上海市松江区2023-2024学年高三下学期模拟考质量监控数学试卷（含答案）

松江区2023学年度第二学期模拟考质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟）2024.4考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号。3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．函数的定义域是．2．在复平面内，复数对应点的坐标是，则．3．已知随机变量服从正态分布，且，则．4．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为．5．已知，则．6．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则此圆锥的体积为．（结果中保留）7．已知等差数列的公差为，前n项和为，若，则使得成立的的最大值为．8．已知函数，记，若，则的最小值为．9．已知、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A、B两点，若，则该双曲线的离心率为．10．已知正三角形的边长为，点满足，且，，，则的取值范围是．11．已知，函数若该函数存在最小值，则实数的取值范围是．12．某校高一数学兴趣小组一共有名学生，学号分别为，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有种不同的选择方法．二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第13、14题选对得4分，第15、16题选对得5分，否则一律得零分．13．已知集合，则（）A． B． C． D．14．某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾（千克）所需的费用（角）的情况作了调研，并统计得到右表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则下列说法错误的是（）A．变量、之间呈正相关关系 B．可以预测当时，的值为C． D．由表格中数据知样本中心点为15．已知某个三角形的三边长为、及，其中．若，是函数的两个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．16．设为数列的前项和，有以下两个命题：=1\*GB3①若是公差不为零的等差数列且，则是的必要非充分条件；=2\*GB3②若是等比数列且，则的充要条件是．那么（）A．=1\*GB3①是真命题，=2\*GB3②是假命题 B．=1\*GB3①是假命题，=2\*GB3②是真命题 C．=1\*GB3①、=2\*GB3②都是真命题 D．=1\*GB3①、=2\*GB3②都是假命题三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分设()，函数图像的两条相邻对称轴之间的距离为．(1)求函数的解析式；(2)在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点．(1)设平面与直线相交于点，求证：；(2)若，，，求直线与平面所成角的大小．19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分4分某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立．(1)计划依次派甲乙丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率；(2)若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望；(3)已知，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分如图，椭圆的上、下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于M、N两点，动点P、Q分别在直线MN与椭圆上．(1)求线段的长；(2)若线段PQ的中点在轴上，求的面积；(3)是否存在以、为邻边的矩形，使得点E在椭圆上？若存在，求出所有满足条件的点Q的纵坐标；若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知函数(为常数)，记．(1)若函数在处的切线过原点，求实数a的值；(2)对于正实数t，求证：；(3)时，求证：．参考答案一、填空题1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．二、选择题13．D14．C15．B16．C三、解答题17．解：（1）.……3分因为函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，即.所以.……6分（2）由，得..……9分，由,得，化简得所以角.……12分所以角.……14分

18．解：（1）因为底面为菱形，所以，因为直线在平面上，而直线不在平面上，所以平面

．……3分

又平面平面，所以．……6分（2）解法1：取中点，连接、,由于四边形为菱形，且，，所以,，……8分由于平面，平面，所以,又平面,所以平面,故即为直线与平面所成角，……12分因为，为的中点，所以，则．所以，则．即直线与平面所成角的大小．……14分解法2：如图建系，由题可得：，则，，，，，……8分所以，，，设平面的法向量为，由，得，解得，取，可得平面的一个法向量为.……12分设直线与平面所成角的大小为，则，解得,所以，直线与平面所成角的大小为.……14分19．解：（1）设“计划依次派出甲乙丙进行闯关，该小组比赛胜利”为事件，甲乙丙各自闯关成功的概率分别为，，，每人能否闯关成功相互独立，解法1：解法2：．……4分（2）按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，所需派出的人员数目的可能取值是1、2、3，，，，所以的分布是：，……7分所以．……10分（3）若先派丙，再派乙，最后派甲，所需派出的人员数目的分布是：，则，所以，……13分所以先派甲，再派乙，最后派丙时，派出的人员数目的数学期望较小．……14分20．解：（1）依题意得：，由轴，得：，代入椭圆方程得：，所以线段的长为.……4分（2）解法1：显然，线段PQ的中点在轴上，则，即轴，，，……8分所以.……10分解法2：设，依题意，有，解得，……8分所以.……10分（3）假设存在以、为邻边的矩形，使得点E在椭圆上，显然，设，则，因为四边形是矩形，一定为平行四边形，所以，代入计算得.由题意知在椭圆上及，代入，得，即……12分将①②代入=3\*GB3③并化简得，，再结合①，得，即或.若，则；……14分若，则联立①②，得，消去，得，解得，由于，故.……17分综上，存在满足题意的点，其纵坐标为或.……18分21.(1)因为，所以，所以．……2分又因为，所以在处的切线方程为：．点代入切线方程可得．……4分(2)设函数，，..……6分令，得：．在上严格递增；在上严格递减；的最小值为，即总有：．……8分而∴．