河北省承德市双滦区实验中学2023-2024学年高二年级上册期中数学试题

河北省承德市双滦区实验中学2023-2024学年高二上学期期

中数学试题

学校：.姓名:班级:考号:

一、单选题

1.过点（3,0）和点（4,73）的直线倾斜角a=（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.圆J+J一2工一6>=o的圆心坐标为（）

A.(-1,-3)B.(T3)C.(1,3)D.(1,-3)

3.已知四面体043。中,OA=a，OB-b，OC=cE为中点，点厂在0A上,

且=2E4,则石尸=（

121211

A.—a——Zb-\--cB.——a+—b7+—c

232322

121211

C.—aH—7b—cD.—a——b7——c

232322

2

4.“1〈机＜3”是“方程上+^^=1表示椭圆”的（）

m-13-m

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知力=(2,1,—3),5=(—1,2,3),e=(7,6,4),若a,b，C共面，贝!）4等于（）

A.-9B.9C.D.3

6.过点尸（3,2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（）

A.%_y_l=0或y=0B.%+y-5=0或2%—3y=0

C.%+>一5=。或、=。D.犬一yT=0或2x—3y=0

7.已知正方体ABCD-A.B^D,的棱长为2,点尸为线段5c上的动点,则点尸到直线AQ

的距离的最小值为（）

R2屈

A.D.------

33

V6D.近

C.

~6~4

8.已知关于%的方程2+/-=有两个不同的解，则实数%的取值范围是（）

33C(Q

A.(叼)B.(“I]D-d

二、多选题

9.如图，在四棱柱ABCD-AB]GA中，四边形ABC。是正方形，A^=6,AB=4,

TT

且』GC8=NGC£）=w，则（）

A.AC}=AB+AD+CCtB.AB0^=24

C.AQ=2亚D.直线CG与平面ABC£>所成的角为£

4

10.下列说法中，正确的有（）

A.直线6x+7”y+l=O的斜率为-9

m

B.直线y=4x-3在y轴上的截距为3

C.直线y=a（x+2）+3（aeR）必过定点（-2,3）

D.直线《：6x+4y+2=0与直线4：3x+2y-3=0平行

11.已知直线/：履-y+2左+1=0和圆。：x2+y2=8,则（）

A.直线/恒过定点（2,1）

B,存在上使得直线/与直线％：x-2y+2=0垂直

C.直线/与圆。相交

D.直线/被圆。截得的最短弦长为2百

22

12.已知椭圆C:二+与=1（。">0）的左、右焦点分别为耳耳，点P在C上，且

ab

的最大值为3,最小值为1,则（）

A.椭圆C的离心率为gB.P8月的周长为4

C.若2月产片=90。，则PF/的面积为3D.若|尸耳归典=4,则/月可=60。

三、填空题

13.若"=（3,4,5）,A点的坐标为（-2,-1,0）,则3点的坐标为

试卷第2页，共4页

14.设点A(3,-3),B(-2,-2),直线/过点尸(1,1)且与线段AB相交，贝心的斜率左的取

值范围是.

15.若圆，：炉+/一2%-相=0与圆&：尤2+〉2+4丫+m=0恰有2条公切线，则机的取

值范围为.

22

16.设椭圆「卞+方=1(°%>0)的右焦点为网G。)，点A(3c,0)在椭圆外，p、Q在

椭圆上，且P是线段4。的中点.若直线PQ、尸产的斜率之积为则椭圆的离心率

为.

四、解答题

17.已知ABC三个顶点的坐标：A(l,2),B(5,0),C(3,4).

(1)求过点8且与直线AC平行的直线方程；

(2)求„ASC中AB边上的高所在的直线方程.

18.如图，直三棱柱ABC-A4G的侧面BCC由为正方形，AB_LBC,2AB=BC=2,E,F

分别为AC,CG的中点.

(1)证明：M_L平面A4E；

(2)求平面A4K与平面ACQA,夹角的余弦值.

19.已知圆C：x2+y2-4x+2y-4=0.

⑴过点尸(2,2)作圆C的切线/,求切线/的方程；

⑵过点。(0,2)的直线机与圆C交于A,8两点，|AB|=2行，求直线机的方程.

20.一个火山口的周围是无人区，无人区分布在以火山口中心0(0,0)为圆心，半径为

400km的圆形区域内，一辆运输车位于火山口的正东方向600km处准备出发，若运输

车沿北偏西60。方向以每小时40gkm的速度做匀速直线运动：

(1)运输车将在无人区经历多少小时?

(2)若运输车仍位于火山口的正东方向，且按原来的速度和方向前进，为使该运输车成功

避开无人区，求至少应离火山口多远出发才安全？

21.已知椭圆C：《+，=l(a>b>0)的一个焦点为82,0),且离心率为当

⑴求椭圆C的方程；

(2)不过原点。的直线/：y=x+m与椭圆C交于A3两点，求..ABO面积的最大值及此

时直线/的方程.

22.如图，四棱台ABCO-A耳6"中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯

形，A8=2A四=4,瓦歹分别为OCBC的中点，上下底面中心的连线垂直于上下

底面，且。0与侧棱所在直线所成的角为45.

⑴求证：82〃平面6后月；

(2)求点A,到平面CXEF的距离；

(3)边BC上是否存在点M,使得直线A"与平面a所所成的角的正弦值为若

22

存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.B

【分析】根据斜率公式求解斜率，即可根据斜率与倾斜角的关系求解.

(详解】过点⑶0)和点(4.石)的直线的斜率k=叵W=6

4-3

又0°Va<180°,所以a=60。.

故选：B

2.C

【分析】将圆的方程配成标准式，即可得解.

【详解】圆f+>2—2x-6y=。即(x-1)2+(y-3)2=10,

则圆心为(1,3).

故选：C

3.D

【分析】根据空间向量的加减法进行求解.

【详解】解：在四面体O-ABC中，

OF=2FA，£为04的中点，

OE=-(OC+OB\=-(c+b],OF=-OA=-a,

2、)2、)33

?1211

所以所=OP_OE=—d—{c+b')=-a一一c一一b,

32322

故选：D

O

4.A

22

【分析】由方程』一+"—=1表示椭圆求出参数的取值范围，利用集合的包含关系判断

m-13-m

可得出结论.

m-1>0

22

【详解】若方程=1表示椭圆，则3—心。,解得1<相<3且机#2,

m-13-m1c

答案第I页，共13页

22

因此，“1〈机＜3”是“方程‘+"—=1表示椭圆”的必要不充分条件.

m-13-m

故选：A

5.A

【分析】由。，b,W共面，^c=ma+nb，根据条件列出方程组即可求出入的值.

【详解】因为〃，b,C共面，设C=/77Q+泌，

又&=(2,1,-3),b=(-1,2,3),C=(7,6,2),得到(7,6,X)=(2m-n,m+2n,-3m+3n),

2m一〃二7

所以＜m+2〃=6,解得机=4,〃=1,4=一9,

-3m+3n=2

故选：A.

6.B

【分析】分截距不为。和截距为。两种情况，利用待定系数法求解.

【详解】当截距不为0时，设方程为?=依，将尸(3,2)代入，

2

可得弘=2,解得/=

2

故直线方程为＞=即2x-3y=。；

当截距不为。时，设方程为二+)=1,将尸(3,2)代入，

aa

-+-=1,解得4=5,故直线方程为=+3=1，即x+y—5=o,

aa55

故直线方程为尤+y—5=0或2x-3y=0.

故选：B

7.A

【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出一个与AG，耳C都垂直的向量的坐标,

根据空间距离的向量求法即可求得答案.

【详解】以A为坐标原点，以ARAB,AA为％y,z轴建立空间直角坐标系，

答案第2页，共13页

则A(0,0,0),C(2,2,0),B](0,2,2),Q(2,2,2),

故Ag=(2,2,2),B、C=(2,0,-2),

设BF==(24,0,—2%),26[0,1],

则GP=G4+4P=(22-2,0,-22)；

设冽=(x,y,z)为与AC”4c都垂直的向量，

m-AC,=2x+2y+2z=0

则<"，令x=z=1,则=(1,-2,1),

m-BtC=2x-2z=0

因为由题意点P到直线AG的距离的最小值可认为是异面直线和BtC的之间的长度,

故点P到直线AG的距离的最小值为d=""0=2W，

\m\V63

故选：A

8.B

【分析】把方程有两个解转化为两个函数有两个不同交点，结合图像可求

【详解】由题意得，半圆y=^/^^与直线y=2+依x-l)有两个交点，

又直线>=2+-尤-1)过定点M(l,2),

答案第3页，共13页

当直线过A点时，在AM位置时，斜率左=RF=L

io—0—t+2ia

当直线和半圆相切即在8M位置时，由半径1」I解得左=：,

由图可得当左€(71］时，半圆y=与直线y="+2-左有两个交点，

即方程2+Mx-1)=>/i二7有两个不同的实根，

综上所述：让弓」］.

4

故选：B

9.ACD

【分析】A.利用空间向量的线性运算求解判断；B.利用空间向量的数量积运算求解判断；C.

利用空间向量的模及向量数量积运算律求解判断；D.连接AC得到ZQCA即直线CC、与平面

ABC。所成的角，利用余弦定理求解判断.

【详解】AC^AB+AD+CQ,A正确.

ABCC1=-^x4cosZqCD=-12,B错误.

22

=(AB+AO+Ccj=|叫2+|A£)|+1cq|+2AB-AD+2AB-CQ+2AD-CQ

=62+42+42-24-24=20,故AC1=2/，C正确.

连接AC如图所示：

则ZQCA即直线CC,与平面ABCD所成的角，所以cosZQCA==乎

TT

ZQCA=-,D正确.

故选：ACD

10.CD

【分析】根据斜率的定义，可判定A不正确；根据直线的截距的概念，可判定B不正确;

答案第4页，共13页

化简直线为点斜式方程，进而判定直线过定点，可判定c正确；根据两直线平行的判定方

法，可判定D正确.

【详解】对于A中.由直线6x+〃9+1=0,当团力。时，直线的斜率为-9；当m=0时，

m

直线的斜率不存在，所以A不正确；

对于B中，直线y=4x-3在>轴上的截距为-3,所以B不正确；

对于C中，直线y=a(x+2)+3(aeR),可化为y-3=a(x+2),

由直线的点斜式方程，可得直线恒过定点(-2,3),所以C正确；

对于D中，由直线4：6x+4y+2=0与直线*3元+2y—3=0,

可得26=94力2白，所以直线4与，2平行，所以D正确•

32—3

故选：CD.

11.BCD

【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项

B；利用直线恒过定点在圆内可判断选项C；利用弦长公式可判断选项D.

【详解】对于A,由"一"2左+1=0可得，k(x+2)-y+l=0,

令x+2=0,即x=—2,此时y=i,

所以直线/恒过定点(-2,1),A错误；

对于B,因为直线/。：x-2y+2=0的斜率为:，

所以直线/的斜率为-2,即％=-2,

此时直线/与直线％垂直，满足题意，B正确；

对于C,因为定点(-2,1)到圆心的距离为房1=石<2四，

所以定点(-2,1)在圆内，所以直线/与圆。相交，C正确；

对于D,设直线/恒过定点A(-2,1),

圆心到直线/的最大距离为|。4|=若，

此时直线/被圆。截得的弦长最短为2而二？=2g,D正确；

故选：BCD.

12.AD

答案第5页，共13页

【分析】对A,根据题意可得a+c=3,a-c=l即可求解；对B,根据椭圆的定义判断即

可；对C,根据余弦定理结合椭圆的定义判断即可；对D,根据余弦定理与椭圆的定义求解

即可.

【详解】对A,由题意a+c=3,a-c=\,故a=2,c-1,故A正确；

对B,尸乙片的周长为2a+2c=6,故B错误；

对CCOS/F.」尸片「十卢尸22-旧村2_（|即|+]尸国丫一2|两|小闾一|耳福

一2|尸用.尸42电卜|即|

=（|尸耳|+|尸马）2一|5可2_]>（|尸/]+|帆『一因父=*

2阀卜飓"2「好"片，当且仅当附1=1%时，等号

成立，

因为y=cos6在（0,兀）上递减，所以此时最大，又4=2,c=l,所以/与尸片的最大

值为60,NH°,不成立，故C错误；

对D,由余弦定理闪片「=户用2+户引2_2\pFi\.\pF2\cosZF2PFl

=（|尸片|+户阊）2-2|「不卜|尸耳|（1+<：0$/招尸[），即4=16—2x4（l+cosN弱期），

解得cos/&PK=；,故/居尸片=60。，故D正确；

故选：AD

13.（1,3,5）

【分析】根据空间向量的坐标表示直接构造方程求解即可.

【详解】设3（x,y,z）,则AB=（x+2,y+l,z）=（3,4,5）,

x+2=3x=l

「.<y+l=4解得：y=3,

z=5z=5

故答案为：（1,3,5）,

14.（-oo,-2]_口,+8）

【分析】根据题意，求得噎=-2,脸=1,要使得直线/过点p（l,l）且与线段A3相交，结合

图象，得到用或用2,即可求解.

答案第6页，共13页

【详解】如图所示，由A（3,-3）,B（-2,-2）,且尸（1,1）,

可得kpA~~一—=-2,kpB=­―7=1，

3—1-Z—1

要使得直线/过点P（l,l）且与线段A3相交，则满足勺21或&V-2,

所以直线/的斜率左的取值范围是（-8,-2][1,+8）.

故答案为：（-[1,+oo）.

15.（-1,4）

【分析】根据题意知两圆相交，即可利用圆心距与半径的关系列不等式求解.

【详解】若圆G与圆G有且仅有两条公切线时，则两圆相交，

因为圆G：f-2x—加=0的圆心G（1，。），半径R=y/m+1,

圆G：f+J?+4y+m=。的圆心（0,—2）,半径r=,

,,r-1-f4-m>0

贝||£。2|=41一+2=百，又M+i>0，所以T〈加<4,

若两圆相交，则满足|厂—用<R+厂，即+l-J4-<A/"Z+1+J4-,

平方化简得-2jm+l.J4-加<0<2j"+l.,4-%,结合-1（机<4得一1<加<4,

即加的取值范围为（T,4）.

故答案为：（T，4）

16.^/-y/2

22

【分析】取线段PQ的中点连接ON,推导出OM〃PF,可得出k°MkpQ=kpFkp2=-g,

b2

利用点差法可求得勺的值，由此可求得椭圆r的离心率的值.

a

【详解】如下图所示：

答案第7页，共13页

由题意可知，点E（-c,O）为椭圆「的左焦点,

因为点A（3c,0）、F（c,O）,易知点P为线段AE的中点,

又因为P为AQ的中点，所以，PFHQE,

取线段PQ的中点连接OM,则\局AP\=AF

谡=2,所以，OMHPF,

所以，k°M=kpF,故k0MkPQ-kPFkPQ=——,

设点尸（知》）、Q（x2,y2）,则点A/1.；苫2,%,

44一一2

所以，"：+!=1，两个等式作差可得上看+上贵=0,可得二二b2

反或。b-X；-

A±A_0

所以，^OM^PQ=2

X1+X2_Q

2

所以，椭圆「的离心率为e=£=g^=J"?=Jl-q=

ciYciVciVciV22

故答案为：息.

2

17.(l)y=x-5

(2)2%—y—2=0

【分析】（1）利用两直线平行与斜率的关系以及点斜式方程求解;

（2）利用两直线垂直与斜率的关系以及点斜式方程求解.

【详解】（1）由题可得，砥,=翌=1，

3—1

所以过点B且与直线AC平行的直线方程为y=x-5.

答案第8页，共13页

0-21

(2)因为如=o=二，

D—12

_1c

所以ABC中AB边上的高所在的直线斜率为一厂=2,

kAB

又因为.ABC中AB边上的高所在的直线经过点C(3,4),

所以由点斜式可得，y-4=2。-3),gp2x-y-2^0.

18.(1)证明见解析

【分析】(1)建立空间直角坐标系，应用线面垂直判定定理证明即可;

(2)应用空间向量法求二面角余弦值即可.

【详解】⑴因为三棱柱ABC-44G为直三棱柱，AB1BC,

故以3为坐标原点，以片所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

2(0,0,0)，尸(0,2』),A(1,0,2),4(0,0,2),E[,1,O],C(O,2,0)，G(022),4(1,0,0),

因为B尸•4耳=(0,2,6(-1,0,0)=0,2尸-4万=(0,2,1)[-1,1,-2)=2-2=0,

所以所_LA耳，

因为ABi，AEu平面人用左月用cAE=A,所以班平面4片£\

（2）由（1）可知：平面A与E的一个法向量为3/=（0,2,1）,

设平面ACGA的法向量为〃?=（x,y,z）,

m-AC=（无,y,z）•（-1,2,0）=—尤+2y=0

m-AC,=（x,y,z）•（-1,2,2）=-元+2y+2z=0

解得：z=0,令y=l,则无=2,所以加=（2,1,0）,

答案第9页，共13页

设平面A4E与平面ACGA夹角为凡

m-BF|（2,l,0）-（0,2,l）|；；2

故cos0=cos（m,BF

7771-|BF^/4+ix^/4+T-5

2

故平面AAE与平面ACC.A夹角的余弦值为j.

19.(i)y=2

(2)5x+12y-24=0或x=0.

【分析】(1)得到圆C的方程，从而得到尸(2,2)在圆C上，且此,不存在，从而得到切线/

的方程；

(2)直线加斜率存在时，设出根为、=丘+2,根据弦长得到圆心C到直线机的距离，列

出方程，求出3得到方程，考虑直线冽斜率不存在时，得到尤=0,得到答案.

【详解】(1)因为圆C：(x-2y+(y+l)2=9,圆心C(2,-l),半径厂=3.

因为点尸(2,2)满足圆C的方程，所以点尸在圆C上，

因为左0不存在，所以圆C在点P处的切线斜率为0，

所以，切线/的方程为y=2；

(2)当直线机斜率存在时，设根为＞=履+2,即：kx-y+2=0.

因为圆心C到直线m的距离d=

所以直线m的方程为5x+12y-24=0；

当直线加斜率不存在时，机为x=0也符合条件；

综上，所求为5x+12y-24=0或x=0.

20.(1)5小时

(2)800km

【分析】(1)根据题意，以火山口的位置为坐标原点0,其正东方向为x轴正方向，正北方

向为y轴正方向，建立平面直角坐标系，结合点到直线的距离公式求得弦长，即可得到结果；

(2)根据题意，由直线与圆相切，即可得到结果.

答案第10页，共13页

以火山口的位置为坐标原点o,其正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立平

面直角坐标系，如图所示，记运输车从4(600,0)出发，点N处开始进入无人区，到加处离

开无人区，则圆0方程为/+/=40。2,由运输车沿北偏西60。方向运动，可得直线A3的

斜率左=tan150°=一史^,贝打题：丫二一日(x-600),即区+3y-600jJ=0,因为。至心顺的

3

I-600731

距离为°°'=.=300km

则MN=2ylMO1-O'O1=2x100々=200V7km，

所以经历时长为理吧=5小时.

40V7

(2)设运输车至少应离火山口akm出发才安全，

此时运输车的行驶直线刚好与圆。相切，

且直线方程为y=(》一°),即氐+3y-A=0,

贝|J。至U直线的距离d=ES=400,解得。=800,

V3+9

即运输车至少应离火山口800km出发才安全.

21.⑴反+匚1

62

(2)73,y=x±2

【分析】(1)由焦点和离心率即可求出。，从而可得椭圆方程；

(2)设出直线/的方程，联立椭圆方程，由点直线的距离公式，结合韦达定理，把ABO面

积表示为机的函数，再利用基本不等式即可求出结果.

【详解】(1)由已知得c=2,又离心率0=£=立，得到°=6，b2=a2-c2=6-4=2,

a3

答案第11页，共13页