2023-2024学年江苏省南京市高二年级上册期末数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年江苏省南京市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.设函数/（X）在定义域内可导，y=/（x）的图象如图所示，则导函数y=/'（x）的图象可

【正确答案】D

【分析】根据/（x）的图象可得/（x）的单调性，从而得到了'（x）在相应范围上的符号和极值

点，据此可判断/'（x）的图象.

【详解】由"X）的图象可知,r（x）在（-8,0）上为增函数,

且在（0,+8）上存在正数巩〃，使得/（X）在（0,〃?）,（〃,+8）上为增函数,

在（"?,〃）为减函数,

故/'（X）在（0,+8）有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，/'（X）有变化,

故排除A,B.

由/（X）在（-8,0）上为增函数可得/'（x）±o在（-力,0）上恒成立，故排除C.

故选：D.

本题考查导函数图象的识别，此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情

况，本题属于基础题.

2.函数/(x)=(3X-1)炉的单调递增区间()

A.(-00,1)2〃，2、D.(g,+8)

B.C.(-y,+0O)

【正确答案】C

【分析】求导，令/'(x)>0求解.

【详解】解：因为/(x)=(3x—l)e*,

所以八x)=(3x+2)e',

2

令/'(x)>0,解得

2

所以/(x)函数的单调递增区间是(-],+<»),

故选：C

3.如图，在正方体51GA中，赤=£，AD^b<AA1=c,若E为。。的中点,

)

1-1rI-

B.—a——b—c

332442

1-171-1-1T1-

C.—a——b+—cD.—a——D+—C

442233

【正确答案】B

【分析】利用空间向量的线性元素和空间向量的基本定理求解.

【详解】EF=DF-DE=-DB--DD.,

42

，(在-利」西上』上，

4、721442

故选：B

4.直线x+y=与圆/+必=/+勿-])2相交于点4,8,点o是坐标原点，若水苏是

正三角形，则实数。的值为

A.1B.-1C.vD.--

22

【正确答案】C

【详解】由题意得，直线被圆截得的弦长等于半径.圆的圆心坐标0(0,0),设圆半径为r,

圆心到直线的距离为d,则4=及4=泡.

2

由条件得2尸彳=r，整理得4/=3户.

所以6a2=3/+3(。，解得"选C.

5.己知函数/(x)="2_"inx-靖有两个零点，则实数。的取值范围为()

A.(0,jB.(O,e)C.D.(e,+8)

【正确答案】D

【分析】令/(x)=0,再参变分离得到〃=一一，再求导分析g(x)=——的单调

性，进而得到函数图象，数形结合即可得实数a的取值范围

【详解】函数/")="-奴111》-/有两个零点，即—xlnx)-d=0有两根，又

x2-xlnx=x(x-lnx)>0,故可转换为。=_----有两根，令g(x)=-^----，贝!]

x2-x\nxv'x2-x\nx

，/、-xlnx-2x+lnx+l)ex(x—1)(x—1-Inx)、

g(x)=-------------3------=—-------3-----，令人(x)=x—1-Inx,则

lx-xlnxI\x-x\nx]

=故力(X)在(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增，故〃("241)=0,当且

仅当x=l时等号成立，故在(0,1)上g'(x)<0,g(x)单调递减;在(1,+8)上g'(x)>0,g(x)

单调递增，所以gms(x)=g6=e,又当x->0+与xr时g(x)f+%故实数a的取值范

围为(e,+8)

故选：D

本题主要考查了利用导数解决函数的零点个数问题，需要根据题意参变分离，再求导分析单

调性与最值，属于难题

6.在平面直角坐标系xQy中，己知点若P是抛物线炉=2x上一动点，则P到少轴

的距离与P到点A的距离之和的最小值为)

V17+1A/17-I

A.7?B.—rD.

222

【正确答案】D

【分析】根据题意画出图形，利用抛物线定义与三角形三边关系即可求解.

【详解】依题意，可得出如下图形:

••・抛物线的方程为_/=2x,

,抛物线的焦点为尸《，。)，准线/方程为x=-1，

设点p在y轴上的射影为。点，延长p。交准线/于点5,连结尸尸，

则P。长即为点p到y轴的距离，可得|尸8|=|尸。|+；,

根据抛物线的定义，得|尸8|=|尸产1，

根据平面几何知识，可得归目+|尸”以//|,得

当且仅当尸、A、F三点共线时等号成立，

.・.当尸、A、尸三点共线时，|PQ|+|PN|的最小值为当二1,

即P到y轴的距离与P到点A的距离之和的最小值为姮二1.

2

故选：D.

7.已知定义在火上的函数〃x)满足：矿(x)+/(x)>0,且/(1)=2,则/.)>彳的解集

为()

A.(0,+oo)B.(ln2,+co)C.(L+8)D.(0.1)

【正确答案】A

【分析】令g（x）=M"（x）,利用导数可判断其单调性，从而可解不等式/©）＞£.

【详解】设g（x）=M\x）,则81力=矿（》）+/（工）＞。，

故g（x）为R上的增函数，

而f（e'）＞?可化为e*/（e，）＞2=lx/⑴即g（e[＞g⑴,

故e＞＞1即x＞0,所以不等式/©）＞/的解集为（0,+8）,

故选：A.

8.已知数列｛4｝是首项为1,公差为2的等差数列，数列也）满足关系：

?+,+?+…数列也｝的前〃项和为5〃，则S5的值为（）

ab2b3bn2

A.454B.450C.446D.442

【正确答案】A

【分析】由已知可得册=2"-1,进而根据已知可推出当〃22时，*=5.进而得出

b.2

ft„=（2n-l）-2",求出前5项，相加即可得出答案.

【详解】由题意可得4=1+257）=2〃-1

当“22时,色+”

4h2

①-②可得:

所以“=2%”=(2"-1>2".

又N=1时，?=「!，可得4=2,显然满足4=(2〃一1卜2”，

42

所以“=(2”-1)-2".

所以S5=4+62+4+4+4=2+3x22+5x23+7x24+9x25=454.

故选：A.

二、多选题

9.关于空间向量，以下说法正确的是()

A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

—■1—•1—.1—

B.若对空间中任意一点O,^OP=-OA+-OB+-OC,则P,A,B,C四点共面

632

C.已知向量｛£,瓦可是空间的一个基底，若蓝=〃+c，则云｝也是空间的一个基底

D.若U<o，则,3)是钝角

【正确答案】ABC

umucu.uiuuuu

【分析】对于A,根据共线向量的概念理解判断；对于B：OP=xOA+yOB+zOCK

x+y+z=lo尸，A,B,C四点共面，分析判断；对于C：基底向量的定义,31｝是空间

的一个基底不共面，分析判断；对于D：根据数量积的定义可得cos«,可<0,结

合向量夹角的范围分析判断.

【详解】对于A,根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，

则这三个向量一定共面，所以A正确；

对于B,若对空间中任意一点。，有。尸=2。1+；。5+彳。。因为:+:+<=1,

根据空间向量的基本定理，可得尸，A,B,C四点一定共面，所以B正确：

对于C,由于«,瓦耳是空间的一个基底，则向量£,上工不共面

*/m=a+c则a,c,共面

二可得向量£五前不共面，所以｛m｝也是空间的一个基底，所以c正确：

对于D,若a%=WWcos«,g)<0,即cos(a[)<0,又卜，力e[0,兀],所以■，兀,

所以D不正确.

故选：ABC.

三、单选题

10.函数/。)=丁-3办+2(a€/?),下列对函数/(x)的性质描述正确的是()

A.函数/(x)的图象关于点(0,2)对称

B.若。40,则函数/(x)有极值点

C.若。>0,函数/(x)在区间(-8,-6)单调递减

D.若函数有且只有3个零点，则。的取值范围是(1,+8)

【正确答案】AD

【分析】利用函数的对称性即可判断选项A是否正确；对函数/(x)求导，分别就a"和〃>0

进行讨论，即可判断选项B、C是否正确；函数/(x)=x3-36+2(aeE)有三个不同的零点，

根据函数的单调性，可知函数"X)的极小值小于0,极大值大于0,列出不等式组，求出。

的取值范围，由此即可判断选项D是否正确.

【详解】对于选项A,因为/(x)=x3-3ax+2(qeR),所以/'(-x)=-x'+3ax+2(aeR),所

以/(x)+/(-x)=4,所以函数的图象关于点(0,2)对称，故选项A正确；

对于选项B,由/(x)=3x2-3a=3(x2-a),当“40时，/'(x)20,函数在定义域内

为增函数，此时函数/(x)没有极值点，故选项B错误；

对于选项C,当。>0时，由/'(x)=0,解得x=±〃\又时，r(x)>0,

所以函数/(x)在区间(-8,-筋)单调递增，故选项C错误；

对于选项D,由/'(x)=3/-%=3卜2­°),

当“W0时，r(A-)>0,函数/(x)在定义域内为增函数，故不存在三个零点，不符合题意；

当。>0时,由广(x)=o,解得x=±J.

又xe卜8,-正)时，/,(x)>0,xw［五，后)时,，/xe(后,+co)时，/'(x)>0,

二函数〃x)单调递增区间为(-8,-五)和(而+8),单调递减区间为卜&国,

二函数的极小值./■(〃")=-为后+2和极大值/卜五)=方而+2.

♦.•函数f(x)=xs-3ax+2(aeR)有三个不同的零点,

tz>0Q>0

.•."(q)>0,即在五+l>0,解得“>1,故选项D正确.

/(G)<0a4a-\>0

故选：AD.

方法点睛：(1)可导函数y=/(x)在点加处取得极值的充要条件是/(刈)=0,且在刈左侧与右

侧/(x)的符号不同.(2)若函数y=/(x)在区间(a,6)内有极值，那么y=/(x)在(a,6)内绝不是

单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.

四、多选题

11.在平面直角坐标系中，三点/(一1,0),8(1,0),C(0,7),动点、P满足PA=6PB,则

以下结论正确的是()

A.点尸的轨迹方程为(X—3)2+/=8B.△RJ8面积最大时，PA=2y/2

C.最大时，PA=2y/2D.尸到直线ZC距离最小值为孚

【正确答案】ACD

【分析】根据力=尤M可求得点尸轨迹方程为(x-31+_/=8,A正确；

根据直线AB过圆心可知点P到直线AB的距离最大值为2后，由此可确定面积最大时

43,±2也)，由此可确定B不正确；

当NP/8最大时，PZ为圆的切线，利用切线长的求法可知C错误；

求得NC方程后，利用圆上点到直线距离最值的求解方法可确定D正确.

【详解】解：对于A：设P(x,y),由PA=6PB得:PA2=2PB2>即

(X+[f+y2=2设_]丫+/],

化简可得：(x-3p+y2=8,即点P轨迹方程为(x-3p+y2=8,故A正确；

对于B：•••直线48过圆红-3)2+/=8的圆心，，点2到直线43的距离的最大值为圆

@-3)2+/=8的半径/，即为2亚，

•••|明=2,尸4B面积最大为:x2x2近=2式,此时网3,±2旬，

.•.|F=J（3+1）2+（2何=2«，故B不正确；

对于C：当/P48最大时，则尸/为圆（》-3丫+/=8的切线，

二|P/|=J（3+l）2-8=2五,故C正确：

对于D：直线/C的方程为7x-y+7=0,则圆心（3,0）到直线4C的距离为与驾=里巫,

V72+15

•・・点P到直线ZC距离最小值为小旦一2五=逑，D正确.

55

故选：ACD.

冗71

12.“已知函数/（工）=£-cosx,对于一5Q上的任意不，x?,若,则必有

/（再）>/伍）恒成立了在横线中填上下列选项中的某个条件，使得上述说法正确的可以是

（）

2

A.|xj>x2B.x｛+x2>0C.Xj>x[D.土>1

X2

【正确答案】CD

【分析】确定函数的奇偶性和单调性后再判断.

【详解】f（-X）=（-X）2-cos（-x）=X2-cosX=/（x）,/（X）是偶函数，

TT

在0,-上，y=》2是增函数，y=cosx是减函数，因此/（X）是增函数，

因此|再|>"|=/6）>/小），四个选项中只有CD能得出㈤>闻.

故选：CD.

五、填空题

13.已知数列｛““｝为等差数列，％=3.若数列缶：｝也为等差数列，则%=.

【正确答案】3

【分析】根据等差数列的通项公式与中项公式即可求解.

【详解】依题意，

由数列｛%｝为等差数列，设其公差为d,且4=3,

得4=3+d,%=3+2。，

又数列｛端｝也为等差数列，

则2嫉=4：+靖，即2(3+4)2=9+(3+2df,

解得=0

=3.

故3.

14.若函数/(x)=sinx+cosx在［0,可上单调递增，则实数。的取值范围为

【正确答案】(0,(

利用辅助角公式进行化简解析式，再借助正弦函数的单调递增区间进行求解即可.

【详解】由题意知，/(x)=sinx+cosx=6"sin'+,

所以一工+24乃<x+—<—+lk7r,kGz,

242

解得一旦+24万<x<—+2k7r,kGz,

44

令％=0可得，

44

所以一?£为函数“X)的一个单调递增区间，

因为函数/(X)在［0,。］上单调递增，所以0<aV?.

故(o,5

本题考查利用辅助角公式进行化简、利用正弦函数的单调区间求参数的取值范围；考查运算

求解能力和整体代换的思想；熟练掌握辅助角公式和正弦函数的单调区间是求解本题的关

键：属于中档题.

六、双空题

15.已知数列｛。〃｝的各项均为正数，其前n项和为S,，月.2szi=a“a“M,〃wN*,则为=

若％=2,则.

【正确答案】4220

【分析】当〃22时，利用a“=S"-S“T，即可得到%，取〃=4即可.

利用已知递推公式，结合首项可以求得。2=2,进一步做差可以得出｛勺｝的奇数项和偶数项

分别成等差数列，分组后利用等差数列求和公式即可.

【详解】根据2S,=的向①，得25„_,=②,

①-②得%-%=2,("22)

又〃=1时，2ax=a]-a2,可得的=2

故%=%+2=4；

为偶数

当4=2,4=2可得〃〃=

〃+1,〃为奇数

即可求得S20=(4+%+%+L+aI9)+(a2+a4+a6+L+a20)

(2+20)x10(2+20)x10

=-----------1----------=22U.

22

故4；220

本题主要考查了。,与S,的关系，数列的递推关系式，以及等差数列的定义和通项，属于中

档题.

七、填空题

16.已知函数〃x)为定义在R上的增函数，且对VxeRJ(x)+〃-x)=2,若不等式

/初)+/(21n：42对Vxe(O,+«>)恒成立，则实数”的取值范围是

【正确答案】：，田)

【分析】由TxeRJ(x)+〃r)=2,可得/(21n£|=〃-21nx)=2-/(21nx),则不等式可

转化为〃ax)2〃21nx)对Vxe(0,+oo)恒成立，根据函数/(x)为定义在R上的增函数，可得

ax>21nx,通过分离参数，利用导数研究函数的单调性极值即可求得结果

【详解】因为VxeRJ(x)+/(-x)=2,

所以/(21nJ=/(-21nx)=2-/(21nx),

因为不等式/(")+/(21n342对Vxe(0,+8)恒成立，

所以/(ax)>/(2Inx)对Vxw(0,+8)恒成立，

因为函数/*)为定义在R上的增函数，

所以。xN21nx,得亚在Vxe(O,+8)上恒成立,

X

人,、21nxZn、nil.2(1-Inx)

令g(x)=----，XG(0,+OO),贝ljg(x)=----；——，

XX

当0<x<e时，gr(x)>0,当工〉e时,gr(x)<0,

所以8(刈=迎土在(03)上递增，在(e,+8)上递减，

X

2

所以当X=e时，g(X)取得最大值，g(X)max=g(e尸一,

e

所以。之士2，

e

所以实数。的取值范围是|，+8｝

故|，+8)

八、解答题

17.记Sn为等比数列｛%｝的前〃项和，已知52=2,53=-6.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)求S",并判断S"+l,Sn,S"+2是否成等差数列.

【正确答案】⑴4=(-2)"；(2)见解析.

【详解】试题分析：(1)由等比数列通项公式解得4=-2,q=-2即可求解；(2)

利用等差中项证明S〃+l,Sn,S〃+2成等差数列.

4(1+4)=2

试题解析：(1)设｛〃“｝的公比为必由题设可得八，解得q=-2,a,=-2.

q(Z1l+q+q片

故｛4,｝的通项公式为%=(-2)".

(2)由(1)可得凡="'0_4")=-2+(_1)"二.

\—q33

由于S*2+%=-]A+(-1)","+3_-,"+2=2-#o91)7=苞，

故，…S.，S,+2成等差数列.

点睛:等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等

比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性

质的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，

经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.

18.已知E,尸分别是正方体44Gq的棱8c和CO的中点.

（1）求4。与EF所成角的大小:

（2）求同£与平面3/8所成角的余弦值.

【正确答案】（1）60。；

⑵

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出异面直线所成角

的余弦值，进而结合异面直线成角的范围即可求出结果；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出求出线面角的正弦值，

进而结合线面角的范围即可求出结果；

【详解】（1）以48,4。，所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

设正方体ZBCD-44cB的棱长为2a,则4(0,0,2a),。(0,2%0),E(24,a,0),尸(a,2a,0),

所以4万=(0,2a,-2a),EF=(-a,a,0),设4。与E尸所成角的大小为a,

则M=H丽丽)卜黑色二工7常右丁3'

因为异面直线成角的范围是(0,901，所以4。与EF所成角的大小为60。.

_7T

(2)设平面8/8的法向量为%=(%,%,z0),4E与平面8/8所成角为尸，0,万

因为8(2a,0,0),5,(2a,0,2a),所以而1=(-a,2a,0),函'=(0,0,2。),

所以强8£=:叫+："%=°,令4=2,得靠=(2,1,0)为平面与FB的一个法向量，又因

%•=2azQ=0

为A[E=(2a,a,-2。),

所以sin尸=k()s(乖/署上叫=Y>

।'〃卜同间5=-y^/a=2-+-4a2+4a2-VT743

所以cos/?=Jl-sinZQ=-.

111n

19.已知公差大于0的等差数列｛%｝满足---+----+…+-----=----.

卅2〃〃凡+i〃+1

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)若。=(-1)工％,求数列｛4｝的前21项和S21.

【正确答案】(1)4=〃；

(2)-242.

【分析】（1）利用等差数列的通项公式结合条件列方程组解得q，d,即得;

（2）由题可得“，然后分组求和法可得$2.，结合条件进而即得.

【详解】（1）根据题意，当"=1时，；=：，即卬电=2①，

a\a22

112

当〃=2时，---+=~,所以出生=6②，

a｝a2a2a33

设等差数列｛为｝的公差为d（d>0）,

%(q+4)=2

由①②得

(a}+d)(a1+2d)=6

所以%=1+〃-1二〃；

(2)因为。〃《川二〃(〃+l),则”=因为%%=(-1)”〃(〃+1),

所以%-i+%=-(2〃-1)•2〃+2n(2n+1)=4〃,

所以邑“=4+仇+…+也,T+&“=4X(1+2+・—+")=吗+”=加427,

所以50=2x100+20=220,又多=-2Ix22=-462,

故S21=220-462=-242.

20.已知函数/(x)=x?-2(4+l)x+2alnx(a＞0).

(1)当。=1时，求曲线y=/(x)在点⑴)处的切线方程；

(2)求/a)的单调区间；

【正确答案】(1)y=—3(2)详见解析

(1)分别求得/⑴和/'⑴，从而得到切线方程；

(2)求导后，令/'(x)=0求得两根，分别在0＜。＜1、4=1和。＞1三种情况下根据导函数

的正负得到函数的单调区间.

【详解】=..J(x)=x2-4x+21nx,.•.r(x)=2x-4+:，

"11)=0,又/⑴=J4=_3,

\/(x)在处的切线方程为尸-3.

2

/人…八2a2x-2(a+1)x4-2a2(x-a\(x-j)zx

(2)/'(X)=2X-2(Q+1)+—=----------——L---------=-^-------——\x＞^

XXX

令/'(x)=o,解得：X}=a9x2=1

①当0<〃<1时，若X€(O,4)和(1,+8)时，/0(x)>0；若xe(a,l)时，/v(x)<0；

\/(x)的单调递增区间为(0,a),(1,0)；单调递减区间为(％1)；

②当a=l时,/'(x)20在(0,+s)上恒成立，

\/(x)的单调递增区间为(0,+8),无单调递减区间；

③当a>l时，若x€(0,l)和(a,+oo)时，/^(x)>0；若x«l,a)时，f'(x)<0；

\/(x)的单调递增区间为(0,1),(a,+8)；单调递减区间为(1,a)；

综上所述：当0<.<1时，/(X)的单调递增区间为(0,。)，(1,物)；单调递减区间为(。,1)；

当。=1时，/(x)的单调递增区间为(0,+8),无单调递减区间；

当0>1时，/(x)的单调递增区间为(0,1),+8)；单调递减区间为(La).

本题考查利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、利用导数讨论含参数函数的

单调区间的问题，属于常考题型.

21.已知函数/(x)=Ax-xlnx,keR.

(1)当左=2时，求函数/(x)的单调区间；

⑵当0<xVl时，/⑶少恒成立,求左的取值范围;

【正确答案】(l)/(x)单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+8)

(2)[1,+8)

【分析】(1)直接对函数/(x)求导，利用导函数的正负即可求出单调区间.

(2)求出导函数，对参数后进行分类讨论即可.

【详解】(1)当左=2时，/(x)=2x-xlnx,x>0,/'(x)=l-lnx,

由#(x)>0,解得0<x<e；由/'(x)<0,解得x>e,

所以函数/(x)单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+8),

(