2023-2024学年四川省成都市成都市高一年级下册期末数学质量检测模拟试题（含解析）

2023-2024学年四川省成都市成都市高一下学期期末数学质量检测

模拟试题

1.若点（。,0）是函数y=sin图象的一个对称中心，则”的值可以是（

【正确答案】C

【分析】根据正弦函数的对称中心可求出结果.

【详解】依题意可得。+$JT=&兀，kwZ,所以"E-2JT，keZ,

故选：C

2.复数Z=（二）“i为虚数单位），则其共轨复数［的虚部为（）

【正确答案】A

【分析】根据复数的乘法及除法运算求出z,得到，，即可求解.

z=(-i)3=i

••z的虚部为-1

故选：A

3.已知：工为单位向量，且则a-21=（）

B.GD.75

【正确答案】B

先根据（2Z）J.W得2»=K=1，再根据向量模的公式计算即可得答案.

【详解】因为:工为单位向量，且所以

所以2篙/=1，

—>—>I—>—>2/—>2_>_>—厂

所以a-26=Ja-26=7a-4a-b+4b=v3.

故选:B.

本题考查向量垂直关系的向量表示，向量的模的计算，考查运算能力，是基础题.

4.若cos(a-5)=|,则sin2a=()

7117

A.—B.-C.—D.-----

255525

【正确答案】D

【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可得到答案.

故选：D.

5.设机，”是两条不同的直线，a,一是两个不同的平面，则下列说法错误的是()

A.若/n_L〃，mVa,n-Lp,则a，/?

B.若，77〃〃，mVa,n//p,则C夕

C.若机_L〃，m//a,n//p,则a〃月

D.若m〃n,mLa,nLp,则a〃/

【正确答案】C

【分析】根据平行线的性质，结合垂直的性质、平面平行的性质逐一判断即可.

【详解】因为若小，〃分别在直线加，”上为平面a,6的法向量，且相，〃，故a~L〃，

所以选项A说法正确；

因为加〃〃，mA.a,所以而夕，因此a_L£,所以选项B说法正确；

当ac6时，如下图所示：也可以满足加，〃，mlla,nll/3,所以选项C说法不正确;

因为机〃〃，m1.a,所以〃_La,而〃_L夕，所以a///?,因此选项D说法正确，

故选：C

6.记函数〃x）=sin（0x+胃（。>0）的最小正周期为兀若:<7<_|,且〃x）W/13,则©=

（）

A.4B.5C.6D.7

【正确答案】D

【分析】分析可知函数“X）的图象关于直线xj对称，可得出0=3%+l（ZeZ）,再利用函数”X）

的最小正周期求出。的取值范围，即可得出。的值.

【详解】对任意的xeR,/（x）<,则为函数/（X）的最大值或最小值，

故函数“X）的图象关于直线x=2对称，故三0+2=：+E（AeZ）,解得0=3Z+l（%eZ）,

3362

又因为0>0且函数“X）的最小正周期T满足;<T<],即:<,<5，

解得4<&><8,故<y=7.

故选：D.

7.科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如

图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器，2022年5月，“极目一号”IH型浮空

艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气

科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力“极目一号”HI型浮空艇长53米，高18米，若

将它近似看作一个半球，一个圆柱和一个圆台的组合体，轴截面图如图2所示，则“极目一号”III

型浮空艇的体积约为（）

182

Si

A.2530万B.3016兀

C.3824兀D.43507：

【正确答案】A

【分析】根据球、圆柱、圆台的体积公式可求出结果.

【详解】根据题意，该组合体的直观图如图所示:

半球的半径为9米，圆柱的底面半径为9米，母线长为14米，圆台的两底面半径分别为9米和1

米，高为30米.

则%.球=5X5x71x93=486MmM列枝=^-x92xl4=1134万(111'),

^=-x(92+9xl+l2)7rx30=9107r(m3),

所以'7=忆卜球+%柱+%台=486兀+1134兀+910兀=2530兀(n?)•

故选:A.

8.如图，在Rt/XAfiC中，ZA=90°,AB=2,AC=4,点尸在以A为圆心且与边8c相切的圆

上，则PC的最小值为（）

C2456

C.-----D.

5

【正确答案】c

【分析】由几何关系分解向量，根据数量积的定义与运算法则求解

【详解】设AZ）为斜边BC上的高，则圆A的半径r=A£>==运,BC=《*+41=2后,

74+165

设E为斜边BC的中点，｛PA,AE)=0,则6e[0,兀],

因为网=警，卜石，

则PH-PC=^PA+AB^PA+AC^=PA"+PA-^AB+AC^=^-+PA-2AE

=—+2x^^-x-V5cos0=—+8cos0>故当，=Ji时，

555

PB-PC的最小值为7-8=---.

故选：C.

二、多选题

9.下列说法中错误的是（）

A.已知a=（l,-3）,。=（2,-6）,则q与b可以作为平面内所有向量的一组基底

B.已知a=（1,-3）,6=（0,1）,则〃在匕上的投影向量的坐标是（。,-3）

C.若两非零向量0,〃满足卜+很卜卜一『|,则a_L1

D.平面直角坐标系中，A（U）,B（3,2）,C（4,0）,贝ijABC为锐角三角形

【正确答案】AD

【分析】利用基底定义判断选项A；利用向量数量积定义判断选项B；利用向量垂直充要条件判

断选项C；利用向量夹角定义判断选项D.

【详解】选项A：己知a=。,-3）,。=（2,-6）,则2a=人贝心//6,则〃与b不可以作为平面

内所有向量的一组基底，故A错误；

lx0-3xl

选项：(0,1)=(0,-3),故B正确;

B在6上的投影向量为I2

选项C：若两非零向量a,b满足卜+目=卜一4,则卜+6『=卜-6『

即(a+6『=(a-6y，整理得.力=0,则故C正确；

选项D：平面直角坐标系中，B(3,2),C(4,0),

则8A=(-2,-l),8c=(1,-2),

则BA-8C=-2+2=0，则8AJ.BC，则为直角三角形，故D错误；

故选：AD.

10.复数z在复平面内对应的点为Z,原点为。，i为虚数单位，下列说法正确的是()

A.若归|＞同,则z；＞z；

B.若Z2、0,则五二日

z2Z2

C.若z=-3+2i是关于x的方程x2+px+4=0(p,qcR)的一个根，则p+g=19

D.若14|z-2i区夜，则点Z的集合所构成的图形的面积为兀

【正确答案】BCD

【分析】根据复数的概念、几何意义及其性质，对各个选项进行逐个检验即可得出结论.

【详解】对于A,令z,=2i,z2=l,满足团＞解|,但z：＜z＞故A错误;

对于B,设Z1=a+历,(4,，€R且不同时为o),z2=c+＜7i(c,JeR)

空驾A』"bd¥+(brd¥

z2\\c+d\(c+Ji)||c+d~F+d

=,I，(〃2+4)卜2+/)=#=耳，故B正确；

22

c-+d-9八＞4c+d|z2|

对于C,z=—3+2i,且z是关于x的方程x2+px+q=0(p,qeR)的一个根，

.•.z=—3—2i也是关于x的方程x2+px+q=0的另一个根，

[-3+2i+(-3-2i)=-p

'■|(_3+2i)(-3-2i)=＜7，解得。=6q=13,故p+g=19,故C正确，

对于D,设z=a+bi,a,beR,

则|z-2i|=|tz+(Z?-2)i|=yja2+(b-2)2,

故］<a2+(b-2)2<2,

圆/+(y-2)2=2的面积为2兀，圆x2+(y-2)2=l的面积为兀，

故点Z的集合所构成的图形的面积为2兀-兀=兀，故D正确.

故选:BCD.

11.ABC中，内角A,8,C的对边分别为。，匕，c,S为的面积,S.a=2y/3,AI3AC=—S,

3

下列选项正确的是()

A.A=-

3

B.若二AfiC有两解，则6取值范围是(26,4)

C.若，ABC为锐角三角形，则b取值范围是[2,4]

D.若。为BC边上的中点，则A。的最大值为3

【正确答案】ABD

【分析】根据向量运算结合面积公式得到A=：,A正确；根据6sinA<a<b,代入数据则可判断

B正确；确定看计算b=4sin5c(2,4),C错误；利用均值不等式结合余弦定理得到D

正确，得到答案.

【详解】对选项A：AB-AC=^^-S»故仍cosA=Z-^x'bcsinA,故tanA=百，

332

A«0,兀)，所以A故A正确；

对选项B：若AABC有两解，则6sinA<a<6,郎*~b<26<b,则be(26,4),故B正确；

J|'ll'Ji

对选项C：..ABC为锐角三角形，则0<8<g,4+B=g+B>W，故

23262

则《<sinB<l,3=，-,故人=竺绊=4sin8«2,4),故C错误；

2sin3sinAsinA

对选项D：若。为BC边上的中点，则AO=；(A8+4C),

故A。?=；(AB++2AcosA+〃)=；(/+C?+历)，

又=护+c2-2bccosA=h2+c2-hc=\2,b~+c2=\2+bc,

由基本不等式得〃+C2=12+AN»C,当且仅当b=c=26时等号成立，故从W12,

所以AO。=；[(12+6c)+0c]=3+J0c43+6=9,故卜。卜3,正确；

故选：ABD.

12.如图，在棱长为2的正方体A8CQ-A耳G。中，E,尸分别为棱BC，8瓦的中点，G为面对

角线A。上的一个动点，则（）

A.三棱锥用-EFG的体积为定值

B.线段上存在点G,使AC，平面EFG

C.线段上存在点G,使平面EFG〃平面AC。

D.设直线RG与平面4ORA所成角为。，则sin。的最大值为汉1

3

【正确答案】ABD

【分析】对于A选项，利用等体积法判断；对于B、C、D三个选项可以建立空间直角坐标系，

利用空间向量求解

【详解】易得平面〃平面8CG瓦，所以G到平面8CG用的距离为定值，又吩为定值,

所以三棱锥G-4EF即三棱锥B,-EFG的体积为定值，故A正确.

对于B,如图所示，以。为坐标原点，D4为x轴，0c为y轴，。。为z轴，建立空间直角坐标系,

则A(2,0,0),8(220),0(0,0,0),C(0,2,0),A(2,0,2),D,(0,0,2)C,(0,2,2),E(l,2,2),F(2,2,1),

所以40=(—2,2,2),AC=(—2,2,0),AR=(—2,0,2),£F=(1,O,-1)

设。G=/IZ)A(0W/IW1),则G(240,24)

所以EG=(24—l,—2,2/l—2),FG=(22-2,-2,22-1)

A。平而招Goh"EG卜2(2"1)+2«2)+(-2)x(2"2)=0

4干面(^C±FGG(-2(2A-2)+2X(-2)+(-2)X(2A-1)=0

解之得义=!

4

当G为线段AQ上靠近D的四等分点时，AC1平面EFG.故B正确

对于C,设平面ACQ的法向量/=(百,加4)

M,f-AC=-2x.+2y.=0„t

则sccZ取&=1

nt-AD、=—2X|+2Z|=0

得“=(1』,1)

设平面EFG的法向量n,=(x,,y2,z2),

n.•EF==0

则4~~

p?2-£G=(22-l)x2-2y2+(22-2)z2=0

取々=1,得〃2=(1,丹江,1),

平面ACR〃平面EFG=ny//n2

设％=初2,即(1,1,1)=*(1,---,1}

解得人=1"],不合题意

•.线段BC上不存在点G,使平面EFG//平面BOG，故C错误.

对于D,平面AORA的法向量为〃=(0,1,0)

FG-/?|2

则sin0=

FG||/7|依2-12/1+9

因为8纪-122+9=8仁-3]+->-

I4；22

.A2/22起

所以V822-122+9[93

所以sin。的最大值为述.故D正确.

3

故选：ABD

三、填空题

13.若角a的终边上有一点?(1,-4),则tan2z=

Q

【正确答案】-

【分析】先根据定义求出角a的正切，再利用二倍角公式求解.

一，、,-4,今2tana2x(-4)-88

tan2a=

【详解】由题意得tana=T=4=15-

防8

故记

14.记面积为百，B=60。，a2+c2=3ac,则6=.

【正确答案】20

【分析】由三角形面积公式可得或=4,再结合余弦定理即可得解.

【详解】由题意，SABC=—acsinB=^-ac=y/3,

124

所以QC=4,Q2+。2=12,

所以〃=〃2+，—2accosB=12—2x4xg=8,解得b=2亚(负值舍去).

故答案为.2夜

15.如图，在三棱锥中，AB=AC=1,ABJ.AC,4）=2,451,平面A6C,E为CD

的中点，则直线8E与A。所成角的余弦值为.

C

【正确答案】I

【分析】利用线面垂直的性质定理，给合题设条件推得ARAB,AC两两垂直，从而将三棱锥

A-BC£>置于一个长方体中，再利用异面直线所成角的定义，结合勾股定理及余弦定理即可求解.

【详解】因为AD_L平面力BC,A8u平面ABC,,ACu平面ABC,

所以也/9，AD±AC,又A344C,

所以ARAaAC两两垂直，将三棱锥A-38置于一个长方体中，如图所示，

易知BF//AD,所以直线BE与AO所成角即为班'与8E所成角为（或其补角）,

由题意可知，BF=2,BE=FE3

2

、>22?+

在二说中，由余弦定理，得cosNb8E=竺二上些二^=——2

2BFBE2x2x-3

2

所以直线8E与AZ）所成角的余弦值为余7

0

故答案为q

16.在平面四边形ABC。中，AB1AC,AC=6AB,AD=CD=\,则50的最大值为.

【正确答案】73

【分析】设/C4D=a,利用三角函数函数得AC=2cosa,再利用余弦定理结合三角恒等变换即

可得到最值.

【详解】设NC4D=a,«e[o,y

,则代入数据得AC=2ssc,

—COSCL

AD

2cos。2>/3

AC=CAB,AB==---cosa

3

在AABD中运用余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcos|+a

即BD2=^C0Sa+12+2x-^^-cosax1xsintz

33

4cos2a2>/3.

=-------+12+2x----cosaxlxsina

33

41+cos2a2^3..1

=­x--------+----sm2a+1

323

=2鹏+述…"sin5

+-

33333

所以当2a+m=],即时，8》的最大值为3,则80的最大值为百.

62o

故答案为

关键点睛：本题的关键在于引角，设NC4O=c,再利用三角函数和余弦定理得到

BD-=AB2+AD2-2AB-/IDcos^j+,最后结合诱导公式和三角恒等变换即可求出最值.

四、解答题

17.已知函数/(x)=4sin(s+0)(4>0,0>0,网</)的部分图象如图所示.

(1)求/(X)的解析式;

(2)将/(x)的图像向右平移B个单位长度，再保持纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的;倍，得到

6/

■jr

g(x)的图像，求g(x)在区间0,-上的值域.

【正确答案］⑴"x)=sin(2x+《)

'I/

(2)--A

【分析】(1)根据给定的函数图像，利用“五点法''作图求解即可；

(2)利用函数图像变换求出函数g(x)的解析式，再利用正弦函数的性质即可得解.

【详解】(1)依题意，由图像得A=l,

==解得T=兀，又3>0,则0=至=2,

2362兀

所以/(x)=sin(2x+e),

因为点Qi)在/*)的图像上，则疝/+夕)=1,

所以m+°=+2kli,k$Z,即°=.+2kn,k《Z,而|夕|<,则9=己,

所以f(x)=sin(2x+t).

(2)依题意，g(x)=f(2x-^)=sin2(2x-聿)+弓=sin(4x-^}

._.八兀L［兀//兀,5九

因0,—,则一一<4x——<一,

_4」666

而函数y=sinx在上单调递增，在上单调递减，

62J|_26_

因此有sin(4xj)e—1,1,

故g(x)在0,；上的值域为.

18.已知f^x)=m-n-\,其中加=(G,2COSA:),«=(sin2x,cosx)(xGR).

⑴求“X）的单调递增区间;

⑵在.43。中，角A、8、C的对边分别为。、b、C,若〃A）=2,”2=儿，求」^+与的

'7tanBtanC

值.

IT7T

【正确答案】（1）/cn--,kn+—,keZ

5o

⑵空

3

【分析】（1）先用二倍角公式和辅助角公式化简，再由正弦函数的单调性可解；

（2）根据已知先求角A,再将目标式化弦整理，然后利用正弦定理和已知可得.

【详解】(1)f(x)=a-b-l=(>/3,2cosx)•(sinlx,cosx)-1

=V3sin2x4-2cos2x-1=V3sin2x+cos2x=2sin^2x4-^

*-7C.j7T./口.7T.7T___

令'2防ft----42xH—W2灯tH—,kwZ彳寸ku—KxKkitH—,%EZ

262f36

TTIT

所以/⑴的单调增区间为也一/+不,丘Z.

(2)V/(A)=2sinlA+^j=2,

sin(A+^

=1,

,JTn7兀

又Ae(O,7T),A+-e

6i~6

・7171・兀

.・AAH———,..A4=一

623

*'a2=be9则由正弦定理得sin2A=sinB-sinC.

11cosBcosCsinCcosB+cosCsinB

--------1--------=---------1--------=-------------------------------

tanBtanCsinBsinCsinBsinC

sin(B+C)_sinA_sinA_1_12G

sinBsinCsinBsinCsin2AsinAS布四3

k3

19.如图，多面体ABC。石尸中，四边形ABC。为平行四边形，AD=2,DC=20,四边形DCFE

为梯形，DE//CF,CDtDE,DE=3,CF=6,乙4。£=45°,平面ADEJ■平面0c庄\

⑴求证：AE〃平面8CF；

(2)求直线AC与平面CDE尸所成角的正弦值；

(3)求点F到平面ABCD的距离.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵够

6

⑶30

【分析】(1)由线面平行的判定定理可得仞//平面BCF,OE〃平面BCF,再由面面平行的判

定定理和性质定理可得答案；

(2)作AO_LDE于。，由线面垂直的判定定理可得CD_L平面ADE,AO_L平面COER连结CO,

直线AC与平面C£>E/所成角为NACO,求出正弦值即可；

(3)由(2)得AO_L平面CDEF,又/_皿)=YA-CDF，可得答案.

【详解】(1)•.•四边形A8C。是平行四边形，.•.8C//AQ,

BCu平面BCF,AO<Z平面BCF,所以45〃平面BCF,

DE//CF,CFu平面BCF,小仁平面BCF,所以£>£：//平面BCF,

ADr>DE=D,AZ),£>Eu平面AOE,二平面8CF〃平面ACE,

VBCF,AE〃平面BCE

(2)•.•平面ADE_L平面。CFE,平面AZ)E平面DCFE=DE,

CD，DE,CDu平面DCFE,

\8八平面AOE,ADu平面AZ)E,.,.COLAO,AC=ylAD2+CD2=^22+(2>/2)2=2>/3,

作AOLOE于O,分别连接AC,AO,CO,

因为平面4M_L平面。CF、E,平面ADE平面DCFE=DE,4?<=平面4。£：,

所以49J_平面CQEF,连结CO,

所以直线AC与平面CDEF所成角为NACO,

ZADE=45，:.AO==垃,所以$访==.

V2AC266

直线AC与平面COE尸所成角的正弦值为亚；

6

(3)连接。尸由(2)得A。，平面CDEF,又/_.8=匕一8「，

.SCDF.40

所以距离d=-^一~•,又由已知可得

、ACD

=x

SCDF=CF-CD=-^x6x2V2=6^2,SACD2>/2x2=2>/2,AO=6,

所以d=60y=3a.

20.为了丰富同学们的课外实践活动，石室中学拟对生物实践基地(45C区域)进行分区改

造.一BNC区域为蔬菜种植区，.CM4区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理,

MNC区域规划为学生自主栽培区...MNC的周围将筑起护栏.己知AC=20m,AB=40m,

ZBAC=60°,NMCN=3G°.

(1)若4W=10m,求护栏的长度(MNC的周长)；

(2)学生自主栽培区一版VC的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由.

【正确答案】⑴3O+KX/5(m)

(2)有，300(2->/3)m2

【分析】(1)利用余弦定理证得AM，CM,从而判断得一4VC是正三角形，由此得解；

(2)在ANC与ZSACM中，利用正弦定理求得CN与CM关于，的表达式，从而利用三角形的面

积公式得到SCMM关于。的表达式，再结合三角函数的最值即可得解.

【详解】(1)依题意，在aAWC中，AC20m,AM=Wm,Zfl4c=60。，

所以CM2=AM2+AC2-2AM.ACCOSA=300，则CM=10Gm,AC2=CM2+AM2,即

AMA.CM,

所以ZACM=30°,又NMCN=30。,故NACV=60°,

所以ANC是正三角形，则CN=4V=AC=20m,MN=4V-4W=10m,

所以护栏的长度（.MNC的周长）为CM+CN+A®V=30+106（m）.

（2）学生自主栽培区MNC的面积有最小值3OO（2-G）m2,理由如下:

设ZAGW=e（0°<6<60°）,

在二/WC中，ZMOV=30°,贝lJZANC=180°-60°—(e+30°)=90°—e,

CNAC、回

由正弦定理得徇=而(9。。-。)2=0得CN=1^0

在AACM中，ZCyVM=18Oo-6O0-6>=12O°-0,

CMAC_10。

由正弦定理得刖sin(120。-。)'仔-sin(120°-6»),

300

所以SCMM=-CMCNsin300=

24sin(120°-6»)cos<9

_____________300_______________________300________

4(sin120°cos9-cos120°sin6>)cosG2sin0cos+2\/3cos20

________300________300

sin29+gcos26+8-2411(2。+60。)+6

3002

所以当且仅当20+60。=90。，即。=15°时，一CMN的面积取得最小值为=300(2-^)m

2+6

21.如图1,在ABC中，NC=90。，AH=4,BC=2,。是AC中点，作DE1A8于E,将VAOE

沿直线OE折起到△/>班所处的位置，连接尸8,PC,如图2.

⑴若PB=军士,求证：PEA.BC-,

2

（2）若二面角P-DE-A为锐角，且二面角P-8C-E的正切值为手，求M的长.

【正确答案】（1）证明见解析

⑵而

【分析】（1）利用勾股定理推得从而利用线面垂直的判定定理证得PEL平面88E,

由此得证;

（2）利用线面与面面垂直的判定定理求得二面角P-止-A与二面角P-3C-E的平面角，从而

利用勾股定理得到关于CG=x的方程，解之即可得解.

【详解】（1）在图1中，ZC=90°,AB=4,BC=2,。是AC中点,

所以A=3()。，AC=2y/3,贝IJA£>=75,AE=—AD-=~,BE==,

222

则PE=AE=又PB=叵，所以PE^+BEfB-则3E1.PE,

22

因为。EIM,则PE_L£)E,

又DEcBE=E,DE,BEu平面BCDE,所以PE_L平面8C£)E,

因为BCu平面3CDE,所以PELBC.

(2)由题意知OE，8E,OE_LPE,PEcEB=E,PEu平面PEB,EBu平面PEB,

因而£D_L平面P£B,则NPE4为二面角P-£)E-A的平面角(或补角)，即NPE4为锐角,

又£Du平面BCDE,因而平面PBE，平面BCDE.

作「HJ.3E所在的直线于点H,如图，

又平面PBEc平面5a)E=3E,PHu平面PBE,所以「〃_L平面BCOE,

因为8Cu平面BCQE,所以PHLBC,

作“G_L3C于点G,连接PG,

又PHHG=H,PH,HG加PHG,故BC上面P〃G,

因为PGu面PHG,则5CLPG,所以/PG”为二面角P-5C-E的平面角(或补角),

设NPGH=9,贝ljtan，=半，

在..ABC中，A=30°,设CG=x(0<x<：),(jlljAH=2x,HE=^-2x,HB=4-2x,

因而P”==--底,HG=与HB=£(2-X),

在直角三角形—…浅考，即曾言岑'

解得工=；或％=9（舍去），此时口/=0,”3=3,

从而PB=PH2+HB~=x/H.

sinA-sinCb—c

22.在JLBC中，〃，b,c,分别是角A,B,C的对边，请在①

sinBa+c

B+C

②csin=〃sinC两个条件中任选一个，解决以下问题:

2

c

（1）求角A的大小；

（2）如图，若_45C为锐角三角形，且其面积为