内蒙古自治区赤峰市红山区赤峰第四中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题(含答案)

赤峰四中2023-2024学年第二学期月考试卷高二数学一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.已知是等差数列，且，，则这个数列的前10项和等于（）A.-16 B.-30 C.-32 D.-602.记为等差数列的前项和.已知，，则（）A. B.C. D.3.双曲线：过点且离心率为2，则该双曲线标准方程为（）A. B.C. D.4.已知在数列中，，，且，则（）A.3 B.-3 C.6 D.-65.如果曲线在点处的切线方程为，那么（）A. B.C. D.不存在6.已知奇函数在区间上满足，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.7.已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.8.已知等差数列的公差，，且，，成等比数列，为数列的前项和，若对任意恒成立，则实数的最大值为（）A. B.9 C.6 D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列导数正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.已知函数，则（）A.的极小值点为-1B.的极大值为C.曲线在单调递减D.曲线在点处的切线方程为11.已知是的导函数，且，则（）A.B.C.的图像在处的切线斜率为0D.在上的最小值为112.已知等差数列的前项和为，若，公差，且，则下列命题正确的有（）A.是数列中的最大项 B.是数列中的最大项C. D.满足的的最大值为13三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为.则__________.14.抛物线的焦点到直线的距离为，则__________.15.已知正项数列满足（，且），，，则__________.16.已知函数在上为减函数，则的取值范围__________.四、解答题（本题共6小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.设，曲线在点处取得极值（1）求的值；（2）求函数的单调区间和极值.18.数列中，，.（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.19.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且.（1）求；（2）求二面角的正弦值.20.已知数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和；（3）若，求数列的前项和.21.已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交于A，B两点，交于C，D两点且.（1）求的离心率（2）设M是与的公共点，若，求与的标准方程.22.已知函数.（1）当时，求在上的单调区间；（2）若在内有极值，求实数的取值范围.赤峰四中2023-2024学年第二学期月考试卷高二数学答案单项选择1.B，2.D，3.A，4.C，5.B，6.B，7.C，8.D；多项选择9.AC，10.BD，11.BC，12.ACD；填空题13.31；14.2；15.；16.解答题17.（1）因为，所以.由题意知，，故可得，解得.（2）由（1）可知，令，解得，.因为函数定义域为，所以当或时，，当时，.故可得在区间和上单调递减，在区间上单调递增.故的极大值为，的极小值为.18.（1）∵，∴∴.由等比数列定义知是以为首项.2为公比的等比数列且∴，.（2）由（1）.∴.19.解：（1）因为平面,所以，.在矩形中，，故可以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设，则，，，，所以，.因为，所以，得，所以.（2）易知，由（1）可得，，，.设平面的法向量为，则即令，则，，所以平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则即得，令，则，所以平面的一个法向量为.，∴二面角的正弦值为.20.（1）由得时∴且时符合上式∴，（2）由得∴前项和（3）∴前项和①两端同乘2：②①-②：∴.21.解（1）由已知可设的方程为，其中.不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，；C，D的纵坐标分别为，，故，，由得，即.解得（舍去），.所以的离心率为.（2）由（1）知，，故：.如图，设，则，，故.①由于的准线为，所以，而，故，代入①得，即，解得（舍去），.所以的标准方程为，的标准方程为.22.解：（1）当时，，则，令，可得，故在上单调递减；令，可得，故在上单调递增.故的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由，可得.因为在内有极值，所以在内存在变号零点，即方程在内存在解，所以函数的图象与轴在内有交点，易知，①当时，，单调递增.又，所以在上恒成立，此时的图象与轴在内没有交点.不符合题意.②当时，若，则，单调递增.若，则，单调递减。