2023届上海市宝山区高境一中高三年级下册开学考试数学试题

2023届上海市宝山区高境一中高三下学期开学考试数学试题理试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/(%)=-。$诂3了+。+。(。>0,XQ1<)的值域为|-5,3],函数g(x)=b-cos-,则g(x)的图象的对称

中心为()

(kji,Y,〜、(k兀兀u、/,

A.15eZ)B.[+w，-5J(左GZ)

C.仔,一4卜eZ)D.[铮器T)kZ)

2.陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个陀螺的三视

图，则该陀螺的表面积为()

3.(2,-1)(2—2)’的展开式中8,的项的系数为()

A.120B.80C.60D.40

4.已知直线(x-1)与抛物线。V=4x交于A,6两点，直线y=2A(x-2)与抛物线D：/=8x交于M,N

两点，设2=|A3|-2|MN|,贝IJ()

A.2<-16B.2=-16C.-12<2<0D.2=-12

5.高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X近似服从正态分布N(85,且。(60<X<85)=03.从

中随机抽取参加此次考试的学生50()名，估计理科数学成绩不低于11()分的学生人数约为()

A.40B.60C.80D.100

6.若i为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1,图中复平面内点Z表示复数二，则表示复数二的点是（）

Z

一「十一y

1IIIII

,十生一产芥j

!।।。1।।“一

।।।।।

L-i--Itt--4C.4-4

IIIII

L-U-X------4-4

A.EB.FC.GD.H

7.在A8C中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,。是AB的中点，若CD=1,且

[a-\hsinA=（c+/?）（sinC-sinB）,则、A8C面积的最大值是（）

\27

V152V15

A岳B-rn

55105

8,已知数列｛a,,｝的前«项和为S„,q=l,外=2且对于任意〃＞1,〃€“,满足5用+5,1=20+1）,则（）

A.a4=7B.Sl6=240C.q()=19D.$20=381

9.已知。＞人＞0,则下列不等式正确的是（）

A.-4B.|V^—Z?|>|A/^—tz|

C.6V卜"_。|D.卜"_〃卜,"_4

10.已知集合A={x|/0g2^<l}，集合3=(=则43=()

A.(-oo,2)B.(-oo,2]C.(0,2)D.[0,+oo)

11.阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个

22

“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的彳，且球的表面积也是圆柱表面积的7”

33

这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24〃,则该圆柱的内切球体积为（）

4,1632

A.-71B.164C.--71D.--71

333

12.若向量。=(1,5),〃=(一2,1),则6(。+2〃)=()

A.30B.31C.32D.33

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知“是抛物线V=2x上一点，N是圆f+(y—2)2=l关于直线x-y=O对称的曲线。上任意一点，贝！]|肱V]

的最小值为.

14.若非零向量8满足”)=看，|小5,++五，则恸=.

2

15.已知双曲线£—/=](&>0)的一条渐近线方程为x+y=。，则。=.

2Q2

16.已知x〉O,丁>一1,且x+y=l,则匚丫+二一最小值为_________.

xy+1

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=|2x—a|+a.

(1)当a=2时，求不等式/(x)<6的解集;

(2)设函数g(x)=|2x-l|.当xeR时，f(x)+g(x)>3,求。的取值范围.

18.(12分)数列｛叫的前〃项和为S,,且S“=2a”-2.数列也｝满足〃=log2%,其前〃项和为

(1)求数列｛%｝与也｝的通项公式;

1,、

(2)设<1„=an+—,求数列｛%｝的前八项和C,,.

19.(12分)在A6C中，角AB,C的对边分别为a,〃,c.已知〃=血，且

(a-b+c)(sinA-sin3-sinC)=csinC-2。sin5.

(1)求cosC的值;

(2)若ABC的面积是20，求A6C的周长.

20.(12分)已知函数/(x)=|x-1.

(1)解不等式〃x)+/(x+4”8

(2)若问<1,例<1,"0,求证：/(")>同/[3).

21.(12分)如图，已知平面QBC与直线R4均垂直于用AABC所在平面，且Q4=AB=AC.

(1)求证：B4//平面Q8C；

(2)若PQ_L平面QBC,求CQ与平面P8C所成角的正弦值.

22.(10分)已知抛物线£：/=4)，的焦点/也是椭圆C2：5+/l(a>b>0)的一个焦点，G与的公共弦的长

为2折

(1)求G的方程；

(2)过点尸的直线与G相交于A、B两点,与C?相交于。、。两点，且AC与3。同向，设G在点A处的切线与

x轴的交点为M,证明：直线/绕点尸旋转时，AMFD总是钝角三角形；

(3)P为上的动点，4、4为G长轴的两个端点，过点。作为「的平行线交椭圆于点R,过点。作AP的平行

线交椭圆于点S,请问AORS的面积是否为定值，并说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

由值域为［-5,3］确定的值，得g(x)=-5-cos4x,利用对称中心列方程求解即可

【详解】

因为/(x)eg,2a+。］,又依题意知/(x)的值域为［-5,3］,所以2a+b=3得a=4,b=T,

jrk冗jr

所以g(x)=-5—cos4x,令4x=k兀+—(kwZ),得％=—+—/eZ),则g(x)的图象的对称中心为

248

(k彳兀+*7T伏eZ~)、.

故选：B

【点睛】

本题考查三角函数的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为0

2,C

【解析】

画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可，

【详解】

由题意可知几何体的直观图如图：

上部是底面半径为1,高为3的圆柱，下部是底面半径为2,高为2的圆锥,

几何体的表面积为：4万+工x4万x2\/2+2乃x3=(10+40)万,

2

故选：C

【点睛】

本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.

3、A

【解析】

化简得到（2、-1）（2-2'丫=2'，（2-2'丫—（2-2），,再利用二项式定理展开得到答案.

【详解】

（2J-1）（2-2A）5=2X-（2-2A）5-（2-X

展开式中8、的项为2'C；23（—2'y—C：22（—2*y=120x8,.

故选：A

【点睛】

本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.

4、D

【解析】

分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得|43|=4+W，|4却=4+\,然后计算，可得结果.

【详解】

设46，/），5（/，%），

联立，）'二（*—1）=＞女2%2_（242+4）x+42=0

.yx

2k2+4-4

则XI+x2

—k2—=2+—k2

因为直线y=经过c的焦点，

所以MM=X]+x2+/?=4+—.

2

同理可得|MN|=8+F，

所以；1=4-16=-12

故选：D.

【点睛】

本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。

5、D

【解析】

由正态分布的性质，根据题意，得到P（XN110）=P（XK60）,求出概率，再由题中数据，即可求出结果.

【详解】

由题意，成绩X近似服从正态分布N(85,cr2),

则正态分布曲线的对称轴为x=85,

根据正态分布曲线的对称性，求得P(X2110)=P(X<60)=0.5-0.3=0.2,

所以该市某校有500人中，估计该校数学成绩不低于110分的人数为500x0.2=100人，

故选:£).

【点睛】

本题考查正态分布的图象和性质，考查学生分析问题的能力，难度容易.

6、C

【解析】

由于在复平面内点Z的坐标为(-1/)，所以z=-l+i,然后将z=-l+i代入口化简后可找到其对应的点.

Z

【详解】

由z=—l+i,所以」=」一=—=对应点G.

z-1+z

故选：C

【点睛】

此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题.

7、A

【解析】

根据正弦定理可得=(c+b)(c-8),求出cosC,根据平方关系求出sinC.由28=C4+CB两端平方,

求出?的最大值，根据三角形面积公式S=gabsinC,求出△A8C面积的最大值.

【详解】

,ABC中，(a—g人)sinA=(c+匕)(sinC-sinfi),

由正弦定理可得—=+,整理得c?=居+廿-；ab,

由余弦定理/=片+加-2a/>cosC,得cosC=；jCe(0,^),sinC

。是A8的中点，且8=1,

2co=。+CB,:.(2竹=(E+C域，即4CD2=CA1+CB+2cA.cB，

2

即4=〃+/+2/?QCOSC=a+b?+—ab>2ah+—ab=—ah

2229

Q

:.ab、,当且仅当a=b时，等号成立.

.,.二ABC的面积S=—6/Z?sinC<—x—=

22545

所以A3c面积的最大值为巫.

5

故选：A.

【点睛】

本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算，属于中档题.

8、D

【解析】

利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可.

【详解】

当〃..2时,Sm+Sz=2(S.+1)nS“「S”=S„-Sn_,+2n%=4+2.

l,n=1

所以数列｛%｝从第2项起为等差数列，q=4。。。，

[2〃一2,n..2

所以，包=6,q0=18.

S“=q+("2+aJ”_D=〃(〃—1)+1,兀=16x15+1=241,

S20=20x19+1=381.

故选：D.

【点睛】

本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

9,D

【解析】

利用特殊值代入法，作差法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项.

【详解】

已知”>人>0,赋值法讨论a>Z?>0的情况：

(1)当a>匕21时，令a=2,b=1,贝“J^一.<|\/^一4，卜"一4>,"一排除B、C选项；

(2)当0<Z?<aWl时，令a=g,b=；，贝，排除A选项.

故选：D.

【点睛】

比较大小通常采用作差法，本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条

件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中等题.

10、D

【解析】

可求出集合A,B,然后进行并集的运算即可.

【详解】

解：A={x|0<x<2},B={y|y>0}；

.一.A5=[0,4w).

故选O.

【点睛】

考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算.

11、D

【解析】

设圆柱的底面半径为「,则其母线长为/=2升,由圆柱的表面积求出「,代入圆柱的体积公式求出其体积，结合题中的结论

即可求出该圆柱的内切球体积.

【详解】

设圆柱的底面半径为「,则其母线长为/=2r,

因为圆柱的表面积公式为S圆柱表=2%/+2乃〃，

所以2〃/+2%rx2r=24乃，解得r=2,

因为圆柱的体积公式为％柱=5//=万/.2/，

所以%柱=乃*2*23=16万，

2

由题知，圆柱内切球的体积是圆柱体积的|,

所以所求圆柱内切球的体积为

2..2..32%

v柱=§xl6»=亍.

故选:D

【点睛】

本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;

属于中档题.

12、C

【解析】

先求出a+2b，再与a相乘即可求出答案.

【详解】

因为。+2〃=(1,5)+(-4,2)=(-3,7),所以夕(。+2份=一3+5*7=32.

故选:C.

【点睛】

本题考查了平面向量的坐标运算，考查了学生的计算能力,属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、V3-1

【解析】

由题意求出圆的对称圆的圆心坐标，求出对称圆的圆坐标到抛物线上的点的距离的最小值，减去半径即可得到的

最小值.

【详解】

假设圆心(0,2)关于直线x—y=0对称的点为(毛,%)，

9=Tr

Xn=2

则有4°,解方程组可得八，

2

yp+z01为=0

.22

所以曲线C的方程为(x—2『+丁=1,圆心为C(2,0),

设M(x,y)(x>0),则2)?+/,

又V=2x,所以|MC『=(x-2)2+y2=x2—2x+4=(x—iy+3,

:.\MCf.=3,即.=6，所以|"N|.=V3-1,

IIminIIminIImin

故答案为：V3-1.

【点睛】

该题考查的是有关动点距离的最小值问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点，点与圆上点的距离的最小值为到

圆心的距离减半径，属于中档题目.

14、1

【解析】

根据向量的模长公式以及数量积公式，得出|以2+3g|T=0,解方程即可得出答案.

【详解】

卜+Z?卜J(a+1)2+W=V7

|/?|+2xV3xcos^x|/?|+3=7,BP|/?p+31Z?|-4=0

解得|6=1或|b|=—4(舍)

故答案为：1

【点睛】

本题主要考查了向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.

15、1

【解析】

根据双曲线的标准方程写出双曲线的渐近线方程，结合题意可求得正实数4的值.

【详解】

双曲线三一丁2=1(〃>0)的渐近线方程为-X±)^=0,

a。

由于该双曲线的一条渐近线方程为x+y=0,.•.,=1,解得a=l.

a

故答案为：1.

【点睛】

本题考查利用双曲线的渐近线方程求参数，考查计算能力，属于基础题.

16、2+百

【解析】

首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.

【详解】

/3、'

x+—+y-l+

xy+1卜xjIy+l)

3i

结合X+y=l可知原式=一+----

xy+1

„31(31)x+(y+l)1「“3(y+l)x

且一+----=-+-----x——空~乙=-4+-^~L+----

xy+1(xy+1)22\_xy+1

=]=2+卮

2[丫xy+1

当且仅当x=3-G,y=-2+g时等号成立.

2々2

即土上+\最小值为2+g.

【点睛】

在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定积或和为定值；三

相等一等号能否取得“，若忽略了某个条件，就会出现错误.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1){x|-l<x<3}；(2)[2,+oo).

【解析】

试题分析：⑴当。=2时=/(x)h2x—2|+2=|2x-2|+2W6——l«x«3；(2)由

f(x)+g(x)=|2x—a\+a+\\—2x\>|2x—a+1—2x|+a=\\—a\+a=>/(x)+g(x)>3等价于

\\-a\+a>?>,解之得.22.

试题解析：(1)当。=2时，/(x)=|2x—2|+2.

解不等式|2x-2|+2K6,^-1<%<3.

因此，/(x)<6的解集为《{7三:<华

(2)当xwR时,f(x)+g{x}=\2x—a\+a+11—2x|>|2x—a+l-2x\+a=\l-a\+af

当x==时等号成立，

2

所以当xeR时，/(x)+g(x)N3等价于|1一。|+。23.①

当时，①等价于l-a+a23,无解.

当。＞1时，①等价于。一1+。23,解得。22.

所以。的取值范围是［2,+8).

考点：不等式选讲.

2

18、(1)a„=2",b=n.(2)C„=2n+1-------.

ltn+1

【解析】

(1)令“=1可求得力的值，令〃22,由S“=2a“-2得出S,-=2a,i-2,两式相减可推导出数列｛4｝为等比数

列,确定该数列的公比,利用等比数列的通项公式可求得数列｛4｝的通项公式,再利用对数的运算性质可得出数列｛"｝

的通项公式：

(2)运用等差数列的求和公式，运用数列的分组求和和裂项相消求和，化简可得7”.

【详解】

(1)当〃=1时，&=2卬-2,所以q=2；

当〃22时，a.=S“—S,z=24—2—(2a,i—2),得%=21,即9=2,

an-\

所以，数列｛为｝是首项为2,公比为2的等比数列，：.a“=2x2"T=2".

b”—log,2"=n'

(2)由(1)知数列｛“｝是首项为1,公差为1的等差数列，

〃(〃一1)〃(〃+1)

T=7ixl+—^------X1=---------・

"22

C“=2"+2=2"+2(L1

222，+l

：.Cn=(2+2++2")+2(1--+---+-+--K-+?fl.

"、7V223nn+\)1-2(n+1Jn+\

所以C“=2"T—二.

n+i

【点睛】

本题考查数列的递推式的运用，注意结合等比数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：分组求和法和裂项相消

求和，考查运算能力，属于中档题.

19、(1)cosC=—;(2)2+2属26

3

【解析】

(1)由正弦定理可得,(。-匕+c)(a-b-c)=c2-2ab，化简并结合”=屏河求得a,b,c三者间的关系，代入余弦定理

可求得cosC;

(2)由(1)可求得sinC,再结合三角形的面积公式,可求出a,4c,从而可求出答案.

【详解】

(1)因为(。-5+c)(sinA-sinB-sinC)=csinC-2asinB,

所以(Q-〃+c)(a-b-c)=c2-2ab，整理得:a2+b2=2c2.

因为〃二y/sh，所以4h2=2c\所以c=y[2b.

222

由余弦定理可得cosC=a+"c-3b+b-2b

lab2x屉2一3

(2)由(1)知cosC="，则sinC=Jl—cos?。：迈,

33

因为ABC的面积是2e，所以g〃bsinC=2&,

即辰2*旦=2VL解得A=2,则a=2瓜c=2V2.

23

故ABC的周长为:2+2g+2后.

【点睛】

本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形面积公式的应用,属于基础题.

20、(1)(9,-5][3,-iw)；(2)证明见解析.

【解析】

(1)分x<—3、-3<x<l>x>l三种情况解不等式/(x)+/(x+4)28,即可得出该不等式的解集；

(2)利用分析法可知，要证〃")>向/(，)，即证四一1|>|。一可，只需证明版一『一心—即可，因式分

解后，判断差值符号即可，由此证明出所证不等式成立.

【详解】

-2x-2,x<-3

(1)/(x)+/(x+4)=|x-l|+|x+3|=<4,-3<x<1.

2x+2,x>1

当xv—3时，由—Lx—228,解得xW—5,此时xW-5«

当-34无<1时，不成立；

当x>l时，由2x+2»8,解得xN3,此时xN3.

综上所述，不等式/(x)<4的解集为(—，―5][3,4W)；

(2)要证/(")>同即证岫一[>|。一4，

因为同<1,例<1,所以,/<],b2<lt

.,.|a/?-l|2-|a-Z?|2=(a%?-2ah+1)—(a)-2ab+Z72)=a2b2—a2+l-b2

=/92一1)—92-1)=(/一1)仅2-1)<0.

所以，|仍-1|>,一身.故所证不等式成立.

【点睛】

本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用分析法和作差法证明不等式，考查分类讨论思想以及推理能力，属

于中等题.

21、(1)见解析；(2)42

3

【解析】

(I)证明：过点。作于点。，

,:平面QBC±平面A8C,•••Q。J•平面ABC

又•••Q4JL平面ABC

：.QD//PA,

又平面。BC

二Q4〃平面QBC

D

B

（n）VPQ-L平面QBC：.NPQB=NPQC=90，又：PB=PC、PQ=PQ：.\PQB^\PQC：.BQ=CQ

.,•点。是8C的中点，连结A。，则3c

•••4£），平面。8<^二。。〃4。，AD1QD

二四边形PA。。是矩形

设7^4=AB=AC=2a,得：PQ—AD-s/2a>PD=yf6a

又VBC±PA,BC±PQ,：.BC±平面尸AOQ,

从而平面PBC_L平面PADQ,过。作Q”_LP。于点“，则Q”_L平面P6C

ANQCH是CQ与平面PBC所成角

,\QH=2'^a=­a,CQ=BQ=V6«

>/63

.“口QH2731V2

sinZQCH=---=------尸=——

CQ3m3

CQ与平面PBC所成角的正弦值为—

3

考点：面面垂直的性质定理；线面平行的判定定理；线面垂直的性质定理；直线与平面所成的角.

点评：本题主要考查了线面平行的证明和直线与平面所成的角，属立体几何中的常考题型，较难.本题也可以用向量

法来做：用向量法解题的关键是；首先正确的建立空间直角坐标系，正确求解平面的一个法向量.注意计算要仔细、

认真.咨

v2r2

22、（1）21+土=1；（2）证明见解析；（3）是，理由见解析.

98

【解析】

96

（D根据两个曲线的焦点相同，得到6—〃2=1,再根据G与C的公共弦长为2#得出二r+G=l,可求出片和

从的值，进而可得出曲线C?的方程；

（2）设点A（X1，x）,根据导数的几何意义得到曲线q在点A处的切线方程，求出点M的坐标，利用向量的数量积

得出则问题得以证明；

Q

（3）设直线。=直线OS:y=&x，/?（七,%）、。（巧，①）、。（/，为），推导出桃2=-三以及