2023-2024学年山东省烟台市高一年级下册期中数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年山东省烟台市高一下册期中数学模拟试题

一、单选题

1.若z(l+i)=l-5i,贝()

A.-2-3iB.-2+3iC.3-3iD.3+3i

【正确答案】B

【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算求出复数z,再求出三作答.

l-5i(l-5i)(l-i)_-4-6i

【详解】依题意,Z=------■=-2-31,

l+i(l+i)(l-i)2

所以三=-2+3i.

故选：B

已知向量£、的夹角为。，同

2.t150=1,问=5则()

A.y/5B.不C.MD.V19

【正确答案】B

【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得归+24的值.

【详解】因为向量2、B的夹角为150°,忖=1,|@=0,

故选：B.

已知2

3.cos[a+EJ=0＜。＜兀，则sina的值为（）

7

A,史5G13

B.cD.

14~\4~-1714

【正确答案】C

【分析1根据同角三角函数的基本关系求出sin[a+£],再根据sina=sina+2兰兀利

6

用两角差的正弦公式计算可得.

【详解】因为cos|a+F|=11„.71Tt771

—,且0<a<7t,则一<a+一<—,

7666

n4V|

所以sinaa+—

6

7171

所以sina=sina+—=sinfa-F-

666

4yliA/31111

=--------X--------------X—=-----

727214

故选：C

4.故宫是世界上规模最大,保存最为完整的木质结构古建筑群，故宫“乾清宫”宫殿房檐的

设计在夏至前后几天屋檐遮阴，在冬至前后几天正午太阳光就会通过地砖反射到“正大光明”

匾上，惊艳绝伦.已知北京地区夏至前后正午太阳高度角为73。，冬至前后正午太阳高度角

)

A.-----------B.

2sin46°asin53°

-tan73°-tan27°asin27。sin73。

C.---------------------D.

tztan53°tan27°sin46°

【正确答案】D

【分析】利用三角形的边角关系及正弦定理解决本题即可.

【详解】设点Z在地面的射影为。，由已知得/力BQ=73。，NACB=27。，

则44c=73-27"=46°;

aAB'得3需

在三角形/8C中，由正弦定理

sin46°sin27°

在直角三角形ABD中，AD=ABsin730=--------------.

sin46°

故选：D

5.在』6C中，点。为8C中点，E为4D中点，记瓦=£,CE=b^则方=（）

3-3-1-1rr

A.—a+bB.—a-bC.—a+hD.-a-b

2222

【正确答案】A

【分析】根据平面向量的基本定理，利用基向量£,九结合向量的运算进行求解.

【详解】因为点。为8c中点，所以而=西；因为E为4。中点，所以而=g而；

所以方=而+丽=而+而=AD+CE+ED

______I___3_____,3

=AD+CE+-AD=-AD+CE=-a+b.

222

故选：A.

6.设。=(1一/1@1120)5山8。，b=sin400sin1100-sin200sin130°»c=?，an15_,则()

'7l-tan2150

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b

【正确答案】C

【分析】利用三角恒等变换化简4、6、%利用正切函数的单调性以及同角三角函数的基

本关系可得出〃、b、c的大小关系.

（cos200-73sin20）sin（90-10"）

【详解】a=（l-V3ten20jsin80a

cos20°

（V3sin20"-cos20°）cos1002sin（200-30°）cos10°2sin10。cos10°

cos20°cos20°cos20°

_sin20°

=tan20",

cos200

b=sin40sin1100-sin20Jsin130°=sin40sinp（T+20°卜sin20°sin（90+40）

=sin40°cos200-sin200cos40°=sin000-20°）=sin20°,

2tanl5°

tan30,

l-tan215°-

因为0<cos20°<1,则tan30°>tan200=型”->sin20。，即c>a〉6.

cos20"

故选：C.

7.设函数/(x)=kinx|+|cosx|,g(x)=sin(2x+5)-2sinx,若存在项,％e[0,兀],使得

/(xl)+g(x2)=/n,则实数”的取值范围为()

A.B.[-2,V^]C.[-2,1+V^]D.[-1,2]

【正确答案】C

【分析】求出函数/(x),g(x)在[0,兀]上的值域，再根据已知求出机的范围作答.

【详解】xe[0,兀],/(x)=J(|sinx|+|cosxy-y]1+|sin2x|>显然2xe[0,2兀],

当xe｛O,5,7t｝时，|sin2x|mm=0，当xe｛：,｝时，|sin2x|耐=0,因此14/(x)46

[fn0<sinx<1,则当sinx=0,B|Jxe{0,K}时，g(x)mx-1,当sinx=l,即丫='|•时，g(x)min=-3,

即-3<g(x)<1,

依题意，/而=-3+1=-2,加max=1+在，

所以实数”的取值范围为是[-2,1+6].

故选：C

8.在锐角“8C中，角48,C所对的边分别为。c.若2ccos8=a-c,则皿1二9的

sinB

取值范围为()

A.(1,6)B.(0,1)C.(0,V2)D.(72,73)

【正确答案】B

【分析】由2c,cosBua-c,根据正弦定理边化角，再消去C,可得sin(C-8)=sin(-C),

利用三角形/8C是锐角三角形，可得5=2C,进而求出对呼("三°)化简,可

164Jsin5

求出结果.

【详解】因为2CCOS8=Q—C,由正弦定理可知，2sinCeosB-sinA+sinC=0,

又/+3+。=兀，所以sin4=sin(5+C)

所以2sinCcosB-sin(3+C)+sinC=0,

所以sinCcosB-sinBcosC+sinC=0

即sin(C-S)=sin(-C),

又“8C是锐角，则8,Ce(0eJ,

则C-Be,_Ce[_5,O),所以C_8=-C,即8=2C,

5=2CelO,-|

所以。€(04，解得八

4=n-(8+C)e

所以sin(J-C)_sin(4-C)_sin(^-4C)_sin4C_2sin2Ccos2C_

sinBsin2Csin2Csin2Csin2C

C£1.2。£(§,5),贝！jcos2C£(0,5),则2cos2Cw(0,1),

故选：B.

二、多选题

9.已知复数2=5由巴+icos巴，则()

66

A.z的虚部为且i

B.三在复平面内对应的点在第四象限

2

C.z+z=\z\D.z是关于x的方程x2-x+l=0的一个根

【正确答案】BCD

【分析】把复数化成z='+"i,利用复数的意义判断A；求出I、|z|判断BC：利用复数

22

的四则运算计算判断D作答.

【详解】依题意，复数z=L+@i,复数z的虚部为正，A错误；

222

-李i在复平面内对应的点(，,_*)在第四象限，B正确；

|z|=J(g)2+(管y=lz+z=(g+9i)+(g-乎i)=l，则z+z=|z],c正确；

即z是关于x的方程x2-x+l=0的一个根，D正确.

故选：BCD

10.已知向量a=（l,2）,6=（3,-1）,c=（2,/n）,则下列说法正确的是（）

A.若附=1,则£与工夹角的余弦值为（B.若R+郎不，则机

C.若机>-1,则々与"的夹角为锐角D.向量£在让的投影向量是岛-2）

【正确答案】ABD

【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A选项；由平面向量共线的坐标表示可判

断B选项：分析可知且£与）不共线，求出”的取值范围，可判断C选项；利用投

影向量的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，当，〃=1时，）=（2,1）1，A对;

对于B选项，因为Q=（1,2）,6=（3,-1）,c=（2,/n）,则a+、=（4,l）,

若（a+B）〃c,贝!）4加=2,解得加=5,B对;

对于C选项，若Q与c夹角为锐角，则〃,c=2+2〃?>0，解得机>-1,

且Z与工不共线，所以，掰工4,

所以，当加>-1且〃7工4时，£与"的夹角为锐角，C错；

对于D选项，向量々在B上的投影向量14cos||=同・亩?=谛■石=声

二岛-黑。对.

故选：ABD.

■JT

11.函数/（x）=Zsin（ox+9）（N>0,@>0,|0K5）的部分图象如图所示，则（）

A.函数“X）在区间（哈台上单调递增

B.（4,0）是函数/（x）的一个对称中心

C.函数/（x）在区间《中上的最大值2

D.若/（占）=/（々），则|七一七1=兀

【正确答案】AC

【分析】根据给定的函数图象，求出函数/（X）的解析式，再逐项分析、计算判断作答.

【详解】观察图象知，力=JL〃0）=2sin0=6，即sing=#，而解得夕=。，

f（~）=2sin（^6）+-^）=—73,sin（—69+—）=-^~,因为点（0,6）与（1，-0）在函数图象

2232322

上相邻，

因止匕弓“+$-5=兀，解得0=2,于是/（x）=2sin（2x+g）,

对于A,当立时，0<2x+工（工，而正弦函数，=sinx在（0,巴）上单调递增，

612322

所以函数/（X）在区间（J,力上单调递增，A正确；

612

对于B,当了=-；时，/（-$=2疝（-$=-0二0,（-h0）不是函数,/'（"的一个对称中心，

B正确；

对于C,当工€[-2与时，2x+《w[W，当，当2x+J=J,即x==时，/（X）取得最大值

443663212

2,C正确；

对于D,取士=0,%=5，有/（再）=石,/（匕）=$出§=百，此时有/（须）=/（£）,而

63

\x\~xi\=~7D错误.

6

故选：AC

R+r

12.在AASC中，角力,8,。所对的边分别为4也c,asin8=bsin-----,a=3,O为QBC

2

外接圆圆心，则下列结论正确的有（）

A.A=^B."J8C外接圆面积为12兀

C.BOBC=^-D.SM1c的最大值为也

24

【正确答案】ACD

【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合诱导公式及二倍角正弦求出角4再利

用正余弦定理、三角形面积公式、数量积运算计算判断各选项作答.

【详解】在448C中，由正弦定理及asin8=6sin史£得：sinsin5=sin5sin-—,

22

WsinS>0,则有sin/=cosH,HP2sin—cos—=cos—,X0<—<—,cos—>0,

2222222

则sinq=g,所以4=3,即/=弓，A正确；

22263

R=L_=1_=73

由正弦定理得外接圆半径2sin/2.兀，该圆面积兀外=3兀，B错误;

sm—

3

----------—►19

如图，BOBC=|BO\\BC\cos^OBC=-aa=-fC正确；

由余弦定理得：9=a2=b2+c2-2bccos->2bc-bc=bc,当且仅当6=c=3时取等号,

3

因此SABC='besin—=-^-bc<.,D正确.

aABC234乡4"

故选：ACD

三、填空题

13.已知sina+cosa=2,—<a<—,则sin（2a-：］的值为.

542<4；---------

【正确答案】遒

50

【分析】根据给定条件，求出sin2a,cos2a,再利用差角的正弦求解作答.

74924

【详解】因为sina+cosa=—，两边平方得：1+2sinacosa=—,解得sin2a=—,

52525

又巴<a<巴，即4<2a<兀，则cos2a=-Vl-sin22a

422

所以sin(2a-3=sin2acos色一cos2asin-=^―(——台、也

44425225250

故呼

14.写出一个同时满足以下三个性质的函数：/（》）=.（写出一个符合条件的即可）

①对于任意xeR,都有/(x+；)=/(x-§；②/(x)的图象关于直线x.对称；③/(x)

的值域为[0,2].

【正确答案】sin(2x+；)+l(答案不唯一)

4

【分析】由性质①可得/(X)的周期为兀，再由性质②③写出满足3个性质的一个函数即可.

7T37r

【详解】任意xeR,/(x+：)=/(x-二)o/a+7C)=/(x),即函数/(x)是周期为兀的周

44

期函数，

则由性质①，可令"X)=Asin(2x+s)+6,/>0,S,

由性质②知，2x?+。=E+Z,而则左=0,*=:，

8224

[A-\-b=2兀

由性质③知，S.,,解得4=1,%=1,于是/(x)=sin(2x+：)+I,

\-A+b=O4

JT

所以同时满足给定三个性质的函数可以为f(x)=sin(2x+-)+1.

4

故sin(2x+3+1

4

15.在“8C中，f^|=2,|存『一0|方||元|+4=|祝]，O是边上一点，且满足

CDCB=CDCA'则丽.丽的值为.

【正确答案】2

【分析】由丽・瓦=丽.声可得C。为边上的高，利用边长关系可求|无『=2,再利用

向量关系转化后可求而•无的值.

【详解】

^^CDCB^CDCA>故丽•（无-西=0即丽.而=0,

故CD为边上的高，故而•丽=丽•(丽+丽)=函1

又同：夜同画+4=|园2可化为

（国+|固），2夜（画+国）+4=阿1+国2,而国2="阿卜

所以（画+画『一2码回+|网）+4=|囹2+4_|网2,

整理得到：阿卜（|回+|阿卜应（|回+］明）=0,故师卜亚，

故|同=2即3.而=2,

故2.

四、双空题

16.赵爽是我国汉代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》作注解时，给出了“赵

爽弦图”：四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大的正方形.如图所示，正方

形ABCD的边长为岳,正方形EFGH边长为1,则赤.就的值为;

tanZ.EAB=

【正确答案】6-

【分析】根据给定的“赵爽弦图”，利用勾股定理求出4F/G的值，再利用向量数量积的定

义求出京•就，利用和角的正切求出tanNE/8作答.

【详解】依题意，Rt"5G,RtA8CH,RtA8E,RtAD4尸全等,

在Rtz\/8G中，AB=V13,AG=AF+1,BG=AF,由/G?+8G2=/"得:

(JF+1)2+JF2=13,UPAF2+AF-6=Q,又4F>Q,解得/斤=2,

^■^^AE^AG\cosAEAF^AF\(\AF\4)=2x3=6；

EF1…BG2

tanNEAF==-,tanNBAG==一,

AF2AG3

12

tanNEAF+tanZBAG-+—7_

所以tanZ.EAB=taMNE4F+NBAG)=2

\-tanZEAF-tanZBAG124

1-—x—

23

故6；:

五、解答题

17.（1）已知复数2=求tan的值;

（2）已知同=W=l,求）+刃与3£-2石夹角的大小.

【正确答案】（1）-3（2）=

4

【分析】（1）根据纯虚数的定义，求得sin©与cos。，从而求出tan。，由两角和的正切公式

即可求出tan（；-，）的值；

（2）根据向量的模的公式和两个向量的夹角公式，即可求出.

cos0-—Lfsin0-

【详解】（1）因为复数2=i是纯虚数,

5

cosA0--后--=0“

5

所以BPcos0=且sin。w,

9R55

sin<9--—^0

5

所以sin0=±J1-cos*=±'一(=±2f，又因为sinSwZ^,

_275

所以sin0=-迪，贝廿211。=吗=—/j-=-2,

5cos0V5

T

兀

tan——tan。

所以tanC-6)=-------1-(-2)=3

4i兀八1+lx(-2)-

1+tantan”

4

(2)因为|£++氐所以|Z+邛=5,即7+片+271=5,

所以（0）2+俨+2］刃=5,整理得£不=1，

所以(a+杨,(3a-2杨=3"+〃％-24=3x(应y+l-2xl:=5,

|3a-261=yl(3a-2b)2=盾-地屋小片=79x(V2)2-12xl+4xl2=M,

---cE{a+b)-(?>a-2b)5Jy

设£+区与3Z-2B夹角为a,cosa=cosa+6,3a-2b=一=>与

\a+h\\3a-2b\后乂如2

jrTT

因为。£[0,兀],所以。=:，故Z+B与3£-2坂夹角为二.

44

18.已知向量£=0,-石)，向量3与£的夹角为:兀，且W=2.

(1)求向量B的坐标；

⑵设向量c=(sinx,cosx),(xeR),向量加=卜后1),若5.蔡=0，求区+4的最大值并求

出此时x的取值集合.

【正确答案】(1)(-2,0)或(1,班)；

(2)3,{x\x=2kn+—.kGZ}.

6

【分析】(1)设出向量坂的坐标，利用向量数量积和向量的模建立方程组并求解作答.

(2)由(1)的结论结合沅而=o确定向量石，再求出忸+4并借助辅助角公式及正弦函数性

质求解任何.

【详解】(1)设否=(x,y),依题意，|£|=丁+(_两2=2,a-^=|a||^|cos-y-=-2,而

a'h=x-y/3y，

1x-y/3y=-2，解得kfx=一：X=1

因此或<

[x2+y2=4y=yfi

所以向量B的坐标是(-2,0)或(1,G).

(2)向量浣=卜百』)，且限企=0，当书=(一2,0)时，力前=26/0,不符合题意，舍去,

当1=(1,0)时,B橘=1x(-/)+6xi=o,符合题意，即5=(1,百)，则

ft+c=(1+sinx,>/3+cosx),

2

|ft+c|=7(1+sinx)+(^3+cos=J+2sinx4233sx=+4sin(x+y),

TTITIT——

因为xeR,则当X+；=2E+7，AwZ,即X=2E+：,%EZ时，(\b+c|)^=3,

326

所以际4的最大值是3,此时x的取值集合是{X|X=2E+NCZ}.

19.在“8C中，角48,C所对的边分别为a,b,c,且(2a-6)cosC=ccos8.

(1)求角C的大小；

(2)若邑.=26，c=2百，求”8C的周长.

【正确答案】(i)m；

(2)6+2小.

【分析】(1)利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可化简求得cosC,由此可得C.

(2)由三角形面积公式可求得用，利用余弦定理可构造方程求得由此可得三角形

周长.

【详解】(1)在“8c中，由正弦定理及(2a-6)cosC=ccos8得：

2sin^cosC-cosCsinB=sinCeosB,

整理得：2sinAcosC=sinCcosB+cosCsinB=sin(C+8)=sin(兀一4)=sin/，

而sin4>0,则cosC=',又0<C<兀，

2

TT

所以C=1.

(2)由(1)知。=E，依题意，5ARC=—aftsinC=ab=2^3，解得ab=8,

3&ABC24

22222

由余弦定理得：c=a+b-2abcosC=(a+b)-3ah=(a+h)-24=12,解得：a+h=6t

所以^ABC的周长£=〃+6+c=6+2-\/3.

20.观察以下各式：

VJtan60-tan60tan30-6tan30=1;

A/3tan50-tan50tan20-囱an20。=1;

tan45—tan45tan15°—^~tanl5=1.

分析以上各式的共同特点，写出一个能反映一般规律的等式，并证明该等式.

【正确答案】见解析

【分析】利用两角和与差的正切公式即可证明.

【详解】V3tanof-tanoftan/?-A^~tan/?=1,其中。一6二30°,

证明…(a-小器需量tad

则tana-tanJ3=——(1+tanatan功,

则左边二G(tana—tanP)-tanatan/3

=下＞x14-tanatan-tanatan1=1=右边.

故等式成立.

21.绿水青山就是金山银山.近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业

7TIT

蓬勃发展.某景区有一直角三角形区域，如图，8c=lkm,43“ZABC="现准

■JT

备在中间区域打造儿童乐园△BMN,M,N都在边力。(不含4C)上且=设

6

乙NBC=a.

⑵求面积的最小值和此时角a值.

【正确答案】⑴喑；

⑵3

4

【分析】(1)利用给定的条件，利用同角公式、诱导公式及和角的余弦公式计算作答.

(2)利用正弦定理用a的正余弦表示8",8N,再利用三角形面积公式列式，借助三角恒

等变换及正弦函数的性质求解作答.

【详解】(1)依题意，sinZABM=—,则cos/48A/-sin?NABM=一,而

1313

7TTT

/ABC=—/MBN=—,

26

sina=sin(y-Z.ABM-/MBN)=cos(ZABM+.

7C7t12

=cosZ-ABMcos----sinZABMsin—忠/J以三

6675213226

BNBC

(2)在AHNC中，由正弦定理得,^ZACB=-,ZBNC=--a,

sinZ.ACBsinZBNC33

BCsin-,6

则8N=------------3---=--------------------------------------n

./2兀、3/.27c27r..、《5/3cosa+sina

sin(--a)2(sin三cosa-cos-^sina)

717r7C/-

在中，NABC=—，NBAC=-,AB=BCtanAACB=tan-=V3,

263

ABBM

在△48”中，由正弦定理得,,而

sin乙4MBsinABAC

ZAMB=ZMBN+ZNBC+ZACB=-+a,

2

^5sin—/T

BM=-——£=4

sin『a)2cosa

\兀3

S.BMN=-BNBM-sm-=-----------=

刖268cosa(Gcosa+sina)

8cosacosa+sina)=4sin2a+4/3(1+cos2a)=4(sin2a+7-3cos2a)+6

=8sin(2a+—)+4-7