2023届高考数学二轮复习导数经典技巧与方法：局部隔离法

第4讲局部隔离法

知识纵横

局部隔离法本来是物理力学中的一种方法，本来是指把要分析的物体从相关

物体体系中隔离出来，作为研究对象，只分析该研究对象以外物体对该对象的作用

力，不考虑研究对象对其它物体的作用力.我们在解决数学中的恒成立问题时，也

常常借助这一方法，利用整体与局部的观点，隔离出局部的代数式,通过充分研究

该代数式，使所研究的代数式结构特点进行凸显,进而解决整个问题.

典型例题

原函数中的局部隔离式

【例1】已知函数/(X)=M+：如果当X>0,且XH1时,f(%)>詈+：,求k的

取值范围.

【解析】由题意知/'(x)-(詈+：)=工匕(21nx+(一")>0.令g(x)=

21nx+(11广))(x>0),则/(%)=(kT)(；+i)+2x

(i)当k<0时，由g'(x)=心知，当%*1时应'(尤)<。.而g(l)=0,

故当x£(0,1)时,g(x)>0,可得三7g(x)>0;

当Xe(1,+8)时,g(%)<0,可得，2g(K)>0.

从而当X>0,且XA1时,f(%)-(詈+3>0,即f(%)>詈+£

(ii)当0<k<1时.由于当x6(1，£)时,伏—l)(x2+1)+2%>0,故g'(x)>0,

而g⑴=0,故当%e(1,匕)时,g(x)>0,可得三7g(%)<0,与题设矛盾.

(iii)当k>l时.此时g'(%)>0,而g⑴=0,

故当％€(1,+8)时,g(x)>0,可得占似%)<0,与题设矛盾.

综上所述#的取值范围为(-8,0).

【点睛】本题点睛意到f(x)—(詈+3=占(21nx+y1))>0,于是构造

部分函数g(x)=21nx+出则三jg(x)>0,求导得g'(x)=•(人"坟l"：

对k进行分类讨论，判断出g(x)的符号，进而解决问题.将对数单独作为一项，只需

求导一次，便不再出现对数符号了.

【例2】已知函数/"(%)=ax2\nx+b的图象在点(1/(1))处的切线方程为y=

2x—2.

(1)求/(x)在(0以+b)内的单调区间.

(2)设函数g(x)=x2ex—%4—2e*lnx,证明:/(%)+g(x)>1.

【解析】(1)因为/'(%)=a%(21nx+1),所以f'(l)=a=2.又f(l)=b=。,

所以a+b=2.

当0<%<?时/(%)<0;当当<%<2时/(%)>0.

所以/(%)在(0,a+b)的单调递减区间为(0,与,单调递增区间为传,2).

(2)证明:由(1)知f(x)+g(x)=2%21nx4-%2(ex—%2)—2exlnx=(ex—%2)(%2—

21nx).

设函数。(%)=x2—21nx,则。'(%)=2%—

当0<久<1时,。'(%)<0;当x>1时,©'(%)>0.

所以。(％)>0(x)min=0(1)=1,

所以f(x)+g(x)>ex-x2.

设函数h(x)=ex—x2(x>0),则九'(%)=ex—2x(%>0),设p(x)=ex—2x(%>

0),

则p'(x)=ex—2(x>0),令p'(%)=0,得x=ln2,

则P(%)min=P(ln2)=2(1-In2)>0,

所以3(%)>0,从而/i(x)为增函数，则h(x)>h(0)=1,

因此/(%)+g(%)>ex-%2>1,故/(%)+g(x)>1.

【点睛】本题第(2)问证明的关键是将函数/(%)4-g(x)进行因式分解，得到/(%)+

g(x)=(ex-x2)(x2-21nx),然后分别考虑两个局部式子e*-d与%2_21nx的

范围，即可得证.

事实上，本题由下面两个常见的不等式“拼凑”而成:ex>/+i(%>0)与%一12

Inx.

由e*>x2+1(%>0)0e*—/>i(i),由％—12Inx=%—Inx21=/—

In%2>1(2),

(1)(2)两式相乘可得(e、-x2)(x2-Inx2)>1,即/(x)+g(x)>1.

【例3】已知函数/'(%)满足f(%)=/'(l)exT-f(0)x+；%2；若/(%)>lx2+ax+

b,求(a+l)b的最大值.

【解析】由题意/''(£)=f'(l)exT—f(0)+%,

令％=1得/(0)=1,所以/(0)=/'(l)e-1=1,即f'(l)=e

所以/(%)=ex-x+jx2,

所以f(x)>|x2+ax+b<=>ex>(a+l)x+b,

设g(x)=ex,h(x)=(a+l)x+b.

g(x)=砂的图像是过(0,1)的曲线C,曲线C随着x的增大y值增大且图像下凹.

/i(x)=(a+1)%+b的图像是过点(0,b)且斜率为a+1的直线2,如图.

由e、>(a+1)%+b,则曲线C必在直线L的上方或曲线C与直线I相切.

设曲线C与直线I的切点为M(xo，yo),曲线C在点M(xo，yo)的切线方程为l:y=

x

e、。％+e«(l-%o),切线的斜率为e》。,在y轴上的截距为砂。(1-x0).

又直线I的斜率为a+1,在y轴上的截距为b,则有=(a+1),口。(1-劭)>b,

xx2x

所以(a+l)b<e°-e°(l—x0)=e°(l—x0),

2x2x

设t(x0)=e°(l-Xo),xQeR,t'(x0)=e°(l-2x0),

当％oe(->0；当xoGG，+8),t'(%o)<0,

故tg)有最大值=/所以,(a+l)b的最大值为

【点睛】(1)变形后的不等式两端的式子分别设为两个函数.一般的,两个函数中应

有一个一次函数或常函数(因为一次函数或常函数的图像为直线,便于观察).

(2)由不等式关系找出函数图像的位置关系，根据直线的斜率、截距意义列式求解.

导函数中的因式分解

【例4】已知函数f(x)=e*-/一a%.当%>0时,f(x)>1-%恒成立，求实数a

的取值范围.

【解析】当%>0时,f(x)>1一%,即—

令g(X)=3-4-：+1(%>0),9(%)=(xT"rT)

设F(x)=ex—x—1,F(%)=ex—l,xE(0,+8),

当Xe(0,+oo),F(x)>0/(%)单调递增，

故F(x)>F(0)=0,

所以当xe(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减；

当xe(1,+8)时,g'(x)>0,g(x)单调递增，

所以g(%)min=g(l)=e-1,

所以aWe-1,即实数a的取值范围是(-8,e-1].

【点睛】本题通过将导数通分、因式分解，考虑局部隔离式「(%)=旷-％-1,由

熟知的不等式e'2x+l可知ex—x—l20,只需根据的正负就可以判断

出g'(x)的符号，得到g(x)的单调区间，进而解决问题.

【例5]已知函数/(x)=ex~a+Inx.

(1)若a=1,求证:当x>1时/(%)>2%—1;

(2)若存在配>e,使/(%0)<21na,求实数a的取值范围.

【解析】(1)当a=1/(%)=e*T+In%/(%)=ex-1+

设g(x)=ex-1+Inx—2x+l,g'(x)=ex-1+^—2,g"(x)=ex-1—

因为x>l,ex-1>1,0<^<1,从而g''(x)=e*T-,>0,

所以g'(%)在(L+8)上单调递增，又g'(l)=0,

所以x>1时,g'(x)>0,从而g(x)在(1,+8)上单调递增，

所以g(x)>g⑴=0,即e*+Inx—2x+1>0(%>1),即e*+Inx>2%—1.

所以当%>1时/(%)>2%-1.

x-a

(2)若存在劭>e,使得/(xo)<21nx0,8Pe°<lnx0,

即存在配>e,使得e。>鲁.

ln%o

设总)=1(%之e),则做)=熹(1政-9

设u(x)=Inx—(x)=：+/>0,

所以u(x)=Inx-[在[e,+8)上单调递增.

当x=e时,〃=1-1>0,所以u(x)>0在[e,+8)恒成立，

所以/(%)>0在[e,+8)恒成立，所以必久)在[e,+8)单调递增.

由于％2e,所以h(x)>h(e)=ee,从而由e。>ee,进而得a>e.

【点睛】对于本题的第⑵问,隔离出局部式u(x)=Inx-3通过研究心)的性质,

得到3(%)符号的判断结果,从而使问题顺利解决

[例6]已知函数f(%)=sinx—xcosx(x>0).

(1)求函数/(%)的图象在6,1)处的切线方程；

(2)若任意xG(0,+8),不等式/(%)<a%3恒成立，求实数a的取值范围；

(3)设g(x)=》(%),证明:[1+g(J][1+9传)]…[1+g©)]<Ve.

【解析】(1)对f(x)求导，得/''(%)=xsinx,所以f'G)=p

所以切线方程为y=](x—()+l；

(2)/(%)<ax3=sinx—xcosx—ax3<0,令g(%)=sinx—xcosx—ax3.

贝Ug(%)—xsinx-3ax2=x(sinx—3ax).

令h(x)=sinx—3a%,求导，得八(％)=cosx—3a.

①当3aW-1,即a<-1时,3(%)>0恒成立，所以h(%)单调递增，

所以h(x)>h(0)=0,所以g'(x)>0,所以g(x)单调递增，从而g(x)>g(0)=0,

不符合题意；

②当3a21,即a>3寸/⑺<0恒成立，所以依)单调递减，

所以九(%)<九(0)=0,所以g'(x)<0,所以g(x)递减，从而g(%)Wg(0)=0,符合题

，音0、.,

③)当—1<3a<1,即——<(I<§时，由h(0)=1—3a>0,h(兀)=-1—3a<0,

所以在(0,兀)上，存在X0,使得九’(X0)=0,且xe(0/)时，九’(x)>0=>g'(x)>0,

所以g(%)递增，所以g(x)>g(0)=0(不符合题意).

综上所述，所求实数a的取值范围是由+co).

⑶由(2)可知，当a=轲,/(%)<呆3,所以g(%)<X.

又令u(x)=ln(l+x)-x(x>0),求导比'(%)=—<0,

x+1

所以〃(%)递减，从而〃(%)<u(0)=0,即ln(l+%)<%在(0,+8)上恒成立.

令”=而得ln(1+我)<F,

所以In[1+90)1+帅+呜)]+…+1++淄]

1,,1一WOW)一1八八

<?

即In([1+9g)][1+5信)卜•・[1+gG)D<|

所以[i+gG)][i+。(捌…[i+g(F)]<粕，于是得证.

【点睛】本题第(2)问对g(x)求导后，直接判断导数d(%)的正负不太容易,而通过

对局部式h(x)=sinX-3ax的讨论，再结合x>0,就可以确定g'(x)的符号，使问

题的解决更加清晰明了.

强化训练

1.已知函数/(%)=ex—ax2.

⑴设函数g(x)=f(x),讨论g(x)的单调性；

(2)当xe(1,+8)时,/(%)>]恒成立，求a的取值范围.

【解析】(1)由已知，得g(x)=/(X)=ex-2a%,所以g'(x)=ex-2a.

①当aW0时,g'(%)>0,g(x)在R上单调递增.

②当a>0时，令g'(%)>0,得x>ln2a;

令g’(x)<0,得x<In2a.

所以9(久)在(-8,ln2a)上单调递减，在(In2a,+8)上单调递增.

综上所述，当a<0时,g(%)在R上单调递增;当a>0时,g(%)在(-8,In2a)上单调

递

减，在Qn2a,+8)上单调递增.

(2)/(%)=ex—2ax=2x—a),%G(1,+oo).

设f(%)=0,得a=，

设h(x)=则//(%)=a；?.

当％>1时>0,h(x)在(1,+8)上单调递增，所以/i(x)的值域是6,+8).

①当aW机寸合一a>0,则f'Q)>0,f(x)在(1,+8)上单调递增,

所以/(x)>/(I)=e-a>最符合题意.

②当a>割寸,九(1)=1<a,所以h(x)=a有唯一实根巾配>1),即/''(%)=0有

唯一实根出，当x£(1,殉)时/(%)<0/(%)在(1,配)上单调递减，所以f(x)<

f(l)=e-a</不符合题意.

综上所述,a<京即a的取值范围是(-8身.

【点睛】本题第(2)问先构造部分函数以0求导得3(%)=与萨，进而求出

献》)的值域。,+8),然后根据h(x)的值域对a进行分类讨论，从而判断出/'(%)的

符号.

2.已知不等式e*>x2+ax+1对任意%G[1,4-8)恒成立，求实数a的取值范围.

[解析】e*2/+ax+1=aW+-(%+：),

令f⑺芸一1+

因为砂2%+1,所以当x<1时/(%)递减,x>1时f(x)递增，

所以f(x)min=f⑴=e-2,故a<e-2.

3.已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.

(1)求/(x)的单调区间；

(2)若/(%)>0恒成立，求实数a的取值范围.

【解析】(1)/(%)=ex(ex-a)-a2x,/'(x)=(2ex+a)(ex-a),

当a=0时,f(x)=e?x是R上的增函数，

当a>0时,/'(%)=O=»ez=a=>%=Ina,

"%)的单调减区间为(-Pina),单调增区间为(Ina,+8),

当a<0时,/'(%)=0=>ex=—j=>x=In

/(%)的单调减区间为(一8,In(-乡),单调增区间为(in(y),+8),

(2)由(1)知,

①当a>0时,f(%)min=/Ona)=-a2lna,

要使/(x)>0恒成立，只需一a2lna>0即可，解得0<aW1;

②当aV0时,f(x)min=f(in(-I))=«2(I-ln(-f)),

要使f(%)20恒成立，只需a2g-ln(-0)>o即可，解得a2$;

2x

③当Q=0时,f(x)=e>0显然成立.

综上所述，若/