2024届北京市教育院附属中学九年级上册数学期末质量跟踪监视试题含解析

2024届北京市教育院附属中学九上数学期末质量跟踪监视试题

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题3分,共30分）

1.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3:1,连接AE交BD于点F,则△DEF的面积与△BAF

的面积之比为（）

A.3：4B.9：16C.9：1D.3：1

2.如图,扇形AOB中,半径OA=2,NAoB=I20。，C是弧AB的中点,连接AC、BC,则图中阴影部分面积是（）

A.--2√3B.--2√3

33

C.^-√3D.纭-百

33

3.如图，在AABC中，AC=2,BC=A,。为BC边上的一点，且NC4O=∕δ∙若ΔADC的面积为则ΔA3O

的面积为（）

一22

4.已知关于X的函数y=k（x+l）和y=-&（k≠0）它们在同一坐标系中的大致图象是（）

A.Gl有意义的X取值范围是x>l.

B.一组数据的方差越大，这组数据波动性越大.

C.若Na=72°55',则4的补角为10745'.

D.布袋中有除颜色以外完全相同的3个黄球和5个白球，从布袋中随机摸出一个球是白球的概率为9

O

6.如图，正方形ABC。的边长是3,BP=CQ,连接AQ、Z)P交于点。，并分别与边C。、BC交于点尸、E,

zɔJ7,1O

连接AE,下列结论：①AQ_LZ)P：②。A2=OE)∙OP;③氏。。=S四边形OEcF；④当Bp=I时，――=--•正确结

OA16

论的个数为()

0

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.已知两圆半径分别为6∙5c∕n和3c∕n,圆心距为3.5cm,则两圆的位置关系是()

A.相交B.外切C.内切D.内含

8.在一个布袋里放有1个红球，2个白球和3个黑球，它们除了颜色外其余都相同，从布袋中任意摸出一个球是白球

的概率()

9.抛物线的y=(x—if+3顶点坐标是()

A.(1,3)B.(-1,3)C.(-1,-3)D.(1,-3)

10.如图，AB是。。的直径，点C,D在直径AB一侧的圆上(异于A,B两点)，点E在直径AB另一侧的圆上,

若NE=42。，ZA=60o,则NB=()

n

E

A.62oB.70oC.720D.74o

二、填空题（每小题3分,共24分）

11.一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时间为》（时），两车

之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与X之间的函数关系.已知两车相遇时

快车比慢车多行驶60千米.若快车从甲地到达乙地所需时间为f时，则此时慢车与甲地相距千米.

12.在AABC中，已知AB=AC=4cm,BC=6cm,P是BC的中点，以点P为圆心，3cm为半径画。P,则点A

与。P的位置关系是.

13.如图，在AABC中，点D,E分别在边AB,AC上，若DE〃BC,AD=2BD,贝∣DE；BC等于.

AB3

14.若AABCsZvrBC且——=一，ZkABC的周长为12cm,则夕。的周长为

AB4

15.已知二次函数y=aχ2+bx+c中，函数y与自变量X的部分对应值如表,

X6.176.186.196.20

y-0.03-0.010.020.04

则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是

16.如图，已知PA,PB是。O的两条切线，A,B为切点.C是。O上一个动点.且不与A,B重合.若NPAC=α,

ZABC=β,则a与6的关系是

A

17.写出一个图象的顶点在原点，开口向下的二次函数的表达式.

18.从长度分别是40%,8677/,IOcm,12cm的四根木条中，抽出其中三根能组成三角形的概率是.

三、解答题(共66分)

19.QO分)如图，在平面直角坐标系中，ZACB=90o,OC=2BO,AC=6,点B的坐标为(1,0),抛物线y=-

x2+bx+c经过A、B两点.

(1)求点A的坐标；

(2)求抛物线的解析式；

(3)点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直X轴于点D,交线段AB于点E,使PE=]DE.

2

①求点P的坐标；

②在直线PD上是否存在点M,使aABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请

20.(6分)如图，四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=60o,NBCD=30。，将AC绕着点A顺时针旋转60。得AE,连

接BE,CE.

(1)求证：∆ADC^∆ABE;

(2)求证：AC2=DC'+BC2

(3)若AB=2,点Q在四边形ABCD内部运动，且满足AQ?=OQ?+BQ?,直接写出点Q运动路径的长度.

21.（6分）为深化课程改革，提高学生的综合素质，我校开设了形式多样的校本课程.为了解校本课程在学生中最受

欢迎的程度，学校随机抽取了部分学生进行调查，从A：天文地理；B：科学探究；C：文史天地；D：趣味数学；四

门课程中选你喜欢的课程（被调查者限选一项），并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图所示，根据以上信息，

解答下列问题：

（1）本次调查的总人数为人，扇形统计图中A部分的圆心角是度；

（2）请补全条形统计图；

（3）根据本次调查，该校400名学生中，估计最喜欢“科学探究”的学生人数为多少？

（4）为激发学生的学习热情，学校决定举办学生综合素质大赛，采取“双人同行，合作共进”小组赛形式，比赛题目从

上面四个类型的校本课程中产生，并且规定：同一小组的两名同学的题目类型不能相同，且每人只能抽取一次，小琳

和小金组成了一组，求他们抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法求）

22.(8分)计算

(1)2sin30o-tan60o+tan45o;

(2)-tan2450+sin2300-3cos2300

4

23.(8分)如图，在ABe。中，对角线AC与BD相交于点O,AC=I6,BD=T2,AB=10.求证：四边形

ABCD是菱形.

24.（8分）如图所示，AD,BE是钝角AABC的边BC,AC上的高，求证：—.

25.（10分）三台县教育和体育局为帮助万福村李大爷“精准脱贫”，在网上销售李大爷自己手工做的竹帘，其成本为

每张40元，当售价为每张80元时，每月可销售100张.为了吸引更多顾客，采取降价措施.据市场调查反映：销售单价

每降1元，则每月可多销售5张.设每张竹帘的售价为X元（X为正整数），每月的销售量为〉张.

（1）直接写出y与X的函数关系式；

（2）设该网店每月获得的利润为W元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？

（3）李大爷深感扶贫政策给自己带来的好处，为了回报社会，他决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生.为了保

证捐款后每月利润不低于4220元，求销售单价应该定在什么范围内？

26.（10分）计算:

参考答案

一、选择题（每小题3分,共30分）

1、B

【分析】可证明ADFESaBFA,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案.

【详解】V四边形ABCD为平行四边形，

ΛDC√AB,

Λ∆DFE^∆BFA,

VDE：EC=3：1,

.,.DE:DC=3:4,

ΛDE:AB=3：4,

∙*∙S∆I）FESSABFA=%1.

故选B.

2、A

【解析】试题分析：连接AB、OC,ABlOC,所以可将四边形AOBC分成三角形ABC、和三角形AOB,进行求面

积，求得四边形面积是26，扇形面积是S=gm∙2=所以阴影部分面积是扇形面积减去四边形面积即F-26.

故选A.

3、C

【分析】根据相似三角形的判定定理得到ΔACZ）NBCA,再由相似三角形的性质得到答案.

【详解】YNCAD=NB,ZACDZBCA,

ΛΔACD∖BCA,

aɪ

即

u,ΔBCA4

解得，ΔBC4的面积为4α,

二ΔABD的面积为：4a-a=3a,

故选C∙

【点睛】

本题考查相似三角形的判定定理和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质.

4、A

【分析】先根据反比例函数的性质判断出k的取值，再根据一次函数的性质判断出k取值，二者一致的即为正确答案.

【详解】解：当k>0时，反比例函数的系数-kVO,反比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、三象限，原题没

有满足的图形；

当kVO时，反比例函数的系数-k>0,所以反比例函数过一、三象限，一次函数过二、三、四象限.

故选：A.

5、B

【分析】分别分析各选项的题设是否能推出结论，即可得到答案.

【详解】解：A.√Γ万有意义的X取值范围是x≥l,故选项A命题错误;

B.一组数据的方差越大，这组数据波动性越大，故选项B命题正确;

C.若Na=72o55',则Na的补角为1075',故选项C命题错误;

D.布袋中有除颜色以外完全相同的3个黄球和5个白球，从布袋中随机摸出一个球是白球的概率为故选项D命题

O

错误；

故答案为B.

【点睛】

本题考查了命题真假的判断，掌握分析各选项的题设能否退出结论的知识点是解答本题的关键.

6、D

【分析】由四边形ABQ9是正方形，AD=BC=AB,NzMB=NA3C=90°,即可证明4ABQ,根据全等

三角形的性质得到NP=N。，根据余角的性质得到AQ_LOP；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO2=QZ)∙OP,

故②正确；根据ACQFgZkBPE,得至IJSAC2F=SA"*根据aOAP且ZUBQ,得到S产S人侬，即可得到SS四

OECFi故③正确；根据相似三角形的性质得到BE的长，进而求得0E的长，证明根据相似三角

形对应边成比例即可判断④正确，即可得到结论.

【详解】•••四边形ABC。是正方形，

：.AD=BC=AB,NZMB=NABC=90°.

"：BP=CQ,

：.AP=BQ.

AD^AB

在aOA尸与AABQ中，；＜NDAP=ZABQ,

AP=BQ

：.4DAP迫丛ABQ,

.∙.NP=NQ.

vzρ+zρAB=90o,

ΛZP+ZβAB=90o,

ΛZAOP=90",

：.AQLDPi

故①正确；

：NOOA=NAOP=90°,ZADO+ZP=ZADO+ZDAO=90°,

：.ZDAO=ZP,

：.ADAoSAAP0,

AOOP

•*.=_,

ODOA

.∖AO2=OD∙OP.故②正确；

ZFCQ=ZEBP

在厂与45PE中，∙.∙∣NQ=NP,

CQ=BP

丁•△CQFW4BPE,

:∙SACQF=SABPE.

:・SADAp=SAABQ,

∙*∙SAAOD=S四边形OECF;故③正确；

VBP=1,AB=3,

JAP=L

•NP=NP,NEBP=NZMP=90°,

△PBEsMAD,

PBPA4

~EB~~DA3

3

BE=-,

4

13

QE=丁,

4

NQ=NP,NQOE=NPOA=90°,

AQOE‹^∆POA,

13

∙.OE一丝=W，

z

~0AAP4

13

.OE=9,故④正确.

',~OA'16

故选：D.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质

是解答本题的关键.

7、C

【解析】先求两圆半径的和与差，再与圆心距进行比较，确定两圆的位置关系.

【详解】T两圆的半径分别为6.5c,"和3c∕n,圆心距为3.5c,",且6.5-3=3.5,

.∙.两圆的位置关系是内切.

故选：C.

【点睛】

考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法.设两圆的半径分别为K和r,且R7，圆心距为山外离d>R+r;外

切d=R+r；相交R-rVdVR+r；内切d=R-r;内含dVR-r.

8、C

【分析】根据概率公式，求摸到白球的概率，即用白球除以小球总个数即可得出得到黑球的概率.

【详解】Y在一个布袋里放有1个红球，2个白球和3个黑球，它们除了颜色外其余都相同，

21

.∙.从布袋中任意摸出一个球是白球的概率为：------=-.

1+2+33

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了概率公式的应用，由已知求出小球总个数再利用概率公式求出是解决问题的关键.

9、A

【分析】根据二次函数的性质，利用顶点式即可得出顶点坐标.

【详解】解：•••抛物线y=（x-lp+3,

，抛物线y=（x-lp+3的顶点坐标是：（1,3）,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标.能根据二次函数的顶点式找出抛物线的对称轴及顶点坐标是解题的

关键.

10、C

【分析】连接AC根据圆周角定理求出NCAB即可解决问题.

【详解】解：连接AC.

E

VZDAB=60o,ZDAC=ZE=42o,

ΛZCAB=60o-42°=18°,

VAB是直径，

ΛZACB=90o,

ΛZB=90o-18o=72o,

故选：C.

【点睛】

本题主要考察圆周角定理，解题关键是连接AC.利用圆周角定理求出NCAB.

二、填空题（每小题3分,共24分）

11、侬

17

【分析】求出相遇前y与X的关系式，确定出甲乙两地的距离，进而求出两车的速度，即可求解.

【详解】设AB所在直线的解析式为：y=kx+b,

把（1.5,70）与（2,0）代入得：

'l.5k+h=10

'2k+b=0

∖k=-140

解得：,

b=280

.∙.AB所在直线的解析式为：y=-140x+280,

令X=0,得到y=280,即甲乙两地相距280千米，

设两车相遇时，乙行驶了X千米，则甲行驶了（x+60）千米,

根据题意得：x+x+60=280,

解得：χ=ιιo,即两车相遇时，乙行驶了UO千米，甲行驶了170千米,

.∙.甲车的速度为85千米/时，乙车速度为55千米/时,

根据题意得：280-55x（280÷85）=（千米）.

17

则快车到达乙地时，慢车与甲地相距侬

千米.

17

“依田二1680

故答案为：――

【点睛】

本题主要考查根据函数图象的信息解决行程问题，根据函数的图象，求出AB所在直线的解析式是解题的关键.

12、点A在圆P内

【分析】求出AP的长，然后根据点与圆的位置关系判断即可.

【详解】VAB=AC,P是BC的中点,

ΛAP±BC,BP=3cm,

ʌAP=√42-32-y/lcm,

∙∙∙√7<3,

...点A在圆P内.

故答案为：点A在圆尸内.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，点与圆的位置关系，关键要记住若半径为r,点到圆心的距离为d,则有:

当rf>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内.

13、2：1

【分析】根据DE〃BC得出4ADES∕^ABC,结合AD=2BD可得出相似比即可求出DE：BC.

【详解】解：∙.'DE"BC,

Λ∆ADE^∆ABC,

DEAD

•*.—,

BCAB

VAD=2BD,

.AD2

..,

AB3

ΛDE:BC=2：1,

故答案为：2；1.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定及性质，属于基础题型，解题的关键是熟悉相似三角形的判定及性质，灵活运用线段的

比例关系.

14、16cm

【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求解.

【详解】解：...4ABCs^AGX?,且?=3,即相似三角形的相似比为3,

AB44

•.,△ABC的周长为12Cm

3

二的周长为12÷-=16cm.

4

故答案为：16.

【点睛】

此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握相似三角形周长的比等于相似比.

15、6.18<x<6.1

【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y=0时，相应的自变量的取值范围即可.

【详解】由表格数据可得，当x=6.18时，y=-0.01,当x=6.1时，y=0.02,

.∙.当y=0时，相应的自变量X的取值范围为6.18<x<6.L

故答案为：6.18<x<6∙l.

【点睛】

本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可.

16、α=6或α+4=180°

【分析】分点C在优弧AB上和劣弧AB上两种情况讨论，根据切线的性质得到NOAC的度数，再根据圆周角定理得

到NAoC的度数，再利用三角形内角和定理得出α与β的关系.

【详解】解：当点C在优弧AB上时，如图，

连接OA、OB、OC,

∙.∙PA是。。的切线，

，ZPAO=90o,

，ZOAC=α-90o=ZOCA,

•：ZAOC=2ZABC=2β,

：.2(a-90o)+2β=180o,

.*.(X+,=I80°；

当点C在劣弧AB上时，如图,

YPA是。。的切线，

ΛNPAC)=90。，

二NoAC=90o-a=ZOCA,

VNAoC=2NABC=2β,

：.2(90o-a)+2β=180o,

：.a=β.

B

综上：a与P的关系是a+∕=18()。或a=月.

故答案为：。=尸或a+∕=180°.

【点睛】

本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，利用圆周角定理是解题的关键，同时

注意分类讨论.

17、y=-2χ2(答案不唯一)

【分析】由题意知，图象过原点，开口向下则二次项系数为负数，由此可写出满足条件的二次函数的表达式.

【详解】解：由题意可得：y=-2好(答案不唯一).

故答案为：y=-2χ2(答案不唯一).

【点睛】

本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

【分析】四根木条中，抽出其中三根的组合有4种，计算出能组成三角形的组合，利用概率公式进行求解即可.

【详解】解：能组成三角形的组合有：4,8,10；4,10,12；8,10,12三种情况，

3

故抽出其中三根能组成三角形的概率是一.

4

【点睛】

本题考查了列举法求概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么

事件A的概率P(A)=-,构成三角形的基本要求为两小边之和大于最大边.

n

三、解答题(共66分)

19、(1)y=-X2-3x+4;(2)①P(-1,6)；②点M的坐标为：.∖M(-1,3+√∏)或(-1,3-√∏^)或(-

13

1>T)或(-1,一).

2

【解析】(1)先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；

(2)①先得AB的解析式为：y=-2x+2,根据PDJ_x轴，设P(x,-x2-3x+4),则E(x,-2x+2),根据PE=；DE,列

方程可得P的坐标；

②先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB,AM,BM的长，分三种情况：AABM为直角三角形时，分别以

A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标.

【详解】(1)VB(1,0),

ΛOB=1,

VOC=2OB=2,

.∙.C(-2,O),

RtZkABC中，tanZABC=2,

*-2

BC

.AC,

>∙-----=2

3

ΛAC=6,

ΛA(-2,6),

4-2⅛+c=6

把A(-2,6)和B(1,0)代入y=-x2+bx+c得：｛,,C

-1+Z?+C=O

Z?=—3

解得：｛,,

c=4

•••抛物线的解析式为：y=-χ2-3x+4;

(2)①TA(-2,6),B(1,0),

易得AB的解析式为：y=-2x+2,

设P(x,-X2-3x+4),贝(]E(x,-2x+2),

I

VPE=-DE,

2

-X2-3x+4-(-2x+2)=—(-2x+2)，

2

x=l(舍)或-1,

.∙.P(-1,6)；

②在直线PD上，且P(-1,6),

设M(-1,y),

.".AM2=(-1+2)2+(y-6)2=1+(y-6)2,

BM2=(1+1)2+y2=4+y2,

AB2=(1+2)2+62=45,

分三种情况：

i)当NAMB=90。时，有AM2+BM2=AB2,

1+(y-6)2+4+y2=45,

解得：y=3+-∖∕TT，

ΛM(-b3+√ΓT)或(-1,3-Jn)；

ii)当NABM=90。时，有AB2+BM2=AM2,

Λ45+4+y2=l+(y-6)2,y=-l,

ΛM(-1,-1),

iii)当NBAM=90。时，有AM2+AB2=BMP,

13

：・1+(y-6)2+45=4+y2,y=一,

综上所述，点M的坐标为：.∙.M(-1,3+J∏^)或(-1,3-JrT)或(-1,-1)或(-1,―).

【点睛】

此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定

等知识.此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用.

2

20、(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)-π.

3

【解析】(1)推出NDAC=NBAE,则可直接由SAS证明AADCgZ^ABE：

(2)证明ABCE是直角三角形，再证DC=BE,AC=CE即可推出结论；

(3)如图2,设Q为满足条件的点，将AQ绕着点A顺时针旋转60度得AF,连接QF,BF,QB,DQ,AF,证

AADQ^∆ABF,由勾股定理的逆定理证NFBQ=90。，求出NDQB=I50。，确定点Q的路径为过B,D,C三点的圆上

BD'求出BZ)的长即可.

【详解】(1)证明：VZCAE=ZDAB=60o,

NCAE-NCAB=NDAB-NCAB,

.∙.ZDAC=ZBAE,

XVAD=AB,AC=AE,

Λ∆ADC^∆ABE(SAS)；

(2)证明：在四边形ABCD中,

ZADC+ZABC=360o-ZDAB-ZDCB=270o,

V∆ADC^∆ABE,

.∙.NADC=NABE,CD=BE,

：.ZABC+ABE=ZABC+ZADC=270o,

ΛZCBE=360o-(ZABC+ABE)=90o,

ΛCE2=BE2+BC2,

XVAC=AE,ZCAE=60o,

Λ∆ACE是等边三角形，

ACE=AC=AE,

222

ΛAC=DC+BCi

(3)解：如图2,设Q为满足条件的点，将AQ绕着点A顺时针旋转60度得AF,连接QF,BF,QB,DQ,AF,

则NDAQ=NBAF,AQ=QF,AAQF为等边三角形,

XVAD=AB,

Λ∆ADQ^∆ABF(SAS),

.∙.AQ=FQ,BF=DQ,

VAQ2=BQ2+DQ2,

ΛFQ2=BQ2+BF2,

二ZFBQ=90o,

ΛZAFB+ZAQB=360o-(NQAF+NFBQ)=210°,

二ZAQD+ZAQB=210o,

,NDQB=360°-(NAQD+NAQB)=150°,

•••点Q的路径为过B,D,C三点的圆上80，

如图2,设圆心为O,则NBoD=2NDCB=6(T,

连接DB,贝IbODB与AADB为等边三角形，

ΛDO=DB=AB=Z,

604×T2

・•・点Q运动的路径长为:----------——71

3603

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，四边形的内角和，勾股定理的逆定理，圆的有关性质及计算等，综合性

较强，解题关键是能够熟练掌握并灵活运用圆的有关性质.

21、(1)60,36；(2)见解析；(3)80；(4)见解析

6

该项人数

【分析】(1)根据该项所占的百分比=彳*会X1()0%,圆心角=该项的百分比X360°,两图给了D的数据，代

总人数

入即可算出总人数，然后再算A的圆心角即可；(2)根据条形图中数据和调查总人数，先计算喜欢“科学探究”的人

数，再补全条形图即可；(3)根据喜欢某项人数=总人数X该项所占的百分比，计算即可；(4)画树状图得，共12种

结果，满足条件有两种，根据概率公式求解即可；

【详解】解：

(1)由条形图、扇形图知：喜欢趣味数学的有24人，占调查总人数的40%,

所以调查总人数：24÷40%=60,

图中A部分的圆心角为：二χ36O°=36°；

60

故答案为：60、36；

(2)B课程的人数为60-(6+18+24)=12(人)，

补全图形如下：

21

18

15

12

9

6

3

(3)估计最喜欢“科学探究”的学生人数为400xττ=80(人)；

共有12种等可能的结果数，其中抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目的结果数为2,

21

.∙.他们抽到''天文地理”和“趣味数学”类题目的概率是二