2024年辽宁省初中学业水平模拟考试（三） 数学试卷 　

2024年辽宁省初中学业水平模拟考试（三）数学试卷一．选择题（共10小题，共30分）1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果水位上升2米记为+2米，则水位下降3米记为（）A．+3米 B．﹣3米 C．+2米 D．﹣2米2．如图，以下给出的几何体中，其主视图是矩形，俯视图是圆的是（）A． B． C． D．3．一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数为（）A．8 B．7 C．6 D．54．下列计算正确的是（）A．2a×2a＝8aB．（﹣2a）3＝﹣6a3 C．a2+a2＝2a4 D．（a+b）2＝a2+2ab+b25．若关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1 B．m＜﹣2 C．m≥0且m≠1 D．m＞﹣1且m≠06．已知不等式组3x-A．B． C． D．7．关于函数y＝﹣2x﹣5，下列说法不正确的是（）A．图象是一条直线 B．y的值随着x值的增大而减小 C．图象不经过第一象限 D．图象与x轴的交点坐标为（﹣5，0）8．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（）A．y=x+4.512y=x+1B．y=x+4.512y=x-1 C9．如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（）A．80° B．85° C．90° D．95°10．如图，在矩形ABCD中，AB=42，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AB，AD边于点M，N，分别以M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC边于点E，再以A为圆心，AE长为半径画弧，交AD边于点FA．1 B．32 C．2 D．9题10题二．填空题（共5小题，共15分）11．计算18÷9=12．如图，点A（2，4）与点B关于过点（3，0）且平行于y轴的直线l对称，则点B的坐标是．13．有四张正面分别标有汉字“中”、“考”、“必”、“胜”的卡片，它们除汉字外完全相同，将四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取两张，取出的两张卡片上的汉字能组成“必胜”的概率是．14．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=kx（x＞0）的图象与BC边交于点E，若S△AEF=16k12题14题15题15．如图，点P是在正△ABC内一点．PA＝6，PB＝8，PC＝10，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AP′，连接P′P，P′C，四边形APCP′的面积为，S△APB+S△BPC＝．三．解答题（共8小题共75分）16．（10分）（1）计算（-12）﹣2﹣（π﹣3）0+|3（2）先化简，再求值：(x2-1x217．（8分）某区城曾是市里有名的积水点，为了降低该区域积水的风险，市政府计划对该区域一段长4800米的排水管道进行改造．实际施工时，每天的施工速度比原计划提高了20%，经计算，按现有速度施工，将会比原计划提前10天完成任务．（1）求实际每天改造排水管道的长度；（2）改造完排水管道总长的一半时，为了减少对市民出行的影响，施工单位决定添加人员和机械设备加快施工进度，确保总工期不超过40天，那么接下来每天改造管道时，至少还要增加多少米？18．（9分）某校为了解七年级学生最喜爱的棋类情况，校团委通过学校公众号向七年级学生发放如图所示的调查问卷，要求如实填写并提交．调查问卷：你最喜爱的棋类是______．（只选一项）A．中国象棋B．围棋C．跳棋D．五子棋E．其他收集数据：校团委从中随机抽查了40份问卷，得到如下数据：ADABDCADEBEBCEDACADCCADDCDBDAECECDCADCDC整理数据：整理所收集的数据如表．最喜爱的棋类ABCDE人数8411百分比20%10%27.5%m%n%描述数据：将结果绘制成两幅不完整的统计图．根据以上信息回答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）m＝，n＝；（3）如果该校七年级有学生400名，估计选“围棋”的学生约有多少名？19．（8分）为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为8元的杯子，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）（不低于成本价）满足的一次函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？20．（8分）图是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，它的示意图．经过测量，支架的立柱AB与地面垂直（∠BAC＝90°，AB＝2.7米，点A、C、M在同一水平线上，斜杆BC与水平线AC的夹角∠ACB＝33°，支撑杆DE⊥BC，垂足为E，该支架的边BD与BC的夹角∠DBE＝66°，又测得CE＝2.2米．（1）求该支架的边BD的长；（2）求支架的边BD的顶端D到地面AM的距离．（结果精确到1米）（参考数据：sin33°≈0.54，sin66°≈0.91，cos33°≈0.84，cos66°≈0.40，tan33°≈0.65，tan66°≈2.25）21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点D，OF⊥BC于点E，交CD于点F．（1）求证：∠BCD＝∠BOE；（2）若sin∠CAB=35，AB＝10，求22．（12分）【发现问题】“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子，小丽发现叠放所需杯子的总数y随着第一层（最底出）杯子的个数x的变化而变化．【提出问题】叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？【分析问题】小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据：第一层杯子的个数x12345…杯子的总数y1361015…然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分，为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想．补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式．【解决问题】（1）直接写出y与x的关系式；（2）现有36个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数；（3）如图4所示，O处为点光源，ND，MA分别为杯子上，下底面圆的半径，OA＝24cm，OD＝15cm，MA＝4cm．将这样足够数重的杯子按【发现问题】中的方式叠放．但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过80cm．求：①杯子最多能叠放多少层和此时杯子的总数；②此时叠放达到的最大高度．23．（12分）【问题初探】：（1）数学活动课上，刘老师给出如下问题：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AC＝CD，∠ACD+∠BAC＝180°，CE⊥AD，垂足为E．求证：BC＝2CE．①如图2，小涵同学从∠ACD+∠BAC＝180°，这个条件出发，给出如下解题思路：得出∠BAC＝2∠CAD，作AF平分∠BAC交BC于点F，将∠ACD+∠BAC＝180°转化为∠CAF与∠CAD之间的数量关系．②如图3，小慧同学从结论的角度出发给出如下的解题思路：延长CE至点G，使CE＝EG，连接AG，将线段CE与BC之间的数量关系转化为线段CG与BC之间的数量关系．请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．【类比分析】：（2）刘老师发现之前两名同学都运用了转化思想，证明一条线段是另一条线段的2倍，将长的线段平分或将短的线段倍长，从而转化为证明两条线段相等．为了帮助学生更好地感悟转化思想，刘老师提出了下面的问题，请你解答．如图4，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，连接CD，过点B作BE⊥CD于点E，在BE上截取EF＝CE，连接AF交CD于点G．求证：BF＝2EG．【学以致用】：（3）如图5，在△ABC中，AB＝AC，sinB=45，D是BC中点，点E在线段BD上，连接AE，延长AC至点F，使CF＝BE，连接DF，若∠CDF＝∠BAE．求参考答案一．选择题（共10小题）1．B．2．C．3．C．4．D．5．D．6．B．7．D．8．B．9．B．10．A．二．填空题（共5小题）11．2．12．（4，4）．13．16．14．4．15．93+24；163三．解答题（共8小题）16．（1）5；（2）x2+1x17．解：（1）设原计划每天改造排水管道x米，则实际每天改造排水管道（1+20%）x米，根据题意得：4800x-解得：x＝80，经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意，∴（1+20%）x＝（1+20%）×80＝96．答：实际每天改造排水管道96米；（2）改造完排水管道总长的一半所需时间为4800÷2÷96＝25（天）．设接下来每天改造管道时，还要增加y米，根据题意得：（96+y）（40﹣25）≥4800÷2，解得：y≥64，∴y的最小值为64．答：接下来每天改造管道时，至少还要增加64米．18．解：（1）根据统计给出的数据知喜欢五子棋有12人，喜欢其他有5人，补全统计图如下：（2）m%=12即m＝30，n%=5即n＝12.5，故答案为：30，12.5；（3）400×10%＝40，故七年级400名学生中，估计选“围棋”的学生约有40人．19．解：（1）设函数解析式为y＝kx+b，∵一次函数过（10，200）和（15，150），∴10k+b=20015k+b=150解得：k=-∴y＝﹣10x+300，∵x＞8且﹣10x+300＞0，∴8＜x＜30，∴y与x的函数关系式y＝﹣10x+300（8＜x＜30）；（2）设每天的利润为w元，根据题意，得：w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣10x+300）＝﹣10x2+380x﹣2400＝﹣10（x﹣19）2+1210，∵﹣10＜0，∴当x＝19时，w最大，最大值为1210，∴售价定为19元时，每天销售获得的利润最大，最大利润是1210元．20．解：（1）由题意得，∠BAC＝90°，AB＝2.7米，∠ACB＝33°，∠DBE＝66°，CE＝2.2米，DE⊥BC，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，sin∠ACB=AB即BC=ABSin33°∴BE＝BC﹣CE＝5﹣2.2＝2.8（米），在Rt△BED中，∠BED＝90°，cos∠DBE=BE即BD=BEcos66°答：该支架的边BD的长7米；（2）过点D作DH⊥AM，垂足为H，过点B作BF⊥DH，垂足为F，∵BF∥AM，∴∠FBC＝∠ACB，∵∠ACB＝33°，∴∠FBC＝33°，∵∠DBE＝66°，∴∠DBF＝33°，在Rt△DBF中，∠DFB＝90°，sin∠DBF=DF即DF＝BD•sin∠ACB≈7×0.54＝3.78（米），∵FH＝AB＝2.7（米），∴DH＝DF+FH＝3.78+2.7＝6.48≈6（米），答：支架的边BD的顶端D到地面AM的距离为6米．21．（1）证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∴∠OCB+∠BCD＝90°，∵OF⊥BC，∴∠BEO＝90°，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠BCD＝∠BOE；（2）解：过B作BH⊥CD于H，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵sin∠CAB=BCAB=35∴BC＝6，∵OF⊥BC，∴AC∥OF，∴∠BOE＝∠CAB，∵∠BCD＝∠BOE，∴∠BAC＝∠BCD，∴sin∠CAB＝sin∠DCB=BH∴BH=18∵OC⊥CD，BH⊥CD，∴BH∥OC，∴△BDH∽△ODC，∴BHOC∴185解得BD=90故BD的长为90722．解：（1）依题意得：y=12（x+1）x=（2）当y＝36时，12x2+解得：x1＝8，x2＝﹣9（舍去），答：第一层杯子的个数为8个；（3）①∵第一层杯子的个数x个，且第一层摆放杯子的总长度不超过80cm，∴4×2x≤80，解得x≤10，x取最大值为10，即第一层摆放杯子的个数是10，杯子的层数也是10，∴杯子的总数为y=12（10+1）×10＝55（答：杯子最多能叠放10层和此时杯子的总数为55个；②在图4Rt△OMA中，OA＝24cm，MA＝4cm，∴OM=OA2-MA∵ND∥MA，∴△OND∽△OMA，∴ONOM∴ON=58OM=∴MN＝OM﹣ON=335∴10层杯子的高度是10MN=3352×10＝15答：杯子叠放达到的最大高度是1535cm．23．（1）证明：选择小涵同学的解题思路：作AF平分∠BAC交BC于点F，如图，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA．∵∠ACD+∠CAD+∠CDA＝180°，∴∠ACD+2∠CAD＝180°．又∵∠ACD+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝2∠CAD．∵AF平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠CAF，∴∠CAF＝∠CAD．又∵AB＝AC，∴BC＝2CF，AF⊥BC，∴∠AFC＝90°，又∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，在△ACF和△ACE中，∠FAC=∴△ACF≌△ACE（AAS），∴CF＝CE，∴BC＝2CE；选择小慧同学的解题思路：延长CE至G，使CE＝EG，连接AG，如图，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA．∵∠ACD+∠CAD+∠CDA＝180°，∴∠ACD+2∠CAD＝180°，又∵∠ACD+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝2∠CAD，∵AE⊥CG，CE＝GE，∴AE为线段CG的垂直平分线，∴AG＝AC，∠CAE＝