2024年新高考数学一轮复习10 复数及其应用（解析版）

专题10复数及其应用

一,知识速览

1、复数的定义

知识点1复数的基本概念2、复数的分类

3、复数的有关概念

1、复平面的概念

知识点2复数的几何意义2、实轴、虚轴

3、复数的几何表示

复数及其应用

知识点3复数的四则运算,1、复数的运算法则

------------------------------------------------Q2、复数运算的几个重覇论

1、复数的辅角

2、复数的三角形式

知识点4复数的三角形式3、复数的代数式与三角式互化

4、复数乘法运算的三角表示及其几何意义

5、复数除法运算的三角表示及其几何意义

二'考点速览

知识点1复数的基本概念

1、复数的定义：形如。+6i(a,6GR)的数叫做复数，其中实部是0,虚部是6.

2、复数的分类：

实数6=0,

复数z=a+6i

修屯虚数a=0,

a,4)GR虚数原0注行4共

[非纯虚数存0.

3、复数的有关概念

复数相等〃+/?i=c+diQ〃=c且b=d(〃，b,c,dUR)

共辗复数〃+历与c+di共辄=〃=c且/?=—"(〃，b,c,d£R)

向量OZ——>的模叫做复数z=a+bi的模，

复数的模

记作|z|或|a+历即|z|=|a+历|=味+砥色0,a,b£R)

知识点2复数的几何意义

1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；

2、实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除

原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数；

3、复数的几何表示：复数z=a+bi«一一对应》复平面内的点Z(a,b)<..对应》平面向量OZ

知识点3复数的四则运算

1、复数的运算法则

设Z]=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d£R),贝！J：

(1)zi+z2=(〃+Ai)+(c+di)=(a+c)+(b+60i;

(2)zi-Z2=(〃+0i)—(c+di)=(〃—c)+(。—

(3)zi22=(〃+8i)(c+di)=(ac——bd)+(〃d+bc)i；

Z]_a+bi_(a+bi)(c-di)ac+bdbe-ad

i(c+diw0)

(4)1222

z2c+di(c+di)(c-di)c+dc+d

2、复数运算的几个重要结论

(1)|zi+z2|2+kl—Z2p—2(|Z1|2+|Z2|2).

(2)z,z=|z|2=|zI2.

(3)若Z为虚数，则|z|2先2.

(4)(1土i)2=±2i.

(5)i4〃=l；i4〃+l=i；i4〃+2=—1；i4〃+3=—i.

知识点4复数的三角形式

1、复数的辅角

(1)辅角的定义：设复数Z=a+bi的对应向量为方，以工轴的非负半轴为始边，向量花所在的射线(射

线OZ)为终边的角。，叫做复数z的辅角.

(2)辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且

这些值相差2兀的整数倍.

规定：其中在0W。＜2兀范围内的辅角。的值为辅角的主值，通常记作argz

【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的。

2、复数的三角形式

定义：任何一个复数都可以表示成z=r(cosO+is讥0)的形式，其中r是复数的模，。是复数的辅角.

【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。

3、复数的代数式与三角式互化

将复数z=a+b\(a,bGR)化为三角形式z=r^cosd+is讥8)时，要注意以下两点：

(1)r=Va2+b2,

(2)cos。=3sind=\其中。终边所在象限与点(a,b)所在象限相同，

当a=0,b＞0时，argz=

【注意】每一个不等于零的复数有唯依的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此,

两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。

4、复数乘法运算的三角表示及其几何意义

(1)复数乘法运算的三角表示：已知Z]=r1(cos61+is讥。J,z2=r2(cosd2+isin%)，

则Z]Zi=r1r2[cos(01+02)+isin®+02)]

这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和。

(2)复数乘法运算的几何意义：两个复数Z「Z2相乘时，分别画出与Zi，Z2对应的向量西，西，

然后把向量两绕。点按逆时针方向旋转为(如果。2＜。，就要把两绕点。按顺时针方向旋转角|%1)，再

把它的模变成原来的万倍，得到向量被，而表示的复数就是积Z]Z2,这就是复数乘法的几何意义。

(3)复数乘法运算三角表示推广：

zrz2...zn=r1Qcos91+isinej,r2(cos92+isin02)•・・・・olcos3n+ism0n)

=r1r2...rn[cos(91+。2T-----卜%)+is讥(/+----卜0n)]

nn

特别的，当Zi=z2=•••=zn=r(cosd+is仇6)时，[r(cos。+ism0)]=r(cosn9+isinnd)

5、复数除法运算的三角表示及其几何意义

(1)复数除法运算的三角表示:已知Zi=r1(cos91+is加%),z2=r2(cos02+is讥4)

则包=Z(cos?+is岫)=士[cOS(%—+iS出—4)]

Lv1v1

z2r2(cose2+isine2)r2"

这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，

商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差.

(2)两个复数Zi，Z2相除时，先分别画出与Zi，Z2对应的向量两，两，然后把向量两绕。点按顺时针

方向旋转。2(如果。2＜。，就要把两绕点。按逆时针方向旋转角141)，再把它的模变成原来的工倍，得到

r2

向量应，被表示的复数就是商包，这就是复数除法的几何意义。

Z2

■

方法技巧

一、复数的分类

对于复数。+为，

(1)当且仅当6=0时，它是实数；

(2)当且仅当。=6=0时，它是实数0；

(3)当厚0时，叫做虚数；

(4)当a=0且卬0时，叫做纯虚数.

【典例0(2023秋・江西南昌•高三南昌市外国语学校校考阶段练习)若复数R(i为虚数单位，a,b^R

2+1

且6w0)为实数，则/=()

b

A.—B.—C.—2D.2

22

【答案】D

a+bi(a+bi)(2-i)(2a+Z?)+(2b-a)i

【解析】因为

2+i-(2+i)(2-i)-5

又慧为实数，则2j=。,即圻2.故选：D.

【典例2】(2023•全国•高三专题练习)已知i为虚数单位，若(3+DS+21)为实数,则实数。=()

1+i

A.-2B.4C.2D.-2/

【答案】B

r解析】(3+D(a+2i)_3a-2+(6+a)i_[3a_2+(6+a)i](l-i)_4a+4+(8-2°)i_f)

【解析】———-(l+i)(l-i)一2-2a+2+(4-a)i.

依题意得4-a=0,得。=4.故选：B

【典例3】(2023・全国・高三专题练习)已知复数2=%+1+(机-以是虚数，则实数机的取值范围是()

A.RB.{-1}C.y,l-D.y,-l)u(T,”)

【答案】C

【解析】由题意可得：“7-IHO,则加41,

故实数m的取值范围是(F1)5L”).故选：C.

二、求复数标准代数式形式的两种方法

1、直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式；

2、待定系数法：将复数设为标准式，代入已知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部

的方程(组)，通过解方程(组)求出复数的实部与虚部。

【典例1】(2023秋・山东泰安•高三统考阶段练习)若z(l-3i)=2-i,则吃=()

11.

B.------1C.1+iD.1-i

22

【答案】B

［解析］由z(l_3i)=2_iz(l_3i)=2_i,

2-i_(2-i)(l+3i)_5+5i_1丄.-11

1^3i-(l-3i)(l+3i)-10~29z.一^i.故选：B.

【典例2】(2023・河南・统考模拟预测)已知复数2=々+万(a]£R)的共辗复数为彳，且z—(2+i»=—3+5i,

则〃+Z?=()

A.-1B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】由题意z=〃—历，贝!Jz—(2+i)z=—3+5i,即a+为一(2+i)(a—Z?i)=—3+5i,

化简得Q+36)i=—3+5i,

-a-b=-3\a=\

所以'解得6=2,所以2=3.故选:D.

—a+3b=5

三、复数的几何意义

(1)任一个复数z=a+万(a,0GR)与复平面内的点Z(a,b)是一一对应的.

(2)一个复数2=。+历(a,bGR)与复平面内的向量应=(a,b)是---对应的.

【典例1】(2023•河南驻马店•统考模拟预测)复数z=i(l-i)+2在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】由题意，z=i(l-i)+2=i-i2+2=3+i,

所以复数z在复平面内对应的点为(3,1),位于第一象限.故选：A.

【典例2】(2023秋•江苏苏州•高三统考开学考试)已知复数z满足z(l+i)=|石-i](其中i为虚数单位),

则复数z在复平面上对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】因为z(l+i)=*T，所以z(l+i)=J(由『+人=2,所以z=2=l-i,

复数z在复平面上对应的点为(1,-1),位于第四象限.故选：D.

四、虚数单位i的乘方

计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，i"有如下性质：

i1=i,i2=­1,i3=i-i2=—i,i4=i3-i=—i-i=1,

从而对于任何HGN+,都有i4n+1=i4,!.i=(i4)n-i=i>

同理可证i4"+2=-l,i4"+3=-i,i4"+4=l.

这就是说,如果wGN+,那么有i4〃+l=i,i4"+2=T,i4„+3=_i>i4"+4=l.

由此可进一步得(1+i)2=2i,(1—i)2=—2i,=-1,1=—i.

【典例1】(2023•全国•高三专题练习)已知i为虚数单位，Mi+i2+i3++i2023=.

【答案】-1

【解析】i严=-l,i33=-i产=1,十N,

且i*+i+j枇+2+屮+3+i«+4=0)%N,

由于2023=5x404+3,l^i+i2+i3++i2023=505x0+i+i2+i3=i-l-i=-l.

故答案为：-1

【典例2】(2023秋•上海浦东新・高三上海市实验学校校考开学考试)若2=二，其中i是虚数单位，则

1-1

z+z2+z3++z2022=.

【答案】-1+i

【解析】由=则z2=-l,z3=_i,z4=l,

1-1(1-1)(1+1)

所以z+z?++z,=0,

则z+z?+z3++z2022=505X(z+z2+z3+z4)+z2021+z2022=z+z2=-l+i.

故答案为：-1+i

五、复数方程的解

在复数范围内，实系数一元二次方程a/+故+c=0（a丰0）的求解方法：

（1）求根公式法：

①当90时，％=占正叵②当A<0时，X=但正（ic）i

2a2a

（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=巾+ni（>n,ri€R）,

将此代入方程+坂+。=o（a力0）,化简后利用复数相等的定义求解。

【典例1】（2023•重庆・统考三模）设％,z?是方程/+尤+1=（）在复数范围内的两个解，则（）

A.\zl-z2\=-/2B.|z]|=>/2C.z1+z2=lD.z：=z；=l

【答案】D

【解析】由方程/+无+1=0得A=l-4=-3<0,由求根公式得根为一"曲,

2

不妨设〕一；+争，z2=-l-^i,|Z1-z2|=|>/3i|=V3,A错误；

Z1+Z2=_>C错误；

令V-1=（x-l）（>2+x+l）=0,得％-1=0或尤2+x+l=0,

所以Z],z?也是方程式-1=0的两个根，所以D正确.故选：D.

【典例2】（2024.全国•高三专题练习）已知2i-3是关于x的方程2/+px+4=0的一个根，其中乙q为

实数，贝"+4=.

【答案】38

【解析】因为2i-3是关于x的方程2/+如+g=0的一个根，

所以-3-2i也是关于x的方程2/+勿+0=0的一个根，

所以（2i-3）+（-3-方）=一^且]=（2i-31（-3-2i）,

所以p=12,j=（-3）2-（2i）2=13,q=26,

所以p+q=38.

故答案为：38

六、复数的代数式与三角式互化

将复数z=a+bi(a,bGR)化为三角形式z=r(cos0+is讥6)时，要注意以下两点：

(1)r=Va2+b2,

(2)cosd=psind=\其中6终边所在象限与点(a,b)所在象限相同，

当a=0,h>0时，argz=

【典例1】(2023•全国•高三专题练习)(多选)已知i为虚数单位，

=V2(cos60°+isin60°),z2=2^(sin300-icos30°),则下列选项不是4辿的三角形式的有()

A.4(cos90°+isin90°)B.4(cos30°+isin30°)

C.4(cos30°-isin30°)D.4(cos0°+isin0°)

【答案】ABC

【解析】由Z2=2V2(sin30°-icos30°)=272(cos300°+isin300°),

所以z「Z2=&(cos60+isin60)-2A/2(cos300°+isin300°)=4(cos360°+isin360°)=4(cos0°+isin0°),

所以A、B、C不对，D对.故选：ABC

【典例2]（2023.全国•高三专题练习）（多选）把复数z,与z2对应的向量OA,08分别按逆时针方向旋转:和

,后，重合于向量且模相等，已知Z2=-1-后，则复数句的代数形式和它的辐角分别是（）

A.-A/2-V2i,—B.->/2+A/2i,—C.-V2-V2i,-D.-V2+V2i,—

4444

【答案】BD

【解析】由题意可知2110$：+1$山：）=22105?+1$缶7），

又z?二一1一后=2kos与+isin,j,

(57r..5兀J4兀..4兀5兀..5兀

zlcos^-+isin^-2cos-----l-ism——cos-----Fisin——

23333

则4=

兀..兀兀..兀

cos—+ism—cos—+isin—

4444

4兀5兀714兀5兀712"牛+isin1171

=2cos一十------+isin-3"+T-4

3344

=2cos処+isin処=-拒+回

44

可知4对应的坐标为卜0,3）,则它的辐角主值为日,

37T

故可以作为复数-近+0i的辐角的是?+2E,keZ,

37r1lir

当』时,L9『故选：BD.

【典例3】（2023•全国•高三专题练习）复数-丄+1i的三角形式是（）

22

A.cos60+isin60B.-cos60+isin60

C.cosl20+isin60D.cosl20+isinl20

【答案】D

1^i=r(cos6i+isin6>)(r>0,0°<6><360°),

【解析】依题意，令Z=--------F

2

cos8=一丄

2

则r=|z|=l,所以

-AB

sine=——

2

因为004。<360°,所以6=120°,

所以-丄+的三角形式是cos120°+isin120°.故选：D.

22

易混易错

易错点1忽视复数2=。+沅是纯虚数的充要条件

。二。

点拨：对复数为纯虚数理解不透彻，对于复数Z=〃+初为纯虚数八，往往容易忽略虚部不等于

"0

0.

2+ivi

【典例n（2。23秋・辽宁沈阳・高三沈阳二十中校考开学考试）若z=F为纯虚数，则复数Z的虚部

为.

【答案】-2

2+(2+mi)(l—i)_(2+m)+(m—2)i

【解析】由复数z==一(l+i)(l)=2

2+mi12+m=0

因为复数2=冃为纯虚数,可得『27。,解得-2

所以z=-2i,所以复数z的虚部为-2.

故答案为：-2.

【典例2】（2024•全国•高三专题练习）i是虚数单位，若复数z=皆仅eR）为纯虚数，则6=.

【答案】-1

r總诉17」+历°+历）（1）1+历7-历2（l+&）+（Z?-l）i

【解析】-7--（1+i）（1_i）--2---------2-cR'

［l+b=0

所以厶1八，所以8=-L

也一1

故答案为：-1.

易错点2错误的理解复数比大小

a<c

点拨：两个复数不能直接比大小，但如果〃+初<。+成成立，等价于17八。

【典例1］（2022秋・福建厦门•高三厦门一中校考期中）已知复数2=3+（W-9）i（i为虚数单位），若z»0,

则实数机的值为.

【答案】3

【解析】复数z=m-3+（疝-9）i（i为虚数单位），z>0,

fm-3>0

贝叫2八八，解得m=3.

\m-9=0

故答案为：3.

i-i3

【典例2】（2023秋・天津南开•高三崇化中学校考期末）已知i为虚数单位，若复数z=丄丄<1,则实数。的

2-671

值为.

【答案】-2

r铲圻［7=］才=l+i=（l+i）（2+ai）=（2-a）+（a+2）i

2

【解析】-2_fli-2_fli-（2-ai）（2+ai）-4+a'

由z<l,所以复数z为实数，则。+2=0,a=-2,