2023届上海市实验中学高考模拟命题比赛数学试题试卷

2023届上海市实验中学高考模拟命题比赛数学试题试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处〃。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.sin80°cos50°+cos140°sin10°=（）

2.若不相等的非零实数x,z成等差数列，且x,），，z成等比数列，则8=（）

z

57

A.--B.-2C.2D.-

22

3.M、N是曲线y=?rsinx与曲线y=7rcosx的两个不同的交点，则|MN|的最小值为（）

A.JrB.y/2nC.+nD.27r

4.已知集合。={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},5={2,3,4},则集合a（AB）=（）

A.{1,2,6}B.{1,3,6}C.{1,6}D.{6}

5.根据最小二乘法由一组样本点（4y）（其中i=1,2,L,300）,求得的回归方程是5，=3x+4,则下列说法正确的

是（）

A.至少有一个样本点落在回归直线5>=晟+4上

B.若所有样本点都在回归直线$=&+4上，则变量同的相关系数为1

C.对所有的解释变量占（i=1,2,L,300）,瓜+a的值一定与£有误差

D.若回归直线$=+4的斜率白〉0,则变量x与y正相关

6.过抛物线V=2px（p>0）的焦点E作直线与抛物线在第一象限交于点A,与准线在第三象限交于点5,过点A作

54八3

A.—B.—C.一D.2

432

/、6

7.若d+N的展开式中/的系数为150,则/=(

Ix)

A.20B.15C.10D.25

8.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先

入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中,

等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金()

A.多1斤B.少1斤C.多:斤D.少1斤

33

9.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体

包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺

安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼"和"乐’’必须分开安排的概率为()

71131

A.—B.-C.—D.一

606604

10.将一张边长为120n的纸片按如图⑴所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个

有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是()

王a△

R(1)图⑵网⑶

A.—V6cm3B.—C.—y/lcnr1D.—42cm3

3333

11.一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为()

7i，n-2万一24

A.-B.C.—D.-------

3333

12.已知集合4=卜,2-31一4>0},8={川一1«%43},贝)

A.(-1,3)B.[-1,3]

C.[-1,4]D.(-1,4)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若[6—蛾]的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是.

1,22

14.已知实数4口之一，且/—。二人一/，由加="+幺的最大值是_________

2ab

15.在平面直角坐标系X。)，中，已知圆C:/+(y-1)2=1,圆C：(x+2百y+y2=6.直线/：y="+3与圆c相切,

且与圆C'相交于A，B两点,则弦A8的长为

16.数列｛4｝的前〃项和为S“，数列出｝的前〃项和为T“，满足q=2,3s“=(〃+机)%(〃GN*,〃?GR),且

42="+1.若任意〃GN*，九<(“一1,成立，则实数4的取值范围为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知AA6C的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且asin(A+8)=csinOtC.

2

(1)求A；

(2)若AABC的面积为G，b+c=5,求AABC的周长.

18.(12分)在.ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且smC一8sin'=

sinA+sinBc

(1)求角A的大小；

(2)若2sinAsin8=l+cosC,ZBAC的平分线与BC交于点O,与&ABC的外接圆交于点E(异于点A),

AE=AAD>求之的值.

19.(12分)如图，在三棱柱ABC-A4G中，，A3C是边长为2的等边三角形，BC1BB,,。£=夜，AC、=A

(1)证明：平面ABC_L平面88℃；

(2)M,N分别是3C,B|G的中点，P是线段AG上的动点，若二面角P—MN-C的平面角的大小为30°,试

确定点P的位置.

20.(12分)已知函数/(%)=2|九一2|-加。*>0),若/(x+2)<0的解集为(一2,2).

(1)求加的值；

1119

(2)若正实数"，b,c满足a+28+3c=加，求证：一+—+—2—.

a2b3c4

21.(12分)已知函数/(x)=|x-l|,不等式/(x)+.f(x—l)<5的解集为

(D求实数机，〃的值；

(2)若x>0,y>0,nx+y+m=0,求证：x+y>9xy.

22.（10分）如图：在AABC中，a=Jii，c-4,cosC—

（1）求角A；

（2）设。为AB的中点，求中线CO的长.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

利用10°=90°—80°,140=90"+50°,根据诱导公式进行化简，可得sin80°cos50°-cos80°sin50,然后利用两角

差的正弦定理，可得结果.

【详解】

由80'=90°-10°,140=90°+50°

所以sin10"=sin（90°-80）=cos10

cos140°=cos（90+50）=-sin50,

所以原式=sin80,cos50"-cos80°sin50"=sin（80-50）

所以原式=sin30--

2

故sin80cos500+cos140sin10=—

2

故选：D

【点睛】

本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.

2、A

【解析】

X+2XZ

由题意，可得y=一丁，z2=xy,消去）'得％2+xz—2z2=0,可得一=一2,继而得到卜=-彳，代入即得解

2z2

【详解】

由X,y,Z成等差数列，

r4-7

所以y=干，又x,z,y成等比数列，

所以z2=孙，消去）'得V+XZ—2Z2=0，

/\2

所以2+--2=0,解得'=1或±=-2,

\z）zzZ

因为x,y,Z是不相等的非零实数，

Y7

所以一二—2,此时y=——，

z2

所以£±2=-2-！=—3.

z22

故选：A

【点睛】

本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

3、C

【解析】

两函数的图象如图所示,则图中|MN|最小，

设M(xi,yi),N(x2,y2),

Tl5

则X1=—,X2=-n,

44

|Xl・X2|=7t,

lyi-yihlnsinxi-ncosxil

A/2,收

22

=V2Jt,

•••IMN|=相兀故选C.

4、D

【解析】

根据集合的混合运算，即可容易求得结果.

【详解】

Au3={1,2,3,4,5},故可得电(AB)={6}.

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的混合运算，属基础题.

5、D

【解析】

对每一个选项逐一分析判断得解.

【详解】

回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上，故A错误；

所有样本点都在回归直线夕=/；x+(2上，则变量间的相关系数为±1,故B错误；

若所有的样本点都在回归直线9=%+方上，则以+4的值与y,相等，故c错误；

相关系数r与。符号相同，若回归直线?=%+&的斜率B>0,则/•>(),样本点分布应从左到右是上升的，则变量X

与y正相关，故D正确.

故选D.

【点睛】

本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.

6、C

【解析】

需结合抛物线第一定义和图形，得AF”为等腰三角形，设准线与x轴的交点为过点尸作AC，47,再由三角

函数定义和几何关系分别表示转化出拒尸|=、J,

cos17i—乙a।

IEplana

|AF|=sinr_2a］结合比值与正切二倍角公式化简即可

【详解】

如图，设准线与X轴的交点为过点尸作FCLA”.由抛物线定义知|Ab|=|AH|,

|fiF|_H____E,

所以NAH尸=44m=a,ZFAH=7r-2a=ZOFB,

1cos（万一2a）cos（万一2a）

\CF\\CH\tana“tana

sin（万一2a）sin（万一2a）sin（乃一2a）

Ab|_tana_tana_tan2a-1_3

所以

BF\tan（乃一2a）-tan2a22

故选：C

【点睛】

本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题

7、C

【解析】

通过二项式展开式的通项分析得到C；aV=150x6,即得解.

【详解】

由已知得""2)[胃=Q⑷…,

故当/■=2时，12-3r=6,

于是有4=。：/工6=]50》6,

则/=10.

故选：C

【点睛】

本题主要考查二项式展开式的通项和系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

8、C

【解析】

设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列｛4｝，则4+/+/=4,%+49+40=3，由等差数列的性

/_441

质得。2=§，。9=1，二。2_。9=§§，

故选C

9、C

【解析】

分情况讨论，由间接法得到“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开的事件个数，不考虑限制因素，总数有8种，

进而得到结果.

【详解】

当“数，，位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有用种情况，由间接法得到满足条件

的情况有M-C&M

当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有A；种,

由间接法得到满足条件的情况有父-C；国看

共有：6-。；用4；+&-。：用4；种情况，不考虑限制因素，总数有醴种,

13

故满足条件的事件的概率为:

60

故答案为：C.

【点睛】

解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素（或位置）的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步.具体地说，解

排列组合问题常以元素（或位置）为主体，即先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位置）.

10、B

【解析】

设折成的四棱锥的底面边长为高为〃，则0=包人故由题设可得1a+a=12x①na=40,所以

222

四棱锥的体积后、去4&=竽加，应选答案B.

11、B

【解析】

因为时针经过2小时相当于转了一圈的二，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案.

【详解】

因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2%,按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧

度数为一1x2万=_：».

63

故选：B

【点睛】

本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.

12、B

【解析】

先由/一3》一4>0得尤>4或x<—l,再计算(4A)8即可.

【详解】

由%2-3%-4>0得x>4或x<-l,

A=(^»,-1)U(4,-H»),^A=[-l,4],

又3={X|—1W3},.•.&A)3=[—1,3].

故选：B

【点睛】

本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

【解析】

由题意得出展开式中共有11项，n=10；再令％=1求得展开式中各项的系数和.

【详解】

由(«-与]的展开式中只有第六项的二项式系数最大，

IxJ

所以展开式中共有11项，所以〃=10：

令x=l,可求得展开式中各项的系数和是：

(1-2),°=1.

故答案为：1.

【点睛】

本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用，考查二项式展开式各项系数和的求法，属于基础题.

述+1

14、

2

【解析】

将其转化为几何意义，然后根据最值的条件求出最大值

【详解】

2

1、又实数图形为I圆,

由"—Q=人―A?化简得a——

27I2J224

Q~-a=b—h~9可得Q~=a+b—b~,h~=a+b—a~

a+b-a2a-^-b-b2,b.aba

贝!JM=一+—=---------1---------=Id----Q+1H------bt=--\------a-b+2

abababab

由几何意义得［3-1,1+后］,则-1,1+0］,为求最大值则当过点A或点8时a+b取最小值，可得

[T[T11>/23A/2

M=y2-1+1+v2------------F2=----1-1

2222

b2《的最大值是述+1

所以4/=幺+

ab2

【点睛】

本题考查了二元最值问题，将其转化为几何意义,得到圆的方程及斜率问题，对要求的二元二次表达式进行化简，然

后求出最值问题，本题有一定难度。

15、V15

【解析】

利用直线与圆相切求出斜率攵，得到直线的方程,几何法求出|A8|

【详解】

解：直线/：y="+3与圆C相切，C圆心为(0,1)

|-1+3|।,厂

由—7=1,得攵=6或一百，

|-6-3」9、

当y=-VIr+3时，C'到直线的距离”=_^TF_2>R,不成立,

当'=省》+3时，/与圆C'相交于A,B两点,C到直线的距离〃=去?=|,|AB|=2^6^1=715

故答案为后.

【点睛】

考查直线与圆的位置关系，相切和相交问题，属于中档题.

16^<—

【解析】

an〃+1

当几.2时，a“=S”-S,T，可得到工=-再用累乘法求出再求出2,根据定义求出I,,再借助单调性求

a.,,n-1

【详解】

解：当〃=1时，3S(=(1+m)at=3a,,则〃?=2,3s.=(〃+2)。“，

当加.2时，3s“_]=("+1)«„_,,

3%=(〃+2)%-(〃+1)«„,,,

=/?(/?+1),

n—2n—\

7?4-11

+...+五…万（当且仅当…时等号成立）,

故答案为:—00,—

2

【点睛】

本题主要考查已知S“求得，累乘法，主要考查计算能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)60;(2)V13+5.

【解析】

(1)利用正弦定理将目标式边化角，结合倍角公式，即可整理化简求得结果；

(2)由面积公式，可以求得〃c,再利用余弦定理，即可求得。，结合力+c即可求得周长.

【详解】

A

(1)由题设得〃sinC=ccos—.

2

A

由正弦定理得sinAsinC=sinCeos—

2

A

,:C£(0,:.sinCw0sinA=cos—,

2

c.AAA

2sin—cos—=cos—

222

AA1

所以cos]=0或sin]=g.

A

当COS—=0,A=7T(舍)

2

故4弘A117=l二,

22

解得A=60。.

(2)S^BC=^&csinA=V3,从而be=4.

由余弦定理得

以2=/+c2-2hccosA=Z72+c2-be

二(〃+C)2-3〃C=(〃+C)2-12=13.

解得a—>/1-3・

・'・a+。+c=>/T3+5・

故三角形ABC的周长为旧+5.

【点睛】

本题考查由余弦定理解三角形，涉及面积公式，正弦的倍角公式，应用正弦定理将边化角，属综合性基础题.

18、(1)4=30。；(2)正

3

【解析】

(1)由smC-Gsm8=j,利用正弦定理转化整理为/=〃+,2一回°,再利用余弦定理求解.

sinA+sinBc

②根据2sinAsin8=1+cosC,利用两角和的余弦得到cos(A—3)=1,利用数形结合，设AC=1,在A0C中,

由正弦定理求得AO,在ZVIOE中，求得AE再求解.

【详解】

/.、sinC-5/3sinBa-h

(1)m因为---------------=-----,

sinA+sin8c

所以(c-G〃卜=(a+Z?)(a-〃),

^a2=b2+c2-y/3bc，即COSA=3,所以A=30。.

2

(2),:2sinAsinB=1+cosC=1-cos(A+B),

=1-cosAcosB+sinAsinB.

所以cos(A—3)=l,从而A=B.

所以3=30°,C=120°.

不妨设AC=1,。为49c外接圆圆心

则AO=LAB=6ZADC=ZEAO=45°.

AT)AC1

在AOC中，由正弦定理知，有-------

sin120°sinZADCsin45°

即皿=手

在AAOE中，由NQ4E=NOE4=45°,04=1,

从而AE=6.

AE2月

所以；I

AD"V

【点睛】

本题主要考查平面向量的模的几何意义，还考查了数形结合的方法，属于中档题.

(33x7?5

19、(1)证明见解析；(2)尸为线段AG上靠近G点的四等分点，且坐标为P一丁丁，彳

\/

【解析】

(1)先通过线面垂直的判定定理证明CGJ■平面ABC,再根据面面垂直的判定定理即可证明；

(2)分析位置关系并建立空间直角坐标系，根据二面角尸--。的余弦值与平面法向量夹角的余弦值之间的关系,

即可计算出产的坐标从而位置可确定.

【详解】

(1)证明：因为AC=2,CC\=6,ACX=y[6,

所以AC2+CC；=AC；,即AC，CC,.

又因为8CJ.881,BBJ/CC,,所以BCLCG，

ACBC=C,所以CG•1•平面ABC.

因为CGu平面BB©C,所以平面ABC，平面BB©C.

(2)解：连接AM，因为A3=AC=2,M是8C的中点，所以4W_L3C.

由(1)知，平面ABC_L平面6B℃，所以AM,平面

以M为原点建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz,

则平面6gC。的一个法向量是/〃=9,0,1),A(0,0,百)，/V(0,V2,0),Ct(-1,72,0).

设"=/AC；(0<f<l),P(x,y,z),

AP=(x,y,z-6),AC〕=(-l,a,-百)，

代入上式得x=T,y=42t,z=V3(l-/),所以P(T,瓜SMt).

设平面M/V尸的一个法向量为〃=(%，X，zJ,MN=(0,R0),MP=(-t,y/2t,j3-y/3t),

n-MN=0何=0

n-MP-0—tx^+\p2,tyy+yjlt(1-/)Z|=0

令Z|=f,得"=(G-Gw).

因为二面角尸-MN-C的平面角的大小为30°，

所以笳*t5/33

即I产r=~V解得t=

73(l-z)2+r2

所以点p为线段AG上靠近G点的四等分点，且坐标为P

【点睛】

本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求解二面角有关的问题，难度一般.(1)证明面面垂直，可通过先证明线面

垂直，再证明面面垂直；(2)二面角的余弦值不一定等于平面法向量夹角的余弦值，要注意结合图形分析.

20、(1)根=4；(2)证明见详解.

【解析】

(1)将不等式/(%+2)<0的解集用〃?表示出来，结合题中的解集，求出机的值;

(2)利用柯西不等式证明.

【详解】

m

解：(1)/(x+2)=2|x|-机<0,|x|<—,

2

mm

---<x<一

22

因为〃x+2)<0的解集为(-2,2),所以言=2,

m=4；

(2)由⑴。+勖+3。=4

111

由柯西不等式(一+一+一)3+3+3。)2(1+1