第05讲 一元二次方程、分式方程的解法及应用（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）（解析版）

第05讲一元二次方程、分式方程的解法及应用（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）【考纲要求】1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2.会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．【知识导图】【考点梳理】考点一、一元二次方程1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为(a≠0)．2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成的形式，当m＞0时，方程的解为；当m＝0时，方程的解；当m＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程变形为的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程，当时，它的解为．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．要点诠释：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为．△>0方程有两个不相等的实数根；△＝0方程有两个相等的实数根；△<0方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．要点诠释：△≥0方程有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程(a≠0)的两个根是，那么．考点二、分式方程1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.

（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法．3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程(2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公

分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．考点三、一元二次方程、分式方程的应用1．应用问题中常用的数量关系及题型(1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．(2)体积变化问题关键是寻找其中的不变量作为等量关系.(3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝×100%．明确这几个关系式是解决这类问题的关键．(4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.(5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分问题增长量＝原有量×增长率；现有量＝原有量+增长量；现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．要点诠释：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．【典型例题】题型一、一元二次方程 【例1-1】用配方法解一元二次方程：【思路点拨】把二次项系数化为1，常数项右移，方程两边都加上一次项系数一半的平方，再用直接开平方法解出未知数的值.【答案与解析】移项，得二次项系数化为1，得配方由此可得，【总结升华】用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.【例1-2】阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为……①，解得，，当时，，，；当时，，，，故原方程的解为，，，．解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；（2）请利用以上知识解方程．【思路点拨】此题考查了学生学以致用的能力，解题的关键是掌握换元思想．【答案与解析】（1）换元法；（2）设，那么原方程可化为解得；当时，；当时，不符合题意，舍去．所以原方程的解为，．【总结升华】应用换元法解方程，体现了转化的数学思想.【变式1】用配方法解方程x2-7x-1=0．【答案】将方程变形为x2-7x=1，两边加一次项系数的一半的平方，得x2-7x+=1+，所以有=1+．直接开平方，得x-=或x-=-．所以原方程的根为x=或x=．【变式2】设m是实数，求关于x的方程的根．【答案】x1=1,x2=m+2.【例2-1】关于x的方程有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围.(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由【思路点拨】判别式大于0，二次项系数不等于0.【答案与解析】（1）由△=(k+2)2－4k·＞0∴k＞－1又∵k≠0∴k的取值范围是k＞－1，且k≠0（2）不存在符合条件的实数k理由：设方程kx2+(k+2)x+=0的两根分别为x1、x2，由根与系数关系有：x1+x2=，x1·x2=，又=0则=0∴由（1）知，时，△＜0，原方程无实解∴不存在符合条件的k的值.【总结升华】（1）注意隐含条件k≠0；（2）由根与系数关系的应用，求出k的值，要验证k的值是否符合题意.【例2-2】已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值.【思路点拨】由于这个方程有两个相等的实数根，因此⊿＝，可得出a、b之间的关系，然后将化简后，用含b的代数式表示a，即可求出这个分式的值．【答案与解析】∵有两个相等的实数根，∴⊿＝，即．∵∵，∴【总结升华】本题需要综合运用分式和一元二次方程来解决问题，考查学生综合运用多个知识点解决问题的能力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度．【变式1】已知关于x的方程．（1）求证方程有两个不相等的实数根．（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．【答案】（1）证明:因为△== 所以无论取何值时，△>0，所以方程有两个不相等的实数根．（2）解：因为方程的两根互为相反数，所以， 根据方程的根与系数的关系得，解得， 所以原方程可化为，解得，.【变式2】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根，∴＞0．即，解得，．（2）若k是负整数，k只能为－1或－2．如果k＝－1，原方程为．解得，，．（如果k＝－2，原方程为，解得，，．）题型二、分式方程【例3-1】解方程：【思路点拨】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验.【答案与解析】方程两边都乘以，得【总结升华】首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根.【例3-2】解方程：【思路点拨】把原方程右边化为代入原方程求解较为简单.【答案与解析】原方程变为经检验，是原方程的根.【总结升华】因为，，所以最简公分母为：，若采用去分母的通常方法，运算量较大，可采用上面的方法较好.【变式1】解分式方程：．【答案】方程两边同乘以，得． ．． 经检验：是原方程的解，所以原方程的解是． 【变式2】方程的解是x=．【答案】.【变式3】解方程：【答案】原方程化为方程两边通分，得化简得解得经检验：是原方程的根.【变式4】【答案】解此方程此方程无解.【例4-1】若解分式方程产生增根，则m的值是（）A. B.C. D.【思路点拨】先把原方程化为整式方程，再把可能的增根分别代入整式方程即可求出m的值.【答案】D；【解析】由题意得增根是：化简原方程为：把代入解得，故选择D.【总结升华】分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值.【例4-2】m为何值时，关于x的方程会产生增根？【思路点拨】先把原方程化为整式方程，使分母为0的根是增根，代入整式方程求出m的值.【答案与解析】方程两边都乘以，得整理，得【总结升华】分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根.【变式1】若关于的方程无解，则的值是．【答案】1.【变式2】当m为何值时，方程会产生增根()A.2B.－1C.3D.－3【答案】分式方程，去分母得，将增根代入，得m＝3.所以，当m＝3时，原分式方程会产生增根.故选C.题型三、一元二次方程、分式方程的应用【例5-1】轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.【思路点拨】在航行问题中的等量关系是“顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度”，两次航行提供了两个等量关系.【答案与解析】设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时由题意，得答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时.【总结升华】流水问题公式：顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度；静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2；水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2.【例5-2】要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天.现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成.问规定日期是多少天？【思路点拨】设规定日期是x天，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，工作总量为1.【答案与解析】设规定日期为x天根据题意，得解得经检验是原方程的根答：规定日期是6天.【总结升华】工程问题涉及的量有三个，即每天的工作量、工作的天数、工作的总量．它们之间的基本关系是：工作总量=每天的工作量×工作的天数．【变式1】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？【答案】设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，由题意得：答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵.【变式2】据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．【答案】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，由题意得，解得：x=22，经检验：x=22是原分式方程的解，且符合题意．答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克．【例6-1】某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？【思路点拨】设该产品的成本价平均每月降低率为x，那么两个月后的销售价格为625（1-20%）（1+6%），两个月后的成本价为500（1-x）2，然后根据已知条件即可列出方程，解方程即可求出结果．【答案与解析】设该产品的成本价平均每月应降低的百分数为x．625（1-20%）（1+6%）-500（1-x）2=625-500整理，得500（1-x）2=405，（1-x）2=0.81．1-x=±0.9，x=1±0.9，x1=1.9（舍去），x2=0.1=10%．答：该产品的成本价平均每月应降低10%．【总结升华】题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到125元，关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价．【例6-2】某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队工程费共5500元．⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．【思路点拨】第一问是工程问题，工程问题中有三个量：工作总量，工作效率，工作时间，这三个量之间的关系是：工作总量=工作效率×工作时间第二问只要求出每天应各付甲、乙、丙各队多少钱，并由第一问求出甲、乙、丙各队单独完成这项工作所需的天数，即可求出在规定时间内单独完成此项工程哪个队花钱最少.【答案与解析】⑴设甲队单独做需天完成，乙队单独做需天完成，丙队单独做需天完成，依题意，得

×＋②×＋③×，得＋＋＝．④－①×，得＝，即z＝30，④－②×，得＝，即x＝10④－③×，得＝，即y＝15．经检验，x＝10，y＝15，z＝30是原方程组的解．⑵设甲队做一天厂家需付元，乙队做一天厂家需付元，丙队做一天厂家需付元，根据题意，得由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队．此工程由甲队单独完成需花钱元；此工程由乙队单独完成需花钱元.所以，由甲队单独完成此工程花钱最少．【总结升华】这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队单独完成这项工程所需时间分别为天，天，天，可列出分式方程组．在求解时，把，，分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解．【中考过关真题练】一．选择题（共3小题）1．（2018•上海）下列对一元二次方程x2+x﹣3＝0根的情况的判断，正确的是（）A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根 C．有且只有一个实数根 D．没有实数根【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根．【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×（1）×（﹣3）＝13＞0，∴方程x2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．2．（2017•上海）下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x＝0 B．x2﹣2x﹣1＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2﹣2x+2＝0【分析】分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可．【解答】解：A、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；C、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，方程有两个相等的实数根，所以C选项错误；D、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．3．（2020•上海）用换元法解方程+＝2时，若设＝y，则原方程可化为关于y的方程是（）A．y2﹣2y+1＝0 B．y2+2y+1＝0 C．y2+y+2＝0 D．y2+y﹣2＝0【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设＝y，则原方程化为y+＝2，再转化为整式方程y2﹣2y+1＝0即可求解．【解答】解：把＝y代入原方程得：y+＝2，转化为整式方程为y2+1＝2y，即y2﹣2y+1＝0．故选：A．【点评】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．二．填空题（共9小题）4．（2016•上海）如果关于x的方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×k＝9﹣4k＝0，解得：k＝．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是找出9﹣4k＝0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．5．（2022•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为20%．【分析】设平均每月的增长率为x，根据5月份的营业额为25万元，7月份的营业额为36万元，表示出7月的营业额，即可列出方程解答．【解答】解：设平均每月的增长率为x，由题意得25（1+x）2＝36，解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）所以平均每月的增长率为20%．故答案为：20%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．6．（2020•上海）如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是4．【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，即可求m值．【解答】解：依题意，∵方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4，故答案为：4．【点评】此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实根，当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程无实数根．7．（2019•上海）如果关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，那么实数m的取值范围是m＞．【分析】由于方程没有实数根，则其判别式Δ＜0，由此可以建立关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围．【解答】解：由题意知Δ＝1﹣4m＜0，∴m＞．故填空答案：m＞．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．8．（2021•上海）若一元二次方程2x2﹣3x+c＝0无实数根，则c的取值范围为c＞．【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4×2×c＜0，然后求出c的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣3x+c＝0无实数根，Δ＝（﹣3）2﹣4×2×c＜0，解得c＞，∴c的取值范围是c＞．故答案为：c＞．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．9．（2022•上海）解方程组：的结果为．【分析】由x2﹣y2＝3可知（x+y）（x﹣y）＝3，再根据x+y＝1计算出x﹣y＝3，然后与x+y＝1联立计算即可．【解答】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝3，且x+y＝1，∴x﹣y＝3，∴可得方程组，解得：．故答案为：．【点评】本题考查了高次方程组的解法，根据题干寻找解题方向及熟练掌握常见公式如平方差公式等是解题的关键．10．（2018•上海）方程组的解是，．【分析】方程组中的两个方程相加，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，再代入求出y即可．【解答】解：②+①得：x2+x＝2，解得：x＝﹣2或1，把x＝﹣2代入①得：y＝﹣2，把x＝1代入①得：y＝1，所以原方程组的解为，，故答案为：，．【点评】本题考查了解高次方程组，能把二元二次方程组转化成一元二次方程是解此题的关键．11．（2017•上海）方程＝1的解是x＝2．【分析】根据无理方程的解法，首先，两边平方，解出x的值，然后，验根解答出即可．【解答】解：，两边平方得，2x﹣3＝1，解得，x＝2；经检验，x＝2是方程的根；故答案为x＝2．【点评】本题考查了无理方程的解法，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法，解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．12．（2016•上海）方程＝2的解是x＝5．【分析】利用两边平方的方法解出方程，检验即可．【解答】解：方程两边平方得，x﹣1＝4，解得，x＝5，检验：把x＝5代入方程，左边＝2，右边＝2，左边＝右边，则x＝5是原方程的解，故答案为：x＝5．【点评】本题考查的是无理方程的解法，正确利用两边平方的方法解出方程，并正确进行验根是解题的关键．三．解答题（共5小题）13．（2021•上海）解方程组：．【分析】解方程组的中心思想是消元，在本题中，只能用代入消元法解题．【解答】解：，由①得：y＝3﹣x，把y＝3﹣x代入②，得：x2﹣4（3﹣x）2＝0，化简得：（x﹣2）（x﹣6）＝0，解得：x1＝2，x2＝6．把x1＝2，x2＝6依次代入y＝3﹣x得：y1＝1，y2＝﹣3，∴原方程组的解为．【点评】本题以解高次方程组为背景，旨在考查学生对消元法的灵活应用能力．14．（2020•上海）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．【分析】（1）根据该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额＝前六天的总营业额+第七天的营业额，即可求出结论；（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，根据该商店去年7月份及9月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）450+450×12%＝504（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350（1+x）2＝504，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．（2019•上海）解方程：﹣＝1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x2﹣8＝x2﹣2x，即x2+2x﹣8＝0，分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0，解得：x＝2或x＝﹣4，经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣4．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．16．（2017•上海）解方程：﹣＝1．【分析】两边乘x（x﹣3）把分式方程转化为整式方程即可解决问题．【解答】解：两边乘x（x﹣3）得到3﹣x＝x2﹣3x，∴x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，∴x＝3或﹣1，经检验x＝3是原方程的增根，∴原方程的解为x＝﹣1．【点评】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．17．（2016•上海）解方程：﹣＝1．【分析】根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行计算即可．【解答】解：去分母得，x+2﹣4＝x2﹣4，移项、合并同类项得，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1，经检验x＝2是增根，舍去；x＝﹣1是原方程的根，所以原方程的根是x＝﹣1．【点评】本题考查了解分式方程，熟记解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解题的关键，注意验根．【中考挑战满分模拟练】一．选择题（共7小题）1．（2022•松江区校级模拟）下列方程中，有实数根的是（）A． B． C．x3+3＝0 D．x4+4＝0【分析】根据任何数的算术平方根以及偶次方一定是非负数即可作出判断．【解答】解：A、≥0，因而方程一定无解；B、x﹣1≥0，解得：x≥1，则﹣x＜0，故原式一定不成立，方程无解；C、x3+3＝0，则x＝﹣，故选项正确；D、x4+4≥4，故原式一定不成立，故方程无解．故选：C．【点评】本题考查了任何数的算术平方根以及偶次方一定是非负数．2．（2022•嘉定区二模）下列关于x的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（）A．x2+4＝0 B．x2+2x＝0 C．x2﹣4x+4＝0 D．x2﹣x+2＝0【分析】分别计算四个方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可．【解答】解：A．因为Δ＝02﹣4×4＝﹣16＜0，则方程没有实数解，所以A选项不符合题意；B．因为Δ＝22﹣4×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数解，所以B选项符合题意；C．因为Δ＝（﹣4）2﹣4×4＝0，则方程有两个相等的实数解，所以C选项不符合题意；D．因为Δ＝（﹣1）2﹣4×2＝﹣7＜0，则方程没有实数解，所以D选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．3．（2022•松江区校级模拟）下列方程有两个相等的实数解的是（）A．x2+5x﹣6＝0 B．x2﹣5x+6＝0 C．x2﹣6x+9＝0 D．x2+6x﹣9＝0【分析】先分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义分别进行判断．【解答】解：A、Δ＝52﹣4×（﹣6）×1＝49＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；B、Δ＝（﹣5）2﹣4×1×6＝1＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以B选项不符合题意；C、Δ＝（﹣6）2﹣4×9×1＝0，则方程有两个相等的实数根，所以C选项符合题意；D、Δ＝62﹣4×（﹣9）×1＞0，则方程两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．4．（2022•徐汇区模拟）下列方程中，有实数根的是（）A．x3＝﹣1 B．＝0 C．x2+5x+8＝0 D．＝1【分析】解各个选项给出的方程，根据是否有解得结论．【解答】解：（﹣1）3＝﹣1，所以x3＝﹣1有实数根，故A合题意；x4≥0，x4+1≥1，所以没有实数根，故B不合题意；方程x2+5x+8＝0的根的判别式Δ＝25﹣32＝﹣7＜0，所以方程C没有实数根，故C不合题意；分式方程变形得x2﹣x+1＝0，其根的判别式Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，所以方程D没有实数根，故D不合题意．故选：A．【点评】本题考查了解方程，掌握高次方程、无理方程、一元二次方程、分式方程的解法是解决本题的关键．5．（2022•宝山区二模）关于一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的根的情况，下列判断正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有且只有一个实数根 D．没有实数根【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．【解答】解：∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝1+8＝9＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．6．（2022•金山区校级模拟）关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k＞4 B．k≤4 C．k≥4 D．k＜4【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4×k≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4×k≥0，解得k≤4．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．7．（2022•闵行区二模）在下列方程中，有实数根的是（）A． B．x2+3x+1＝0 C．x2+2x+3＝0 D．【分析】根据的值是非负数，即可判断选项A；根据根的判别式即可判断选项B和选项C，方程两边都乘x﹣1得出x＝1，再进行检验，即可判断选项D．【解答】解：A．＝﹣1，∵≥0，∴此方程无实数根，故本选项不符合题意；B．x2+3x+1＝0，∵Δ＝32﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项符合题意；C．x2+2x+3＝0，∵Δ＝22﹣4×1×3＝4﹣12＝﹣8＜0，∴方程无实数根，故本选项不符合题意；D．＝，方程两边都乘x﹣1，得x＝1，检验：当x＝1时，x﹣1＝0，所以x＝1是增根，即原方程无实数根，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了解无理方程，根的判别式和解分式方程等知识点，注意：二次根式中a≥0，≥0．二．填空题（共21小题）8．（2022•杨浦区二模）如果关于x的方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×k＝9﹣4k＝0，解得：k＝．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是找出9﹣4k＝0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．9．（2022•嘉定区校级模拟）如果关于x的方程x2﹣2x+m＝0（m为常数）有两个相等实数根，那么m＝1．【分析】本题需先根据已知条件列出关于m的等式，即可求出m的值．【解答】解：∵x的方程x2﹣2x+m＝0（m为常数）有两个相等实数根∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1•m＝04﹣4m＝0m＝1故答案为：1【点评】本题主要考查了根的判别式，在解题时要注意对根的判别式进行灵活应用是本题的关键．10．（2022•金山区二模）方程的解是4．【分析】将方程变形，化为整式方程，解整式方程再检验即可得答案．【解答】解：∵1﹣＝0，∴＝1，∴x﹣3＝1，∴x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，故答案为：4．【点评】本题考查解无理方程，解题的关键是将无理方程化为有理方程，注意解无理方程须检验．11．（2022•青浦区模拟）如果关于x的方程2x2+3x﹣k＝0没有实数根，那么k的取值范围是k＜﹣．【分析】根据判别式的意义得到Δ＝32﹣4×2×（﹣k）＜0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝32﹣4×2×（﹣k）＜0，解得k＜﹣．故答案为：k＜﹣．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．12．（2022•徐汇区二模）如果关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，那么实数k的取值范围是k＜．【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4×2×k＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4×2×k＞0，解得k＜，所以实数k的取值范围是k＜．故答案为：k＜．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．13．（2022•上海模拟）如果关于x的方程x2++m＝0有实数根，那么实数m的最大值是．【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（）2﹣4m≥0，解不等式得到m的取值范围，从而得到m的最大值．【解答】解：根据题意得Δ＝（）2﹣4m≥0，解得m≤，所以实数m的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．14．（2022•黄浦区校级二模）如果关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，那么m的取值范围是m≤．【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，所以m≤．故答案为：m≤．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．15．（2022•嘉定区校级模拟）某小区2012年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2880平方米，如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是20%．【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设人均年收入的平均增长率为x，根据题意即可列出方程．【解答】解：设平均增长率为x，根据题意可列出方程为：2000（1+x）2＝2880，（1+x）2＝1.44．1+x＝±1.2．所以x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去）．故x＝0.2＝20%．即：这个增长率为20%．故答案是：20%．【点评】此题考查了一元二次方程的应用．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a（1+x）2＝b（a＜b）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a（1﹣x）2＝b（a＞b）．16．（2022•浦东新区校级模拟）方程＝4的根是x＝5．【分析】方程的两边平方，化无理方程为整式方程，求解验根即可．【解答】解：方程两边平方，得3x+1＝16，整理，得3x＝15，解得x＝5．经检验x＝5是原方程的解．所以原方程的解为x＝5．故答案为：x＝5．【点评】本题考查了无理方程的解法，把无理方程转化为整式方程是解决本题的关键．17．（2022•宝山区模拟）方程的解是x＝2．【分析】两边平方得出关于x的整式方程，解之求得x的值，再根据二次根式有意义的条件得出符合方程的x的值，可得答案．【解答】解：两边平方得（x﹣2）（x﹣1）＝0，则x﹣2＝0或x﹣1＝0，解得：x＝2或x＝1，又，解得：x≥2，则x＝2，故答案为：x＝2．【点评】本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．18．（2022•徐汇区模拟）方程的解是x＝1．【分析】先把方程两边平方，把无理方程转化成有理方程，求出方程的解，再进行检验即可求出答案．【解答】解：，两边平方得：x2﹣1＝x﹣1，x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，解得：x1＝0，x2＝1，检验：当x1＝0时，左边＝，方程无意义，当x2＝1时，左边＝右边＝0，则原方程的解是x＝1；故答案为：x＝1．【点评】此题考查了无理方程，关键是通过把方程两边平方，把无理方程转化成有理方程，要注意检验．19．（2022•虹口区二模）方程的根是x＝1．【分析】把方程两边平方去根号后即可转化成整式方程，解方程即可求得x的值，然后进行检验即可．【解答】解：两边平方得：2﹣x＝x2，整理得：x2+x﹣2＝0，解得：x＝1或﹣2．经检验：x＝1是方程的解，x＝﹣2不是方程的解．故答案是：x＝1．【点评】在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．20．（2022•杨浦区二模）方程的解为3．【分析】首先把方程两边分别平方，然后解一元二次方程即可求出x的值．【解答】解：两边平方得：2x+3＝x2∴x2﹣2x﹣3＝0，解方程得：x1＝3，x2＝﹣1，检验：当x1＝3时，方程的左边＝右边，所以x1＝3为原方程的解，当x2＝﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x2＝﹣1不是原方程的解．故答案为3．【点评】本题主要考查解无理方程，关键在于首先把方程的两边平方，注意最后要把x的值代入原方程进行检验．21．（2022•普陀区二模）如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是m＜0．【分析】根据负数没有平方根，即可解答．【解答】解：如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是：m＜0，故答案为：m＜0．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握负数没有平方根是解题的关键．22．（2022•浦东新区校级模拟）如果一元二次方程2x2﹣x+k＝0无实数根，那么k的取值范围是k＞．【分析】由于方程有实数根，则根的判别式Δ＜0，由此建立关于k的不等式，解不等式即可求得k的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣x+k＝0无实数根，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即（﹣1）2﹣4×2•k＜0，解得k＞．故答案为：k＞．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．23．（2022•嘉定区二模）用换元法解方程时，如果设＝y，那么原方程可化为关于y的整式方程是2y2﹣3y+1＝0．【分析】当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化，可设y＝．【解答】解：设y＝，则＝．则原方程可化为：2y2﹣3y+1＝0．故答案为：2y2﹣3y+1＝0．【点评】当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化．24．（2022•金山区校级模拟）用换元法解方程＝3时，设＝y，那么原方程化成关于y的整式方程是y2﹣3y+2＝0．【分析】根据题意，用含y的式子表示出方程并整理方程即可．【解答】解：设＝y，则．所以原方程可变形为：．方程的两边都乘以y，得y2+2＝3y．即y2﹣3y+2＝0．故答案为：y2﹣3y+2＝0．【点评】本题考查了换元法．换元法解方程一般四步：设元（未知数），换元，解元，还元．25．（2022•黄浦区二模）一辆汽车，新车购买价20万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二，三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后价值11.56万元，如果设这辆车第二、三年的年折旧率为x，那么根据题意，列出的方程为20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．【分析】设这辆车第二、三年的年折旧率为x，则第二年这就后的价格为20（1﹣20%）（1﹣x）元，第三年折旧后的而价格为20（1﹣20%）（1﹣x）2元，与第三年折旧后的价格为11.56万元建立方程．【解答】解：设这辆车第二、三年的年折旧率为x，由题意，得20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．故答案是：20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．【点评】一道折旧率问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答本题时设出折旧率，表示出第三年的折旧后价格并运用价格为11.56万元建立方程是关键．26．（2022•普陀区模拟）试写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是，你写的这个方程是x2+y2＝5（写出一个符合条件的即可）．【分析】根据（﹣1）2+22＝5列出方程即可．【解答】解：∵（﹣1）2+22＝5，∴x2+y2＝5，故答案为：x2+y2＝5．【点评】此题考查高次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值，根据解写方程应先列算式再列方程是关键．27．（2022•松江区二模）方程＝3的解是x＝3．【分析】方程两边平方得出x+6＝9，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：＝3，方程两边平方得：x+6＝9，解得：x＝3，经检验x＝3是原方程的解，即原方程的解是x＝3，故答案为：x＝3．【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．28．（2022•普陀区模拟）方程的解是x＝﹣1．【分析】根据方程可知等号左边的x+1≤0，等号右边根号里面的x+1≥0，联立不等式组，即可解答本题．【解答】解：∵，∴，解得，x＝﹣1，故答案为：x＝﹣1．【点评】本题考查解无理方程，解题的关键是明确无理方程的解法，由无理方程可以发现隐含条件．三．解答题（共18小题）29．（2022•黄浦区二模）解方程：．【分析】观察可得方程最简公分母为（x2﹣9）．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．【解答】解：方程两边同乘以（x+3）（x﹣3）得：（1分）4x＝x2﹣9+2（x+3）﹣2（x﹣3），（2分）整理得：x2﹣4x+3＝0，（2分）解得：x1＝1，x2＝3，（3分）经检验：x2＝3是原方程的增根，（1分）所以，原方程的解为x＝1．（1分）【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要验根．30．（2022•崇明区二模）解方程组：．【分析】分解因式，将二元二次方程组化为二元一次方程组即可求解．【解答】解：由②得：（x﹣y）（x﹣4y）＝0，∴x﹣4y＝0或x﹣y＝0，∴原方程组可以化为两个二元一次方程组：或，解，得，解，得，∴原方程组的解是或．【点评】本题考查解二元二次方程组，解题的关键是将二元二次方程组降次，化为二元一次方程组．31．（2022•嘉定区校级模拟）解方程组：．【分析】用代入法即可解答，把①化为x＝1+y，代入②得（1+y）2+2y+3＝0即可．【解答】解：由①得y＝x﹣2③把③代入②，得x2﹣2x（x﹣2）﹣3（x﹣2）2＝0，即x2﹣4x+3＝0解这个方程，得x1＝3，x2＝1代入③中，得或．∴原方程组的解为或．【点评】考查了高次方程，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．32．（2022•青浦区模拟）解方程：+＝．【分析】根据解分式方程的步骤，求出方程+＝的解即可．【解答】解：去分母得：x（x﹣2）+12＝3（x+2），去括号得：x2﹣2x+12＝3x+6，移项，合并同类项得：x2﹣5x+6＝0，解得：x＝2或x＝3，检验：（1）把x＝2代入得：x2﹣4＝0，∴x＝2不是原方程的解．（2）把x＝3代入得：x2﹣4≠0，∴x＝3是原方程的解．【点评】此题主要考查了解分式方程问题，要明确解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．33．（2022•金山区二模）解方程：．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3x﹣1﹣（2x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，整理得：3x2﹣2x﹣1＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣，检验：把x＝1代入得：（x+1）（x﹣1）＝0，把x＝﹣代入得：（x+1）（x﹣1）≠0，∴x1＝1是原方程的增根，x2＝﹣是原方程的根，则原方程的根是x＝﹣．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．34．（2022•宝山区二模）解方程：．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x﹣2+4＝x2﹣4，即x2﹣x﹣6＝0，分解因式得：（x﹣3）（x+2）＝0，解得：x＝3或x＝﹣2，当x＝3时，（x+2）（x﹣2）≠0；当x＝﹣2时，（x+2）（x﹣2）＝0，∴x＝﹣2是增根，分式方程的解为x＝3．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．35．（2022•杨浦区三模）解方程：．【分析】根据解分式方程的一般步骤计算．【解答】解：方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得，x（x﹣1）﹣4＝（x+1）（x﹣1）整理得，x＝﹣3，检验：当x＝﹣3时，（x+1）（x﹣1）≠0，x＝﹣3是原方程的解．【点评】本题考查的是分式方程的解法，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．36．（2022•黄浦区校级二模）解方程：【分析】由于x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），本题的最简公分母是（x+1）（x﹣1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．【解答】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得x2﹣3x+（2x﹣1）（x+1）＝0，整理得3x2﹣2x﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣．经检验，x1＝1是增根，x2＝﹣是原方程的根．∴原方程的根是x＝﹣．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．（3）本题需注意：当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，才能确定最简公分母．37．（2022•徐汇区二模）解方程组．【分析】把组中的第二个方程利用因式分解法化为两个一次方程，再与组中的第一个方程组成新的方程组，求解即可．【解答】解：，由（2）得：（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）＝0，∴x﹣y+4＝0或x﹣y﹣4＝0．（1）和新方程组成新的方程组为或，解这两个方程组得或．所以原方程组的解为，．【点评】本题考查了高次方程，掌握整式的因式分解，把二元二次方程组转化为一元一次方程组是解决本题的关键．38．（2022•松江区二模）解方程组：．【分析】因式分解组中方程②，把①整体代入得新方程，新方程和①组成方程组，求解即可．【解答】解：，由②，得（x﹣2y）（x+y）＝10③，把①代入③，得x﹣2y＝5④．由①④组成新的方程组为，解得．所以原方程组的解为：．【点评】本题考查了高次方程，解决本题亦可把①变形，用代入法求解．39．（2022•闵行区二模）解方程组：．【分析】因式分解方程组中的方程②，化为两个一元一次方程，与组中的方程①重新构成新的方程组，求解即可．【解答】解：，由②得：（2x+3y）（2x﹣3y）＝0．∴2x+3y＝0，2x﹣3y＝0，∴原方程组可化为，．解方程组解得；解方程组得．∴原方程组的解为：，．【点评】本题考查了高次方程，把高次方程转化为一元一次方程是解决本题的关键．40．（2022•金山区校级模拟）解方程组：．【分析】因式分解②，得两个二元一次方程，这两个二元一次方程和①联立组成新的方程组，求解即可．【解答】解：由②，得（x+5y）（x﹣y）＝0，所以x+5y＝0③或x﹣y＝0④．由①③、①④组成新的方程组为：，．解这两个方程组，得，．所以原方程组的解为；，．【点评】本题考查了高次方程，掌握因式分解和二元一次方程组的解法是解决本题的关键．41．（2022•上海模拟）已知x＝﹣1是方程的解，求实数a的值．【分析】把x＝﹣1代入方程中可得﹣＝1，然后按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：﹣＝1，5﹣4（a+4）＝a2﹣16，解得：a＝﹣5或a＝1，检验：当a＝﹣5时，a2﹣16≠0，∴a＝﹣5是原方程的根，当a＝1时，a2﹣16≠0，∴a＝1是原方程的根，∴实数a的值为﹣5或1．【点评】本题考查了解分式方程，一元二次方程的解，一定要注意解分式方程必须检验．42．（2022•嘉定区二模）解方程组：【分析】由②得出（x+6y）（x﹣y）＝0，求出x+6y＝0，x﹣y＝0③，由①和③组成两个二元一方程组，再求出方程组的解即可．【解答】解：，由②得：（x+6y）（x﹣y）＝0，即x+6y＝0，x﹣y＝0③，则由①和③组成两个方程组，，解之得：，，即原方程组的解是，．【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组（低次方程组）是解此题的关键．43．（2022•杨浦区二模）解方程组：．【分析】由②得出（x﹣3y）（x+y）＝0，求出x﹣3y＝0，x+y＝0③，由①和③组成两个二元一方程组，再求出方程组的解即可．【解答】解：，由②得：（x﹣3y）（x+y）＝0，即x﹣3y＝0，x+y＝0③，则由①和③组成两个方程组，，解之得：，，即原方程组的解是，．【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组（低次方程组）是解此题的关键．44．（2022•上海模拟）近年来，自动驾驶的无人配送车纷纷落地使用．无人配送车都是由电池驱动的，主要有“换电”和“充电”两种能源补给方式，“充电”方式需要企业建造高标准的充电桩，初始固定成本偏高．如图是某无人配送车企业针对一个配送区域所绘制的两种能源补给方式的总平均成本y（单位：元）与人口数x（单位：万人）的函数关系图象（直线），已知两种能源补给方式的初始固定成本差为21元．（1）求两种能源补给方式各自的y关于x的函数解析式；（不要求写函数的定义域）（2）目前该配送区域人口为50万，经过数据分析，两年后企业全部采用“充电”能源补给方式的总平均成本更低，求估计的该区域人口的年平均增长率．（百分数保留一位小数）（参考数据：≈5.477，≈5.916，≈6.325，≈6.708）【分析】（1））由题意得“充电”补给方式的初始固定成本为51元，设“充电”补给方式y关于x的解析式为y＝k1x+b1，把（0，51），（30，36）代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式，设“换电”补给方式y关于x的解析式为y＝k2x+b2，把（0，30），（30，24）代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式；（2）联立，解得：，得出当配送区域人口为70万人时，两种方式的总平均成本一样，设该区域人口的年平均增长率为a，由题意得列出一元二次方程，解方程得出增长率为0.183，由两年后“充电”能源补给方式的总平均成本更低，得出该区域人口的年平均增长率要大于18.3%．【解答】解：（1）∵30+21＝51（元），∴“充电”补给方式的初始固定成本为51元，设“充电”补给方式y关于x的解析式为y＝k1x+b1，把（0，51），（30，36）代入得：，解得：，∴“充电”补给方式y关于x的解析式为y＝﹣x+51，设“换电”补给方式y关于x的解析式为y＝k2x+b2，把（0，30），（30，24）代入得：，解得：，∴“换电”补给方式y关于x的解析式为y＝﹣x+30；（2）联立，解得：，∴当配送区域人口为70万人时，两种方式的总平均成本一样，设该区域人口的年平均增长率为a，由题意得：50（1+a）2＝70，解得：a1＝0.183，a2＝﹣2.183（不符合题意，舍去），∵两年后“充电”能源补给方式的总平均成本更低，∴该区域人口的年平均增长率要大于18.3%．【点评】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握待定系数法求一次函数解析式，列一元二次方程，解一元二次方程是解决问题的关键．45．（2022•静安区二模）现有某服装厂接到一批衬衫生产任务，该厂有甲乙两个生产衬衫的车间，甲车间要完成3000件，乙车间要完成2500件．已知甲车间比乙车间每天多生产125件，如果两车间同时开工，且甲车间比乙车间提前2天完成任务，那么甲车间和乙车间分别用了几天完成各自的任务？【分析】设乙车间每天生产x件，则甲车间每天生产（x+125）件，根据“两车间同时开工，且甲车间比乙车间提前2天完成任务”列分式方程，求解即可．【解答】解：设乙车间每天生产x件，则甲车间每天生产（x+125）件，根据题意，得，解得x1＝250，x2＝﹣625（不合题意，舍去）经检验，x1＝250是原方程的根，且符合题意，3000÷（250+125）＝8（天），2500÷250＝10（天），答：甲车间用8天完成任务，乙车间用10天完成任务．【点评】本题考查了分式方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．46．（2022•闵行区二模）北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？【分析】设玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，根据改良生产线后提前10天完成任务，列分式方程，求解即可．【解答】解：设玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，根据题意，得，化简得：x2+20x﹣12000＝0，解得x1＝100，x2＝﹣120（不合题意，舍去），经检验，x1＝100是原方程的根，且符合题意，答：玩具厂改良生产线前每天生产100箱“冰墩墩”．【点评】本题考查了分式方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．【名校自招练】一．填空题（共17小题）1．（2018•浦东新区校级自主招生）已知关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根x1、x2满足，则实数a＝3﹣．【分析】先根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和，代入进行计算即可．【解答】解：∵关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根为x1、x2，∴Δ＝（a﹣2）2﹣4（a+1）≥0，即a（a﹣8）≥0，∴当a≥0时，a﹣8≥0，即a≥8；当a＜0时，a﹣8＜0，即a＜8，所以a＜0．∴a≥8或a＜0，∴x1+x2＝2﹣a，x1•x2＝a+1，∵x12+x22＝4，（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，解得a＝3±．∵3＜＜4，∴6＜3+＜7（不合题意舍去），3﹣＜0；∴a＝3﹣．故答案为：a＝3﹣．【点评】本题考查的是根与系数的关系，熟记x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝是解答此题的关键．2．（2016•闵行区校级自主招生）设x，y为实数，则代数式2x2+4xy+5y2﹣4x+2y+5的最小值为0．【分析】根据配方法把原式变成平方和的形式，根据非负数的性质解答．【解答】解：2x2+4xy+5y2﹣4x+2y+5＝（x2+4xy+4y2）+（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）＝（x+2y）2+（x﹣2）2+（y+1）2≥0，∵（x+2y）2≥0，（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴当x＝2，y＝﹣1时等号成立，∴当x＝2，y＝﹣1时，代数式2x2+4xy+5y2﹣4x+2y+5的最小值为0，故答案为：0．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤、完全平方公式是解题的关键．3．（2018•浦东新区校级自主招生）关于x、y的方程组有2组解．【分析】先把y＝1两边平方得到y2•x＝1，得到x＝y﹣2，再把x＝y﹣2代入方程xx﹣y＝yx+y得y﹣2（x﹣y）＝yx+y，然后讨论：当y＝1时，x＝1；当y≠1，则﹣2（x﹣y）＝x+y，所以y＝3x，x＝，再代入x＝y﹣2即可得到y的值，从而可确定方程组的解．【解答】解：把y＝1两边平方得到y2•x＝1，则x＝y﹣2，把x＝y﹣2代入方程xx﹣y＝yx+y得y﹣2（x﹣y）＝yx+y，当y＝1时，x＝1，当y≠1，则﹣2（x﹣y）＝x+y，所以y＝3x，x＝，∴＝，解得y＝，∴x＝．经检验方程组的解为或．故答案为2．【点评】本题考查了解无理方程：通过平方法或换元法把无理方程转化为整式方程，再解整式方程，然后把整式方程的解代入原方程进行检验确定无理方程的解．也考查了a0＝1（a≠0）以及负整数指数幂．4．（2017•浦东新区校级自主招生）设实数x，y分别满足99x2+2019x+1＝0．y2+2019y+99＝0并且xy≠1．则＝﹣．【分析】根据题意可知x与是方程99x2+2019x+1＝0的两个根，由根与系数的关系分别求出两根的和与两根的积，代入代数式即可求出代数式的值．【解答】解：∵y2+2019y+99＝0，∴y≠0，方程y2+2019y+99＝0两边除以y2得，99×+2019×+1＝0，∴x和是方程足99x2+2019x+1＝0的两个根，∴x+＝，，∴＝x+10×+＝＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系及代数式求值．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．（2017•杨浦区校级自主招生）已知a2＝7﹣3a，b2＝7﹣3b，且a≠b，则+＝﹣．【分析】由a、b满足条件a2＝7﹣3a，b2＝7﹣3b，可知a、b为方程x2+3x﹣7＝0的两个根，由根与系数的关系可得出a+b＝﹣＝﹣3，ab＝＝﹣7，再将分式转化成只含a+b和ab的分式，代入数据即可得出结论．【解答】解：∵a2＝7﹣3a，b2＝7﹣3b，∴a、b为方程x2+3x﹣7＝0的两个根，∴a+b＝﹣＝﹣3，ab＝＝﹣7．＝＝＝＝＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了根与系数的关系、分式的化简以及完全平方公式的应用，解题的关键是求出a+b＝﹣3，ab＝﹣7．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．6．（2016•宝山区校级自主招生）已知a是非零实数，则a2+的最小值等于2．【分析】原式变形后配方，再利用非负数的性质求出最小值即可．【解答】解：∵a是非零实数，∴原式＝a2﹣2+（）2+2＝（a﹣）2+2≥2，则a2+的最小值等于2，故答案为：2【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．（2022•徐汇区校级自主招生）如果方程x3﹣7x2+（10+k）x﹣2k＝0的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，则实数k＝6或．【分析】先确定x＝2是方程的一个根，再由x2﹣5x+k＝0有两个相等的根或x2﹣5x+k＝0有一个根是2，分别求解k的值，根据等腰三角形的三边关系进行验证即可．【解答】解：由题意可知x3﹣7x2+（10+k）x﹣2k＝0有两个相等的根，∵当x＝2时，x3﹣7x2+（10+k）x﹣2k＝0，∴x3﹣7x2+（10+k）x﹣2k＝（x﹣2）（x2﹣5x+k），∵方程的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，∴x2﹣5x+k＝0有两个相等的根或x2﹣5x+k＝0有一个根是2，当x2﹣5x+k＝0有两个相等的根时，Δ＝25﹣4k＝0，解得k＝，此时方程的根为x＝，∴三角形的三条边长分别为2，，；当x2﹣5x+k＝0有一个根是2时，k＝6，此时方程的根为x＝2或x＝3，∴三角形的三条边长分别为2，2，3；综上所述：k的值为6或，故答案为：6或．【点评】本题考查等腰三角形的性质，高次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法，等腰三角形的性质是解题的关键．8．（2019•徐汇区校级自主招生）已知两二次方程ax2+ax+b＝0与ax2+bx+b＝0各取一根，这两根乘积为1，求这两根的平方和为3．【分析】设方程两根分别为：m、，则，两式相减得到（a﹣b）（m2+m﹣1）＝0，即可得到m2+m﹣1＝0，得m﹣＝﹣1，进而得到m2+＝（m﹣）2+2＝3．【解答】解：设方程两根分别为：m、，则相减可得：（a﹣b）（m2+m﹣1）＝0，若a＝b，则x2+x+1＝0，无实根若a≠b，则m2+m﹣1＝0，得m﹣＝﹣1，∴m2+＝（m﹣）2+2＝3，故答案为3．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根与系数的关系的应用，用到的知识点：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．9．（2017•杨浦区校级自主招生）已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣（a+1）＝0的根都是整数，则满足条件的整数a的值为1，﹣1，0，2，3．【分析】首先利用当a＝1时，得到一个一元一次方程，直接得出根；当a≠1，把x＝1代入方程，得出a的取值．【解答】解：①当a＝1时，x＝1；②当a≠1时，原式可以整理为：[（a﹣1）x+a+1]（x﹣1）＝0，易知x＝1是方程的一个整数根，再由x＝＝﹣1+且x是整数，知1﹣a＝±1或±2，∴a＝﹣1，0，2，3．故答案为：1，﹣1，0，2，3．【点评】此题主要考查了方程整数解的求法，从特殊解入手求解，比较简单．10．（2017•杨浦区校级自主招生）＝1的解有2个．【分析】分两种情况考虑：1、底数为1；2、指数为0，底数不为0，分别求出解即可．【解答】解：当x﹣3＝1，即x＝4时，方程成立；当x﹣3＝﹣1，即x＝2时，指数中分母为0，不合题意；当＝0，x﹣3≠0时，整理得：x2﹣8x+15＝0，即（x﹣3）（x﹣5）＝0，x≠3，解得：x＝5，经检验x＝5是分式方程的解，综上，方程的解为x＝4或x＝5，共2个．故答案为：2【点评】此题考查了解分式方程，绝对值，以及零指数幂，熟练掌握各自的性质及分式方程的解法是解本题的关键．11．（2016•徐汇区校级自主招生）方程的解为x＝2【分析】设y＝，则原方程转化为y++1＝3，解该分式方程即可．【解答】解：设y＝，则原方程转化为y++1＝3整理，得：（y﹣1）2＝0，解得y＝1，所以＝1，整理，得：x+1＝3，解得x＝2．经检验x＝2是原方程的根．故答案是：x＝2．【点评】本题主要考查换元法在解分式方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．12．（2019•宝山区校级自主招生）若关于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为．【分析】运用根与系数关系、根的判别式，根据勾股定理列方程解答即可．【解答】解：设某直角三角形的三边长分别为a、b、c，依题意可得x﹣4＝0或x2﹣6x+m＝0，∴x＝4，x2﹣6x+m＝0，设x2﹣6x+m＝0的两根为a、b，∴（﹣6）2﹣4m≥0，m≤9，根据根与系数关系，得a+b＝6，ab＝m，则c＝4，①c为斜边时，a2+b2＝c2，（a+b）2﹣2ab＝c2∴62﹣2m＝42，m＝10（不符合题意，舍去）；②a为斜边时，c2+b2＝a2，42+（6﹣a）2＝a2，a＝，b＝6﹣a＝，∴m＝ab＝＝，故答案为．【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练运用根与系数关系、根的判别式是解题的关键．13．（2019•宝山区校级自主招生）设方程（x+1）（x+11）+（x+11）（x+21）+（x+1）（x+21）＝0的两根为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）＝．【分析】先将方程（x+1）（x+11）+（x+11）（x+21）+（x+1）（x+21）＝0化简，然后根据韦达定理得出x1+x2和x1x2的值，再化简要求的式子，最后将x1+x2和x1x2的值代入化简后的式子即可．【解答】解：∵（x+1）（x+11）+（x+11）（x+21）+（x+1）（x+21）＝0∴x2+12x+11+x2+32x+231+x2+22x+21＝0∴3x2+66x+263＝0∵Δ＝662﹣4×3×263＝4356﹣3156＞0∴由韦达定理得：x1+x2＝﹣22，x1x2＝∵（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝﹣22+1＝故答案为：．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及方程和代数式的化简，计算具有一定的难度．14．（2017•浦东新区校级自主招生）建平中学社团活动丰富多彩，有JTV社（金苹果电视台）、04辩论社、智能机器人社、健美操社……，在一次社团文化节上．中国象棋社开展了社员PK活动