行列式行列式的性质计算

关于行列式行列式的性质计算一、对换二、行列式的性质（重点）三、行列式的计算（重点、难点）四、行列式按行（列）展开第一章行列式主要内容：第2页,共46页，2024年2月25日，星期天定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．一、对换提问：什么叫排列的奇偶性？第3页,共46页，2024年2月25日，星期天定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明：设排列为对换与除外，其它元素的逆序数不改变.第4页,共46页，2024年2月25日，星期天当时，经对换后的逆序数增加1，的逆序数不变；经对换后的逆序数不变，的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为当时，现来对换与第5页,共46页，2024年2月25日，星期天次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.第6页,共46页，2024年2月25日，星期天

由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,推论奇排列变标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.定理2

阶行列式也可定义为其中为行标排列的逆序数.证明而标准排列是偶排列(逆序数为0),所以推论成立.第7页,共46页，2024年2月25日，星期天性质1

行列式D与它的转置行列式DT相等

由此性质可知

行列式中的行与列具有同等的地位

行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立

反之同

性质2

互换行列式的两行

行列式变号

二、行列式的性质第8页,共46页，2024年2月25日，星期天性质3

行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k

等于用数k乘此行列式。推论

行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

推论

如果行列式有两行(列)完全相同

则此行列式等于零。第9页,共46页，2024年2月25日，星期天性质4

若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和

则行列式等于两个行列式之和。即第10页,共46页，2024年2月25日，星期天性质5

行列式中如果有两行(列)元素成比例

则行列式等于零

性质6

把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一个数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变。第11页,共46页，2024年2月25日，星期天称n阶行列式为上三角行列式。

下三角行列式？上三角和下三角行列式统称为三角形行列式。显然，n阶三角形行列式等于它的主对角线上元素的乘积三、行列式的计算第12页,共46页，2024年2月25日，星期天

在计算行列式时,可以使用如下记号以便检查:符号规定

第i行(或列)提出公因子k

记作ri

k(或ci

k)

交换i

j两行记作ri

rj

交换i

j两列记作ci

cj

以数k乘第j行(列)加到第i行(列)上

记作ri

krj(ci

kcj)

对任意的n阶行列式可用行列式性质将其化为三角形行列式，这时计算n阶行列式的值即转化为计算三角形行列式主对角线上的元素相乘的积。第13页,共46页，2024年2月25日，星期天

例1

计算

312151432011153321431133132113210167201231211001080123121102111105解：

31215143201115333521c1

c2

r2

r1r4

5r100816640211720864r2

r3

00108001510

r3

4r2r4

8r2

005/20

40

第14页,共46页，2024年2月25日，星期天r4

r1r3

r161111

例2

计算

31111311111311313111131111131131

解：

c1

c2

c3

c4

66661311111311316c1

61111131111131131r2

r1020000020020

6

8

48

第15页,共46页，2024年2月25日，星期天D

例3

计算

解：

r4

r3r3

r2r2

r1abcd0aa

ba

b

c0a2a

b3a2b

c0a3a

b6a3b

cabcd0aa

ba

b

c00a2a

b00a3a

br4

r3r3

r2abcd0aa

ba

b

c00a2a

b000ar4

r3

a4

第16页,共46页，2024年2月25日，星期天对D1作运算ri

krj

把D1化为下三角形行列式

设为

证

例4

证明D

D1

D2

其中对D2作运算ci

kcj

把D2化为下三角形行列式

设为于是

对D的前k行作运算ri

krj

再对后n列作运算ci

kcj

把D化为下三角形行列式故D

p11

pkkq11

qnn

D1

D2

第17页,共46页，2024年2月25日，星期天把D2n中的第2n行依次与2n

1行、

、第2行对调(作2n

2次相邻对换)

再把第2n列依次与2n

1列、

、第2列对调

得根据例4的结果

有

D2n

D2

D2(n

1)

(ad

bc)D2(n

1)

以此作递推公式

即得

D2n

(ad

bc)2D2(n

2)

(ad

bc)n

1D2

(ad

bc)n

解

例5

计算2n阶行列式其中未写出的元素为0

第18页,共46页，2024年2月25日，星期天四、余子式、代数余子式所在的第i行和第j列在n阶行列式中，把元素的余子式（complementminor），记作阶行列式叫做元素划去后，剩下来的代数余子式（algebraiccomplementminor），而前面附以符号后，叫做元素的来表示，即用符号第19页,共46页，2024年2月25日，星期天例如4阶行列式中元素的余子式和代数余子式分别为：第20页,共46页，2024年2月25日，星期天引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．例如第21页,共46页，2024年2月25日，星期天证当位于第一行第一列时,即有又从而再证一般情形,此时本次课例4的特殊情形第22页,共46页，2024年2月25日，星期天把D中的第i行依次与第i-1行，第i-2行，第1行对调得(共掉换i-1次)：第23页,共46页，2024年2月25日，星期天得(共掉换j-1次)：再把D中的第j列依次与第j-1列，第j-2列，第1列对调第24页,共46页，2024年2月25日，星期天第25页,共46页，2024年2月25日，星期天中的余子式元素在行列式中的余子式仍然是在第26页,共46页，2024年2月25日，星期天故得于是有第27页,共46页，2024年2月25日，星期天在运用定理3来计算行列式时，总是按含0最多的行或列来展开行列式，因为0位置的代数余子式乘以0后仍然是0。第28页,共46页，2024年2月25日，星期天例6

证明：第29页,共46页，2024年2月25日，星期天证：由定理3将行列式按第1行展开，对这个n－1阶行列式再按第1行展开有：这样逐步推下去，则得到

第30页,共46页，2024年2月25日，星期天例7

计算的值。第31页,共46页，2024年2月25日，星期天

第32页,共46页，2024年2月25日，星期天第33页,共46页，2024年2月25日，星期天

证：用数学归纳法所以当时，(1)式成立。因为第34页,共46页，2024年2月25日，星期天假设(1)对于n-1阶范德蒙德行列式成立.按第1列展开，并把每列的公因子提出，就有设法对Dn降阶：从第n行开始，后行减去前行的x1倍，有：第35页,共46页，2024年2月25日，星期天n-1阶范德蒙行列式第36页,共46页，2024年2月25日，星期天推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证把行列式D按第j行展开，有行列式D，特别写出了第i行和第j行第37页,共46页，2024年2月25日，星期天同理，相同把换成，可得当时，第i行第j行第38页,共46页，2024年2月25日，星期天由此得关于代数余子式