2024年高考数学 高三开学收心考试模拟卷（测试范围：高考全部内容）（解析版）（新教材新高考）

高三开学收心考试模拟卷

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考

证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第I【卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.测试范围：高中数学全部内容

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷

一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知全集"="€川0＜》46},集合A={1,2,3,4},8={1,3,5},则a,（AU5）=（）

A.{6}B.{1,6}C.{2,4,5,6}D.{1,2,4,5,6}

【答案】A

【解析】由题意知。={1,2,3,4,5,6},4=3={1,2,3,4,5},

所以4(Au3)={6},

故选：A

2.若复数z满足z+W=2，H=*，则曰=()

6

A.—B.⑺C.V2D.1

2

【答案】C

【解析】设z=a+bi,a,bwR,因为z+z=2，所以2a=2,a=\,

.111—历111\/21^2

所rr以r一=丁工=丁7，又H=二^，所以一r=r=ir，

z1+4\+b'\z\2Vl+fe2

解得。2=1,所以目=/♦+以=-^2

故选：C.

3.已知向量”(1,3),。=(见一2),且(d+6)_La,则"?=()

A.-4B.-3C.-2D.-1

【答案】A

【解析】＜2+/7=(/??+1,1),

又(4+人)_1_〃，

知帆+1+3=0,

即m=-4.

故选：A

4.在平面直角坐标系火力中，以下方程对应的曲线,绕原点旋转一定角度之后，可以成为函数图象的是()

A.X2+2y2=4B.x2-y2=4

C.x2+y2=4D.(x-l)2+(y-2)2=4

【答案】B

【解析】对于A项，因为Y+2y2=4,所以反+片=1,

42

所以方程对应的曲线为椭圆，

所以当椭圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故A项不成立；

对于B项，因为产=4,所以《一《=1,

44

所以方程对应的曲线为双曲线，其渐进线为y=±x,

所以当其绕原点旋转;后，其一定是函数图象，故B项成立；

对于C项，因为一+丁=4,所以方程对应的曲线为圆，

所以当圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故C项不成立；

对于D项，因为(x-l)2+(y-2)2=4,所以方程对应的曲线为圆，

所以当圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故D项不成立.

故选：B.

5.中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题："今有七人差等均钱，甲乙均五十八文，戊己庚均六十文,

问乙丁各若干？"，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人

共分到58文，戊、己、庚三人共分到60文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是()

A.乙分到28文，丁分到24文B.乙分到30文，丁分到26文

C.乙分到24文，丁分到28文D.乙分到26文，丁分到30文

【答案】A

【解析】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为a-3d,a—2d,a-d,a,a+d,a+2d,

a+3d,

(a-3d+a-2d=58fa=24

则“o/a”〃、，解得L

[a+d+a+2d+a+3d=60[d=-2

所以乙分得〃=28(文)，丁分得a=24(文)，

故选：A.

6.已知sinasin('-a)=3cosasin[a+色],则sin(2a+&)=()

3V6J6

A.-1B6c

2-?D-T

【答案】A

71

【解析】由sinasin(--a)=3cosasina+—,

3k6J

1

得sinacosa--sina=3cosasina+—cosa

2727

即sin2a+2y/3sinacosa+3cos2a=0,

则《ina+gcosa)=0,得sina=->/3cosa，则tana=-\/3,

所以sin(2a+—)=—sin2a+—cos2a=6sinacosa+cos2a--

6222

V3sinacosacos-a1\/3tancr

22+-------------------------------------+--------------—

cosa+sinacos2a+sin2a21+tan2a1+tan2a2

-311

---1------=-1t

1+31+32

故选：A.

己知函数(后了+在[-

7./(x)=x3+fx+lgx)+22,2]上的最大值与最小值分别为M和〃?，则经过函数

g(x)=(M+“)x+而温的图象的对称中心的直线被圆x2+y2=5截得的最短弦长为()

A.10B.5C.9D.近

42

【答案】D

【解析】因为/(*)=1+女+吆(。1+、+x)+2,所以/(犬)-2=/+江+炮(而，+x),

设g(x)=〃x)-2=3+a+怆(Ji+x:+a),xe[-2,2],

因为函数g(x)的定义域关于原点对称，

且g(X)+g(-X)=d+fx+1g(Vl+X2+x)+(-x)'-fx+1g(Jl+(-x)2_x)=0,

所以函数g(x)为奇函数，由己知可得函数g(x)的最大值为M-2,最小值为机-2,

所以用-2+加一2=0,故"+加=4,

所以g(x)=4x+11g(x)-l=4x-l+1

因为是奇函数，关于原点对称,

中心对称,

所以g(x)关于—Jj

因为仕丫+r=U<5

⑷16

则点在圆V+y2=5的内部，

因为点(；』)到坐标原点的距离为平，

所以所求最短弦长为2^5--=^.

V162

故选：D.

r2v2

8.如图，已知耳，鸟是双曲线C二-2=1的左、右焦点，P,Q为双曲线C上两点，满足KP〃心Q,且

a~b

)

而D.叵

—2

【答案】D

【解析】延长。玛与双曲线交于点P，

因为耳尸〃鸟P,根据对称性可知>”=|居可,

设国P|=|耳『=/,则怩4=住。=3，，

可得出耳"=2，=2«,即”“，

所以|尸。=少=而，则|。制=|。耳|+勿=5〃，田P|=|E"=3a,

即|PQ『+|耳用2=|。制2,可知/耳p，Q=/耳pg=9(),

在,中，由勾股定理得后可耳巧闾

P'FXF22+|2=M2,

即。2+(34)2=402,解得«=£=巫.

'，a2

故选：D.

2.焦点三角形的作用

在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.某市为响应教育部《切实保证中小学每天一小时校园体育活动的规定》号召，提出"保证中小学生每天一

小时校园体育活动”的倡议.在某次调研中，甲、乙两个学校学生一周的运动时间统计如下表：

学校人数平均运动时间方差

甲校2000103

乙校300082

记这两个学校学生一周运动的总平均时间为总方差为s?,则（）

A.x=8.7B.x=8.8

C.$2=3.36D.r=3.56

【答案】BC

【解析】依题意，总平均时间为嚏=—驷一X1O+—亚史一x8=8.8,

2000+30002000+3000

方差为八肃而［3+0。-8.8）［+就磊［2+（8-8对］23

-x4.44+-x2.64=3.36.

=55

故选：BC

8之间的距离，一定能根据以下数据确定A8长度的是（）

A.a,b,yB.«,p,y

C.a,B,YD.a,p,b

【答案】ACD

【解析】法•、根据三角形全等的条件SA5,4SA,/14s可以确定A、C、D三项正确，它们都可以唯一确定三

角形；

法二、对于A项，由余弦定理可知c2=/+b2-2"cosy,可求得c,即A正确；

对于B项，知三个内角，此时三角形大小不唯一，故B错误；

acasiny

对于c项，由正弦定理可知砺Rf丽=八丽4万即c正确；

对于D项，同上由正弦定理得0=加，(£一；一，),即D正确；

sinp

故选：ACD.

11.已知函数“X)及其导函数g(x)的定义域均为RJ(2x)=〃4-2x),〃x)+知(T)=o,当xw[2,4]时，

g'(x)<0，g⑴=1，则()

A.的图象关于x=l对称B.g(x)为偶函数

C.g(x)+g(x+4)=0D.不等式g(x)Zl的解集为{x|-l+8y41+8Z,keZ}

【答案】BCD

【解析】由f(2x)=/(4—2x)可得〃x)=〃4—x),故可知的图象关于x=2对称，故A错误，

由/(x)+/(—x)=o得r(x)—r(-x)=o,由r(x)=g(x)得g(x)-g(-x)=o,故g(x)为偶函数,故B正

确，

由〃x)=/(4-x)可得r(x)=-r(4-X),所以g(x)=-g(4-x),又g(x)为偶函数，所以

g(x)=-g(4—x)=-g(x—4)ng(x)+g(x-4)=0,即g(x)+g(x+4)=0,故C正确，

由g(x)为偶函数且g(x)+g(x+4)=0可得g(x)=-g(x+4)=-[—g(x+8)]=g(x+8),所以g(x)是周期函

数，且周期为8,又当XG[2,4]时,g'(x)<0,可知g(x)在xw[2,4]单调递减

故结合g(x)的性质可画出符合条件的g(x)的大致图象：

y=g(x)

/1\./.\[

/I01\4yfe8X

由性质结合图可知：当一1+8Z4X41+84,AeZ时，g(x)21,故D正确,

故选：BCD

12.如图，在棱长为1的正方体A8C£»-AAGA中，。是棱。。上的动点，则下列说法正确的是()

4a

BC

A.不存在点。，使得GQ〃AC

B.存在点0,使得GQ^AC

c.对于任意点0,。到4c的距离的取值范围为［孝，用

D.对于任意点2,4ACQ都是钝角三角形

【答案】ABC

【解析】由题知，在正方体中，。是棱。乌上的动点，建立以A为原点,

分别以AB,AD.AA的方向为X轴、y轴、z轴的正方向的空间直角坐标系A-“z.

所以A(0,0,l)，C(l,l,o),q(1,1,1),设。(0,1,a),其中OWaVl,

所以GQ=(—l,0,a-1),AC=(1,1,—1),

—1=A

当GQ=/iAC时，即(一1,0,“-1)=/1(1/,—1),所以＜o=4,显然方程组无解，

a-l=-2

所以不存在；I使得GQ=/M,c,即不存在点。，使得GQ〃AC,故A项正确;

当GQ・AC=-l+O+l-a=O时，解得a=o,故B项正确；

因为AQ=(0,1M-1)，其中OWaWl，所以点。到AC的距离为

故C项正确；

因为QC=(1,0,-a),0^=(0,-1,1-a),其中OWaWl,

所以cos(℃,QA)=总结==金苧^=40

所以三角形为AC。直角：角形或钝角三角形，故D项错误.

故选：ABC

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2

13.(士-x)"展开式中的各二项式系数之和为256,则/的系数是

x

【答案】112

【解析】依题意得：2,=256,解得〃=8,

则加=C；尼)(-x)r=(-1/•爱飞；at「eN,r48,

由2厂-8=4,解得厂=6,

从而

故答案为：112.

14.陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制

的陀螺.如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面半径为L圆锥与

圆柱的高均为1，若该陀螺由一个球形材料削去多余部分制成，则球形材料体积的最小值为.

【解析】依题意当该陀螺中圆锥的顶点及圆柱的下底面圆周都在球形材料表面上时，球形材料体积的最小,

设此时球形材料的半径为R,如图所示：

1

由题意得（2—/?y+i2=R2,

解得R=[，

4

所以球形材料的体积最小值为4:兀]?5限

348

故答案为：*12冗5

48

15.已知函数〃x）=sin"T（0>O）,且〃x）在区间岑）上单调递增，则0的取值范围为.

「7]]-

【答案】（0』口5,丁

■A71L-.1.-1Mc、1,兀3兀r_L兀G兀兀3兀G71

【解析】因为<y>0,当；；<x<二-时，----<cox--<——

2424444

因为函数〃力=$皿（8-：）（。>0）在区间（今百）上单调递增,

则,,Y匕71CD一71工3兀①一兀、士口》兀2…航+兀义、人心孙

HCO71_,7U

------N2E---

所以，J42,其中攵eZ,解得竺+1（左£Z）,

3兀0兀兀23/

<2kn+—

44-------2

X〉IQ

所以，7+1之4Z—彳，解得k4,

因为0>0,且&eZ,则Ze{0,l}.

当％=0时，0<<y<l；当女=1时，-<（o<—.

23

「7]]-

综上所述，。的取值范围是（。川3.

「7]]

故答案为：（0川。—，―•

16.已知百，心是椭圆三+汇=1的左，右焦点，过点尸2的直线与椭圆交于A,B两点，设.A8耳的内切圆

43

圆心为1,则tanZMB的最大值为.

【答案】昱山陋

33

【解析】因为/为片的内切圆圆心，则/片AF2=2N1AB,

显然N/A8是锐角，当且仅当N/A8最大时，tanN/A8最大，且最大,

又N£4居€（0,兀）,即有cosN耳4口最小,

2，

在椭圆三+21=1中，|耳4|+|)A|=4,|耳玛|=2,

43

|斗4『+|丹*2一|耳丹|2（耳4|+|因如）2一||5|2

在/6A心中，COSZF}AF2=-1

2\F,A\\F2A\一2|上川|入川

42-226-1

~2\F}A\\F2A\一|耳A|+|)A|--2＞当且仅当I片41=1鸟41=2时取等号,

TT7T

因此当I耳A|=|鸟A|=2,即与4名为正三角形时，N^A6取得最大值：，N/A8取最大值刍，

36

所以tan/MB的最大值为tan巴=3.

63

故答案为：显

3

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.（10分）

在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,"c,CO为C4在CB方向上的投影向量，且满足

2c-sinB=>/5|CD|,

（1）求cosC的值;

（2）^b=>/3,a=3ccosB,求A8C的周长.

【解析】（1）由CO为CA在CB方向上的投影向量，则|CD|=8COSC,

又2csin3=7^CZ）|,即2csin8=@cosC,

根据正弦定理，2sinCsinB=V^sinBcosC,

在锐角ABC中，Belo,,）,则sirtB〉。，即2sinC=J^cosC,

由Cw（0,[1,则cos2c+sin2，=l,整理可得cos?C+3cos2c=1,解得cosC=]（负值舍去）.

I2J43

（2）由a=3ccos3,根据正弦定理，可得sinA=3sinCcosB,

在4.ABC111,4+B+C=7t,则sin（3+C）=3sinCcos8,

所以sinBcosC+cosBsinC=3sinCbosB,所以sinBcosC=2sinCcosB,

2R

由（1）可知cos。=—,sinC=Jl—cos2c,则sinB=V^cosB,

33

cosB=正

由sin23+cos23=1,则5cos23+cos23=l，解得（负值舍去）,

病

sinB=

根据正弦定理，可得上=，;;，则。=吧£6=3,a=^-c=>/3

smBsmCsinn2

故"BC的周长。布=4+6+。=26+血.

18.（12分）

如图所示，在多面体MCGEE中，底面8C7方为矩形，且A£_L底面8CF£,AGia

EF,AG=AE=BE=LEF=2,BFCCE=0.

2

（1）证明：A。回平面GCF\

⑵求平面A3。与平面GCF夹角的余弦值.

【解析】（1）证明：取线段CF的中点H,连接OH,GH,

因为四边形£BCF是矩形，且CB=2EB,

所以OH〃8C且0H=—8C,

2

因为AGEF且AG=；EF,EF〃BCB.EF=BC,

所以AGBC\\,AG=-BC,

2

所以AG〃。//且AG=O〃，

所以四边形AOHG是平行四边形，则AO〃〃G,

因为AOZ平面GCF,u平面GCF,所以AO〃平面GCF

(2)因为AE_L底面8CFE,硝,EFu平面3CFE,所以AE，_L历，

因为EB_LEF

所以以E为坐标原点，分别以砥，所，取所在的直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,

则A（0,0,2）,3（2,0,（））,C（2,4,0）,F（0,4,0）,G（0,2,2）,0（1,2,0）,

A8=（2,0,-2）,AO=（l,2,-2）,fC=（2,0,0）,FG=（0,-2,2）.

设平面AB。的法向量为加=（a,b,c），贝ij

AB-in=2a-2c=0

<,令a=c=2,贝=

AO-m=a+2h-2c=0

故平面ABO的一个法向量帆=(2,1,2),

设平面GCT的法向量为〃=(x,y,z),

n-FC=2x=0

由，取y=i则z=1,

n-FG=-2y+2z=0

故平面GC尸的一个法向量"=(0,1,1),

贝|JCOS（肛*.

设平面AB。与平面GCF的夹角为。(dw0,|J,则cosO=*

19.（12分）

己知数列｛a〃｝,｛bn｝,｛<■〃｝中，4=4=q=l，c”M=a»+,-4'J+i=3--c”("eN").

⑴若数列伽｝为等比数列，且公比4>0,且伉+&=6&,求q与｛为｝的通项公式；

(2)若数列｛加｝为等差数列，且公差d>0,证明：q+G++%<1+」.

【解析】(1)依题意4=1也=4也，而4+2=64,即l+q=6q2,由于q>0,回解得q=；,

地=击.

1

团4+2=击，故C“M=¥-C"=4,C”，团数列｛c,｝是首项为1，公比为4的等比数列，团5=4"、

西

回％M=4"•

团4”|-《，=g+i=4"，故a“-a“_|=4'i(〃22,〃eN)

回a”=(a«-an-\)+(an-\~an-l)++(4-4)+(。2-q)+4

,2,,4(1-4"-')4"-1

=4"一+4"-2++4+4+1=—-------+1=,-

1-43

经检验对于〃=1也成立；

Qb

(2)依题意设我=1+(〃—1”=册+1-4,由于上一产,

Cn""+2

0"£!_=,7L±(n>2,neN3],

*be')

-_£^,Sd_.^hn-2hn-3”幺

—Cl-»iiii

经检验对于〃=1也成立，

Tjn]inci]TfiiY八nti

I小4b2)[b2b3)",b„J\l认%,

由于d>0,伉=1,回"+|>0,0|11---<1+—,即q+c,+…+c”<1+1.

I〃八dd

20.(12分)

已知/。)=/一/+人，曲线y=/(x)与直线y=ar+l相切于点

(1)求a，b的值；

(2)证明：当x>0时，/⑴-We-2恒成立.

X

【解析】(D.f'(x)=e'—2x.

由题设得a=〃l)=e-2,a+l=〃l)=e-l+6,

i^a=e-2,b=0.

(2)当x>0时，"“)一工一2等价于e“-川+(2一6卜-120,

X

下面证明：当x>0时，eA-x2+(2-e)x-l>0.

i^^(x)=eA-x2-(e-2)x-l,x>0,则g'(x)=e'-2x-(e-2).

设力(x)=g，(x),则〃(x)=e*-2,

当x«0,ln2)时，〃'(x)<0,/z(x)单调递减；

当xe(ln2,+8)时，/(x)>0,7i(x)单调递增.

X^(0)=3-e>0,/?(l)=0,0<ln2<l,/?(ln2)<0,

所以即使得始^=0,

所以当xe(O,%)或XG(1,+OO)时,g'(x)>0；当时,g'(x)<0.

故g(x)在(0,及)和(1,口)上单调递增，在(七,1)上单调递减，

又g(0)=g(l)=0，所以g(x)=e*+x?—(e-2)x-120.

故当x>0时，必史口Ne-2恒成立.

X

21.(12分)

概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的

马尔科夫(Markov)不等式和切比雪夫(Chebyshev)不等式.马尔科夫不等式的形式如下：

设X为一个非负随机变量，其数学期望为E(x),则对任意£>o,均有生0,

£

马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期

望间的关系.当X为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：

设X的分布列为P(X=xJ=p,,i=l,2,其中p,€(0,+8),玉€[0,+co)(i=l,2,•=则对任意

1=1

£>0,P(x2£)=»4Z±P，△=—，其中符号ZA表示对所有满足x,泊的指

黑累££黑年£X.

标i所对应的从求和.

切比雪夫不等式的形式如下：

设随机变量X的期望为E(X),方差为O(X),则对任意£>0,均有P(|X-E(X)|*)4%N

⑴根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量X成立.

（2）某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%.现随机选择了100名患者，经过使用该

药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信.

【解析】（1）法•：对非负离散型随机变量［X-E（X）F及正数『使用马尔科夫不等式，

有「（|X-E（X）|2£）=P”-E（X）f2切JUq.（X）F=竽

法二：设X的分布列为

P（X=xi）=pi,i=l,2,,n,

其中Pj,%e（0,+oo）（i=l,2,,〃）,£p,.=l,记幺=£：（乂），则对任意£>0,