第24讲 二次函数中的线段相等与倍半关系问题（解析版）

第24讲【技巧点拨】本节压轴题解题的基本解题步骤一.寻找题目中的已知量和特殊条件二．用相似得到比例式可以直接求解教学重难点1.培养学生挖掘信息的能力，并能从题目中寻找有利条件；2.培养学生分析问题解决问题的能力；3.让学生学会把难题分解，从而分段击破；4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。【中考挑战满分模拟练】1．（2023闵行区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过A（﹣1，3）、B（2，0），点C是该抛物线上的一个动点，联结AC，与y轴的正半轴交于点D．设点C的横坐标为m．（1）求该抛物线的表达式；（2）当＝时，求点C到x轴的距离；（3）如果过点C作x轴的垂线，垂足为点E，联结DE，当2＜m＜3时，在△CDE中是否存在大小保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由＝＝，得到CH＝，即可求解；（3）求出直线AC的表达式为：y＝（m﹣3）x+m，则点D（0，m），即可求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x；（2）过点C作y轴的垂线交y轴于点H，交过点A与y轴的平行线于点G，则AG∥DH，则＝＝，由点A的坐标知，GH＝1，则CH＝，当x＝时，y＝x2﹣2x＝﹣，即点C的坐标为（，﹣），即点C到x轴的距离为；（3）存在，∠DEC＝45°为常数，理由：设点C的坐标为（m，m2﹣2m），设直线AC的表达式为：y＝k（x+1）+3，将点C的坐标代入上式并解得：k＝m﹣3，则直线AC的表达式为：y＝（m﹣3）x+m，则点D（0，m），则OD＝OE，即∠DEO＝45°，则∠DEC＝90°﹣∠DEO＝45°．【点评】本题考查了二次函数综合运用，主要考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数的性质、平行线分线段成比例等知识，有一定的综合性，难度适中．2．（2022•闵行区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段BC于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点G．（1）求抛物线的表达式；（2）以点G为圆心，BG为半径画⊙G；以点E为圆心，EF为半径画⊙E．当⊙G与⊙E内切时．①试证明EF与EB的数量关系；②求点F的坐标．【分析】（1）根据点A、B的坐标，设抛物线y＝a（x+1）（x﹣3），再将点C代入即可求出a的值，从而得出答案；（2）①分两种情形，当r⊙G＞r⊙E时，则GB﹣EF＝GE，则EF＝EB，当r⊙G＜r⊙E时，则EF﹣GB＝GE，设EF＝5t，FG＝3t，GE＝4t，则5t﹣GB＝4t，则GB＝t＜GE＝4t，从而得出矛盾；②由．设BD＝t，则DE＝，利用勾股定理得BE＝，则F坐标为（3﹣t，3t），代入抛物线解析式，从而解决问题．【解答】解：（1）∵点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）．设抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），∵抛物线经过点C（0，4），∴4＝﹣3a．解得．∴抛物线的表达式是；（2）①由于⊙G与⊙E内切，当r⊙G＜r⊙E时，则EF﹣GB＝GE，设EF＝5t，FG＝3t，GE＝4t，则5t﹣GB＝4t，∴GB＝t＜GE＝4t，∴点E在线段CB的延长线上．又∵已知点E在线段BC上，∴矛盾，因此不存在．当r⊙G＞r⊙E时，则GB﹣EF＝GE，又∵GE＝GB﹣EB，∴EF＝EB；②∵OC⊥OB，FD⊥OB，∴∠COB＝∠EDB＝90°．∴．∴设BD＝t，则DE＝；在Rt△BED中，由勾股定理得，．∴，∴F坐标为（3﹣t，3t），∵F点在抛物线上，∴，∴解得，t＝0（点F与点B重合，舍去）．∴F坐标为（，）．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，圆与圆的位置关系，三角函数等知识，根据⊙G与⊙E内切，得出EF＝EB是解决问题的关键．3．（2022•松江区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝2x+8与x轴交于点A、与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．（1）求抛物线的表达式；（2）P是抛物线上一点，且位于直线AB上方，过点P作PM∥y轴、PN∥x轴，分别交直线AB于点M、N．①当MN＝AB时，求点P的坐标；②联结OP交AB于点C，当点C是MN的中点时，求的值．【分析】（1）先根据题意求出点A、B的坐标，代入y＝﹣x2+bx+c即可求得抛物线的表达式；（2）①证明△PMN∽△OBA，可得，设点M的横坐标为m（﹣4＜m＜0），则PM＝﹣m2﹣4m，又OA＝4，OB＝8，建立方程求解即可得出答案；②连接OP交AB于点C，先求出点N的坐标，利用中点公式可求得C（﹣，），再证明点C是AB的中点，可得C（﹣2，4），建立方程求解即可得出答案．【解答】解：（1）∵直线y＝2x+8与x轴交于点A、与y轴交于点B，∴令x＝0，则y＝8，令y＝0，则x＝﹣4，∴B（0，8），A（﹣4，0），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，∴，∴，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+8；（2）①∵P是抛物线上一点，且位于直线AB上方，过点P作PM∥y轴、PN∥x轴，分别交直线AB于点M、N，∴PM⊥PN，∠PNM＝∠BAO，∴∠MPN＝∠AOB＝90°，∴△PMN∽△OBA，∴，设点M的横坐标为m（﹣4＜m＜0），则M（m，2m+8），P（m，﹣m2﹣2m+8），∴PM＝﹣m2﹣2m+8﹣（2m+8）＝﹣m2﹣4m，∵B（0，8），A（﹣4，0），∴OA＝4，OB＝8，∵MN＝AB，∴，∴＝，解得m1＝m2＝﹣2，∴P（﹣2，8）；②如图，连接OP交AB于点C，∵PN∥x轴，P（m，﹣m2﹣2m+8），∴点N的纵坐标为﹣m2﹣2m+8，令y＝﹣m2﹣2m+8，则2x+8＝﹣m2﹣2m+8，解得：x＝，N（，﹣m2﹣2m+8），∵点C是MN的中点，M（m，2m+8），∴C（﹣，），由①知：∠MPN＝90°，又点C是MN的中点，∴PC＝CM＝CN，∴∠CPN＝∠CNP，∠CPM＝∠CMP，∵PM∥y轴、PN∥x轴，∴∠BOC＝∠CPM，∠OBC＝∠CMP，∠OAC＝∠CNP，∠AOC＝∠CPN，∴∠BOC＝∠OBC，∠OAC＝∠AOC，∴AC＝OC，BC＝OC，∴AC＝BC，∴点C是AB的中点，∴C（﹣2，4），∴﹣＝﹣2，解得：m＝±2，∵﹣4＜m＜0，∴m＝﹣2，∴PM＝﹣m2﹣4m＝﹣（﹣2）2﹣4×（﹣2）＝8﹣8，∵PM∥y轴，∴△PCM∽△OCB，∴＝＝＝﹣1，故的值为﹣1．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，中点公式的应用，难度不大，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．4．（2022•静安区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标是（2，4），点B在x轴上，OB＝AB（如图所示），二次函数的图象经过点O、A、B三点，顶点为D．（1）求点B与点D的坐标；（2）求二次函数图象的对称轴与线段AB的交点E的坐标；（3）二次函数的图象经过平移后，点A落在原二次函数图象的对称轴上，点D落在线段AB上，求图象平移后得到的二次函数解析式．【分析】（1）设B（m，0），由OB＝AB，可求B（5，0），设二次函数解析式为y＝ax（x﹣5），将（2，4）代入可求函数的解析式，从而求D点坐标；（2）求出直线AB解析式为y＝﹣x+，令x＝得y＝﹣×+＝，求得E（，）；（3）由A点的变化可知A点向右平移个单位，则D（，）向右平移个单位后点的横坐标为3，再由平移后的D点在线段AB上，从而求出平移后D点坐标为（3，），可得平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+．【解答】解：（1）设B（m，0），∵A坐标是（2，4），OB＝AB，∴m2＝（m﹣2）2+（0﹣4）2，解得m＝5，∴B（5，0），设二次函数解析式为y＝ax（x﹣5），将（2，4）代入得：﹣6a＝4，解得a＝﹣，∴y＝﹣x（x﹣5）＝﹣（x﹣）2+，∴顶点D（，）；（2）由（1）知二次函数图象的对称轴是直线x＝，设直线AB解析式为y＝kx+b，将A（2，4），B（5，0）代入得：，解得，∴直线AB解析式为y＝﹣x+，令x＝得y＝﹣×+＝，∴E（，）；（3）∵二次函数图象的对称轴是直线x＝，∴A点向右平移个单位，∴D（，）也向右平移个单位后点的横坐标为3，∵平移后的D点在线段AB上，∴平移后D点坐标为（3，），∴平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象的平移的性质是解题的关键．5.（2022杨浦一模24）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），点P是该抛物线在第一象限内一点，联结AP、BC，AP与线段BC相交于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与线段BC交于点E，如果点F与点E重合，求点P的坐标；（3）过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，PG与线段BC交于点H，如果PF＝PH，求线段PH的长度．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）和点C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，∴，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵y＝﹣x2+x+2，∴对称轴为直线x＝，令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或x＝4，∴B（4，0），设直线BC的解析式为y＝kx+m，∴，∴，∴y＝﹣x+2，∴E（，），设直线AE的解析式为y＝k'x+n，∴，∴，∴y＝x+，联立，∴x＝3或x＝﹣1（不符合题意，舍去），∴P（3，2）；（3）解法一：设P（t，﹣t2+t+2），则H（t，﹣t+2），∴PH＝﹣t2+2t，设直线AP的解析式为y＝k1x+b1，∴，∴，∴y＝x+，联立，∴x＝，∴F（，），直线AP与y轴交点E（0，），∴CE＝2﹣＝，∵PF＝PH，∴∠PFH＝∠PHF，∵PG∥y轴，∴∠ECF＝∠PHF，∵∠CFE＝∠PFH，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝EF，∴（）2＝（）2+（﹣）2，∴（4﹣t）2+4＝（5﹣t）2，∴t＝，∴PH＝﹣t2+2t＝．6.（2020长宁二模）如图7，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，对称轴是直线，顶点为点，抛物线与轴交于点.（1）求抛物线的表达式和点的坐标；（2）将上述抛物线向下平移1个单位，平移后的抛物线与x轴正半轴交于点，求的面积；（3）如果点在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结交线段于点，，求点的坐标.图图7-1-2-3-41234-1-2-3-41234Oxy解：（1）抛物线经过点，对称轴是直线∴，解得（2分）∴抛物线的解析式为，顶点B的坐标是（2分）（2）抛物线与轴交于点平移后的抛物线表达式为：，点D的坐标是（2分）过点做轴，垂足为点∴（2分）（3）∵直线经过点、，∴直线的表达式为：设对称轴与直线相交于点，则∵∴（1分）过点作，交直线于点设点，则∴（1分）∵∴∴∴∴（舍去）或（1分）∴（1分）7.（2021闵行区二模24）（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，0），顶点为点B，对称轴为直线x＝3，且对称轴与x轴交于点C．直线y＝kx+b，经过点A，与线段BC交于点E．（1）求抛物线y＝﹣x2+mx+n的表达式；（2）联结BO、EO．当△BOE的面积为3时，求直线y＝kx+b的表达式；（3）在（2）的条件下，设点D为y轴上的一点，联结BD、AD，当BD＝EO时，求∠DAO的余切值．【分析】（1）利用待定系数法和抛物线对称轴公式即可求解；（2）先求出顶点B坐标，根据△BOE的面积为3求出BE，进而求出点E坐标，利用待定系数法即可求解；（3）分BD∥OE和BD与OE不平行两种情况，分别求出D坐标，利用余切定义即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，3），∴，∴，∴抛物线表达式为y＝﹣x2+6x﹣6；（2）把x＝3代入y＝﹣x2+2x﹣5得y＝4，∴抛物线顶点B坐标为（5，4），由△BOE的面积为3得BE×3＝3，∴BE＝2，∵点E在线段BC上，∴点E坐标为E（3，3），把点E（3，2）和点A（8，，∴，∴直线表达式为y＝﹣x+5；（3）如图，①若BD∥OE，则四边形OEBD1为平行四边形，则点D4坐标为（0，2），连接D5A，∴cot∠D1AO＝＝，综上所述，此时∠DAO的余切值为或．【点评】本题为二次函数综合题，考查了二次函数性质，求一次函数解析式，余切定义等知识，熟练掌握各知识点是解题关键，解第（3）步时要注意分类讨论思想应用．8.（2021虹口二模24）如图8，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线H：交于点P(2，)，直线分别与直线l和双曲线H交于点E、D．（1）求k和b的值；（2）当点E在线段AB上时，如果ED=BO，求m的值；（3）点C是y轴上一点，如果四边形BCDE是菱形，求点的坐标．【答案】24．解：（1）由题意：把点P(2，)代入中，得．………（2分）把点P(2，)代入中，得．………（2分）（2）由题意：E，D．则．…（1分）∵ED=BO，且BO=3，∴．…………（1分）解得．…………（1分）∵点E在线段AB上，∴m<0．∴m的值为．…………（1分）（3）易得．………（1分）①当m<0，点E在点D上方时，．∵，∴．解得．∴，C．………（1分）②当m<0，点D在点E上方时，，方程无实根．③当m>0，点E在点D上方时，，方程无实根．④当m>0，点D在点E上方时，．解得．∴，C．……（1分）∴综上所述C或C.……（1分）9.（2020浦东二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线．（1）求抛物线的表达式；（2）直线平行于轴，与抛物线交于、两点（点在点的左侧），且，点关于直线的对称点为，求线段的长；（3）点是该抛物线上一点，且在第一象限内，联结、，交线段于点，当时，求点的坐标．【整体分析】（1）根据抛物线与轴交于点可得出c的值，然后由对称轴是直线可得出b的值，从而可求出抛物线的解析式；

（2）令y=0得出关于x的一元二次方程，求出x，可得出点A、B的坐标，从而得到AB的长，再求出MN的长，根据抛物线的对称性求出点M的横坐标，再代入抛物线解析式求出点M的纵坐标，再根据点的对称可求出OE的长；

（3）过点E作x轴的平行线EH，分别过点F，P作EH的垂线，垂足分别为G，Q，则FG∥PQ，先证明△EGF∽△EQP，可得，设点F的坐标为（a，-a+3），则EG=a，FG=-a+3-=-a+，可用含a的式子表示P点的坐标，根据P在抛物线的图象上，可得关于a的方程，把a的值代入P点坐标，可得答案．【满分解答】解：（1）将点C（0，3）代入得c=3，又抛物线的对称轴为直线x=1，∴-=1，解得b=2，∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3；（2）如图，令y=0，则-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，

∴点A（-1，0），B（3，0），∴AB=3-（-1）=4，

∵，∴MN=×4=3，

根据二次函数的对称性，点M的横坐标为，代入二次函数表达式得，y=，∴点M的坐标为，又点C的坐标为（0，3），点C与点E关于直线MN对称，∴CE=2×（3-）=，∴OE=OC-CE=；（3）如图，过点E作x轴的平行线EH，分别过点F，P作EH的垂线，垂足分别为G，Q，则FG∥PQ，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，∴直线BC的解析式为y=-x+3，设点F坐标为（a，-a+3），则EG=a，FG=-a+3-=-a+．∵FG∥PQ，∴△EGF∽△EQP，∴．∵，∴FP:EF=1:2，∴EF:EP=2:3．∴，∴EQ=EG=a，PQ=FG=（-a+）=-a+，∴xP=a，