；

当QH0时，集合4中最多只有一个元素，即一元二次方程a/+%+2=0最多一个实根，

于是4=1—8aS0,解得a2所以实数a的范围是a=0或a2J,C错误；

对于n,因为BU4,所以当B=0时，m+1>2m-1,解得m<2；

m+1<2m—1

当B*0时，m+1>-2解得2<m<3.

,2m—1<5

综上，m<3,。正确.

故选：AD.

求出集合4再求出p的值即可判断4由集合相等求出a,b判断8；利用已知分类讨论求解判断C；利用集

合的包含关系分类讨论求解判断。

此题考查元素与集合的关系，补集及运算，集合与集合的关系，考查了分类讨论思想.

13.【答案】(一8,-4)U(14,+8)

【解析】解：由4中y=/-2x—3=/-2尤+1-4=(x—1)2-4之一4,即4=[-4,+8)；

由B中y=-x2+2x+13=—(x—I)2+14<14,即B=(—co,14],

AQB=[-4,14],

故答案为：[—4,14],

求出4与B中y的范围确定出A与B,找出两集合交集，即可求解.

本题主要考查交集的运算，属于基础题.

14.【答案】:米?

4

【解析】解：设围成的长方形一边的长为X米，则该长方形中与该边相邻的一边长为(1-X)米，

因此该长方形面积S=X(1-X)=-(X-g)2+[,当x=g时，Smax=

所以所围成的最大面积为[米2.

故答案为：[米

设出围成的长方形一边的长，列出所围面积的函数关系，求出最大值作答.

本题主要考查了利用基本不等式求解实际问题的最值，解题关键是把实际问题转化为数学问题进行求解.

15.【答案】33

【解析】解：a=6-b,

2=b(6-b)-9=一川+6b-9=-(b-3)2,

即c2+(b—3)2=0,因为c220,(fo-3)2>0,

<：3=01解得「驾'则。=6-=3.

故答案为：3；3.

代入化简得c2+8—3)2=0,解出b,c,再代入得a值.

本题考查二次函数的性质和应用，属于基础题.

16.【答案】2702

2+<32-73

【解析】解：X=y_2+r

则％3+必=(然)3+(兴)3

2+02-02+42-^3,2+<32-0

=(----7=+----F=)K----7=+----7=)-3x-----x-----]

2-<32+E2+C2-<32+<3

=14[142-3]

=14x193

=2702.

故答案为：2702.

直接代入已知条件化简求解即可.

本题考查函数值的求法，分解因式的应用，考查计算能力.

17.【答案】解：A—{x\x2+4x=0}={0,—4},

•••4nB=B知，8U4,

B={0}或B={-4}或B={0,—4}或B=0,

若8={0}时，/+2(。+1汝+£12-1=0有两个相等的根0,则[[+]=丁921)，=

若8={—4}时，/+2(£1+1汝+£12-1=0有两个相等的根一4,则=一229/1)，工。无解，

I』7(-4x(-4)=az-1

若B={0,一4}时,/+2(a+l)x+a2-l=0有两个不相等的根0和一4,则{二:：；[a^-1,"a=1,

当B=。时，x2+2(a+l)x+a2-1=0无实数根，△=[2(a+l)]2-4(a2-1)=8a+8<0,得a<—1,

综上：a=1,a<-1.

【解析】先由题设条件求出集合4再由4nB=B,导出集合B的可能结果，然后结合根的判别式确定实数

a的取值范围.

本题考查集合的包含关系的判断和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理应用.

18.【答案】解：(l)8x2+26xy-15y2=(2x-y)(4x+15y).

(2)x6-y6-2x3+l=(x3-l)2-(y3)2=(%3-y3-l)(x3+y3-1).

(3)a3+a2c+b2c-abc+£>3=(a3+b3)+c(a2-ab+b2)

=(a+h)(a2-ab+b2)+c(a2-ab+b2)=(a+b+c)(a2—ab+b2).

(4)x3-llx2+31%-21=(x3-1)-(llx2-31x+20)=(%-l)(x2+x+1)-(%-l)(llx-20)

=(x-l)(x2-lOx+21)=(x—l)(x—3)(x—7).

【解析】(1)(2)(3)(4)借助十字相乘法、公式法、分组分解法逐个分解各个因式作答.

本题考查因式分解定理的应用，是基础题.

19.【答案】解：依题意，用4B,C分别表示参加数学竞赛、物理竞赛、化学竞赛的学生形成的集合,

则card(4)=203,card(S)=179,card(C)=165,

card(4AB)=143,card(BAC)=97,card(Cf]A)=116,card(AnBC]Q=89,

因此card(4UBUC)=card(A)+card(B)+card(C)—card(AC\B)—card(BC\C')—card(CC\A)+

card(AnBnC)=203+179+165-143-97-116+89=280,

所以参加竞赛的学生总人数为280.

【解析】根据给定条件，利用容斥原理列式计算作答.

本题考查了容斥问题的灵活运用，关键是明确它们之间的包含关系，是基础题.

20.【答案】解：(1)集合4恰有一个子集，则集合4是空集，即方程a/+2x+l=0无实根，

于是a40,且A=4—4a<0,解得a>l,

所以a的取值范围是(1,+8)；

(2)集合A