2023-2024学年上海市嘉定区高二年级上册期中数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年上海市嘉定区高二上册期中数学模拟试题

一、填空题

1.一个正四棱柱的底面边长为2,高为4,则该正四棱柱的体积为.

【正确答案】16

【分析】根据棱柱的体积公式直接计算即可.

【详解】由题可得该正四棱柱的体积为2x2x4=16.

故16.

2.已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为石，则这个圆锥的表面积是

【正确答案】3兀

【分析】求得圆锥的底面半径和母线长，由此求得圆锥的表面积.

【详解】解：设圆锥的底面半径为孙则高为怎，母线长为2x.

依题意Lx2xxQr=6,解得x=l或x=-l（舍去），

2

所以圆锥的底面半径为1,高为6,母线长为2.

所以圆锥的表面积为兀X12+71x1x2=371.

故3”

3.已知四面体48co中，E、F、G分别为5C、AD、8Z）的中点，且异面直线43与CQ

所成的角为g,则N户GE=.

【正确答案】m或M

33

【分析】根据/IB//FG,CD/IGE,结合异面直线夹角的定义求解即可.

【详解】如图，因为E、F、G分别为8C、AD,8。的中点，做ABUFG,CD//GE,故

48与CD所成的角即FG与GE所成的角为三，且与NFGE相等或者互补，故/FGE=三或

33

2兀

T

D

B

故鸿

4.正四棱柱“88-44。14的底面边长/18=2,若直线8c与底面所成的角的大小

为arctan2,则正四棱柱ABCD-A^C^的侧面积为

【正确答案】32

【分析】根据线面垂直关系、线面角的定义可知N&C8=arctan2,从而得到8A=28C,根

据底面边长可求得侧棱长，进而得到所求的侧面积.

四棱柱/8CD-44G。为正四棱柱

二四边形/BCD为正方形，平面

直线B£与底面为58所成角为NB\CB=arctan2BB、=2BC=2/8=4

.•.正四棱柱的侧面积：S=4ABBBt=4x2x4=32

故答案为32

本题考查棱柱侧面积的求解，关键是能够根据线面角的定义确定线面角的具体位置，从而得

到长度关系，属于基础题.

5.己知异面直线a,6所成角为70。，过空间定点尸与a,6成55。角的直线共有

条.

【正确答案】3

根据条件先将直线平移至过点P,然后根据直线a,6所成角的角平分线以及直线a,b所在

平面的垂线分析与直线。力所成角均为55。的直线的条数.

【详解】将直线a,b平移，使两直线经过点P,如下图所示：

设直线”,6所成角的角平分线为c,过点P垂直于直线。力所在平面的直线为d,

因为a,6所成角为70。，当直线/经过点P且直线/在直线a力所在平面内且垂直于直线c,

此时/与直线凡6所成角均为*二匕=55。；

当直线/在直线c,d所在平面内时，若/绕着P点旋转，此时/与直线a,6所成角相等，

且所成角从£-=35。变化到90。，再从90。变化到35。，所以此时满足条件的/有2条，

综上所述：过空间定点P与。力成55。角的直线共有3条，

故答案为.3

结论点睛：已知异面直线所成角为过空间任意一点。作直线/,使得/与

”涉成等角。：

（1）当夕时，此时/不存在；

（2）当尹=?时，此时/有一条；

（3）当?＜夕＜?,此时/有两条；

（4）当夕=生丁时，此时/有三条；

（5）当时，此时/有四条.

6.圆锥P-O轴截面的顶角为兰，母线长为2,则过任意两条不重合的母线的截面面积的

4

取值范围为.

【正确答案】(0,2]

【分析】设尸4尸8为圆锥的任意两条母线，ZAPB=9,则有0€(0,手,然后利用三角形

的面积公式表示出S.，B，从而可求出其范围.

【详解】设尸4P8为圆锥的任意两条母线，ZAPB=9,

(3兀

则由题意得。6(0,彳，PA=PB=2,

SPAB=PA-PBsinZAPS=2smO,

(2>7C

因为0,丁,所以2sin9e(0,2],

所以过任意两条母线的截面面积的取值范围为(0,2],

故(0,2]

7.在空间中，已知一个正方体是12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于a,则

sina=・

【正确答案】也

【分析】画出几何图形，可知面48G与12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于a,在

RtEBB1可求得sina.

画出几何图形，可知面48G与12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于a

正方体

84与面48G所成的角为43声E

不妨设正方体棱长为1,故Eq=[

在口E84中由勾股定理可得:房=逅

2

也

sinNB、BE=股=今=—

EBa3

T

..E

…sina=——

3

故答案为:走.

3

本题考查了线面角求法,根据体积画出几何图形，掌握正方体结构特征是解本题的关键.属于

基础题.

8.下列命题中正确的命题为.

①若/8C在平面a外，它的三条边所在的直线分别交a于P、0、R,则尸、0、H三点共

线；

②若三条直线“、b、c互相平行且分别交直线/于4B、C三点，则这四条直线共面；

③若直线a、b异面，权c异面，则a、c异面；

④若a_Lc,6_Lc,贝

【正确答案】①②

【分析】根据三点共线和共面的性质、异面直线的性质、垂直的性质逐一判断即可.

【详解】对于①，设平面a平面力8C=/,因为尸ea,所以尸e平面/5C,

所以PG/,同理。e/,RGI,故P、。、R三点共线，①正确；

对于②，因为a〃b,所以a,6可以确定一个平面a,

因为/ea,8eb,aua,bua,所以力Bua,所以/ua,又Ce/,

所以Cea,因为c//a,所以c//a或cutz,又ca=C,

所以c//a不成立，所以cue,即这四条直线共面，所以②正确；

对于③，直线。、6异面，氏c异面，但是。、c平行，所以③错误，如下右图；

对于④，aVc,bVc,但。J,所以④错误，如下左图.

故正确的命题为①②.

故①②

9.C是半径为2的球。表面上三个点，/8C的外接圆面积为不，则球心。到平面/8C

的距离为.

【正确答案】也

【分析】由Z1BC1的外接圆面积为万可求得其外接圆半径r=l,又因为球的半径R=2,则

可求得球心。到平面ABC的距离d=VF=7=下）.

【详解】/8C的外接圆面积为万，

二Z8C外接圆半径/*=1,

又球O的半径火=2,

二球心。到平面ABC的距离为d=y/R2-r2=也.

故答案为.百

10.设正四面体Z8C。的棱长为a,尸是棱48上的任意一点，且尸到面48、8co的距离

分别为4、4，则4+当=.

【正确答案】旦a

3

【分析】求得四面体的高，利用%.SCO+%-“《）=匕一88,代入棱锥的体积公式可得4+W的

值.

【详解】解：如图4O_L平面8c0,08=3冬会去，.』0=「二生『=今，

因为^P-BCD+^P-ACD=VA-BCD，

在正四面体中，s、'BCD=S\ACD,

•.§XSBCDX40=三XS88X4+5xSACDxd2,

11.在长方体-44G。中，棱4B=6,8c=8与=&，点尸是线段8G上的一动点,

【分析】将△88£沿8G为轴旋转至于平面力8G共面，可得△BBC，利用

AP+PB,=AP+PB24反求解即可.

【详解】解：将△88©沿3G为轴旋转至于平面48G共面，可得8c

则N/叫=135。，

故4P+PB,=4P+PB2AB2=而+(0)2-2-6孤cos135。=5/2,

当且仅当P为AB2与5C,的交点时取等号，

所以NP+股的最小值是5&.

故5VL

12.如图，在长方体/BCD-481GA中，AD=DD[=1,AB=®E,F,G

分别为的中点.点尸在平面"8"）内，若直线4尸〃平面EFG,则线段长度

的最小值是-

【分析】利用线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，确定P在直线4C,再根据

D.P±AC时线段鼻尸最短即可求解.

【详解】解：如图，连结口44。,。。，

VE,F,G分别为8C,6A的中点，

二/C//E尸,EFU平面4C2，/Cu平面XC2,

所〃平面

VEG//力。1,EGa平面4c〃，/Ru平面/C2,

EG〃平面4c2，

EFEG=E,平面EFG//平面/C2,

。/〃平面EFG,

二点P在直线/C上，在ZUC。中，AD产区AC=2,CD、=2,

/x卜（务邛.••当qwc时,

线段。户的长度最小，最小值为

近

SAJ。。_2_也

；x/C；x2~'

故答案为整

fl

AEB

二、单选题

13.如图，绕虚线旋转一周形成的几何体是（）

△4

A.B.

c.D.

【正确答案】D

【分析】根据旋转体的定义，即可求解.

【详解】由题意，题设中图形是直角梯形，

根据旋转体的定义，可得绕其长底边旋转一周后得到的几何体是圆锥与圆柱的组合体，

只有选项D适合.

故选：D.

14.已知直二面角a--6，直线。在平面a上，直线b在平面耳上，且直线。与直线/不垂

直，直线6与直线/不垂直，则以下判断正确的是（）

A.。与6可能垂直，但不可能平行

B.。与b可能垂直，也可能平行

C.。与b不可能垂直，但可能平行

D.。与6不可能垂直，也不可能平行

【正确答案】C

【分析】利用空间中两直线的位置关系求解.

【详解】解：a-/-仅是直二面角，直线。在平面a内，直线b在平面耳内，且6与/均

不垂直，

，当a/〃，且6/〃时，由平行公理得a//b,即。，6可能平行，故A与。错误；

当a,b垂直时，则。与b在a内的射影垂直，由于二面角是直二面角，6在a内的射影即

为/,则可证得al得与已知矛盾，

与6不可能垂直，有可能平行.

故选：C.

15.三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为Sz，邑，则三棱锥的体积

是（）

A.峪S2s3B.百：2s3D72S、S2s3

33

【正确答案】C

【分析】根据三棱锥的侧棱两两垂直，推出三个侧面都是直角三角形，根据直角三角形的面

积公式和三棱锥的体积公式可求出结果.

【详解】因为三棱锥的侧棱两两垂直，所以三个侧面都是直角三角形,

设三条侧棱长分别为。也C,则5,52s3=^ah-夕。・'c,所以abc=J8s凡S3,

所以三棱锥的体积>=；a•；6c='x病丽=8'：凡

故选：C

16.已知两个平面a,广和三条直线机,4,人,若a夕=加，。<=。且。_1〃?,6匚/?,设"和尸所成

的一个二面角的大小为R，直线a和平面p所成的角的大小为02，直线4,6所成的角的大小为

区,则（）

A.0[=02>0}B.0）>0{=02

C.01>0^02>0}D.0,>02,03>02

【正确答案】D

【分析】在一个平行六面体中，对三个角进行比较，即可选出正确答案.

【详解】如图，在平行六面体中

不妨设面44©。为a,面为f,BC=b.则4D=m,AA】=a

此时，由图可知,4>907&<90;a=90".只有C选项符合.

本题考查了线面角,考查了面面角的概念.一般情况下，涉及到线面角和面面角问题时可借助

空间向量进行求解.但在本题中，没有具体的几何体，因此，我们可以采取举实例的方法,在一个

具体地几何体中探究角的大小关系.

三、解答题

17.如图，已知平面a,尸，且a6=/.若梯形为8co中，ZD//8C,且ZBua,CDu。.

求证：AB,CD,/共点（相交于一点）.

【正确答案】证明见解析.

【分析】利用平面公理2可以证明三线共点：设直线48c直线C£>=A/,先证明“为a、£

的公共点，再证明Me/,从而可以证明CD,/共点.

【详解】因为梯形/8CD中，ADHBC,所以是梯形/8CZ）的两腰.

所以直线CD必相交于一点.

设直线48c直线CD=M.

又因为/Bua,CZ）u£,所以

所以A/ean/?.

又因为aB=l,所以Me/,

即"8,CO,/共点（相交于一点）.

18.（1）请用文字语言叙述平面与平面平行的判定定理；

（2）把（1）中的定理写成“已知：……，求证：…”的形式，并用反证法证明.

【正确答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.

【分析】（1）直接写出平面与平面平行的判定定理；（2）利用线面平行的性质定理进行反证.

【详解】（1）平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与一个平面平行，

则这两个平面平行.

（2）已知au0,bu仇ab=P,a//a,b//a,求证:a!!p.

下面利用反证法证明：如图,

假设a与〃相交，设交线为c,

因为a//a,au/7,a0=c,所以a〃c,

因为6〃a,au£,ap=c,所以b//c,

由平行公理得a//b,与a6=P矛盾，

所以假设错误，故&〃£.

19.如图，N8是圆柱的底面直径且/8=2,P/是圆柱的母线且尸/=2,点C是圆柱底面

圆周上的点.

（2）当三棱锥尸-/BC体积最大时，求二面角C-尸8-4的大小.（结果用反三角函数值表

示）

【正确答案】（1）证明见解析；（2）arcsin逅.

3

【分析】（1）证明面/8C,可得P/L5C,结合8C±AC,由线面垂直的判定定理

即可求证；

（2）由题意可得4C=8C,根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，即可求解.

【详解】（1）因为48是圆柱的底面圆的直径，所以乙4c8=楙，即8c1AC,

因为P4是圆柱的母线，则/”_1_面/8。，

因为8Cu面/5C,所以P/_L8C,

因为21AC=A,P/u平面4C,/Cu平面R4C,

所以BC1平面力C；

12

（2）三棱锥P-/8C体积为k=5xS"cxP/=§S“3c，

要使得三棱锥尸-/8C体积最大，只需/8C的面积最大，

即点C到Z8的距离最大，此时4C=8C,

设底面圆的圆心为。，连接0C,则Od8,

由尸/_1面48。，OCu面Z8C,可得OCJ.P/,

因为P4AB=A,所以。。_1_面48,所以。C_LP8,

因为N5=2,PA=2,取P8的中点。，连接40,则/。_LP5,

作OG_LP8,连接CG,则G为8。的中点，

由0Gl.尸8,OCA.PB,OCcOG=。，

则尸8上面OCG,所以P8LCG,

可得/CGO即为二面角C-P8-Z的平面角，

因为P8=yjPA2+AB2=VF+F=272，

所以4D」PB=g,OG=-AD=—,OC=l,

222

在R/COG中，CG=yjOG2+OC2=+12

sinNCGO=^=4=且fiCrl巫

所以CG^63，所以NCGO=arcsm——，

J3

2

故二面角C-P8-/的平面角为arcsin^S.

3

方法点睛：求空间角的常用方法：

（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，

再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；

（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向

向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.

20.如图所示，四边形为菱形，PA=PD,二面角尸-ND-C为直二面角，点E是棱

48的中点.

(II)若P4=4B,当二面角尸-/C-8的余弦值为-亚时，求直线尸E与平面/8CD所成

5

的角.

【正确答案】(I)证明见解析；(II)45\

【分析】(I)设点尸是棱的中点，连接PF,EF,8。，根据面面垂直的性质定理，得到PF1

平面/8C。，进而得到再由8DL/C,结合线面垂直的判定定理，即可求解；

(H)解法一：设点G是/C与EF的交点，证得NPGE为二面角尸-ZC-8的平面角，结

合解三角形的知识，即可求解：解法二：设点。是ZC与8。的交点，以04所在直线为x轴

08所在直线为了轴，过点。垂直平面/8C的直线为z轴，建立空间直角坐标系，可得平面

/8C的一个法向量；二(0,0,1),结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】(D如图所示,

设点尸是棱力。的中点，连接尸尸,££8。，

由=P。及点/是棱的中点，可得PFJ.4D,

又二面角尸-/O-C为直二面角，故尸/_L平面/8CZ),

又因为NCu平面Z5C。，所以PFJ.NC,

又因为四边形/8C。为菱形，所以83_L/C,

而E尸是△Z5Z)的中位线，所以EF//BD,可得EFJ.4C,

又由PFEF=F,且PFu平面PEF,EFu平面PEF,

所以NC_L平面PE尸，又因为PEu平面PEF,

所以P£_L/C.

(II)解法一：设点G是ZC与EF的交点，连接尸G

由(I)可知/C_L平面PE产，

又PG,EG均在平面尸E尸内，从而有尸6_1/。,皮7_14。，

故NPGE为二面角尸-ZC-8的平面角，

因为=所以P4D为等边三角形.

不妨设菱形ABCD的边长为2a,GE=b.

则在RfPFG中,PF=®,FG=b,

于是PG=而而/

在R/PFE中，PE=J(怎I+(26＞，

故cos"GE=-cosZPGF=-厂一"一

7377F5

整理得3。2=4〃，@

a2

因为尸/_L平面ABCD，所以NPEF为直线PE与平面ABCD所成的角.

则噂噜=1,

所以直线PE与平面”58所成的角为45°.

解法二：设点。是/C与8。的交点,

以04所在直线为x轴0B所在直线为夕轴，

过点。垂直平面/8C的直线为z轴，建立空间直角坐标系.如图所示:

p

设CM=2,OB=2b,则4(2,0,0),C(-2,0,0),PQ,-b,母方)，

▼'•/N▼▼八.______________

则。=(4,0,0),/尸=(-1,-4百方)，

设平面R4C的法向量为"?=(x,y,z),

(■▼▼

m-AK=0Hr,—x—by+13+劝%=0

则:〜八，即《

mCA=O4x=0

*

取z=l得加=

又因为平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1),

则|cos〈m,〃〉|=,解得h=y/3>

则尸(1,-百,2扬闻,6,0),PE=(0,26,-26)，

TXI或如-2冏一应

则|cos〈P瓦〃〉1=

|2庭|21

则直线PE与平面ABCD所成的角为45°.

本题考查了线面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力

和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位

置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求

解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

21.如图，在棱长为2的正方体Z3CD—44GA中，E、尸分别是4"和CG的中点.

(1)求异面直线EF与N3所成角的余弦值；

(2)在棱上是否存在一点尸，使得二面角P-/C-8的大小为302若存在，求出5