2023-2024学年皖豫高二年级下册开学考试数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年天津市西青区高二下册第一次适应性测试数学

模拟试题

一、单选题

1.已知向量a=(3,-4,2),月=(2,-3,1),则£-2方=()

A.(7,-10,4)B.(5,-7,3)C.(1,-1,1)D.(-1,2,0)

【正确答案】D

【分析】根据向量线性运算的坐标表示得出答案.

【详解】a-2fe=(3-2x2,-4-2x(-3),2-2xl)=卜1,2,0),

故选:D.

2.若两条直线点3x+7y-6=0与八办+1”-2=0平行，则实数a的值为()

A.6B.-6C.4D.-4

【正确答案】A

【分析】若两条直线平行，则两条直线斜率相等，由此列式计算即可.

【详解】若两条直线平行，则两条直线斜率相等，故-5=-巳，解得。=6.经检验两直线不

重合.

故选：A

3.若｛£》］｝构成空间的一个基底，则下列向量共面的是()

A.a»h+cfa+bB.a，Q+C，a+b

JL1_L___一一一一

9

C・〃+C»bD.b，a-ba+b

【正确答案】D

【分析】根据空间向量共面定理逐一验证即可得出结果.

【详解】根据题意可知，对于选项A,假设存在一组实数对2,“满足々=/1,+司+〃仅+@,

可知九〃无解,即向量Z，b+c，£+3不共面；

对于选项B,假设存在一组实数对九〃满足3=平+小〃,+否)，可知无解，即向量£,

a+c>£+「不共面;

对于选项C,假设存在一组实数对入〃满足a+b+c=2c+〃b,可知无解，即向量

a+b+c>c>书不共面；

只有D选项存在一组实数对4=-g,〃=g满足液=-茶-小茅+与，

即石，a-b>£+B是共面向量.

故选：D

4.已知数列｛《,｝满足的=（,且。用=考『，则的。23=（）

132

BC

A.4-2-D.3-

【正确答案】B

2137

【分析】计算q=],。2=工，%=T，«4=->%=：，确定｛““｝为周期是4的数列，计

算得到答案.

%=等」'='1，L,故｛凡｝为周期是4的数列，%023=。3=-|.

故选：B

5.已知直线/与圆U（x-iy+V=9相交于48两点，弦48的中点为“（0,2）,则直线/的方

程为（）

A.x+2y+4=0B.x+2y-4=0C.%一2>+4=0D.x-2y-4=0

【正确答案】C

【分析】由加（0,2）是弦48的中点，所以C"±四,求出CM的斜率，进而求得48的斜率，根

据48的中点为“（0,2）,根据点斜式即可写出直线/的方程.

【详解】解:由题知，圆C:（x-iy+K=9,即圆心C（l,0）,

因为弦相的中点为〃（0,2）,所以Q/1AB,

2

因为生“=彳=-2,所以乙也L-1,即3=1：,

-1L

因为也（0,2）在4B上，所以/8:y_2=；（x_0）,即/:x_2y+4=0.

故选:c

22

6.已知圆锥曲线工+匕=1的离心率e为方程2x2_5x+2=0的根，则满足条件的不同机值

m2

有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【正确答案】C

【分析】解方程2f-5x+2=0可得出《+片=1的离心率，对曲线的形状进行分类讨论,

m2

结合离心率公式求出〃?的值，即可得出结论.

【详解】解方程2--5x+2=0可得a2或x=；,所以，e=2或，

①若e=2,则曲线看+片=1表示焦点在夕轴上的双曲线，

m2

则e=J22"。=2,解得m=-6；

1/2

②若e=：,则曲线上+匕=1为椭圆，

2m2

若椭圆片+片=1的焦点在x轴上，则6=、但巨=_!且心2,解得m=

m2Vw23

若椭圆二+《=1的焦点在y轴上，贝1卜=、反至=].且o＜机＜2,解得/«=：.

m2V222

综上所述，满足条件的〃?的值有3个.

故选：C.

7.设等差数列｛““｝的前”项和为S"，若S.=l,S“=16,则S“=（）

A.18B.36C.40D.42

【正确答案】B

【分析】确定为等差数列，得到*-*=!（'一寮）‘代入数据计算得到答案.

,（C）

【详解】S,,=〃%+2"C1产故宁为等差数列，

nn72

曦T中上浒故j=解得%=36.

故选：B

8.已知椭圆C：±+《=1伍＞6＞0）的左、右焦点分别为耳，F2,过行的直线与C交于P,

ab

。两点，若|。尸|=/与用（。为坐标原点），且招=2,则C的离心率为（）

.V13R713r726n4713

542623

【正确答案】A

【分析】设|咫|=&,则|PQ|=15f,由|。尸|=；田闾可得助,尸。，然后利用椭圆的定义

和勾股定理即可求解.

【详解】设|尸制=&,则|P0|=15f,

因为|0P|=；阳月所以咫，尸。，则|°用=即国厢『=1，，

由椭圆的定义可得：4|+|。段+|咫|+|「周=4"=40人

所以，*，则的=1〃=浮网=2所网=2”.喑,

所以附|=|阕一四=等假咚,因为冏|=8/中，

在RtAZ小声中，僧闾2=|尸耳「+归周2,即4c2=噤+噤，

所以《="，则e=£=巫，

a225a5

故选.A

二、多选题

9.已知｛a„｝为等差数列，满足4-7，出+%=11，也｝为等比数列，满足4=q,&=%,

则（）

A.｛%｝的首项与公差相等B.%，为，卬成等比数列

C.也｝的首项与公比相等D.b3,b5,4成等差数列

【正确答案】BC

【分析】代入4，d,4求数列的首项和公差，数列｛〃｝的通项公式，逐一判断选项可得

结果.

【详解】解：因为｛%｝是等差数列，设公差为d,则4%-%=3q+d=7,

a2+a7=2a]+ld=\\,解得：4=2,d=l,故A错误；

可得=2+"-1=〃+1,所以生=3,%=6,%=12,是等比数列，故B正确；

数列｛"｝为等比数列，且4=q=2,b4=al5=16,所以q=2,则2=2",故C正确；

U=8也=32也=64,不是等差数列,故D错误.

故选：BC

10.已知圆M：(x-2)2+/=4,直线/经过点尸(1,-1),且直线/被圆M截得的最短弦为,

最长弦为C。，则()

A.直线48的斜率为-1B.直线经过坐标原点

C.\AB\=2D.四边形的面积为4近

【正确答案】ABD

【分析】C。的长为直径，力8与CD垂直，根据垂径定理求出|力理，从而可得四边形ZC8D

的面积.

【详解】当直线/圆心M时，直线/被圆M截得最长弦为C。，此时|8|=4,

当直线/与直线垂直时，直线/被圆“截得最短弦为48,

又怎“=上£5=1,故直线48的斜率为-1,

2-1

直线直线46的方程为歹即'二一匕过原点，故AB正确.

点M到直线AB的距离为I।="\/2,

V1+1

故|力叫=2"^=2近，四边形/C8。的面积为；»8|.|。|=920、4=4后，

故C错误，D正确.

故选:ABD.

11.如图所示，4BCD为正方形,平面/8CD/平面48尸，E为48的中点，AF工BF,

F

A.（CA+CB^=20

B.直线BC到平面尸的距离为2

C.异面直线与FC所成角的余弦值为迈

14

D.直线ZC与平面CE尸所成角的正弦值为回

38

【正确答案】ACD

【分析】根据几何体特征，可利用空间向量对各选项进行求解；以A为坐标原点建立空间直

角坐标系可得（直+无了=20,即选项A正确；易知直线8c到平面力。尸的距离为=

即B错误；利用向量的夹角计算公式可求得万，定所成角的余弦值为第，即C正确；求

出直线/C与平面CEF法向量夹角的余弦值即可得D正确.

【详解】根据题意可知，平面平面48尸，平面Z8CDC平面N8尸=/8,

又Z5C。为正方形，所以4DJ.4B,即/£）_!.平面力3F；

又BFu平面尸，/尸u平面HBF,所以49J.8尸，AD1AF；

过点A作/M//8/7,过点8作8M///下交于点Af,所以四边形NF8M是平行四边形；

且J.4W

又/尸_LB尸，所以四边形力尸BM是矩形；即/尸

分别以所在直线为x,y,z轴，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所

不：

ZA

由力尸J_8尸，4B=24F=2可得BF=5

则4(0,0,0),8(1,区0),C(l,百,2),。(0,0,2)/(1,0,0),

(18)

由E为的中点可知E,0；

\7

所以而+而=(-1,-/「2)+(0,0-2)=(-1-^-4),

所以(E+而『=(-1/+(-6『+卜4f=20，故A正确；

易知BCHAD,5Ca平面/。尸，4Du平面4DF,所以8c〃平面ZO尸,

由/尸_L8尸，XOJ.8尸可知，8尸_1_平面尸，

所以直线8c到平面片。/的距离为8尸=6，即B错误；

__l__l/-rg4BFC33近

易知AB=(1,6,0),FC=(0,®2),所以cosFC)=同园=★万=,

所以异面直线Z5与FC所成角的余弦值为主且，即C正确；

14

—r—(1百)

设平面C”的一个法向量为5=a,y,z),FC=(0,V3,2),£F=5，一手,0

(22J

nFC=\/3y+2z=0厂

则，1-/3，令V=1，可得x=6,z-—,

n-EF=-x--y=02

22

即〃二(6,1,-¥)；

就=(1,6,2),设直线4c与平面CE/7所成的角为。，

nAC

.AI/-力\|\\6VTu

则sine=gs(〃MC)卜强=磨26工，即D正确.

故选：ACD

12.已知抛物线/=4x的焦点为尸，过点B任作一直线交抛物线于A,B(A在8的上方)

两点，点8关于x轴的对称点为C(舁于点A),直线/为抛物线的准线，则()

A.由+画为定值B.|力尸|忸口的最小值为4

C.直线/C恒过点(-1,0)D.直线4c的斜率的取值范围是(0,2)

【正确答案】AC

【分析】运用韦达定理及抛物线的定义分析选项A、B,对于选项C,点斜式写出/C方程,

令1=0解得x是一个定值即可判断，对于选项D,运用斜率公式及韦达定理将其转化为求

函数值域即可.

【详解】由已知可设直线Z8方程为x=(y+l,00,

(x=ty+\)

\=»-4少-4=0,则弘+力=期，yy=-4,

[y2=4Ax[2

22/\2

所以X+工2+8)+2=47+2,x,x2=^-x^-=铲一=1,

由题意知，4在5上方,设4(项,必)，B(x29y2),则弘〉0,必〈0,

由抛物线的定义知，|4尸土西+1,|3b|二毛+1，

1_（X]+工2）+2（玉+/）+24~+4

对于选项A,----1----=----+,———c4,即

|AF||BF|%+1七+1（司+1）（毛+1）为王+（。+刍）+14/+4

二；+为定值，故选项A正确;

尸|\BF\

2

对于选项B,|AF||BF|=（Xj+l）（x2+1）=x]x2+（x1+x2）+1=4/+4,因为r0,所以“〉0,

所以4/+4>4,即M尸||8尸>4,故选项B错误;

对于选项C,直线/C的方程为：尸尸岩(…)，令…得:

x=汕+%必=物为+必+%=-8f+4r=

所以直线/c恒过点(-i,o).故选项c正确;

yt+y24

对于选项D,

必+%..必.4/44-广4.[

玉一£依-叱«必一%）%5（必+%）2-4必当J16J+167r+1

因为rrO,所以产+1>1,BPV?+T>1.所以°〈启丁1,即直线/C斜率的取值范围为

(0,1),故选项D错误.

故选：AC.

三、填空题

13.已知向量。=(〃?,-6,2),6=(4,«,1),且£〃加，则“〃=.

【正确答案】-24

【分析】根据空间向量平行的坐标运算公式，计算可得答案.

【详解】因为向量)=(机,一6,2),5=(4,〃,1),且£〃九

ni—62

所以一=——=—,解得，"=8,〃=-3,所以机•“=-24.

4n1

故答案为.-24

14.圆G工+/+4y=5与圆G+V-2x-2y=2的公共弦长为.

【正确答案】次##之遥

22

【分析】首先求出两圆公共弦方程，利用点到直线距离公式求出圆心到直线距离即可得出弦

长.

【详解】由题意可知，两圆方程相减可得公共弦方程为2x+6y-3=0,

圆弓了+必+外=5的标准方程为一+(八2)2=9,其圆心6(0,-2),半径为=3；

圆心G(0,-2)到公共弦2x+6y-3=0的距离d=年=*==而

V22+624

所以公共弦长为2历才=2,9号=当.

故巡

2

15.已知数列｛4｝的前〃项和S〃=午2azi(w>2),且％=1,则。20=.

【正确答案】7

【分析】先通过工=丁%（〃22）求出牝的值，然后利用S,与。“的关系证明当〃23时

后=干成立，从而求出数列｛4｝的通项公式，写出的。.

77+2、

【详解】因为S〃=—^―〃〃（〃22）,当〃=2时，有q+电=2%，=4=1；

当〃23时，S,i=§\一，两式相减得S,_S,i=*=等4一一3，

即卫=也（心3）,

当〃=3时，上4,所以勺=空5*3）,

所以~=7.

故7

16.若耳，鸟是双曲线C：t一己=1的两个焦点，P,。为C上关于坐标原点对称的两点,

416

且|尸°|=忻闾，设四边形尸片。鸟的面积为科，四边形尸耳外的外接圆的面积为邑，则

丛=

S,------

O

【正确答案】—

57t

【分析】根据给定条件，探求四边形小。用的形状，结合双曲线的定义及勾股定理求出S一

再求出邑作答.

【详解】依题意，点P与。，与与£都关于原点O对称，且|P0|=|与闾，因此四边形尸£。工

由双曲线C：《一己=1得：|尸。卜闺周=2|。♦|=2>/4+16=4后,||P用一|朋||=4,

416

于是

附|2+附”（附卜因『|“|2-（附卜席|）1（4丙2-42

32,

岳=|尸耳HPE|=2・22

显然四边形不。石的外接圆半径为。鸟，因此邑=兀I。6『=兀x（2括>=20*

~5,328

所以三­二万-二『.

S220兀57r

4,8

故丁

5兀

四、解答题

17.在等差数列｛4“｝中，已知。2+%-%=4且%-&+%=44.

（1）求｛凡｝的通项公式；

C

⑵设｛q｝的前〃项和为s”,求满足十4一1320的〃的最小值.

【正确答案】（1）%=8〃-4

⑵9

【分析】（1）利用等差数列的基本量计算出首项和公差，然后代公式即可求通项；

（2）先求出等差数列的前"项和，然后化简不等式，利用一元二次不等式即可求解.

【详解】（1）由题意，设等差数列｛%｝的公差为d,

出+4=4

则由

fl+4

«5-6«7=

解得｛汇;

所以〃〃=4+8（〃-1）=8〃-4.

（2）由（1）及等差数列前〃项和公式得S,,=、+8〃一4）"=41,

〃2

S

由T一。〃一13N0,BPA；2-8/7-9>0»

4

解得心9或刀«—1（舍去）,

所以满足条件的〃的最小值为9.

18.已知圆C与歹轴相切，且过点（3,3）,圆心。在直线y=2x上.

（1）求圆。的方程;

(2)若圆心C的横坐标与纵坐标都为整数，直线/：3x+4y-m=0与圆C交于48两点，且

\AB\=145,求实数加的值.

【正确答案】|+小-3丫=；或(x-3)，(y-6)2=9

(2)tn=23或加=43

【分析】(1)求出圆心和半径，即可求出圆。的方程;

(2)利用几何法求弦长，即可求出实数，〃的值.

【详解】(1)设圆心坐标为C(a,2a).

因为圆C与V轴相切，所以圆心C到V轴的距离等于半径，BPr=|a|,

所以圆C的方程为(x-a)2+(y-2a)2=/.

又圆C过点(3,3),所以(3-ay+(3-2a)2=42,

化简得(2。一3)(.-3)=0,解得0或。=3,

所以圆C的方程为［x_gj+(y_3)2=2或(x_3/+(y_6)2=9.

(2)由已知得圆C：(x-3『+(y-6)2=9.

设圆心C(3,6)到直线/的距离为d,因为=275,

所以d=」厂=2・

|3x3+4x6-m\?

由点到直线的距离公式，得"=

出2+户

解得加=23或〃?=43.

19.已知数列｛氏｝中，4=1,%=2(〃+1%〃+]

n

(1)求证：数列｛%+1｝是等比数列；

n

(2)求数列｛/｝的前〃项和为£.

【正确答案】(1)证明见解析;

【分析】(1)将已知化为乌吟=2・%+1,两边加1变为巴言+1=2(&+］,由此判断出数

列传+11是等比数列.

(2)由(1)可求得［?+1］的通项公式，由此求得的通项公式，利用分组求和法和错位

相减法可求得E,的值.

试题解析：

【详解】(1)由已知得y=2+1,

/?+1n

"n+lI1

二玛+1=2(&+1),又％+1=2,得%+1.0,.•.21±1_=2,.•.数列[%+1]是首项为

〃+1\n)n%+][nJ

n

2,公比为2的等比数列.

(2)由(2)得区+1=2-2"T=2",Aa„=n-2"-n,

n

S“=2+2X22+3X23+...+(〃-1)2"T+〃.2"-[l+2+3+---+(n-l)+n],

设7；=2+2x22+3x2,+…+,--------------①

则27；=22+2x23+3x2'+…+(〃-1)2"+〃・2向，---------②

①式减去②式得Y=2+2?+2,+…+2"-〃•2""

=2(12")_〃2川=_(〃_1)2'用一2,

1-2

得(=(〃—1)2曲+2,

乂1+2+3+…+(〃-1)+n=———,

r22

20.已知O为坐标原点，双曲线C：二-%V■=1q>06>0的左、右焦点分别为百，匕，点

P在双曲线C上，A,8分别是线段P小尸&的中点，且网=2,||。/|一|。叫=3.

(1)求双曲线C的标准方程;

（2）已知点M（-3,0）,N（3,0）,当P与A/,N不重合时，设直线PM,PN的斜率分别为勺,

%2,证明：匕&2为定值.

【正确答案】⑴《一片=1

927

（2）证明见解析

【分析】⑴由IQH。邳=3可得俨闯-归用|=6,即可求出然后由眄=2可求出c,

a

即可得到答案；

（2）设/（*°,九），然后可得上他=七•七，结合双曲线的方程可证明.

【详解】（1）因为A,B,。分别是线段刊"PF2,片行的中点，

所以31=J叫，囱=小川.

因为为4|一|0闻=3,所以忸用-归耳||=6,

所以由双曲线的定义知2a=6,解得a=3.

设双曲线C的半焦距为c（c>0）.

因为电1=2,所以£=2,

aa

所以c=6,所以〃=/一"=27.

所以双曲线。的标准方程为工-因=1.

927

22

（2）设尸（外九）（x”±3）,则曳-区=1,

927

所以3片-诉=27,所以34-27=*,所以片_9=弓■.

因为〃（一3,0）,N（3,0）,所以尢=上,e=鼻，

XQ+3X。-3

所以尢&=上.上、=餐=3,为定值.

x0+3x0-3xJ—9

21.如图，在长方体/8C。-44GA中，点E为4。的中点，且“4=4,AB=BC=2,

点P在线段8。上.

(1)问：是否存在一点P,使得直线5。，平面P£C?若存在，请指出点P的位置；若不存在,

请说明理由.

(2)若P是线段BD,的中点，求平面PEC与平面ECDi的夹角的余弦值.

【正确答案】(1)不存在，理由见解析

19

⑵TT

【分析】(1)假设直线平面PEC,利用线面垂直的性质则有BDJCE,进而可证明

CE±BD,与实际情况不符，从而证明不成立；(2)分别以48,AD,工4所在的直线为X,

J,z轴建立空间直角坐标系.空间向量法求平面PEC与平面ECR的夹角的余弦值即可.

【详解】(1)不存在.

理由如下：若直线犯，平面PEC,则必有

如图，连接8。，假设BDJCE,

因为。。，平面/BCZ),所以DR_LCE,

又因为BD\CDD、=R,BDfDRu面BDR,所以CE_L平面8。。，

所以CEJ.8。，显然不成立，

所以线段8。上不存在点p,使得直线8"，平面PEC.

(2)分别以/B,AD,工4所在的直线为x，y>z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

易知点C（2,2,0）,£（0,1,0）,5（2,0,0）,A（0,2,4）,尸（1,1,2）,

则沅=(2,1,0),而=(1,0,2),西=(0,1,4).

设平面PCE的法向量为m=(x,y,z),

in-EC=（x,y,z）-（2,1,0）=2x+y=0,

则

m-EP=（x,y,z）•（1,0,2）=x+2z=0,

令》=-2,得平面PCE的一个法向量为历=(-2,4,1).

设平面EC"的法向量为7=(X；叭z'),

n-EC=2x'+y'=0

则

万£Z）[=y'+4z'=0

令V=-4,得平面ECD.的一个法向量为n=(2,-4,1).

万.万（-2,4,1）・（2,-4,1）二19

所以cos西万

|»j||«|y/2}Xy[2]2?

所以平面PEC与平面EC"的夹角的余弦值为

22.已知椭圆C：\+《=i(a>6>0)的离心率6=孝，且经过点2(2,1).

(1)