2023年4月山东省新高考联合模拟考试高三数学（含解析）

2023年4月山东省新高考联合模拟考试

数学试题

本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1技

Z=1—'—1,

1.已知复数22，则z-+z=（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的乘法运算即可化简求值.

【详解】由z=—，+避4得z?+z

=z(z+l)

22

故选：A

2.已知集合A={（x,y）|y=x},8={（羽刈国+3=1},则中元素个数为（）

【答案】C

【解析】

【分析】分别作出集合所表示的图象，只需判断两图象的交点的个数即可得答案.

【详解】解：因为A={（x,y）|y=x},表示直线V=x上的点，

x+y=l(x>0,y>0)

x-y=l(x>0,y<0)

又因为人|+|>|=1o<

-x+y=1(x(0,y)0)

-x-y=l(x<0,y<0)

所以集合B表示如图所示的正方形ABC。边上的点,

所以Ac8中元素的个数即为直线>=%与正方形ABCD的边的交点个数，

由图可知直线N=x与正方形ABC。的边有2个交点，

即AcB中元素的个数为2.

故选：C.

3.已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点在圆f+y2=4上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【解析】

【分析】根据焦点坐标即可求解〃=4,由P的几何意义即可求解.

【详解】由于抛物线V=2px（p>0）的焦点为x正半轴上，％2+,2=4与工正半轴的交点为（2,0）,故抛

物线的焦点为（2,0）,所以§=2np=4,

因此抛物线的焦点到准线的距离为〃=4,

故选：C

4.某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8,唯一的众

数为9,极差为3,则该组数据的平均数为（）

A.7.6B.7.8C.8D.8.2

【答案】B

【解析】

【分析】首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算可得.

【详解】依题意这组数据一共有5个数，中位数为8,则从小到大排列8的前面有2个数，后面也有2个

数，

又唯一的众数为9,则有两个9,其余数字均只出现一次，则最大数字为9,

又极差为3,所以最小数字为6,

所以这组数据为6、7、8、9、9,

6+7+8+9+9

所以平均数为=7.8.

5

故选：B

5.已知直线y=x-l与曲线y=e""相切，则实数。的值为（）

A.-2B.-1C.OD.2

【答案】A

【解析】

【分析】设切点，利用导数的几何意义计算即可.

【详解】设切点为（毛,%），易知y'=e、+",贝叶为二“，解之得，，

1=e-a=~2

故选：A

6.17世纪30年代，意大利数学家卡瓦列利在《不可分量几何学》一书中介绍了利用平面图形旋转计算球

体体积的方法.如图，是一个半圆，圆心为。，A8CO是半圆的外切矩形.以直线OE为轴将该平面图

形旋转一周，记△OCD,阴影部分，半圆AE8所形成的几何体的体积分别为匕，匕，匕，则下列说法

正确的是（）

A.匕+匕＜匕B.耳+匕＞匕C.匕＞匕D.匕=匕

【答案】D

【解析】

【分析】.08、阴影部分、半圆AE8旋转所形成的几何体分别为圆锥、圆柱减去半球、半球，依次计

算其体积即可.

【详解】由旋转体的概念可得：_OCD、阴影部分、半圆AE8所形成的几何体分别为圆锥、圆柱减去半

球、半球，易知。

141

1,1、233

-兀rXrX

ts：DE-OE-r,故%=q7T厂xr=,兀厂，2-3-3-

23

显然匕=匕，且匕+匕=匕.

故选：D.

7.已知函数=数列｛。“｝满足4=1,a,.=a“(〃wN*),/(4)+/(4+%)=0，则

2023

£%=()

/=1

A.OB.1C.675D.2023

【答案】B

【解析】

2023

【分析】利用函数计算可得4+々+。3=0,再利用数列的周期性可求Z令.

;=1

qr—1V-I

【详解】“X)的定义域为R,且

故/(x)为R上的奇函数.

2

而〃力=1一承工1，

2

因，=3*+1在R上为增函数，y=1-：在(1,+8)为增函数，

故"X)为R上的增函数.

又/(q)+/(4+/)=0即为/(tz])=/(-6!2-6Z3)，故4+生+%=0，

因为4+3=a“(〃WN"),故｛4｝为周期数列且周期为3.

因为2023=2022+1=3x674+1,

2023

所以Zq=674(〃]+。2+。3)+。2023=0+6=1.

；=1

故选：B.

8.已知函数〃x)=asin2x+)cos2x(而。0)的图象关于直线x=四对称，则下列说法正确的是

6

()

A.小一总是偶函数B.“X)的最小正周期为27c

jrjr

C./(X)在区间-3彳上单调递增D.方程“X)=»在区间［0,2可上有2个实根

【答案】D

【解析】

【分析】利用赋值法可求的关系，从而可得/(x)=28sin(2x+2),利用公式可判断B的正误，结

合人的符号可判断C的正误，结合特例可判断A的正误，求出方程/(x)=2〃在区间［0,2兀］上解后可判

断D的正误.

【详解】因为/(X)的图象关于直线x=：对称，故

所以b=asin皆+bcos竽,所以〃=回，

所以f(x)=G-sin2x+bcos2x=2/亩(2》+卷)，

此时/倍)=20sin(2x亳+1)=乃，故函数图象关于直线x.对称.

/［一=2人sin(2x—2x5+"=2/?sin(2x—5)，

令g(%)=/1一1)=28sin(2%一部

则g佶)=2万疝俗一袭)=°，而g(—制=2匕sin卜2xm=—辰*0,

故g(x)=J卜一塞卜人布,彳一.不是偶函数,故A错误.

27r

/(x)的最小正周期为学=兀，故B错误.

因为》的正负无法确定，故/(X)在一；,二的单调性无法确定，故C错误.

_36_

令/(x)=2Z?,xw［0,2兀|,因2/?。0,则sin(2x+力=1,

因为xe［0,2可，故2x+但e忸，零］,故"+堂=与,琴即x=/,g,

*'」o22oo

故方程〃力=幼户€［0,2可共2个不同的解，故D正确.

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知实数。力4满足且。+。+。=0,则下列说法正确的是（）

11〜

A.------>-------B.a-c>2bC.cr9>b“9D.ab+hc>0

a-cb-c

【答案】BC

【解析】

【分析】根据已知等式可确定〃>O,cvO,结合不等式性质和作差法依次判断各个选项即可.

【详解】对于A,a>b>Cy.\a-c>b-c>0,/.―--<—―,A错误；

a-cb-c

为J■于B,a>b>c,〃+/?+c=0,cvO,:.b+c=-a<0a-b>0,

:.a-b>b+c,即Q-C>2Z?,B正确；

对于C,a-b>Q,a+b=­c>01「.。2=(a+b)(〃-0)>0,即〃2>/，C正确;

对于D,cib+be=b(<a+=-b2<0,D错误.

故选：BC.

10.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲

表示事件”第一次取出的球的数字是奇数“，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两

次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）

A.乙发生的概率为gB.丙发生的概率为g

C.甲与丁相互独立D.丙与丁互为对立事件

【答案】ACD

【解析】

【分析】先计算出甲乙丙丁的概率，故可判断AC的正误，再根据独立事件的乘法公式可判断C的正误,

根据对立事件的意义可判断D的正误.

【详解】设A为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，8为事件“第二次取出的球的数字是偶数”,

C为事件”两次取出的球的数字之和是奇数“，O为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”,

3132331小，一

则P⑷干5,P(B)=-x-+-x-=-,故A正确.

65652

333322

P(C)=2x铲分,P(D)=2x=x-=—,故B错误.

655

3x21

而尸（AO）=^—=—=P（A）尸（。），故C正确.

6x55

两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件,

故D正确.

故选：ACD.

TT

11.如图所示，在菱形ABC。中，^BAD=-,E,£G分别是线段4D,CD,BC的中点，将△48。

3

沿直线80折起得到三棱锥A-BCD，则在该三棱锥中，下列说法正确的是（）

A.直线瓦7/平面A8C

B.直线8E与OG是异面直线

C.直线与。G可能垂直

D.若EG=E~AB，则二面角4一3。一。的大小为:

43

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据三角形中位线性质和线面平行的判定可知A正确；由异面直线的判断方法可知B正确；由向

量线性运算和向量数量积运算律可得8E•。G=-2+■!■D4•BC,由此可知垂直关系无法成立，知C错误；

4

112

由石6=5。。-5。4+。3,可利用EG”构造方程求得二面角的余弦值，由此可知D正确.

【详解】对于A,.瓦尸分别为ARC。中点，.•.比7/AC,

ACu平面ABC,所（2：平面43。，；.石尸〃平面43。，A正确；

对于B,BE1平面BCD=B,OGu平面BCD，B史DG,

.〔BE与DG为异面直线，B正确；

兀

对于C,设菱形ABC。的边长为2,又NBAD=—,则比>=2,

3

BE=BD+DE=BD+-DA,DG=DB+BG=DB+上BC,

22

BEDG=\BD+-DA\-\DB+-BC\=-BD2+-BD-BC--BD-DA+-DA-BC

<2JV2）224

=-4+lx4x-!--ix4x|-1|+ioABC=-2+-D/lBC,

222I2；44

DABC=4cos<DA,BC>e[-4,4],：.BEDG^Q,

即座与OG不可能垂直，C错误；

对于D,取30中点。，连接AO,CO,OG,OE,

A

ABD,C8O为等边三角形，.•.A。，BO,COLBD，

.•.NAOC即为二面角A-%)一。的平面角，

设菱形ABCD的边长为2,则0A=0C=G，

EG=OG-OE=-(OB+OC]--BA=-(OB+OC)--(OA-OB)=-OC--OA+OB,

2、>2,2、>22

21212-21

:.EG=-OC+—0A+08——OAOC+OBOC-OAOB

442

33353

=—+—4-1——cosZAOC=------cosZAOC,

44222

I-S37i

又EG=^-AB，------cosZAOC=—,解得：cosZAOC--,

42242

••・二面角4一3。一。的大小为:，D正确.

故选：ABD.

12.若定义在[0,1]上的函数/(x)同时满足：①/⑴=1；②对Vxe[0,l],/(x)“成立；③对V%,

巧，石+与式。/]，/(芭)+/(々)</&+々)成立；则称/(x)为“正方和谐函数”，下列说法正确

的是()

A./(x)=f,xe[0,l]是“正方和谐函数”

B.若“X)为"正方和谐函数"，则"0)=0

C.若/(X)为“正方和谐函数”，则“X)在[0,1]上是增函数

D.若/(x)为“正方和谐函数”，则对Vxe[0,l],/(x)W2x成立

【答案】ABD

【解析】

【分析】条件③/区+々)-[/⑻)+/(々)]=(%+々)2-芭2-々2=2%々20.即可判定A,由条件①③可得

/(0)>0,/(0+0)>/(0)+/(0)即可求得/(0)=0即可判断B,由条件③即可判断C,由迭代递推法即

可判断D.

【详解】对于A,函数〃力=%2,xe[O,l],显然满足条件①②.

222

对任意々>0,X]20且玉+々41时，f(xt+x2)-[f(xt)+f(x2)]=(xt+x2)-x^-x2=2x,x2>0.

二函数/(x)=f在区间[0,1]上为“正方和谐函数”.故A正确.

对于B,若函数/(x)为“正方和谐函数”，

则令±=0,x2=0,得/(0)2/(0)+/(0),BP/(0)<0,

又由对Vxw[0,l],〃x)20,.•"(0)=0,故B正确；

对于C,设0«玉<々<1，则0<々一%<1，所以，(七一不)20

/（X,）=f（x2-x,+X1）>/（X2-X,）+/（X|）>/（X1）,即有/（^1）</（%2）,

・•・函数/(X)在区间[0,1]上不一定是单调递增，故C错误；

对于D,①当x=0时，/(0)=0«2x0成立，

②当;时，2x>l,.../(x)Vl<2x,

③当时，2xe，,l,/(2x)>2/(x),则/(x)4,/(2x)；

212_2

=?⑴成立;

显然,

假设当xe(击，/时，有成立，其中々=1,2,.，

那么当无白'击卜寸'(击),击=3'

可知对于工€(，7，/，总有其中〃=1,2,

而对于任意XG0,；

存在正整数〃，使得XG,此时

综上可知，满足条件的函数/(X)对xe[0,l]时总有/(x)W2x成立.

故D正确，

故选：ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知sin愕一a）=Gcos（a+都则tan（a+^J的值为.

【答案】&

【解析】

【分析】根据诱导公式以及同角关系即可求解.

【详解】由sin禽一a）=Gcos（a+*可得

sin兀-e+c）］=6cos（a+5）nsin傍+a）=Gcos（a+"ntan（a+之卜6,

故答案为：V3

14.已知赤表示一个三位数，如果满足。>力且c>"，那么我们称该三位数为“凹数”，则没有重复数字

的三位“凹数”共个（用数字作答）.

【答案】240

【解析】

【分析】利用组合的意义可求没有重复数字的三位“凹数”的个数.

【详解】a,仇c为取自0,1,2,3,4,5,67,8,9中的不同的三个数字,

最小的数字放置在中间，余下两数可排百位或个位，

故共有“凹数”的个数为2xC：。=2x120=240,

故答案为：240.

15.己知向量a=（l,2）,b=（4,2）,若非零向量c与a，b的夹角均相等，则c的坐标为_（写出一个

符合要求的答案即可）

【答案】（1,1）,答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可

【解析】

【分析】利用两个向量夹角的余弦公式，通过两个余弦相等，化简即可求出结果.

【详解】设c=(x,y),因为a=(l,2),Z?=(4,2),

/\a-cx+2y

所以c°s(词=雨=氐&+尸

/.\b-c4x+2y

因为c与a，/?的夹角均相等，所以cos(a,c)=cos(b,c),

x+2y_4x+2y

所以逐x+丁2石xyjx2+y2，

化简得x=y，所以c=(x,x),

因为c为非零向量，可取x=l，此时c=(l,l).

故答案为：(1,1),答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可.

16.如图，在矩形ABC。中，|A用=2|AD|,A，4分别为边A3，8的中点，M,N分别为线段

AC(不含端点)和A。上的动点，满足^^=厥，

,直线AM,4N的交点为P,己知点P的轨

\CD\\AD

迹为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为.

【答案】6

【解析】

【分析】以A4所在的直线为y轴，线段A|&的中垂线所在的直线为x轴，求出直线AM,&N的方程,

联立两方程解出点p的坐标，进而可得点p所在双曲线方程，由离心率公式计算即可得答案.

【详解】解：以所在的直线为y轴，线段A4的中垂线所在的直线为X轴，建立如图所示的直角坐

设闷=|3C|=m^m>0),则\AB\=|CD|=2m,

则有A(一根,一■—),B(m,—■—),A(°，—'-)>4(°,耳)，C(/n,—),,A(—tn,一■—))

设M(x0,y)(0<x0<m),N(-m,y0)(-^<<y),

所以|帆|=/,|DN|=今一九,

又因\为MA蜀A=\D品N'm_

所以

2mm

所以x°=m—2y。或为=写生，

又因为小

所以直线A"的方程为：y-(一华)=9■(%—0),即y=§x—%

m

同理可得直线4N的方程为：川，即

y-mK=-------(x-u)

2m

_mm一/_m

_mF——2丫_m+玉)丫，

m------XY—~Z------------A——-|--X

m2m22m

2

mm2x0w

y--x---xT22

x022m"-xQ

由,可得，

277?+nug

yy

22m2(2>_3)

用n2"+mx；

即“前f'2(2〃D)，

2xirr

因为巧＞o

2

2m—XQ

2m3+mx：+x：)

2(2加2一£)-2(2/一片)

222-)22

m(2/n+XQ)2_m(2•一宕了+即?考rrr8，/x；m2加*x；mx；

=—.(1+

4(2/一片了一下(2m2-x；)24(2/n2-%^)24(2机2_考)242

22y?xp

即有"一些=?2~2

m"m

42

22

2__A_

所以点P所在双曲线方程为:m~9m2

T~2

,22

所以八卜号

223m2

所以。2=/+/=仁+竺

424

V3

——m

所以e=£==——=G.

a—1m

2

故答案为：G

【点睛】思路点睛：椭圆或双曲线中，要求离心率的值，就要求出c的值（或数量关系或关于的

一个二次方程）.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.根据国家统计局统计，我国2018—2022年的新生儿数量如下:

年份编号无12345

年份20182019202020212022

新生儿数量y（单位：万人）1523146512001062956

（1）由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合新生儿数量y与年份编号》的关系，请用相关系数加

以说明;

（2）建立y关于x回归方程，并预测我国2023年的新生儿数量.

z%%一阿'ZW,T诚

i=l人_r_

参考公式及数据：r，b，a-y-bx,

?一)2—2

Xj-nx~E/-为一"

Ei=l;=1Zi=l

55(5

2%=6206,»>/=17081,一5rzy2_5va1564.

/=17

【答案】（1）理由见解析

（2）y=-153.7x+1702.3,预测2023年的新生儿数量约为780.1万人

【解析】

【分析】（1）根据所给数据求出3£（3一4,即可求出相关系数，从而判断即可;

Z=1

（2）由（1）中数据求出A,a,即可得到回归直线方程，再将x=6代入计算可得.

【小问1详解】

]—151

因为x=-（l+2+3+4+5）=3,y=qx6206=1241.2,

5〉/=i,

取

—1537«-0.98

所以「=『s*「、1564

、一5rZy.、592

V\（=1八i=l7

因为y与x的相关系数近似为-0.98,说明V与x的线性相关程度相当高,

从而可以用线性回归模型拟合y与X的关系.

【小问2详解】

,2>/一5行

由(1)可得b=y--------=---=-153.7,

X,2-5X210

i=l

所以力=9—宸=1241.2—(—153.7)x3=1702.3,

所以＞'关于x的回归方程为y=-153.7%+1702.3，

将2023年对应的年份编号x=6代入回归方程得＞=-153,7x6+1702,3=780.1，

所以我国2023年的新生儿数量约为780.1万人.

18.已知数列｛4｝的前〃项和S“=2向一2,数列｛4｝满足勿=log24.

（1）求数列｛%｝,｛〃,｝的通项公式;

（2）由勿构成的〃x〃阶数阵如图所示，求该数阵中所有项的和7；.

’岫,岫2，叫,・，他、

。2瓦,。282，23,,a2bn

&3瓦,a3b2,a3b3,…,03bli

SM，a也,a”队,,a也,

【答案】（1）勺=2"；br,=n

（2）7；,=（2n-l）（n2+n）

【解析】

【分析】（1）由应与S“之间关系求｛a,,｝的通项，由对数运算可求为；

（2）理解题目中矩阵的含义，利用等差数列的求和公式进行求和.

【小问1详解】

因为S〃=2n+'-2,所以a“=S“一S,z=T,n>2,

当”=1时，4=5=2,适合上式，所以勺=2",

rt

所以a=log2a„=log22=n.

【小问2详解】

1=4(伪+4++包)+々(4+2+,+〃)+,+a„(^i+b2++b“)

=(4+4+.+a“)(4+2++2)

因为S“=2"+i—2,白+d++勿=1+2+.+〃=£土C

所以7；=（2"+「2）（粤）

=(2"-l)(〃2+“).

19.如图，在正三棱台48C—OEF中，M,N分别为棱AB,8c的中点，AB^2DE.

（1）证明：四边形MNFO为矩形；

（2）若四边形MNFD为正方形，求直线BC与平面4CF3所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵逅

3

【解析】

【分析】(1)根据三角形中位线可得线线平行，进而可证为平行四边形，由三角形全等可证对角线相等,

即可求证为矩形，

(2)根据正棱台可判断三棱锥G-ABC为正三棱锥，根据棱长进而判断为正四面体，由正四面体的性质

即可结合长度以及线面角的定义求解.

【小问1详解】

延长AD,BE,CF,则AD,BE,CF相交于一点G,连接FM,GN,DN,GM,

M,N分别为棱的中点，所以MN//AC,且“V=，AC,

2

由于AB=2DE，所以4。=2。R又4。//。/，

所以。b//MN,MN=所以四边形儿WFD为平行四边形，

在三棱锥G—ABC中，G4=GC,GM=GN,MC=AN,所以.G4V三GCM,

进而得NCGM=NAGN，又GF=GD,GM=GN，因此二FGM—DGN

所以MF=DN,故四边形MNFD矩形

由DE=-AB,DE//AB可知D,E分别是GA,GB的中点,

2

所以DM//GB,DM=、GB,

2

又四边形MVED为正方形，所以DM=MN,所以AC=GB,

由于三棱锥G—ABC为正三棱锥，且AC=GB,因此三棱锥G-ABC为正四面体,

因此直线BC与平面ACFD所成的角即为直线GC与平面A8C所成角，

取^ABC的中心为。，连接GO,则GO±平面ABC,所以ZGCO为直线GC与平面ABC所成角,

设四面体G—ABC的棱长为。，在_ABC中，由正弦定理可得40=」一竺=走4，

2sin603

GO=ylGC2~OC2=^p~与a,

在△GOC中，sinZGCO=—,

GC3

故直线BC与平面ACFO所成的角的正弦值为迈

3

20.已知AA8C内角4,B,C的对边分别为小b,c,点G是AABC的重心，且4G.BG=0-

C

(1)若NGA8=S求tan/GAC的值;

（2）求cos/ACB的取值范围.

【答案】（1）tanNGAC=3

6

4

(2)cosABAC€—.1

【解析】

【分析】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，设|A8|=2,则可求C*手，利用公式可求

tanZGAC=—

6

(2)设NGAB=e,6»e(0，W],则可求得cosN8AC=-----&,故可求其取值范围.

I2jV100-36COS22^

【小问1详解】

以A为原点，AB所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,

48「4

所以工4/,<1，cosNBACe-,1

500-36cos22。15

YJ

21.己知椭圆氏靛+乒=l(a>/?>0)的长轴长为4,由E的三个顶点构成的三角形的面积为2.

（1）求E的方程；

（2）记E的右顶点和上顶点分别为A,8,点P在线段AB上运动，垂直于x轴的直线PQ交E于点M

（点M在第一象限），P为线段的中点，设直线AQ与E的另一个交点为N,证明：直线MN过定点.

【答案】（1）—+/=1

4-

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解.

（2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，由两点斜率公式，即可代入化简求解.

【小问1详解】

由题意可知勿=4=。=2,

E的三个顶点构成的三角形要么是短轴的一个顶点和长轴的两个顶点构成的三角形，面积为

—x2ab=ab；

2

要么是短轴的两个顶点和长轴的一个顶点构成的三角形，面积为=,

2

所以。〃=2=匕=1,

故E的方程为二+y2=1.

4

【小问2详解】

由于MQ_Lx轴，所以不可能垂直于x轴，故直线MN的斜率存在，故设直线的方程为

y=kx+m,"（大，,），'（9，%）,

y=kx+m

2尤加

联立＜X=>(1+4r)2+81r+4/-4=0

II2=1

-8km4m2—4

则A=(8Z〃?y—4(1+4%2)(4加2—4)>0,%+々

x

直线A3的方程为］+y=l,

当x=X|时，y=l—5，所以「（玉,1-5），p是MQ的中点，所以—yj,

_2一玉一,_%MIX_必］_乂x%

kQA--------------，即T---------------,所cr以NT------+------,

王一2X2-2Xj-2x2-2x,-2x2-2

则

一（芯—2）（%—2）=丫2a—2）+x（w—2）=＞（如+机）（玉一2）+（烟+根）（々-2）=-（玉一2）（w-2）

化简得（2左+1）百々-（2+24一加）（玉+/）-4加+4=（）,

八、、-Skm4/7/一43/八，八4"-4,入,,、一8km““八

代入％得（）（）

1+x,=-------2-,x.x.2=-------2Z+1-----------2+2k-m------7-4m+4=0,

-l+4k'1+4攵2、,1+4公'，1+4公

故（m+2Z）（m+2Z-1）=0,所以m=一2左或加=-2k+1,

故直线的方程为了=去一2人或y="一2k+1,

由于〃不与A重合，所以直线不经过（2,0）,故直线的方程为丁=丘-2左+1,此时

A=（8Z:m）2-4（1+4Z:2）（4AH2-4）=64^2-16m2+16=64A;2-16（-2^+1）2+16=64,故%＞0,此

时直线过定点（2,1）.

【点睛】方法点睛：直线与椭圆的位置关系中直线过定点问题，需要讨论直线的斜率是否存在.若斜率不存

在，特殊情况特殊对待，存在时，设出直线的方程，联立与椭圆的方程，可得根与系数的关系式，利用斜

率关系或者根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用从而求得直线方

程中两个参量之间的关系即可得到定点.

22.已知函数/（%）二厂”7.

［x-a）

（1）当a=0时，求〃x）在区间［l,e］上的值域;

(2)若有唯一的极值点，求。的取值范围.

【答案】(1)0,」-

2e

(2)(-oo,0］U{1}

【解析】

【分析】(1)根据/'(X)的正负可确定“X)的单调性，由此可确定最值点，根据最值可得值域；

(2)将问题转化为讨论/'(%)的变号零点，令g(x)=l—£—21nx,分别在aWO和a〉0的情况下，结

合g(x)的单调性和零点存在定理的知识可说明:(x)的正负，从而得到“X)单调性，由极值点定义可确

定满足题意的。的范围.

【小问1详解】

当a=。时，/(x)=—y-,则/(x)=---3--，

.♦.当时，f^x)>0；当xe(五,e］时，/(%)<0；

\/(x)在［1,血)上单调递增，在(五,e［上单调递减，.•./(力