2023-2024学年黑龙江省哈尔滨重点中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

2023・2024学年黑龙江省哈尔滨重点中学高二（上）开学数学试

卷

一、单选题（本大题共8小题，共32・0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知小、九是两条不同直线，a、夕是两个不同平面，下列命题中正确的是（）

A.若zn〃a,n〃Q,则？n〃n

B.若an/?=n,m//n9则m〃a且m〃夕

C.若a//B，m//a,九〃3，则7n//n

D.若m〃a,7nlS，则a_L6

2.在△ABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积S=-g更cosC，且。=

>n,b=y/~3,则c=（）

A.2B.<3C.V-6D.「

3.已知△ABC外接圆的圆心为。，S.\AB+AC\=\AB-AC\,\OA\=\AB\=1,2是与前

方向相同的单位向量，则或在而上的投影向量为（）

A.1?B.eC.|eD.-吴

4.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN,在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物力B,高约为

37m,在地面上点C处（B,C,N三点共线）测得建筑物顶部4鹳雀楼顶部M的仰角分别为30。和

45°,在4处测得楼顶部M的仰角为15。，则鹳雀楼的高度约为（）

5.已知向量a=（1,1）,将向量6?绕原点。逆时针旋转90。得到向量朝，将向量而绕原点。

顺时针旋转135。得到向量沆，则下列选项错误的是（）

^.OA+OB+OC=0B.\BC\=\CA\

C.OA-OB=QD.CA-AB=-2

6.如图，二面角a--0等于120。,A、B是棱Lt两点，BD、

a

4C分别在半平面a、0内,AC1I,BD1I,RAB=AC=

BD=2,则CD的长等于（）

A.2V_3B.2<7C.4D.2

7.己知三棱锥4一BCO内接于球。,AB=AD=AC=BD=<3,乙BCD=60°,则球。的表

面积为（）

A..-37TB.27rC.37rD.|TT

8.已知在锐角三角形ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,byc,若b2=a(a+c),则

田嬴的取值范围是（）

A.(0,争B.(0,净)D4？)

二、多选题（本大题共4小题，共16.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.圆台的上、下底面半径分别是10和20,它的侧面展开图扇环的圆心角为180。,则圆台的（）

A.母线长是20B.表面积是1100兀C.高是IOCD.体积是70°；=7r

10.有下列说法，其中错误的说法为（）

A.4、“为实数，若4五=〃6，则d与b共线

B.若3〃爪b//c，^ld//c

C.两个非零向量日、石,若|五一石|=|五+方|,则日与3垂直

D.若2OA+OB+3OC—0>SAAOC、SAABC分别表不△AOC△4BC的面积，则SA40c:S—BC=1：

6

11.下列说法正确的是（）

A.某企业有职工150人，其中高级职称有15人，中级职称有45人，一般职员有90人，现抽取

30人，进行分层抽样，则各职称人数分别为3,9,18

B.一组数据2%+1,2X2+1,2X3+1,…，2xn+1的平均值为7,方差为4,记3x1+2,3打+2,

3冬+2,…，3孙+2的平均值为11,方差为9

C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见

是简单随机抽样

D.高二（1）班7人推舍中每个同学的身高分别为170,168,172,,172,175,176,180,

这7人身高的第60百分位数为175

12.如图四棱锥P-48CD,平面PAD1平面ABCD,侧面P4D是边长为2/%的正三角形，底

面ABCD为矩形，CD=2/m，点Q是PD的中点，则下列结论正确的是（）

A.CQ-L平面PAD

B.PC与平面AQC所成角的余弦值为拶

C.三棱锥B-ACQ的体积为6/1

D.四棱锥Q-ABCD外接球的内接正四面体的表面积为24「

三、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13.若z=^为纯虚数，则复数z的虚部为____.

l+l

14.如图，在三棱柱ABC-AiBiCi中，底面力BC为正三角形，且侧，0,

棱4411底面4BC,底面边长与侧棱长都等于2,0,。1分别为力C,

41cl的中点，则平面AB］。1与平面BG。之间的距离为______.A/

15.在A4BC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且满足acosC+>J~3asinC—h—c=0，

29

则空注的最大值为.

16.重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜

爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅

长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD,其中=：,0C=3。4=3,动点P在先上（含

端点），连接0P交扇形0aB的弧介于点Q,且丽=》元+丫前，则下列说法正确的是

①若y=x,则x+y=|

②若y=2x,则a0P=0

（3）AB-PQ>-2

@PA-PB>^-

四、解答题(本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生.根据这50名师生对

食堂服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40,50),

[50,60),[90,100].

(1)求频率分布直方图中a的值和样本的众数.

(2)若采用分层抽样的方式从评分在[40,60),[60,80),[80,100]的师生中抽取10人，则评分在

[60,80)内的师生应抽取多少大？

(3)学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿.用每组数据

的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是

否需要进行内部整顿.

18.(本小题12.0分)

2

在△ABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,且a,b,c满足仁竺=包竺+眄，c=12.

acsinCsinA

(1)已知。为线段BC上一点，且满足4。=8。，若4c=/筋，求CO的长；

(2)若△4BC为锐角三角形，求△ABC面积的范围.

19.(本小题12.0分)

如图，在三棱柱48。一41/6中，AC=>J~2,AB=1,E,F分别为&C,BB1的中点，且EF_L

平面A&CiC.

(1)求棱BC的长度；

(2)若BBi且的面积S^AFC=7，求二面角%-&F—C的正弦值.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：对于选项A：若m//a,n//a,则m,n可能相交、平行或异面，故选项A不正确;

对于选项5：若ang=?1,mlIn,则??1(=。或力(=/?,故选项3不正确；

对于选项C若a〃氏m//a,n///?,则zn,九可能相交、平行或异面，故选项C不正确；

对于选项。：若m〃a,ml/?,则a_L6，故选项。正确.

故选：D.

利用线线、线面、面面之间的位置关系逐一判断四个选项的正误，即可得正确选项.

本题考查了线线、线面、面面之间的位置关系，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：因为S=—'；38cosa=V~~2,b=\f~3f

而S=jabsinC,

可得tcmC=—723,在三角形中，可得cosC=—7=^1^=—

V14-2312

由余弦定理可得c?=a2+h2-2abcosC=2+3—2V-3x>/~2x(—•^)=6,

即c=y/~6-

故选：C.

由面积公式及题意可得C的正切值，进而求出C角的余弦值，再由余弦定理可得c边的大小.

本题考查三角形的面积公式的应用及余弦定理的应用，属于中档题.

3.【答案】A

【解析】解：因为|南+前|=|荏一而^(AB+AC)2=(AB-AC)2,

贝侬，2荏•芯+衣2=AB2-2AB-AC+AC2<

整理得荏•前=0，即荏1万，贝IJBC为圆。的直径，

又因为|砺|=|瓦？|=|起|=1，则△0AB为等边三角形，即4ABe=60。，

所以就在团上的投影向量为(IBA|cos乙4BC)e=(lx1)e=1e.

故选：A.

首先根据已知条件|四+而|=|四-而|化简可得荏_1位\则BC为圆。的直径，即点。为BC中

点，得AOAB为等边三角形，最后结合投影向量的定义即可求解.

本题主要考查投影向量的求解，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：在中，AC=2AB=74,

在△MCA中,/.MCA=105°,4MAe=45。,

贝此4MC=180°-4MCA-NM4c=30°,

在AM4c中，由正弦定理得MCAC

s\nz.MAC-sin乙4MC

所以MC_74所以MC=74/7,

sin45°si九300'

在Rt△MNC中，MN=74门x号=74m，

故选：B.

利用正弦定理求解即可.

本题考查解三角形的应用题的解题思路，侧重考查了正弦定理，属中档题.

5.【答案】A

【解析】解：已知向量函=(1,1),将向量成绕原点。逆时针旋转90。得到向量而，

HI'JOB=(-1,1))

将向量瓦?绕原点。顺时针旋转135。得到向量沅，

则0?=(0,-<2).

对于4选项，由题意可得万？+而+元=(0,2-—2)H6，

故A选项错误；

对于B选项，BC=OC-OB=(0,-V-2)-(-1,1)=(1,-1-,CA=OA-OC=(1,1)-

(0,一口=(1,1+小，

所以|就|=JI2+(-1->/~2)2=74+2<^>|刀|=JF+(i+m=J4+2/7,

所以|前|=\CA\,

故B选项正确；

对于C选项，=-1+1=0.

故C选项正确；

对于D选项，AB=0B-0A=(-1,1)-(1,1)=(-2,0).

则源AB=lx(-2)+0=-2.

故。选项正确.

故选：A.

根据向量旋转求出向量而、OC，利用平面向量线性运算的坐标运算可判断4选项；利用平面向量

数量积的坐标运算可判断BCD选项.

本题考查了平面向量的坐标运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题.

6.【答案】C

【解析】解：由二面角的平面角的定义知〈前，就〉=120。，

BD-AC=\'BD\\AC\cos(BD,AC)=2x2xcosl20°=-2，

由4c11,BD1l,得万•a=0,而•函=0，又反=加+南+前，

•••|DC|2=(DB+BA+AC)2+BA+2'DB-BA+2DB-AC+2BA-AC

=22+22+22-2^D-AC=12-2x(-2)=16，

所以|玩|=4，即CD=4.

故选：C.

根据题意，可得比=砺+瓦？+而，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.

本题考查利用向量法求两点间的距离，考查二面角的应用，属于中档题.

7.【答案】D

【解析】解：如图：底面△BCD中，BD=C，/.BCD=60°,

vAB=AD=AC=BD=V-3>4—BCD是圆锥,

•••AG•!平面BCD,并且经过球的球心。，

则AG=VAB2-GB2=J(二/一1=<7，

设球的半径为R,

OB2=OG2+GB2,即R2=(/^_R)2+M，

解得R=甲，

4

，球。的表面积为：4nR2=4TTx(—7—)2=4江.

\4/2

故选：D.

画出图形，求出底面三角形的外接圆的半径，求出A到底面BCD的距离，然后取得外接球的半径,

即可求解表面积.

本题考查的表面积的求法，几何体的外接球与几何体的关系，考查空间想象能力以及计算能力.

8.【答案】C

【解析】解：b2=a(a+c)=a2+ac=a2+c2-2accosB,

所以a=c—2acosB,

由正弦定理得sinA=sinC-2sinAcosB=sin(4+B)-2sinAcosB=sinBcosA-sinAcosB=

sin(B-A),

因为锐角三角形ABC中，0<4<a0<B<p

所以一

所以4=8—4即8=24C=n-3A,

’0<A<]

所以，0<2A<T,解得，<4<p

ZO4,

IT

0<n-3A<^

I2

eciqasinAsinJsir^A..„1>/~2.

所以■；--------------o=-5---;~-------6Z

bcosA1-acosBsinBcosA-sinAcosB=s..in(B-4/)=sinA'22-

故选：C.

由已知结合余弦定理及正弦定理进行化简可得A,B的关系，然后结合三角形内角和定理及锐角三

角形可求4的范围，再结合正弦定理及和差角公式对所求式子进行化简，结合正弦函数性质可求.

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及正弦函数的性质，属于中档题.

9.【答案】ABD

【解析】解：因为圆台的上底面圆半径为10,下底面圆半径为20,

设圆台的母线长为Z,扇环所在的小圆半径为x,

2TTX20_

工^一“，解得x=20,/=20,所以选项A正确；

{丁"

计算圆台的侧面积为S砺=兀(10+20)X20=6007T.

所以圆台的表面积为S=TTX102+7TX2024-600兀=11007T,选项B正确;

圆台的局为V2。2—1()2=13，选项C错误;

圆台的体积为U=3膜100+400+10X20)x10「=驾产，选项。正确.

故选：ABD.

由圆心角求出母线长，利用勾股定理求出圆台的高，再利用圆台的体积公式求解即可.

本题考查了圆台侧面展开图和圆台表面积与体积计算问题，也考查了推理与运算能力，是基础题.

10.【答案】AB

【解析】解：对于选项A,当4=〃=0时，2与族可以为A

任意向量，/\\

满足4方=〃］，但日与3不一定共线，故A错误；/2\\

对于B选项，如果五、^都是非零向量，3=6,满足题中/\\\

条件，但结论不成立，故B错；乙士二\

对于C选项，若|方—石|=|1+石|,则0—ft)2=(a4-3)2,

展开化简ai=o,二式与B垂直，故c正确；

对于。选项，2市+而+3而=6，设次=2函，OC=3OC>

故有04+OB+OC'=0,可得0为44BC'的重心，

设SA.OB=x,S^BOC-y，SAAOC—z,

则SAA，OB=2x,S&BOC'=3y,SAA，OC'=6z,由2x=3y=6z,

可得SAAOC：S—BC=z：(%+y+z)=1：6,故。正确；

故选：AB.

由零与任何向量共线，即可判断B；由三角形的重心的向量表示和性质可判断D；由向量共线的性

质可判断4根据平面向量数量积的运算律判断C,从而得出结论.

本题主要考查两个向量共线的性质，向量的模的定义和求法，平面向量的运算，属于中档题.

11.【答案】ABD

【解析】解：对于4抽样比为瑞=:,所以高级职称，中级职称以及一般职员分别抽取3,9,18,

故4正确，

对于B,一组数据2%+1,2X2+1,2x3+1，…，2Xn+l的平均值为7,方差为4,贝x2,x3,

…，f的平均值为弓=3,方差为1,所以3%+2,3孙+2,3打+2,…，3/+2的平均值为

3x3+2=11,方差为9,故B正确，

对于C,行政人员、教师、后勤人员是三个不同的群体，故采用分层抽样比较合适，C错误，

对于。，将7个人的身高从小打到排列为：168,170,172,172,175,176,180,由于8X60%=4.8,

故这7人身高的第60百分位数为第5个数据175,。正确.

故选：ABD.

根据抽样比即可求解4,根据平均数和方差的性质即可求解B,根据分层抽样的特征即可求解C,

根据百分位数的计算即可求解。.

本题主要考查统计的知识，属于基础题.

12.【答案】BD

【解析】解：取4D的中点。，BC的中点E,连结。E,OP,

因为三角形P4。为等边三角形，所以。P140,

因为平面PADJ•平面4BCD,所以。P1平面2BCD,

因为力D10E,所以。。，OE,0P两两垂直，建立空间直

角坐标系如图所示，

则。(0,0,0),。(口,0,0),A(一0,0),P(0,0,3<7),

C(<6,0),B(-<6,2<^,0)，

因为点Q时PC的中点，所以Q(?,o,殍)，

平面24。的一个法向量为沆=(0,1,0),QC=(^-,2/3,-,显然沅与无不共线,

所以CQ与平面24。不垂直，故选项A不正确;

定=(C,2C-3c=(亨,0手),而=(2C,2c0)，

CTn—3、造।0

设平面4QC的法向量为元=(x,y,z),则=”一"十亍z=u,

(n-TC=2cx+2>J~3y=0

令x=1»则y——y/~2,z——3,

所以元=，3)，

设PC与平面4QC所成角为。，

贝bin"将鲁=消=；,所以cos”当，所以B正确；

|n|-|PC|6V633

三棱锥8-ACQ的体积为/TCQ=VQ-ABC=gs-Bc々OP=gx；x2<6x1x3，7=6,所以C

不正确；

设四棱锥Q外接球的球心为M(0,q,Q),则MQ=MD,

所以(?)2+(V-3)2+(a-3^)2=(/-6)2+(，3)2+小，

解得a=0,即M(0,，？,0)为矩形A8CD对角线的交点,

所以四棱锥Q-ABC。外接球的半径为3,

设四棱锥Q-4BCD外接球的内接正四面体的棱长为X,

将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线,

故正方体的棱长为1%,所以3（好X）2=62,得/=24,

所以正四面体的表面积为4=24/3所以。正确.

故选：BD.

取AD的中点。，BC的中点E,连结OE,0P,建立空间直角坐标系，求出平面PAD的一个法向量，

看其是否与无共线，从而可判断选项A；先求平面AQC的法向量落然后根据公式sin。=点篇，

再根据同角三角函数关系可求出余弦值，从而可判断选项&根据/TCQ=%-ABC可求出体积，

可判定选项C；将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，求出正四面体的

棱长，从而可求出正四面体的表面积，可判定选项D

本题主要考查了线面垂直，线面角，棱锥的体积以及棱锥的外接球等知识，综合性强，同时考查

了转化能力和运算求解能力，属于中档题.

13.【答案】-2

2+mi_(2+7ni)(l—i)竽+为纯虚数,

【解析】解：z1+i—(l+i)(l-0

（竽=0

则422nl，解得机=一2,

故z=-21,其虚部为—2.

故答案为：—2.

根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数、虚部的定义，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数、虚部的定义，属于基础题.

14.【答案】亨

【解析】解：如图，连接0。1，则。传1〃40,且0传1=40,

所以四边形AOGOi为平行四边形，所以40J/0G，

401c平面BGO,。的＜=平面BGO,所以401/平面860,

又0B”0［B\,。1当仁平面BQ。，OBu平面BQ0,所以。1%〃平面8£\。，

又40100/1=。「A。］、。/1u平面4Bi0i，所以平面AB［。］〃平面Be1。,

.•・平面ABiOi与平面BC1。间的距离即为点01到平面BG0的距离.

根据题意，。。11■底面ABC,OB,AC,。。1两两垂直，

则以。为原点，分别以。8,0C,。。1所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

1■10(0,0,0),B(G0,0),(0,1,2),。式0,0,2),

OB=([40,0),西=(0,1,2),西=(0,0,2)，

设if=(尤,y,z)为平面BG。的法向量，则

(n-0cl=0

即=取z=T可得记=(。，2,-1)，

点01到平面Bq。的距离记为d,

则d=l^=W="

|n|\T55

.•・平面4B15与平面Bq。间的距离为空.

故答案为：2^5.

先证明平面〃平面BCi。，则平面ABiOi与平面BGO间的距离即为点01到平面BG。的距离,

以。为原点，分别以OB,0C,。01所在的直线为久，y,z轴建立空间直角坐标系，用向量法求点。】

到平面BC1。的距离，从而可得答案.

本题考查面面间的距离和面面平行的性质，考查转化思想、运算能力，属于中档题.

15.【答案】2

【解析】解：因为acosC+—b—c=0，

由正弦定理可得：sinAcosC+\T~3sinAsinC-sinB-sinC=0,

注意到sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinCf

^PsinAcosC4-y/~3sinAsinC—(sinAcosC4-cosAsinC)—sinC=0，

整理得讥C—cosAsinC—sinC=0，

月.CW(O,TT),则sinC。0,

口丁得V3si7h4—cosA—1—2sin(A——)—1—0,即sin(4——)=工，

66，2

又因为4£(0,兀)，则4一"(W，当，可得4T=今所以

666oo5

由余弦定理可得a?=b2+c2-2bccosA=b2+c2—be>b2+c2—」

即a??亨，当且仅当b=c时，等号成立，

且。2>0,可得Q孝W2,所以学的最大值为2.

a1az

故答案为：2.

根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得a=会再利用余弦定理结合基本不等式运算求解.

本题主要考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题.

16.【答案】①②④

【解析】解：如图，作OEJ.OC,分别以OC,0E为x,y轴建

立平面直角坐标系，

则4(1,0),C(3,0),B(一；,?),。(一殍)，

设Q(cos。,sin。),。G[0,,

则P(3cos。,3sin0)9

由的=+y词可得cos。=3x—|y,sin。=3工丫，且%>0,y>0,

对于①：若)7=%,

则cos?。4-sin20=(3x—|x)2+(^y^x)2=1，

解得％=y=(负值舍去),

故％+V=|，

即①正确；

对于②：若y=2%,

则cos。=3x--y=0,sind-1,

所以加=(0,3),

所以成■OP=(1,0)-(0,3)=0,

即②正确；

对于③：ZB-PQ=(-|,^)•(-2cose,-2sine)=-yflsinS+3cos0=-2Csin(8一9，

由于ee[0,y],

故8*eI-辅]'

故—3<—2A/-3sin(0—^)<3,

即③错误；

对于④：由于可=(1-3cos0,-3sin0),而=(一g—3cos0,号-3s讥8)，

故同PB=(1-3cos0,-3sin0)■(-1-3cos0,早-3sin6)=y-3sin(0+)

而。+各有部

所以sin(e+ae[i,l].

所以两-PF=y-3sin(0+^)>y-3=y,

故④正确.

故答案为：①②④.

建立平面直角坐标系，求得A,B,C,。的坐标，设Q(cosO,stnO),根据丽=x5?+y而建立

等量关系，然后结合三角恒等变换、向量数量积运算、三角函数的最值等知识求解.

本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题.

17.【答案】解：⑴由(0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018)X10=1,

解得：a=0.006.

(2)由频率分布直方图可知，

评分在［40,60),［60,80),［80,100］内的师生人数之比为(0.004+0.006)：(0.022+0.028)：(0.022+

0.018)=1：5：4,

所以评分在［60,80)内的师生应抽取10X昌1=5(人).

(3)由题中数据可得师生对食堂服务质量评分的平均分为：［=45X0.004X10+55X0.006x

10+65x0.022x10+75x0.028x10+85x0.022x10+95x0.018x10=76.2.

因为76.2>75,所以食堂不需要内部整顿.

【解析】（1）根据小长方形面积之和等于1,求得a值，根据众数定义直接求解即可;

（2）求出每组所占的频率之比，求得［60,80）所占的比例，乘以总人数即可;

（3）根据频率分布直方图求平均数，再和75比较即可.

本题考查了频率分布直方图的应用问题，是中档题.

18.【答案】解：（1）由题设也竺=2+£=贮出，则a2+c2—〃=ac,

accaac

Q2+C2f2

故cosB=1

2ac2

又B€(0,7r),则8=*

又AD=BD,则△ABD为等边三角形，故8Q=AB=c=12,

在AABC中，由余弦定理可得AC?=4B2+BC2-2AB-BC-cosB,贝UBC?-12BC-45=0,

所以BC=15（负值舍），故8=8。一8。=3.

(2)由题意得4+c=.且0<A<狙0<C<*所以a=与一c且?<c<p

由正弦定理可得急=肃，所以a=鬻，

12sin(竽一C)_6yT3cosC^-6sinC

所以a=6^3,.

sinCsin